Notes de cours Rappel : Les polygones, le périmètre et l aire 4.1 Le système international d unités (SI) 4.2 L aire d un triangle, d un rectangle et d un parallélogramme 4.3 L aire d un trapèze et d un losange 4.4 Le carré et la racine carrée d un nombre et l aire d un carré 4.5 L aire de polygones réguliers et de polygones décomposables Annexe A : Retour sur les formules d aire Nom : Groupe :
Rappel : Les polygones, le périmètre et l aire Le carré Le rectangle Le triangle Le trapèze Le losange Le pentagone L hexagone Le parallélogramme Périmètre Qu est-ce que c est : le périmètre mesure le CONTOUR d une figure. L'unité de mesure est l unité (m, cm, m, etc.) Exemples : Clôture d un terrain, le cadre d une photo, un ruban autour d un cadeau, des moulures installées dans le salon, etc. Aire L'aire mesure la surface. L'unité de mesure est le carré (m 2, cm 2, mm 2 ) Exemples : La peinture sur les murs, de la céramique au plancher, une surface à trouer, etc. 2
Les propriétés Référence : http://www.netmaths.net/docs#891fe7408 Exemples : 3
4.1 Le système international d unités (SI) Changement d unités Pour changer vos unités, vous pouvez utiliser une échelle les mettant en relation et vous permettant de déterminer où placer la virgule. IMPORTANT Vérifiez que vos unités soient toujours les mêmes dans une même figure. Démarche : Unités de longueur: mesures en une dimension km hm dam m dm cm mm Unités d aire: mesure en deux dimensions km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 4
Exemples : 1. Transforme les unités des mesures suivantes*. a) 20 m = cm b) 850 dm = cm c) 4560 cm 2 = m 2 d) 4,5 km 2 = m 2 e) 45 m 2 = cm 2 f) 0,65 dam 2 = dm 2 g) 34 200 cm = dam h) 3,25 hm = m i) 40 860 m 2 = hm 2 j) 540 mm 2 = dm 2 k) 4086 dm = hm l) 1,67 km = m * Aide-toi des échelles suivantes. x 10 x 10 x 10 km hm dam m dm cm mm 10 10 10 x 100 x 100 x 100 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 5 100 10 0 100
4.2 L aire d un triangle, d un rectangle et d un parallélogramme L aire d un triangle Formule : b x h A =, o ù b = base et h = hauteur 2 À noter : La hauteur et la base d un triangle sont toujours perpendiculaires Exemple : Trouve l aire de chacun des triangles suivants. a) b) 6
L aire d un rectangle Formule : Exemple : A = b h, o ù b = base et h = hauteur Trouve l aire de chacun des rectangles suivants. a) b) L aire d un parallélogramme Formule : A = b h, o ù b = base et h = hauteur La hauteur est le segment perpendiculaire qui joint les deux côtés parallèles Exemple : Trouve l aire de chacun des parallélogrammes suivants. a) b) 7
4.3 L aire d un trapèze et d un losange L aire d un trapèze Formule : A (B + b) h 2 = où B = grande base, b = petite base et h = hauteur Le trapèze possède deux bases qui sont parallèles deux à deux. La hauteur est le segment qui relie ces deux bases. Exemple : Trouve l aire de chacun des trapèzes suivants. a) b) 8
L aire d un losange Formule : Dd A = où D = grande diagonale et d = petite diagonale 2 Exemple : Trouve l aire de chacun des losanges suivants. a) b) 9
4.4 Le carré et la racine carrée d un nombre et l aire d un carré Le carré d un nombre Le carré d un nombre correspond au produit de deux facteurs égaux. EXPOSANT BASE 4² = 16 PUISSANCE 2 fois 4² est une autre façon d écrire: 4 x 4 Symboles possibles sur la calculatrice : Les bases peuvent être positives ou négatives. Exemples : 1. Identifie, pour chacune des expressions suivantes, la base, l exposant ainsi que la puissance. a) 3² = 9 Base : Exposant : Puissance : b) 2 4 = 16 Base : Exposant : Puissance : 2. Trouve la puissance de chacune des expressions suivantes. Exemple : 4 2 = 4 x 4 = 16 a) 3³ = = b) 10 4 = = c) 2 5 = = d) 5³ = = 10
