LA FACTORISATION 1 Thème 8: La factorisation 8.1 Introduction Introduction : La démarche permettant d exprimer un polynôme comme produit de facteurs est appelée la factorisation. On l utilise pour résoudre des équations, pour trouver les zéros d une fonction, pour esquisser rapidement des graphes de fonctions, pour simplifier, additionner et soustraire des fractions de polynômes, pour faire l étude graphique d une fonction rationnelle et dans de multiples autres situations. Exemple : Résoudre l équation du 2 ème degré : 2x 2 + 11x 21 = 0 a) à l aide de la formule b) à l aide de la factorisation Exercice 8.1: Dans un livre de mathématiques universitaires (A. Warusfel, Structures algébriques finies, 1971), on rencontre l égalité fausse suivante: x 5 + x + 1 = (x 3 + x 2 + 1)(x 2 + x + 1) Trouver l erreur typographique qui s est glissée dans cette ligne.
2 THÈME 8 Démarche : Nous allons maintenant nous concentrer sur les différentes méthodes de factorisation. Dans la deuxième partie de ce thème, nous appliquerons ces outils pour résoudre rapidement des équations de degré supérieur ou égal à deux et effectuer quelques esquisses de parabole. 8.2 1 ère méthode de factorisation : la mise en évidence facteur commun mise en évidence Modèle 1 : Lorsque chacun des termes d'un polynôme est divisible par un facteur commun, on peut écrire ce polynôme comme un produit. Pour ce faire, il suffit de diviser séparément chaque terme par le facteur commun, de placer le quotient entre parenthèses et le facteur commun en dehors de ces parenthèses. Factoriser 4x 2 6xy mise en évidence: Exercice 8.2: Factoriser les polynômes suivants: a) 24x 48x 2 y b) a 3 ab 2 c) 5a 3 a d) x 3 5x 2 y e) 16 48x f) 4x 3 8x 2 y +16xy g) 25x 3 y 5x 2 y 2 +10x 4 y 3 h) 16a 3 b 2 4a 2 b 3 +12ab 3 4 termes double mise en évidence Modèle 2 : Dans le cas des polynômes à 4 termes, il faut regrouper les termes deux par deux et effectuer une double mise en évidence. On l appelle également méthode des groupements. Factoriser 6x 2 3xy + 4 x 2y double mise en évidence: Factoriser 12a 3 3a 2 b 20a 2 + 5ab
LA FACTORISATION 3 Exercice 8.3: Factoriser les polynômes suivants: a) x 3 y x 2 y + 4xy 4 y b) 16a 3 b 2 4a 2 b 3 +12a 3b c) 6y 4 xy 15x +10x 2 d) 18a 2 30b + 6a 3 b 10ab 2 e) x 3 x 2 + x 1 f) 2x 3 4 x 2 + 4x 8 g) 3x 3 +12x 2 5x 20 h) 10xy 2 6x 3 + 5y 3 3x 2 y i) 10ax 2 +16ax +15x + 24 j) 2x 2 y 3 + 8y 3 5x 2 20 8.3 2 ème méthode de factorisation : trinôme du type x 2 + bx + c Exemple : Effectuer le calcul suivant : (x + 2)(x 5) = Que peut-on dire du coefficient des x? Que peut-on dire au sujet du dernier terme? Pour décomposer en facteurs un trinôme de la forme x 2 + bx + c on cherche 2 nombres dont la somme donne b et le produit c ; on exprime b comme somme de ces nombres ; on effectue une double mise en évidence ; Modèle 3 : Factoriser x 2 + 7x +10 factorisation d un trinôme: Modèle 4 : Factoriser x 2 x 20 factorisation d un trinôme:
4 THÈME 8 Exercice 8.4: Factoriser les trinômes suivants: a) x 2 + x 56 b) x 2 +11x + 30 c) x 2 13x + 42 d) x 2 2x 35 e) x 2 4x 96 f) x 2 + 21x + 90 g) x 2 8x +16 h) x 2 14x + 48 i) x 2 3x 28 j) 2x 2 28x + 98 k) x 2 4x 77 l) x 2 + 6x 72 8.4 3 ème méthode de factorisation : trinôme du type ax 2 + bx + c Exemple : Effectuer le calcul suivant : (3x + 2)(2x 5) = Que peut-on dire du coefficient des x? Que peut-on dire au sujet du produit des 2 autres coefficients? Pour factoriser un trinôme de la forme ax 2 + bx + c on cherche deux nombres qui additionnés donnent b et qui multipliés donnent a c ; on exprime b comme somme de ces nombres ; on effectue une double mise en évidence ; Modèle 5 : Factoriser 3x 2 + 23x +14 factorisation d un trinôme:
LA FACTORISATION 5 Modèle 6 : Factoriser 30x 2 154 x + 20 factorisation d un trinôme: Exercice 8.5: Factoriser les trinômes suivants: a) 2x 2 + 9x 35 b) 2x 2 x 21 c) 3x 2 + 23x 36 d) 4x 2 24x + 35 e) 6x 2 x 77 f) 6x 2 31x 77 g) 5x 2 + 37x 24 h) 10x 2 + 46x 84 i) 6x 2 +19x 20 j) 6x 2 15x 54 k) 12x 2 + 26x +12 l) 6x 2 + 37x + 56 8.5 4 ème méthode: somme et différence de 2 carrés, de 2 cubes. À connaître par coeur a 2 + b 2 n'est pas factorisable a 2 b 2 =(a +b)(a b) Modèle 7 : Factoriser 4x 2 9y 2 différence de 2 carrés: Modèle 8 : Factoriser 81x 4 y 2 36y 4 différence de 2 carrés:
