Angle inscrit et angle au centre Géométrie Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : angle inscrit dans un cercle (reconnaissance d un angle inscrit) Exercice 2 : arc de cercle intercepté par un angle inscrit Exercice 3 : angles interceptant un même arc de cercle Exercice 4 : propriétés de l angle inscrit (angles inscrits interceptant le même arc de cercle) Exercice 5 : angle au centre (représentation d un angle au centre) Exercice 6 : relation entre angle inscrit et angle au centre Exercice 7 : bissectrice d un angle inscrit Exercice 8 : triangle rectangle isocèle inscrit dans un cercle et angle au centre de 90 Exercice 9 : reconnaissance d un polygone régulier Exercice 10 : construction d un dodécagone régulier Exercice 11 : aire d un octogone régulier connaissant le rayon du cercle circonscrit Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com 1
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Dans chacun des quatre cas suivants, préciser si l angle est inscrit ou non dans le cercle. 1) 2) 3) 4) Correction de l exercice 1 Retour au menu Rappel : Angle inscrit Dans un cercle, un angle inscrit est un angle : dont le sommet est un point du cercle dont les côtés coupent le cercle en des points distincts du sommet Dans l exemple ci-contre, l angle est un angle inscrit dans le cercle de centre. En effet, le sommet de l angle appartient au cercle et les côtés et de l angle coupent respectivement le cercle et, points distincts du sommet. 2
1) Le point (sommet de l angle ) n appartient pas au cercle. Par conséquent, l angle n est pas inscrit dans le cercle. 2) Le point (sommet de l angle ) appartient au cercle. De plus, et désignent deux cordes du cercle. Par conséquent, l angle est inscrit dans le cercle. Rappel : Une corde d'un cercle est un segment qui joint deux points de ce cercle. 3) Le point (sommet de l angle ) est situé sur le cercle. De plus, les côtés et de l angle coupent le cercle en deux points distincts du sommet. Par conséquent, l angle est inscrit dans le cercle. 4) Le point (sommet de l angle ) est situé sur le cercle. De plus, Or, le côté sommet. est une corde du cercle. ne coupe pas le cercle en un point distinct du Par conséquent, l angle n est pas inscrit dans le cercle. 3
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Dans chacun des quatre cas suivants, préciser si le point inscrit. appartient à l arc de cercle intercepté par l angle 1) 2) 3) 4) Correction de l exercice 2 Retour au menu 1) L angle intercepte le petit arc de cercle bleu. Or, n appartient pas à ce petit arc de cercle. Par conséquent, n appartient pas à l arc de cercle intercepté par l angle. 4
2) L angle intercepte le petit arc de cercle bleu. De plus, appartient à ce petit arc de cercle. Par conséquent, l angle. appartient à l arc de cercle intercepté par 3) L angle intercepte le grand arc de cercle bleu. De plus, appartient à ce grand arc de cercle. Par conséquent, l angle. appartient à l arc de cercle intercepté par Remarque : Un petit arc de cercle se note arc de cercle se note. alors qu un grand 4) L angle est bien un angle inscrit car est situé sur le cercle et les côtés et coupent le cercle en deux points distincts, à savoir respectivement en et en. L angle intercepte donc le petit arc de cercle bleu. De plus, appartient à ce petit arc de cercle. Par conséquent, l angle. appartient à l arc de cercle intercepté par 5
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Pour chacun des quatre cercles ci-dessous, préciser si les angles vert et bleu interceptent le même arc de cercle. 1) 2) 3) 4) Correction de l exercice 3 Retour au menu 1) L angle vert intercepte le grand arc de cercle vert. L angle bleu intercepte le grand arc de cercle bleu. Les angles et interceptent donc le même arc de cercle. 6
