ACTIVITE 3 EME RACINES CARREES FICHE ACTIVITE. On veut connaître la mesure des diagonales de divers rectangles dont la largeur est notée l et la longueur L. / Compléter le tableau ci-dessous en utilisant le théorème de Pythagore. L l 3 5 7 0,9 3,3 L 4 4 4 5,6 d d l /Le nombre d peut-il être négatif? Pourquoi? 3 / Compléter alors la ligne suivante en utilisant la touche de la machine. d 4 /Est-on sûrs, pour chacune des cases de la ligne précédente, d avoir donné la valeur exacte de d? Pour quelle case ne peut-on pas l affirmer? 5 /Reprendre la valeur de la dernière case : A-t-on le droit d écrire d =,36067977? Afin de répondre à cette question, examinons les affichages obtenus après les deux séquences calculatrice suivantes : Séquence : 5 x² Séquence :,36067977 x² Affichage : Affichage : Comme (3) = 69, on peut écrire 69 = 3 ; de même, (4,)² = 6,8, donc 6,8 = 4,. En revanche, il n existe pas de nombre décimal dont le carré égal à 5. Dans la dernière case de notre tableau, la valeur exacte de d s écrit donc 5 et se lit racine de cinq. Dans ce cas, la calculatrice ne peut nous donner qu une valeur approchée de d. On a donc :.d = 5 ó,36067977. La racine carrée d un nombre positif a est le nombre est a. a dont le ACTIVITE. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. A l aide de la calculatrice, et en particulier des touche et x², trouver la bonne réponse. a b c d 5 = 65 = 5 = -5 n existe pas -5 = 5 = -5 n existe pas = 5 3 - -5 = -5 = 5 n existe pas = 5 4 5² = 65 = 5 n existe pas = 5 5 ( 5 ) ² = 65 = 5 n existe pas = 5 En examinant les questions et leurs réponses éxactes, on peut dire que : La racine carrée d un nombre négatif. Pour tout nombre positif a, on a : a² = et ( a ) ² =
ACTIVITE 3 EME RACINES CARREES FICHE ACTIVITE. a b a b ab ab a b 4 9 5 3 0,5 0, 8,8 0, 0,08. Quelle relation semble-t-il exister entre ab et a b?.. Démonstration : On considère deux nombres positifs a et b, compléter : ( a b ) ² = ; ( a b ) ² = ( b ) ² =. les nombres a et b étant positifs, que peut-on déduire pour : a b et a b?. Justifier.. 3. De la même façon, montrer que a b = a b : ACTIVITE. (Applications). Etablir la liste des carrés des entiers de à 4 : a 3 4 5 6 7 8 9 3 4 a². Voici un exemple de calcul : 50 = 5 = 5 = 5² = 5. En procédant de même, recopier et compléter les égalités suivantes : 0 = 4 5 = 5 ; 4 9 =.. = 507 = 69 3 = 3. ; 8 = 5 440 = ; 7 = 7 99 =. ; 58 30 =.. = 9.. =.... 3 = = 0,8 5 = 3. Chasser l intrus parmi les six nombres suivants : 4 9 ; 9 ; 3 ; 3 ; 3 ² ; 3 ².
EXERCICES 3 EME RACINES CARREES FICHE Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Trouver la bonne réponse sans untiliser la calculatrice. les nombres dont le carré est 6 sont tout nombre positif a deux racines carrées a b c d 6 et -6 56 et 56 4 et 4 et - a une racine carrée unique n a pas toujours de racine carrée n a jamais de racine carrée 3 0 n existe pas = - = = 000 4-5 = -5 = 5 = 5 n existe pas 5 3² = = 3 = 4 = 9 6 49 = 7 = 7 7 = -7 = 7² 7 3 =,7 <,7 >,7 = 3 8 9 7 = 9+7 = 9 7 = 9-7 = 9 7 9 = = - = = ( 7 ) ² = 4 = 8 = 98 = 96 4+5+49 = 4+5+49 = 78 = +5+7 = 8,8 8+ 50+ 98 = 66 = 5 = 3 = 5 EXERCICE. Parmi les écritures suivantes, lesquelles sont égales à 3 ; à 3? Lesquelles n ont pas de sens? Est égale à 3 Est égale à 3 N existe pas (- 3 ) ² ; -( 3 ) ² ; - 9 ; -3² ; (-3²) ; 3² ; -9 - (-3) ² Calculer lorsque cela est possible : 3²=. ; 37²=. ; =. ; -6= 36²=.. -( ) ²=. ; - ²=. ; 49=. ; 0,04=. ; 6 = 3 =.. 0,49=. ; 48 Donner la valeur décimale exacte ou approchée à 0,0 près par défaut de chacun des nombres suivants : = 3= 4= 5= 6= 7= 3= = 000= 0,75= 69= 5= 8= 09= 9 999=