6 THÈME 8 connaître leur existence a 3 + b 3 =(a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 =(a b)(a 2 + ab + b 2 ) Modèle 9 : Factoriser 125x 3 216 différence de 2 cubes: Exercice 8.6: Factoriser les polynômes suivants: a) x 2 16 b) 4x 2 49 c) a 2 64 d) 9a 2 16b 2 e) x 3 + y 3 f) 27x 3 8y 3 g) 8x 3 y 6 + 216x 3 y 3 h) 1 x 3 i) a 4 b 4 j) 16a 4 81y 4 k) a 2 b 2 + 1 l) a 4 b 4 1 8.6 5 ème méthode: utilisation des identités (dans les 2 sens). Modèle 10 : Développer (2x + 3) 3 Exercice 8.7: Exercice 8.8: Développer a) (a + b) 2 b) (a b) 2 c) (a + b) 3 d) (a b) 3 En utilisant les formules apparues ci-dessus, développer a) ( 2x + 5) 2 b) ( 1 7x) 2 c) ( x + 2) 3 d) y 2x ( ) 3 ( ) 3 f) ( 4a + 3b) 3 e) 3x 5
LA FACTORISATION 7 Un truc pour épater la galerie : Calculer mentalement 32 2 Exercice 8.9: Calculer mentalement a) 73 2 b) 101 2 c) 99 2 d) 18 22 e) 31 49 Jacques Inaudi était pâtre lorsque la passion des chiffres le prit à 6 ans (affiche de 1878) Les carrés parfaits : a 2 + 2ab + b 2 =(a + b) 2 À connaître par coeur a 2 2ab + b 2 =(a b) 2 Modèle 11 : Factoriser 9x 2 +12xy + 4y 2 un carré parfait: Exercice 8.10: Factoriser, si possible, les polynômes suivants: a) x 2 10x + 25 b) x 2 + 20x +100 c) x 2 18x + 81 d) x 2 +15x + 64 e) 4x 2 + 4ax + a 2 f) 9x 2 6xy y 2 Les cubes parfaits : a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 =(a + b) 3 connaître leur existence a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 =(a b) 3
8 THÈME 8 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 =(a + b) 3 a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 =(a b) 3 Modèle 12 : Factoriser x 3 + 9x 2 + 27x + 27 un cube parfait: Exercice 8.11: Factoriser, si possible, les polynômes suivants: a) x 3 3x 2 + 3x 1 b) 8x 3 +12x 2 + 6x +1 c) 3x 3 27x 2 + 81x 81 d) x 3 + 9x 2 + 6x + 27 e) x 3 + 6x 2 +12x + 8 f) x 3 + 9x 2 + 3x + 27
LA FACTORISATION 9 8.7 Un pot-pourri (ou comment repérer la démarche avant de s y lancer) Exercice 8.12: On considère les polynômes suivants: a) x 2 + 5x 84 b) x 2 +12x + 36 c) 2x 2 11x 63 d) 15x 2 15 e) x 3 3x 2 + 4x 12 f) 2a 2 4a 3 g) ( a 1) 3 ( a 1) 2 ( a + b) h) ax + y + ay + x i) 162 2x 2 j) x 4 2x 2 +1 k) x 5 x l) 6x 2 + 7x 3 m) 4x 2 +1 n) 8x 3 +1 o) 5x 2 5x 150 p) a 2 + b 2 + 2ab c 2 q) 9a 2 24ab +16b 2 36c 2 1) Regrouper, dans le tableau ci-dessous, les polynômes en fonction de la ou les méthode(s) de factorisation à utiliser. Méthodes : mise en évidence Données trinôme du type x 2 + bx + c trinôme du type ax 2 + bx + c somme ou diff. de 2 ou 3 identités ( ± ) 2 ou 2) Factoriser ces polynômes Exercice 8.13: Compléter les égalités avec des nombres entiers positifs et, dans chaque cas, donner toutes les possibilités: a) (x + )(x + ) = x 2 + 6x + b) (x + )(x + ) = x 2 + 7x + c) (x )(x ) = x 2 4x + d) (x )(x ) = x 2 8x + e) (x )(x + ) = x 2 + x f) (x )(x + ) = x 2 2x
10 THÈME 8 8.8 Une première application : la résolution d équations Comme nous l avons vu dans l exemple d introduction, la factorisation d une équation du 2 ème degré permet de la résoudre plus rapidement que la fameuse formule. La factorisation permet également la résolution d équations de degré supérieur à 2 pour lesquelles, nous n avons pas de formule miracle. Modèle 13 : Résoudre l équation 2x 2 + 7x = 4 résolution par factorisation: Modèle 14 : Résoudre l équation x 2 (x 2) + 5 = 5(3x + 1) résolution par factorisation: En résumé : Pour résoudre de nombreuses équations, il suffira de factoriser son expression et d utiliser la règle du produit nul : Le produit a b = 0, si et seulement si a = 0 ou b = 0. Cette règle se généralise à un nombre quelconque de facteurs, par exemple : Le produit a b c = 0, si et seulement si a = 0, b = 0 ou c = 0. La méthode de résolution d équation par factorisation est résumée ci-dessous : Écrire l'équation sous la forme: = 0. Factoriser. Résoudre l égalité à zéro de chaque facteur.