2) L angle vert intercepte le grand arc de cercle vert contenant le point. L angle bleu intercepte le grand arc de cercle bleu ne contenant pas le point. Les angles et n interceptent donc pas le même arc de cercle. 3) L angle vert intercepte le grand arc de cercle vert. L angle bleu intercepte le grand arc de cercle bleu. Les angles et interceptent donc le même arc de cercle. 4) L angle vert intercepte le grand arc de cercle vert. L angle bleu intercepte le grand arc de cercle bleu. Les angles et interceptent donc le même arc de cercle. Remarque : L angle est noté avec un chapeau renversé car il s agit d un angle rentrant, c est-à-dire d un angle dont la mesure est comprise entre 180 et 360. (voir exercice 5) 7
Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen Dans la figure ci-après, les cercles et sont sécants en et. Les droites et se coupent en. 1) Démontrer que. 2) Démontrer que. 3) En déduire que. Correction de l exercice 4 Retour au menu Rappel : Angles inscrits interceptant le même arc de cercle Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ces deux angles sont de même mesure. 1) Démontrons tout d abord que. Dans le cercle, les angles inscrits et interceptent le même petit arc de cercle. Par conséquent, il vient l égalité suivante :. 8
2) Démontrons désormais que. Dans le cercle, les angles inscrits et interceptent le même petit arc de cercle. Par conséquent, on obtient l égalité suivante :. 3) Montrons que. Dans un triangle, la somme des angles est égale à. En particulier, dans le triangle, on a l égalité suivante :. De plus, dans le triangle, on a l égalité suivante :. Comme, d après la première question, et comme, d après la seconde question,, il résulte que. 9
Exercice 5 (1 question) Niveau : facile, et sont trois points distincts d un cercle de centre. Représenter tous les angles au centre formés par ces points. Correction de l exercice 5 Retour au menu Rappel : Angle au centre Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Traçons tout d abord un cercle de centre puis plaçons sur ce cercle les points, et. Représentons ensuite tous les angles au centre ainsi formés. 10
On remarque qu avec 3 points distincts d un cercle il est possible de représenter 6 angles au centre : un angle saillant un angle saillant un angle saillant et un angle rentrant et un angle rentrant et un angle rentrant Rappel : Angle saillant et angle rentrant Un angle est dit saillant lorsqu il est plus petit qu un angle plat, c est-à-dire lorsque sa mesure est comprise entre 0 et 180. Un angle saillant est noté avec le chapeau. Un angle est dit rentrant lorsqu il est plus grand qu un angle plat, c est-à-dire lorsque sa mesure est comprise entre 180 et 360. Un angle rentrant est noté avec le chapeau renversé. 11
Exercice 6 (4 questions) Niveau : moyen Le point est le centre du cercle de diamètre auquel appartiennent les points et. L angle mesure. 1) Préciser la mesure de l angle. 2) En déduire la mesure de l angle. 3) Calculer la mesure de l angle. 4) Calculer la mesure de l angle. Correction de l exercice 6 Retour au menu 1) Commençons par préciser la mesure de l angle. Rappel : Réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle Si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre le côté, alors le triangle est rectangle en. Le point est situé sur le cercle de diamètre donc, d après la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle, le triangle est rectangle en. Il vient par conséquent que. 12
2) Calculons désormais la mesure de l angle. Dans un triangle, la somme des angles est égale à. Ainsi, dans le triangle, on a l égalité suivante :. Autrement dit, on a l égalité :. Or, d après l énoncé précédente. et d après la question Donc, en remplaçant par les mesures connues, on obtient :. L angle mesure. 3) Calculons dorénavant la mesure de l angle. Les angles et interceptent le même arc de cercle, à savoir le petit arc de cercle bleu. Or, les angles et sont deux angles inscrits dans le cercle. Donc ils sont de même mesure. Finalement,. L angle mesure. 4) Calculons enfin la mesure de l angle. Rappel : Angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l angle au centre est le double de la mesure de l angle inscrit. 13
