3 ème A - B - C Brevet blanc 1 de MATHÉMATIQUES Date : 23/01/2014 Durée : 2h Collège Blanche de Castille Coefficient : 3 Note sur : 40 Présentation : /4 Consignes : La présentation, l orthographe et la rédaction seront notés sur 4 points. Le sujet est composé de 8 exercices. Les exercices peuvent être traités dans l ordre de son choix. L usage de la calculatrice est autorisé (il est interdit de se les échanger) ainsi que les instruments usuels de dessin. L énoncé n est pas à rendre avec la copie. Exercice 1 : ( /5) Le graphique ci-contre représente la distance (en km) parcourue par un coureur à pied en fonction de la durée de parcours (en min). 1) Quelle légende peut-on écrire sur chaque axe? 2) a) Le coureur s est-il arrêté? Si oui, pendant combien de temps approximativement? b) Quelle distance a-t-il parcourue au bout de 5 min? c) Combien de temps a-t-il mis pour parcourir 4 km? 3) On note d la fonction qui à une durée t associe la distance d(t) parcourue au bout de cette durée. a) Quelle est l image de 10 par la fonction d? b) Quel est l antécédent de 6? 4) Calculer la vitesse moyenne du coureur, arrondie à 0,1 km/h, sur la totalité du parcours. Exercice 2 : ( /3) On considère l expression suivante : A = (4 x + 3)² (4 x + 3) (4 x 3) 1. Qu affiche la calculatrice pour x = 10 000 000? 2. Démontrer que pour tout nombre x, A = 6 (4 x + 3). 3. Le résultat affiché en 1. par la calculatrice était-il correct? Sinon, quel résultat aurait-elle dû trouver? p.1/3
Exercice 3 : ( /4,5) La copie d un écran ci-dessous montre le travail qu a effectué Camille à l aide d un tableur à propos des fonctions g et h définies par : g( x ) = 5 x ² + x 7 et h( x ) = 2 x 7. Elle a recopié vers la droite les formules qu elle avait saisi dans les cellules B2 et B3. 1) Donner un nombre qui a pour image 1 par la fonction g. 2) Écrire les calculs montrant que : g(-2) = 11. 3) Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3? 4) Déduire du tableau une solution de l équation 5 x ² + x 7 = 2 x 7 5) Résoudre l équation x (5 x 1) = 0 6) Bonus : L équation 5 x ² + x 7 = 2 x 7 a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur en 4)? Exercice 4 : ( /7,5) Isidore a regroupé ses notes en français de l année dans le tableau ci-dessous. Note 7 9 11 15 Effectif 2 1 3 3 1 Effectifs cumulés 1. Recopier et compléter le tableau. 2. Calculer sa note médiane. 3. Déterminer les premier et troisième quartiles. 4. Calculer la note moyenne d Isidore et calculer le pourcentage de ses notes supérieures à cette moyenne. 5. Indiquer les résultats qui permettent d affirmer : a) Si Isidore avait eu la même note à tous les contrôles de l année, cette note aurait été de 10,7. b) Au moins la moitié des notes d Isidore est comprise entre 9 et. c) La valeur 11 partage la série en deux sous-groupes de même effectif. d) Au plus, un quart des notes d Isidore est supérieur à. p.2/3