LA FACTORISATION 11 Modèle 15 : Résoudre l équation 2x 2 x = 2 x 3 résolution par factorisation: Exercice 8.14: Résoudre les équations suivantes: 1) x(x + 3) = 0 2) x 2 x = 0 3) 3x 2 = 4x 4) 0 = 1 4x 2 5) x 2 + 5x + 6 = 0 6) 3(x 2) = (x 2) 2 7) (x + 1)(x 2 4) = 3(x 2)(x + l) 8) x 3 x 2 = 0 9) 4x 2 + 1 = 0 10) x 2 x 6 = 0 11) x 3 + x 2 = 4x + 4 12) (x 2) 2 9(x 2) = 0 13) x 4 5x 2 + 4 = 0 14) (x l)(x 2) = 0 15) (2x 7)(x 2)(3x 8) = 0 16) x 2 9 = 0 17) x 2 + x = 0 18) 9x 2 (2x + 5) 2 = 0 19) (x 1)(x 2 1) = 0 20) x 2 7x + 10 = 0 21) x 4 + 15x 2 8 = 8 22) 2x 2 + 5x + 2 = 0 23) 3x 2 13x + 14 = 0 24) 2(x 2 9) = x + 3 25) (5x 3)(x + 1) = 7(x + 1) 26) 0 = (x l)(x + 2) 27) 3(x l) + (x 1)(x 2) + 2 = 2x 28) x 2 + l = 2x 29) 4x 3 36x = 0 30) x 3 + 2x 2 x 2 = 0 31) 4(x 3) = x 2 9 32) x 3 3x 2 + 3x 1 = 0 33) x 2 9 = 0 34) x 2 3x = 0 35) x 5 2x 4 = x 2 36) 3x 3 + 2x 2 3x 2 = 0 37) (x 4) 2 16 = 0 38) x 3 2x 2 3x = 0 39) (x 1)(2x 2 + 3x)(3x 4) = 0 40) 0 = x(x 1)(x 2) 41) (4 x) 3 = 0 42) 7x 2 = 4x 43) x 2 + 2x + 1 = 0 44) x 2 x 6 = 0 45) x 2 + 4x + 3 = 0 46) x 8 + 9x 4 10 = 0 47) 6x 2 + 55x 50 = 0 48) 4x 3 4x 2 + x = 0 49) 5(x 2 2x + 1) = 4(x 2 1) 50) 3(x 3 + 8) = (x + 2) 3
12 THÈME 8 8.9 Une deuxième application : les esquisses rapides de fcts quadratiques Introduction : Dans le chapitre 5, nous avons déjà eu l occasion d esquisser des paraboles en recherchant ses zéros à l aide de la formule. Appliquons une démarche comparable à l aide de la factorisation. Modèle 16 : Esquisser la fonction f (x) = 2x 2 x +1 esquisse d une fonction du 2 ème degré: Exercice 8.15: Exercice 8.16: À l aide de la factorisation, esquisser les 4 fonctions suivantes. Si vous n arrivez pas à factoriser, utilisez alors la formule. a) f (x) = x 2 x 6 b) f (x) = 12x 2 13x + 35 c) f (x) = 3x 2 2x d) f (x) = 5x 2 + 4 x +10 Retrouver les fonctions quadratiques dont voici les représentations graphiques : y y -3 2 x -3 2 x -6-12 a) b) y y -5/2 2/3 x 3-10 -3/2 1/4 x c) d)
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