Les angles et interceptent le même arc de cercle, à savoir le petit arc de cercle. Or, l angle est un angle inscrit dans le cercle et l angle est un angle au centre. Donc la mesure de l angle au centre mesure de l angle inscrit. est le double de la Ainsi,. L angle mesure. Finalement, on a la figure ci-après : 14
Exercice 7 (2 questions) Niveau : moyen On a représenté ci-contre le cercle circonscrit à un triangle équilatéral. est un point de l arc. 1) Déterminer la mesure des angles et. 2) Qu en déduit-on pour la droite? Correction de l exercice 7 Retour au menu 1) Déterminons la mesure des angles et. Le triangle est un triangle équilatéral donc chacun de ses angles, et mesure. De plus, le triangle est inscrit dans un cercle donc les angles, et sont des angles inscrits dans le cercle. Enfin, comme est également un point du cercle distinct des points, et, est un angle inscrit dans le cercle. Les angles et sont donc des angles inscrits dans le même cercle qui interceptent le même arc de cercle. Par conséquent, ils sont de même mesure. Autrement dit,. De même, on peut noter que est un angle inscrit dans le cercle et que cet angle intercepte le même arc que l angle inscrit, à savoir l arc de cercle. Il vient donc que et sont de même mesure. Autrement dit,. Finalement, les angles et mesurent tous les deux. 15
2) D après ce qui précède,. Rappel : Angles adjacents Deux angles adjacents et sont deux angles qui : ont le même sommet Sommet commun ont un côté commun se situent de part et d autre de ce côté commun Côté commun Or, les angles et sont deux angles adjacents. Par conséquent, la droite est la bissectrice de l angle inscrit. 16
Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen, et sont trois points d un cercle de centre tels que. Préciser la nature du triangle. Remarque : Préciser la nature d un triangle, c est préciser s il est isocèle, équilatéral, rectangle, isocèle rectangle ou quelconque. Correction de l exercice 8 Retour au menu, et sont trois points du cercle de centre. Ainsi, est un angle inscrit dans le cercle et est un angle au centre de ce même cercle. En outre, l angle inscrit et l angle au centre interceptent le même arc de cercle, à savoir l arc. Par conséquent,. On en déduit dans un premier temps que le triangle rectangle en. est Enfin, comme les points et sont situés sur le cercle de centre, il vient que. On en déduit dans un second temps que le triangle également isocèle en. est En définitive, le triangle est rectangle isocèle en. 17
Exercice 9 (1 question) Niveau : facile Pour chacune des figures ci-dessous, préciser le nom du polygone et s il s agit ou non d un polygone régulier. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Correction de l exercice 9 Retour au menu 1) Rappel : Polygone régulier et mesures de longueurs et d angles Un polygone est régulier lorsque ses côtés ont tous la même longueur et ses angles ont tous la même mesure. D après le codage,. Le quadrilatère possède donc 4 côtés de même mesure. On en déduit dans un premier temps qu il s agit d un losange. De plus, le losange possède un angle droit. On en déduit qu il s agit d un carré. Or, un carré possède quatre angles droits et tous ses côtés ont la même longueur. 18
Par conséquent, le carré est un polygone régulier. 2) Rappel : Angle aigu et angle obtus Un angle aigu est un angle saillant dont la mesure en degrés est comprise entre 0 et 90. Un angle obtus est un angle saillant dont la mesure en degrés est comprise entre 90 et 180. D après le codage,. Le quadrilatère possède donc 4 côtés de même mesure. On en déduit dans un premier temps qu il s agit d un losange. Les angles ne sont pas de même mesure puisque l angle est un angle obtus alors que l angle est un angle aigu. Par conséquent, le losange n est pas un polygone régulier. Remarque importante : Le carré est l unique polygone régulier à 4 côtés. 