Exercice 5 : ( /3) A/ Effectuer le calcul ci-dessous et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : 2 2 1 A= 1 + 5 3 4 B/ Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète sera prise en compte. Un bijoutier vend des colliers en or et en argent. 1) Parmi les colliers en or, deux tiers sont en or jaune, un quart sont en or blanc et le reste en or rose. Calculer la proportion de colliers en or rose parmi les colliers en or. 2) Trois cinquièmes des colliers sont en argent et les autres en or. Calculer la proportion de colliers en or rose parmi l ensemble des colliers. Exercice 6 : ( /2,5) Pour les nouvelles technologies, l unité de stockage des informations est l octet. Par définition : 1 gigaoctet (Go) = 2 30 octets 1 téraoctet (To) = 2 40 octets La capacité mémoire d un baladeur MP3 est 8 Go. Grâce au progrès de la technologie, sa mémoire devrait doubler tous les six mois. Donner (en To) la capacité mémoire qu il aura dans 3 ans et demi. Écrire ce résultat en notation scientifique. Exercice 7 : ( /6,5) Des élèves participent à une course à pied. Avant l épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre. On convient que : les droites (AE) et (BD) se coupent en C. les droites (AB) et (DE) sont parallèles. ABC est un triangle rectangle en A. Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE. Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Exercice 8 : ( /4) Le collier ci-contre est constitué de deux sortes de boules, dont la plus grosse a un rayon de 1,2 cm. V 1 désigne le volume d une grande boule et V 2 le volume d une petite boule. 1. a) Calculer la valeur exacte de V 1. b) La grande boule est un agrandissement de rapport 4 de la petite boule. Calculer le rayon de la petite boule en mm. c) Par quel nombre doit-on multiplier V 1 pour obtenir V 2? 2. S il y a 20 boules de chaque sorte, quelle est la longueur minimale de ce collier? p.3/3
Correction du brevet blanc n 1-2014 Exercice 1 : ( /5) 1) Distance (en km) /0,5 2) a) Le coureur s est arrêté au bout de 20 minutes pendant environ 10 minutes. En effet sur le graphique la courbe est horizontale entre 20 et 30 minutes. b) Au bout de 5 minutes, il a parcouru 1 km. /0,5 c) Il a mis environ 32 minutes pour parcourir 4 km. /0,5 Durée du parcours ( en min ) /0,5 3) Soit d la fonction qui à une durée t associe la distance d(t) parcourue au bout de cette durée. a) L image de 10 par la fonction d est 2. /0,5 b) L antécédent de 6 par d est 35. /0,5 35 4) Il a parcouru 6 km en 35 min. Or 35 min = h. 60 d 6 60 On sait que v = d où v = = 6 10,3. t 35 35 60 La vitesse moyenne du coureur est donc d environ 10,3 km/h. Exercice 2 : ( / 3) A = (4 x + 3)² (4 x + 3) (4 x 3) 1) Si on prend x = 10 000 000, la calculatrice affiche 240 000 000 /0,5 2) Démontrons que pour tout x, A = 6 (4 x + 3) A = (4 x + 3)² (4 x + 3) (4 x 3) A = (4 x )² + 2 x 4 x x 3 + 3 ² - [ (4 x )² - 3² ] A = 16 x ² + 24 x + 9 ( 16 x ² - 9) A = 16 x ² + 24 x + 9 16 x ² + 9 A = 24 x + 18 soit A = 6 x 4 x + 6 x 3 donc A = 6 (4 x + 3) 3) Si x = 10 000 000 alors A = 6( 4 x 10 000 000 + 3 ) = 6 x 40 000 003 = 240 000 018. Donc le résultat trouvé par la calculatrice n est pas correct. Elle aurait dû afficher 240 000 018. /0,5 /2 Exercice 3 : ( /4,5) 1) D après le tableau, l image par g de 1 est 1. /0,5 2) g(-2) = 5 x (-2)²- 2 7 = 5 x 4 9 = 11. Donc on a bien g(-2) = 11. /0,5 3) Dans la cellule B3, Camille a saisi : = 2*B1-7. /0,5 4) Une solution de l équation 5 x ² + x 7 = 2 x 7 est 0. En effet, on a g(0) = h(0) = -7. / 1 Corr p.1/3
