Triangles isométriques Triangles semblables - Agrandissements et réductions Homothéties 1 Triangles isométriques Triangles semblables Dire que deux triangles sont isométriques signifie que leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs angles sont égaux deux à deux. Remarque : Deux triangles sont isométriques si et seulement si l un est l image de l autre par une symétrie axiale, une symétrie centrale, une translation, une rotation ou une succession de telles transformations. (...c est à dire une isométrie, une transformation qui conserve les longueurs) Deux triangles sont semblables (on dit aussi qu ils ont la même forme) si leurs angles sont égaux deux à deux. Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels Remarque : Deux triangles isométriques sont semblables puisque leurs angles sont égaux, mais des triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques Liens entre triangles semblables et le Théorème de Thales et que MN<AB
Triangles isométriques Triangles semblables - Agrandissements et réductions Homothéties Exercices d application 2
Triangles isométriques Triangles semblables - Agrandissements et réductions Homothéties 3 Agrandissements et réductions On dit qu on agrandit une figure par un nombre k si on multiplie toutes les dimensions de cette figure par k. k est appelé coefficient d agrandissement. (k > 0) Il y a 2 cas de figures : 1 er cas : k > 1 On dit que la figure est agrandie. 1 cm 3 cm Ex : On a agrandi le carré par 3 (les longueurs des côtés ont été multipliées par 3 donc k=3 ) 2 ème cas : k < 1 On dit que la figure est réduite. 2 cm 1cm 4cm 2cm Ex : on a multiplié les dimensions du rectangle par 0,5 (k=0,5). 1) effets sur les angles : Ex : Construire un triangle ABC tel que AB=5cm ; AC=4cm et BC=3cm. Mesurer les 3 angles du triangles. Soit A B C l agrandissement de ABC avec k=1,5. Calculer les dimensions de A B C. Construire A B C. Mesurer ses angles. Propriété : Un agrandissement conserve les angles. 2) Effets sur les aires et les volumes : Distances Aires Volumes 1cm 1cm 2 1 cm 3 Agrandissement par 4
Triangles isométriques Triangles semblables - Agrandissements et réductions Homothéties 4 Propriété : Soit un agrandissement de coefficient k : Les aires sont multipliées par k 2. Les volumes sont multipliés par k 3. A = k 2 A V = k 3 V Exercices d applications : 1) Un triangle a une aire de 18,5 m 2. Quelle est l aire du triangle obtenu après un agrandissement de coefficient 3,7? 2) Un cône a une base de rayon 51cm et 32cm de hauteur. Quelle est le volume du cône ( V = 1 3 π r2 h ) obtenu après une réduction au tiers? 3) Une figure a une aire de 16,5 cm 2. Après transformation, elle a une aire de 103,125 cm 2. Estce une réduction ou un agrandissement? Quel est le coefficient? 4) On fait subir un agrandissement de coefficient 5 à une pyramide. La pyramide obtenue a un volume de 2000 cm 3. Quel était le volume de la pyramide de départ?
Triangles isométriques Triangles semblables - Agrandissements et réductions Homothéties Homothétie 5
Triangles isométriques Triangles semblables - Agrandissements et réductions Homothéties 6 Exercices Exercice 1 Un triangle A'B'C' rectangle en A' et d'aire 27 cm 2 est un agrandissement d'un triangle ABC rectangle en A et tel que AB = 3 cm et AC = 2 cm. Calculez les longueurs A'B' et A'C'. Exercice 2 Sur la figure ci-dessus, le rectangle AFEG est un agrandissement du rectangle ABCD. On admettra que les points A, C, E sont alignés et que (EF) // (CB) et (EG) // (CD). 1) Calculer la longueur de la diagonale [AC]. 2) Calculer les longueurs AF et AG. 3) Calculer l'échelle de l'agrandissement. Exercice 3 L aire du triangle ADE est 54 cm 2. B est le point de [AD] tel que, C est le point de [AE] tel que. 1. Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 2. Le triangle ABC est une réduction du triangle ADE. Quelle est l'échelle de la réduction? 3. Calculer l'aire du triangle ABC. Correction Exercice 1: Le triangle ABC a pour aire : (3 2) : 2 = 3 cm². Soit k le coefficient d'agrandissement pour passer de ABC à A'B'C'. D'où aire(a'b'c') = k² aire(abc). Soit 27 = k² 3 k² = 27/3 = 9 d'où k=3. A'B'C' est trois fois plus grand que ABC donc A'B' = 3 AB = 3 3= 9cm A'C'= 3 AC = 3 2=6cm Correction Exercice 3 : 1) Les points A,B,D et A,C,E sont alignés dans cet ordre. De plus : AB/AD =1/3 AC/AE = 1/3 Donc d'après la réciproque du Théorème de Thales, les droites (BD) et (CE) sont parallèles. 2) Comme AB = 1/3 AD l'échelle de la réduction est 1/3 3) Aire (ABC) =6 cm 2 Correction exercice 2 1) Dans le triangle ABC rectangle en C, on a d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 D'où AC=10 2) Les triangles ABC et AFE sont tels que : A,B,F et A,C,E sont alignés et (EF) // (CB). D'après le théorème de Thales, on a : AB/AF = AC/AE = BC/FE 8/AF =10/10+3 = 6/FE 8/AF = 10/13 10AF=8(13) AF = 104/10 = 10,4 10/13=6/FE 10FE= 6(13) FE =78/10 = 7,8 De plus, comme AFEG est un rectangle, ses côtés opposés sont égaux donc AG=EF=7,8cm. 3) L'échelle de l'agrandissement : AF : AB = 10,4 : 8 = 1,3. Le rectangle AFEG est 1,3 fois plus grand que ABCD.