3) D après le codage,. On en déduit donc dans un premier temps que le triangle est isocèle en. En outre, l angle mesure. Or, tout triangle isocèle dont l un des angles mesure est équilatéral. On en déduit que est un triangle équilatéral. Or, un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois angles de même mesure et dont tous les côtés ont la même mesure. Par conséquent, le triangle équilatéral est un polygone régulier. Remarque importante : Le triangle équilatéral est l unique polygone régulier à 3 côtés. 4) est un polygone à 5 côtés. Il s agit donc d un pentagone. D après le codage de la figure, tous les côtés du pentagone sont de même mesure. Toutefois, les angles de ce pentagone ne sont pas tous de même mesure puisque deux angles sont aigus (en l occurrence les angles et ) et les trois autres angles sont obtus. Par conséquent, le pentagone n est pas un polygone régulier. 5) Le polygone a 8 côtés. Il s agit donc d un octogone. Or, tous les côtés de cet octogone sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. Par conséquent, l octogone est un polygone régulier. 19
6) Rappel : Polygone régulier et cercle circonscrit Un polygone est régulier lorsqu il est inscrit dans un cercle et ses côtés ont tous la même longueur. est un polygone à 5 côtés. est donc un pentagone. Or, chacun des sommets de ce pentagone appartient à un même cercle. Autrement dit, cercle. est inscrit dans un De plus, d après le codage, tous les côtés de ce pentagone sont de même mesure. Par conséquent, le pentagone est un polygone régulier. 20
Exercice 10 (2 questions) Niveau : moyen Un dodécagone est un polygone à 12 côtés. 1) Déterminer la mesure des angles au centre d'un dodécagone régulier. 2) Construire un dodécagone régulier de centre et de côté 3 cm. Correction de l exercice 10 Retour au menu 1) Déterminons la mesure des angles au centre d'un dodécagone régulier. Rappel : Angle au centre d un polygone régulier Dans un polygone régulier à côtés, tous les angles au centre sont de même mesure, à savoir de mesure. Un dodécagone régulier est un polygone régulier à 12 côtés. Comme tout polygone régulier, un dodécagone régulier est donc inscrit dans un cercle. Chaque angle au centre mesure alors, c est-à-dire. Les angles au centre d'un dodécagone régulier mesurent tous. 2) Construisons un dodécagone régulier de centre. Explications de la construction : Un dodécagone régulier se compose de 12 triangles isocèles en tous isométriques (c est-à-dire ayant les longueurs de leurs côtés deux à deux égales), tel que est le centre du cercle circonscrit à ce dodécagone régulier. En effet, les 12 points du cercle sont à équidistance du centre. et les angles au centre sont de même mesure Etape 1 : Commençons par tracer un segment tel que. Les points et sont situés sur le cercle de centre, circonscrit au dodécagone régulier donc. Ainsi, et est isocèle en. Il s ensuit immédiatement que. 21
Comme la somme des angles dans un triangle est égale à, on a. En remplaçant dans cette égalité par sa mesure et par, il vient alors que. Finalement,, d où. Il convient donc de représenter les angles et de mesure. Les demi-droites et sont alors concourantes en, centre du cercle circonscrit au dodécagone régulier. Etape 2 : Une fois tracé le triangle isocèle en, on trace le cercle de centre et passant par et. En effet, tout polygone régulier étant inscrit dans un cercle, les sommets du dodécagone régulier appartiennent au cercle de centre et passant par et. 22
Etape 3 : Afin d obtenir les 10 autres sommets du dodécagone (que l on appellera alors d opter pour l une des 2 variantes de construction suivantes : ), il suffit - Méthode 1 : tracer à l aide d un rapporteur les 11 autres angles au centre de mesure (voir figure n 1) puis relier les sommets consécutifs (voir figure n 2) - Méthode 2 : pointer successivement le compas sur le dernier point du cercle obtenu et reporter sur le cercle à l aide d un compas la mesure d un côté du dodécagone, à savoir (voir figure n 3) puis relier les sommets consécutifs (voir figure n 2) Remarque : La seconde méthode reste à privilégier dans la mesure où les autres points du dodécagone régulier s obtiennent ainsi plus facilement. 23