5) Résolvons x (5 x 1) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. Donc x = 0 ou 5 x 1 = 0 soit 5 x = 1 d où x = 5 1. L équation admet deux solutions : 0 et 5 1. /0,5 + 0,5 6) BONUS : 5 x ² + x 7 = 2 x 7 Soit 5 x ² + x 7-2 x + 7 = 0 soit 5 x ² - x = 0 d où x (5 x 1) = 0. On retrouve l équation précédente qui admet 0 et 5 1 comme solutions. Donc l équation 5 x ² + x 7 = 2 x 7 admet comme autre solution 5 1. Exercice 4 : ( / 7,5) 1) Note 7 9 11 15 Effectif 2 1 3 3 1 Effectifs cumulés 2 3 6 9 10 /0,5 2) L effectif total est 10 or 10 : 2 = 5 donc la médiane est la moyenne de la 5 ème et de la 6 ème valeur de la série. 11+11 Donc Me = = 11. 2 La médiane de cette série est 11. / 1 3) Détermination de Q 1 : 10 = 2,5 donc Q 1 est la 3 ème valeur de la série soit Q 1 = 9 4 Détermination de Q 3 : 3 x10 = 7,5 donc Q 3 est la 8 ème valeur de la série soit Q 3 = 4 4) Calcul de la note moyenne d Isidore : 7x2 + 9x1 + 11x3 + x3 + 15x1 m = = 10,7. La note moyenne d Isidore est 10,7. 10 Calcul du pourcentage de ses notes supérieures à cette moyenne. Il faut prendre en compte les notes 11, et 15. 3 + 3 + 1 x 100 = 70 10 Donc 70% de ses notes sont supérieures à la moyenne. /0,5 5) a) Si Isidore avait eu la même note à tous les contrôles de l année, cette note aurait été de 10,7 : On a utilisé la moyenne. /0,5 b) Au moins la moitié des notes d Isidore est comprise entre 9 et : On a utilisé le premier et le troisième quartiles c) La valeur 11 partage la série en deux sous-groupes de même effectif : Il s agit de la médiane. /0,5 d) Au plus, un quart des notes d Isidore est supérieur à : il s agit du troisième quartile. /0,5 Corr p.2/3
Exercice 5 : ( /3) 2 2 1 A / A = 1 5 + 3 4 2 A = 5 2 A = 5 2 1 A = 5 2 6 A = 1 30 1 8 + 3 B) 2/3 des colliers sont en or jaune, 1/4 sont en or blanc et le reste est en or rose donc la proportion de colliers en or rose est : 2 1 1 1 + soit 3 4 2) Trois cinquièmes des colliers sont en argent et les autres sont en or donc : 2 des colliers 5 sont en or. Or 1 des colliers en or sont en or rose (question B) donc la proportion de colliers en or rose parmi l ensemble des colliers est 2 5 1 = 1 (calcul du A/). 30 Exercice 6 : ( /2,5) 3 ans et demi correspondent à 7 cycles de 6 mois. /0,5 Donc la capacité mémoire qu aura le baladeur MP3 au bout de 3 ans et demi est de : 8 2 7 = 1024 Go soit 1024 2 30 1024 230 octets = 2 40 téraoctet soit 1024 2 30 40 = 1024 2-10 To,5 dont l écriture scientifique est 1 To. +0,5 Exercice 7 : ( /6,5) Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² soit BC² = 300²+400² = 250 000 donc BC = 250 000 = 500 m. /2 On considère les triangles ABC et CDE, B (CD), A (CE) et (AB) // (DE), donc d après le théorème de Thalès : CB CD = CA CE = AB ED d où CD = 500 1000 400 500 soit CD = 400 1000 = 300 ED = 50 m. et DE = 1000 300 400 = 750 m. /4 La longueur ABCDE du parcours est donc : AB+BC+CD+DE = 300 + 500 + 50 + 750 = 2800 m. /0,5 Exercice 8 : ( /4) 1. a) V 1 = 4 3 π R3 soit 4 3 π 1,23 = 2,304 π cm 3. b) Le rayon de la petite boule est 1,2/4 = 0,3 cm soit 3 mm. c) Pour obtenir V 2 il faut multiplier V 1 par le coefficient de réduction au cube soit (1/4) 3 soit 1/64 2. S il y a 20 boules de chaque sorte, alors la longueur minimale de ce collier est : 20 1,2 2 + 20 0,3 2 soit 60 cm. Corr p.3/3