EXERCICES 3 EME RACINES CARREES FICHE Compléter les égalités suivantes : a. 8 = = = ; b. 48 = 3 = 3 ; c. 44 = 4 =. EXERCICE. Calculer : t = ( 3 ) ² ; v = ( 7-4 ) ² + (-3 - ) ² ; u = (-3 5 ) ² ; w = ( - 3 ) ² + - ² Parmi les expressions suivantes, indiquer celles que l on peut écrire sans radical et, dans ce cas, effectuer les simplifications correspondantes : 6+ ; 3+ 3 ; 3²+( 3 ) ² ; ² + 3² ; ( 3-7 ) ² ; 5² ( 3 ) ² ; 5² + 4 ; ² 3². Exprimer le plus simplement possible : 7 8 ; 3 8 8 ; 5² ² ; 7 ; ( 3-5 ) ² ; 5² - ² ; ( - ) ² + ( 4 - ) ² ; ( 5² + ² ). EXERCICE 5. Calculer : c = 3 7 EXERCICE 6. 9 ; b = 5 8 ; d = 5 45 7 ; 50 5. Montrer que les nombres suivants sont des entiers : 3 96 ; b = 3 5 3 ; c = 7 4 ; d = 8 7². EXERCICE 7. Mettre les nombres suivants sous la forme a 3 où a 6 ; b = 5 5 ; c = 7 ; d = 7 ; e = 300 ; f = 5 3 4² ; EXERCICE 8. Mettre les nombres suivants sous la forme a 5 où a A = 5-3 5 + 75 ; B = 5 + 5 ; C = 0 + 45-80. EXERCICE 9. Mettre les nombres suivants sous la forme a où a A = 75-3 44 + 5 99 ; B = -5 76 + 5. EXERCICE. Mettre les nombres suivants sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit possible : 7 3² ; b = 3² ; c = 3² ; d = 4 ; e = 7 ; f = 6 ; g = 4 ; h = 45. EXERCICE. Simplifier les expressions suivantes : x = 64 + 5-000 ; y = 5 8 0. Ecrire les fractions suivantes avec un dénominateur entier le plus petit possible : 6 7 ; b = 75 5 ; c = 6 36 ; d = 0, ; e = 0 45 ; f = 8 8. EXERCICE 3. Ecrire les fractions suivantes sans radical au dénominateur : 3 ; b = 47 ; c = - 3 ; d = -8 5 3 ; e = 5 3 3 5 ; f = 4 4 ; g = - 5 6 ; h = 5 3 5 ; i = 75 3 ; j = 5 7. EXERCICE 4. Calculer, sans calculatrice : 43+ 3+ + 3+ 7+ 3+ ; 7 3 b = ; c = 3 9 6 ; d = ² 3 5 ; e = 3 3 6 ; f = 000 500 500.
EXERCICES 3 EME RACINES CARREES FICHE 3 Réduire, sans utiliser la calculatrice : 3 3+ 3+5 3-7 3 ; b = 5-5 5-4 5+3 5 ; c = - + - 7 - ; 3 d = 7 3 7. EXERCICE. Réduire, sans utiliser la calculatrice : 8+ 50-8+ 3 ; b = 50+3 6-5 8 ; c = 0+ 5-45+ 5 ; d = 5 +3 48-75. Développer et réduire les produits suivants : ( + 5 )( 3-5 ) ; b = ( 5+ 3 )( 5 - ) ; c = ( 6+ )( 3 - ) ; d = ( 3-5 )( 3-4 3 ). Développer et réduire les expressions suivantes : ( 3 + 7 5 )( 3-7 5 ) ; b = ( - 3 75 ) ² ; c = ( 3 - ) ² - ( 8 - ) ; d = ( - 3 3 )( 3 - ). EXERCICE 5. Développer et réduire les expressions suivantes : ( 4+5 ) ² + ( - 3 )( 3 +5 ) ; b = ( - 3 ) ² - ( 5+ )( 5 - ) ; c = ( 3+ ) - 3( +3 ) ; d = 3 ( 3 - ) ( - 3 ) + 3 3 ; EXERCICE 8. Recopier et compléter le tableau de proportionnalité : 3 3+ - 3 6 3 - Quel est le coefficient? EXERCICE 9. Un carré a pour aire 5 cm². Quelle est la longueur exacte de son côté? Quelle est la valeur exacte de son périmètre? EXERCICE. L aire d une sphère vaut 400 cm². Sachant que l aire d une sphère est donnée par la formule 4πR², quelle est la valeur exacte de son rayon? En donner l arrondi au milième. EXERCICE. Un carré est inscrit dans un cercle de 3 cm de rayon, quelle est la valeur de la longueur de ses côtés? Déterminer l aire du triangle ABC en utilisant la figure. EXERCICE 3. L unité de longueur est le cm. ABCD est un carré tel que AB = 6. On pose BE = DG = x et EG = l e = ( 7 - ) ²+( 7+ ) ² - ( 7+ )( 7 - ). EXERCICE 6. développer et réduire : ( + )( - ) = Que peut-on dire de ( + ) et ( - ) : EXERCICE 7. Le nombre ϕ = + 5 est appelé le nombre d or. Montrer que ϕ² = +ϕ.. Exprimer l en fonction de x.. Que vaut l quand : a) x = 0? ; b) x = 6? ; c) x =? EXERCICE 4. ABCDEFGH est un parallélépipède ectangle tel que : AB= cm, AD = 6 cm et AE = 8 cm. Calculer la valeur exacte de la longueur BH.