Matrices et applications linéaires notes de cours Licence Sciences et Technologies, L1, M 2 H Le Ferrand, leferran@u-bourgognefr March 27, 2007 Contents 1 L application x Ax 2 11 Linéarité 2 12 Coordonnées 2 13 Noyau 2 14 Image 2 15 Matrice inversible 2 2 Applications linéaires 3 21 Définition et exemples 3 22 Opérations 4 221 Somme 4 222 Produit par un scalaire 4 223 Composition (ou produit 4 23 Isomorphismes 4 24 Thérorème du rang version 3 5 3 Matrices et endomorphismes en dimension finie 5 31 Détermination d une application linéaire 5 32 Matrice d un endomorphisme de V, dim V = n 5 321 Définition 5 322 Calcul de u(x 6 33 Lien avec les opérations 6 34 Changement de base 7 1
1 L application x Ax Les vecteurs sont notés en colonnes, on considère une matrice A K p n et on lui associe l application K n K p, x Ax (A = (α ij, que l on note encore A 11 Linéarité Cette application est linéaire de K n dans K p : 12 Coordonnées A(λx + µy = λax + µay (1 On remarque que la j-ième colonne de A est Ae j où e j = (0,, 0, 1, 0,, 0 T K n 1 où le 1 se trouve au j-ième rang Notons (e 1,, e n la base canonique de K n et (f 1,, f p la base canonique de K p On constate que Ae i = p l=1 α lif l Si x = (x 1,, x n K n, les x i sont les coordonnées de x sur la base (e 1,, e n Si y = Ax = (y 1,, y p, les y i sont les coordonnées de Ax, ie du vecteur image, dans la base (f 1,, f p On généralisera cela plus loin : si x est un vecteur donné, les coordonnées de x dans une base fixée étant données, les coordonnées du vecteur image dans la seconde base fixée s obtiennent par une multiplication matricielle 13 Noyau On pose ker A = {x K n / Ax = 0} (2 Ce n est rien d autre que l ensemble des solutions du système homogène associé à A Ainsi ker A est un sous espace vectoriel de K n de dimension n ranga exercice 1 Vérifier que A est injective si et seulement si ker A = {0} 14 Image On pose ImA = {y K p / x K n y = Ax} (3 Si A = (c 1,, c n, Ax = x 1 c 1 + x n c n donc ImA = S(c 1,, c n Ainsi ImA est un sous espace vectoriel de K p de dimension le rang de A Théorème 11 (Théorème du rang version 2 Si A K p n, 15 Matrice inversible dim ker A + ranga = n (4 Définition 12 Soit A une matrice carrée n n, on dit que A est inversible si et seulement si il existe B K n n telle que AB = BA = I n La matrice B est alors unique et on la note A 1 Caractérisons les matrices inversibles : 2
si A inversible, le système Ax = 0 a pour seule solution 0 : A 1 (Ax = A 1 0, soit x = 0 Ainsi ranga = n, ie dim ImA = n = dim K n, d où ImA = K n Conclusion 13 Si A est inversible l application linéaire x Ax est surjective et injective donc bijective L équation Ax = y admet une et une seule solution, ie x = A 1 y Supposons A de rang maximum, ie ranga = n Le système Ax = y, y donné dans K n admet une et une seule solution Cette solution s exprime matriciellement : il existe B K n n telle que Ax = y si et seulement si x = By On a A(By = y pour tout y et B(Ax = x pour tout x, ie AB = BA Conclusion 14 A K n n, A est inversible ranga = n (5 ker A = {0} (6 Remarque 15 soit A K n n et supposons qu il existe B K n n telle que BA = I n Alors A est inversible! (si Ax = 0, B(Ax = 0, soit A K n n et supposons qu il existe B K n n telle que AB = I n Alors A est inversible! (si y K n, y = ABy = A(By, Moralité, pour une matrice carrée, l inversibilité à gauche équivaut à l inversibilité à droite exercice 2 On note GL n (IR l ensemble des matrices inversibles réelles n n (GL n (IR, est un groupe Montrer que exercice 3 Soit T une matrice triangulaire supérieure A quelle condition T est-elle inversible? 2 Applications linéaires 21 Définition et exemples Soit V et W deux K espaces vectoriels On dit que l application T : V W est linéaire (ou que T est une application linéaire si et v 1, v 2 V T (v 1 + v 2 = T (v 1 + T (v 2 (7 α K v V T (αv = αt (v (8 Exemple 21 Toute application linéaire T de IR n to IR est de la forme où les α i sont fixés T (x 1,, x n = α 1 x 1 + + α n x n (9 Exemple 22 Soit T : IR n IR p Introduisons l application p i : IR n IR, (x 1,, x n x i, puis regardons p i T Exemple 23 I : C(IR IR, f 1 0 f(tdt Exemple 24 D : IR[x] IR[x], f D(f = f 3