Figure n 1 Figure n 2 24
Figure n 3 25
Exercice 11 (7 questions) Niveau : difficile Première partie : Soit un triangle rectangle isocèle en tel que. 1) Calculer la valeur exacte de et la valeur exacte de. 2) En déduire que. Deuxième partie : Soit un octogone inscrit dans un cercle de centre et de rayon cm. est le pied de la hauteur du triangle issue de. 1) Construire la figure. 2) Calculer la valeur exacte de la longueur. 3) En déduire la valeur exacte de la longueur. 4) Calculer la valeur exacte de la longueur. 5) Calculer la valeur exacte, puis la valeur approchée à près, de l aire de l octogone. Correction de l exercice 11 Retour au menu Première partie : 1) Calculons la valeur exacte de et celle de. Rappel : Cosinus d un angle aigu et sinus d un angle aigu Soit un triangle rectangle en. côté opposé à l angle aigu hypoténuse Le cosinus de l angle aigu est noté et : Le sinus de l angle aigu est noté et : côté adjacent à l angle aigu est un triangle isocèle en tel que. Par conséquent,. 26
De plus, le triangle est rectangle en. Donc, d après le théorème de Pythagore, on a l égalité :. Il vient alors que. Enfin, comme est rectangle en, on a : Echelle 2 :1 2) Montrons que. est un triangle rectangle isocèle en donc et. Or, dans un triangle, la somme des angles est égale à donc, c est-à-dire. Il vient alors que, c est-à-dire. Finalement,. Or, d après la première question, donc, comme,. Deuxième partie : 1) Avant de construire la figure, explicitons la démarche de construction de l octogone. L octogone est inscrit dans un cercle de centre. Par conséquent, est un octogone régulier de centre. Or, un octogone régulier est un polygone régulier à 8 côtés. Ses angles au centre mesurent donc, c est-à-dire. Pour tracer, il faut donc suivre les étapes suivantes : tracer un cercle de centre et de rayon cm tracer un angle où est un point du cercle utiliser le compas afin de prendre l écart entre les sommets consécutifs et de l octogone reporter cet écart en mettant la pointe du compas sur et en traçant un demi-arc de cercle ; ce demi-arc de cercle coupe le cercle de centre en répéter les 2 étapes précédentes 5 fois afin d obtenir successivement les points,,, et tracer la perpendiculaire à passant par placer le point d intersection entre et la perpendiculaire passant par relier les sommets consécutifs de l octogone Figure à l échelle 1,5 : 1 27
2) Calculons la valeur exacte de la longueur. est le pied de la hauteur du triangle issue de. Par conséquent, le triangle est rectangle en. est un angle au centre du cercle de centre donc. De plus, comme,. Enfin, est un rayon du cercle donc. On a donc. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient. Finalement, il vient que. Or, la première partie a permis d établir que donc. Le segment mesure donc 1 cm. 3) Calculons la valeur exacte de la longueur. donc, c est-à-dire. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient. Le segment mesure donc cm. 4) Calculons la valeur exacte de la longueur. On a montré que le triangle est rectangle en. On a donc. En remplaçant par les valeurs connues, on obtient. Finalement, il vient que. Or, la première partie a permis d établir que donc. Le segment mesure donc 1 cm. Remarque : On peut également obtenir ce résultat en utilisant le théorème de Pythagore, appliqué au triangle rectangle en. En effet,, c est-à-dire. En remplaçant par les valeurs connues,. Il vient alors que cm. 5) Calculons l aire de l octogone régulier. L octogone régulier se compose des 8 triangles adjacents,,,,,, et, tous isométriques. Par conséquent, l aire de l octogone est plus fois plus grande que l aire du triangle isocèle. 28
Il s ensuit que : Rappel : Aire d un triangle L aire d un triangle de base et de hauteur est donnée par la formule : 29