La racine carré d un nombre RADICAL = 4 RACINE CARRÉE RADICANDE Exemple : 3 est la RACINE CARRÉE de 9, car 3 ² = 9 Donc, 9 = 3 À noter : Il est important de comprendre que tout nombre positif possède deux racines carrées, une positive et l autre négative. 100 = ± 10, car on sait que : 10 x 10 = 10² = 100 ET (-10) x (-10) = (-10)² = 100 ET Exemples : 25 = 49 = 20 = 132 = 11
L aire d un carré Formule Formule : A = c² où c = mesure du côté Exemple : Trouve l aire de chacun des carrés suivants. a) b) 12
4.5 L aire de polygones réguliers et de polygones décomposables Polygone régulier convexe RAPPEL Définition d un polygone : Figure géométrique plane, formée d une suite de segments, délimitant ainsi un contour fermé. Exemples : Voici des polygones : Ici, ce ne sont pas des polygones : Définition d un polygone convexe : Polygone dont toutes les diagonales sont situées à l intérieur de ce dernier. Exemples : Polygone convexe Polygone concave 13
Propriétés des polygones convexes Un polygone régulier convexe est un polygone qui répond aux contraintes suivantes : 1) Tous les côtés sont congrus 2) Tous les angles sont congrus 14
Noms des polygones réguliers Nombre de côtés (n) Nom du polygone régulier Dessin Somme des angles intérieurs Mesure de chaque angle intérieur 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15
Quelques énoncés sur les polygones réguliers La somme des angles intérieurs d un polygone est toujours égale à S = (n 2) 180 La somme des angles extérieurs d un polygone est de 360 La mesure d un angle au centre et d un extérieur est toujours la même Dans un polygone régulier, il y a autant axes de symétrie que de côtés L hexagone est le seul polygone régulier qui est formé de triangles équilatéraux 16
Le périmètre d un polygone régulier La définition d un polygone régulier facilite considérablement le calcul de son périmètre. En effet, dans un polygone régulier, tous les côtés sont isométriques. Par conséquent, on obtient le périmètre en multipliant le nombre de côtés par la mesure du côté. P = n c Exemples : a) Trouve le périmètre d un heptagone régulier dont la mesure du côté est de 5 m. b) Trouve la mesure du côté d un hexagone régulier dont le périmètre est de 72 mm. c) Quel polygone régulier a comme périmètre 150 dm et comme mesure de côté 30 dm? 17
L apothème d un polygone régulier L apothème d un polygone régulier est le segment reliant le centre d un polygone régulier au milieu d un des côtés de ce polygone. Exercice : Identifie l apothème dans chaque figure. 18
L aire d un polygone régulier A = c a Formule : 2 n où n = nombre de côtés c =mesure du côté a = apothème Exemples : Calcul l aire du polygone suivant en utilisant la formule de l aire. Exemples : a) Calcule l aire d un octogone régulier de 3 cm de côté et dont l apothème mesure environ 3,6 cm. Aire = b) Quelle est la surface occupée par un pentagone de 8 m de côté et dont l apothème est de 9 m? Aire = 19
L aire de polygones décomposables Pour calculer l aire d un polygone décomposable, on le décompose en polygones plus simples. Exemple : Calcul l aire des polygones suivants. a) Réponse : 20
Formes Exemples Périmètre Aire Le carré P = 4 c c = mesure du côté A = c² c = mesure du côté Le rectangle P = 2 (b + h) b = base h = hauteur A = b h b = base h = hauteur Le parallélogramme Le losange Le trapèze Le polygone régulier P = 2 (b + a) b = base a = côté adjacent P = 4 c c = mesure du côté P= B + b + a + d B = grande base b = petite base a = côté adjacent d = autre côté adj. P = n c n = nombre de côtés c = la mesure du côté A = b h b = base h = hauteur Dd A = 2 D = grande diagonale d = petite diagonale (B + b) h A = 2 B = grande base b = petite base h = hauteur c a n A = 2 c =mesure du côté a = apothème n = nombre de côtés Le triangle P = a + b + c b x h A = 2 b = base h = hauteur 21
Le cercle C = 2 π r r = rayon Formules de périmètre et aire A = π r² r = rayon 22