THEME 14 (bis) : TRINGLE RETNGLE (2) ERLE IRNSRIT - MEINE Exercice n 1 : onstruis le triangle NMP rectangle en N, ainsi que son cercle circonscrit, sachant que MN = et PN = 4 cm. M Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. N 4 cm P Exercice n 2 : n considère un triangle. Le cercle 1 de diamètre [] coupe le segment [] en H. 1. Montre que les droites (H) et () sont perpendiculaires. 2. Montre que le cercle 2 circonscrit au triangle H a pour diamètre []. 1. Montre que les droites (H) et () sont perpendiculaires. n sait que : - [] est un diamètre du cercle 1. - H un point du cercle 1. r, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. onc H est un triangle rectangle en H et donc l angle H est droit onclusion : H est un triangle rectangle en H ercle 2 ercle 1 H 2. Montre que le cercle 2 circonscrit au triangle H a pour diamètre []. n sait que : H est un triangle rectangle en H (car (H) est perpendiculaire à (H) et le cercle 2 est circonscrit au triangle H. r, si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. onclusion : Le cercle 2 est un diamètre du de []
Exercice n 3 : Trace un cercle de centre I et de diamètre []. Soit un autre point de ce cercle, distinct de et de. 1. Quelle est la nature du triangle? 2. Que représente le segment [I] pour le triangle rectangle? 3. Que représente la longueur de [I] par rapport à la longueur de l hypoténuse []? justifier votre réponse. 4. Recopie et complète la phrase suivante. «ans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à» I 1. Nature du triangle n sait que : - [] est un diamètre du cercle. - un point du cercle. r, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. onclusion : est un triangle rectangle en 2. Représentation de segment [I] pour le triangle rectangle [I] représente la médiane issue de 3. Représentation de la longueur de [I] par rapport à la longueur de l hypoténuse []. I représente un rayon du cercle donc I = ½ 4. «ans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse» Exercice n 4 : ans chacun des cas suivants, calcul Figure 1 : n sait que : - est un triangle rectangle en ; - [] est la médiane issue de. Si un triangle est rectangle alors la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de l hypoténuse. onc : = ½ = 5 : 2 = 2,5. onclusion : = 2,5 cm. = 5 cm Figure 2 : n sait que : - est un triangle rectangle en ; - [] est la médiane issue de. Si un triangle est rectangle alors la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de l hypoténuse. onc : = ½ soit = 2 3 = 6 onclusion : = 6 cm.
Figure 3 : émontrons que est un triangle rectangle n sait que : - [] est un diamètre du cercle. - un point du cercle. r, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. onclusion : est un triangle rectangle en figure 3 alcul de n sait que : - est un triangle rectangle en ; - [] est la médiane issue de. Si un triangle est rectangle alors la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de l hypoténuse. onc : = ½ = 4 : 2 = 2. onclusion : = 2 cm. est le centre du cercle et = 4 cm Figure 4 : émontrons que est un triangle rectangle n sait que : - [] est un diamètre du cercle. - un point du cercle. r, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. onclusion : est un triangle rectangle en 4 cm 2 ) alcul de longueur du segment [] ans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a : ² = ² + ² ² = 4² + 3² ² = 16 + 9 ² = 25 = 5 onclusion: = 5 cm est le centre du cercle
Exercice n 5: Un cercle de centre a un diamètre [MP] tel que MP = 10 cm. n place un point N sur le cercle tel que MN = 6 cm. alcule l aire du triangle MNP. N 6 cm M 10 cm P 1 ) émontrons que MNP est un triangle rectangle n sait que : - [MP] est un diamètre du cercle. - N un point du cercle. r, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. onclusion : MNP est un triangle rectangle en N 2 ) alcul de longueur du segment [NP] ans le triangle MNP rectangle en N, d après le théorème de Pythagore, on a : MP² = MN² + NP² 10² = 6² + NP² NP² = 100 36 NP² = 64 NP = 8 onclusion: NP = 8 cm 3 ) alcul de l aire du triangle MNP. MN NP 6 8 n a : ire = = = 24 2 2 onclusion : l aire du triangle MNP est égale à 24 cm² Exercice n 6 ans un triangle, la hauteur issue de coupe () en H. émontre que le cercle de diamètre [] passe par H. n sait que : - H est un triangle rectangle en H car [H] est la hauteur issue de. - [] est un diamètre de son cercle circonscrit. après la propriété : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. onclusion : le point H appartient au cercle de diamètre []. H
Exercice n 7 : Soit un triangle tel que = 6 cm, = 8 cm et = 10 cm. La médiane issue de coupe [] en. alcule. 6 cm 10 cm émontrons la nature du triangle ans le triangle, on a : ² = 10 ² = 100 ² + ² = 6 ² + 8 ² = 36 + 64 = 100 omme ² = ² + ², alors d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. 8 cm alcul de n sait que : - est un triangle rectangle en ; - [] est la médiane issue de. Si un triangle est rectangle alors la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de l hypoténuse. onc : = ½ = 10 : 2 = 5. onclusion : = 5 cm. Exercice n 8: Soit un cercle de diamètre [MP] tel que MP = 10 cm, et un point N sur le cercle tel que MN = 6 cm. alcule l aire du triangle MNP. 1. émontrons que MNP est un triangle rectangle. n sait que : [ PM] est un diamètre du cercle et N un point de ce cercle. Si un triangle est inscrit dans un cercle et à pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse de ce triangle. onc : MNP est un triangle rectangle en N. 2. alcul de PM. n sait que MPN est un triangle rectangle en N. après le théorème de Pythagore, on a : MP² = MN ² + NP² 10² = 6² + NP² 100 = 36 + NP² NP² = 100 36 NP² = 64 NP = 64 NP = 8 onclusion : NP = 8 cm 3. alcul de l aire du triangle MNP. MN NP 6 8 48 n a : ire = = = = 24 2 2 2 onclusion : L aire du triangle MNP est égale à 24 cm ²