22 Opérations 221 Somme Soit S, T : V W, deux applications linéaires, on définit : S + T : V W, v (S + T (v = S(v + T (v (10 Alors, S + T est linéaire 222 Produit par un scalaire Soit T : V W linéaire, on définit : αt : V W, v (αt (v = αt (v (11 Vérifier que L(V, W := {applications linéaires de V dansw} est un K-espace vectoriel 223 Composition (ou produit Soit V ST T W S Z des applications linéaires Alors S T : V Z est linéaire On notera S T par Remarque 25 Faisons une remarque importante : dans le cadre général d applications (non nćessairement linéaire de V dans V, on n a pas f (h + g = f h + f g Par contre, si S, T, U sont dans L(V, V, S(T + U = ST + SU exercice 4 Vérifier que (L(V, +, est un anneau 23 Isomorphismes Définition 26 L application linéaire T : V W est appelée isomorphisme s il existe une application linéaire S de W dans V telle que T S = id W et ST = id V En fait on a : Proposition 27 T est un isomorphisme si et seulement si T est bijectif Démonstration 28 Si T est bijectif, l existence de T 1 est acquise, il faut en vérifier la linéarité Définition 29 S il existe un isomorphisme de V sur W on dit que V et W sont isomorphes Exemple 210 Soit V un IR-espace vectoriel de dimension 3 Montrons que V est isomorphe à IR 3 Exemple 211 Peut-il y avoir un isomorphisme de IR 2 sur IR 3? 4
24 Thérorème du rang version 3 On considère ici deux K-espace vectoriels, V et W de dimension finie Théorème 212 (Théorème du rang Soit T L(V, W, alors dim ker T + dim ImT = dim V Démonstration 213 On rappelle que ker T = {v V / T (v = 0} et ImT = {w W / v V w = T (v} Considérons une base (v 1,, v p de ker T que l on complète par (v p+1,, v n en une base de V On montre alors que (T (v p+1,, T (v n est une base de ImT On en déduit le résultat important Corollaire 214 Si dim V < + et si T L(V, les propositions suivantes sont équivalentes : (a T est un isomorphisme (b T est injectif (c T est surjectif 3 Matrices et endomorphismes en dimension finie 31 Détermination d une application linéaire On a déjà remarqué que si dim V < +, connaître une application linéaire T : V W c est connaître les images des vecteurs d une base de V (si v = α i v i, T (v = α i T (v i De plus si dim V = n avec (v 1,, v n base de V, et si w 1,, w n sont des vecteurs quelconques de W, il existe une et une seule application linéaire T de V dans W telle que T (v i = w i pour i = 1 n 32 Matrice d un endomorphisme de V, dim V = n 321 Définition Pour plus de simplicité nous nous intéresserons qu à des endomorphismes de V (ie des applications linéaires de V dans V Définition 31 Soit (e 1,, e n une base de V et u L(V, la matrice de u relativement à la base (e 1,, e n est la matrice n n A dont la j-ième colonne est formée des coefficients de u(e j sur la base (e 1,, e n : u(e j = α ij e i, A = (α ij (12 soit A = α 1j α 2j α nj u(e j e 1 e 2 e n (13 5
Exemple 32 u(e 1 = 2e 1 3e 3 u(e 2 = e 2 + 5e 3 u(e 3 = e 1 e 2 322 Calcul de u(x Soit x = x 1 e 1 + x n e n, alors on a u(x = x 1 u(e 1 + x n u(e n = y 1 e 1 + y n e n Puis nj=1 x j u(e j = j i α ije i = ( i j α ijx j e i (14 Ainsi on a que y i = j α ijx j, ie Conclusion 33 La base (e 1,, e n étant fixée, u A (15 x (x 1,, x n T (16 y = u(x (y 1,, y n T (17 et A x 1 x n = y 1 y n (18 33 Lien avec les opérations Proposition 34 Soit (e 1,, e n une base finie de V et f, g dans L(V On suppose que f A = (α ij et g B = (β ij On a alors : f + g A + B (19 αf αa (α K (20 fg(= f g AB (21 Démonstration 35 Montrons le dernier point Il suffit de calculer (fg(e j : ( n (fg(e j = f(g(e j = f β ij e i (22 = β ij f(e i (23 6
= = ( n β ij α ki e k (24 k ( n α ki β ij e k (25 k } {{ } (AB kj ce qu il fallait démontrer 34 Changement de base Suppososns que dim V = n et (e 1,, e n une base de V Soit (e 1,, e n une nouvelle base de V : Considérons la matrice P = e j = θ ij e i (26 θ 1j θ 2j θ nj e 1 e 2 e n (27 P est appelé matrice de passage de (e 1,, e n à (e 1,, e n e j Lemme 36 La matrice P est inversible et P 1 est la matrice de passage de (e 1,, e n à (e 1,, e n Démonstration 37 Si e j = n γ ij e i, on a alors d où soit (γ ki (θ ij = I! On a alors les résultats suivants : e j = θ ij e i = γ ki θ ij = ( n θ ij γ ki e k k=1 ( n = k=1 (28 θ ij γ ki e k (29 { 0 si i k 1 si i = k Proposition 38 Soit (e 1,, e n (ancienne base et (e 1,, e n (nouvelle base, et x un vecteur quelconque de coordonnées (x 1,, x n relativement à (e 1,, e n et (x 1,, x n relativement à (e 1,, e n Alors on a: x 1 x n = P ie les anciennes coordonnées s expriment en fonction des nouvelles 7 x 1 x n (30 (31
Démonstration 39 Il suffit de voir que : x = x ie i = i = j x i j θ ji e j (32 θ ij x i e j (33 i } {{ } =x j Proposition 310 Soit u L(V, alors B = P 1 AP u A (e 1,, e n (34 v B (e 1,, e n (35 Démonstration 311 Si y = u(x, y 1 x 1 = A y n x n et y 1 y n = B x 1 x n (36 d où ainsi P y 1 y n = y 1 x 1 = A y 1 y n y n x n = P 1 AP = AP x 1 x n x 1 x n (37 (38 8