1 ère Année STPI. Nom : Prénom : Groupe : Electrocinétique 2 TRAVAUX DIRIGES

1 ère Année STPI Nom : Prénom : Groupe : Electrocnétque 2 TAVAUX DIIGES Année unverstare 2008-2009

SOMMAIE I. EGIME SINUSOÏDA 2 II. DIPOES PASSIFS EN EGIME SINUSOÏDA 4 III. METHODES D ANAYSE DES ESEAUX INEAIES EN EGIME SINUSOÏDA 9 IV. PUISSANE EN EGIME SINUSOÏDA 15 V. EGIMES TANSITOIES 19

Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 2

I OUTIS MATHEMATIQUES EN EGIME SINUSOÏDA Notatons utlsées Grandeur Valeur nstantanée Expresson cssoïdale Module ou ampltude Valeur effcace Valeur moyenne Tenson v(t) ou v V V V eff ou V v ourant (t) ou I I I eff ou I Impédance Z Z 1 - Module et argument des nombres complexes Exprmer et calculer le module et l'argument (en radans) des nombres complexes suvants. a) 2 + 3j b) - 2 3j c) - 2 + 3j d) 2 3j e) (2 + 3j) (-4+ 2j) f) 1 1 j g) 2 j 1 4j 2 - Egalté entre nombres complexes Donner les condtons qu satsfont aux égaltés suvantes : (x, y, a, b,, et sont des réels postfs) a) x + jy = a + jb b) ej = ej c) x + jy = ej Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 3

3 - eprésentaton de Fresnel et nombres complexes On consdère les courants dans tros branches telles que : (t) 2 cos(100 t) 1 2 (t) 3cos(100 t ) 3 3 (t) 2 cos(100 t ) 4 es courants sont exprmés en ampères quand «t» est en secondes. a lo des nœuds applquée à tout nstant «t» donne (t) = 1 (t) + 2 (t) + 3 (t). 1. eprésenter les vecteurs de Fresnel assocés à ces tros courants, et en dédure l ampltude de, sa valeur effcace et son déphasage par rapport à 1. 2. Donner l expresson des nombres complexes assocés à 1, 2 et 3 ; en dédure le nombre complexe assocé à, et vérfer la cohérence avec le résultat obtenu vectorellement. 4 - Valeurs moyennes et valeurs effcaces Détermner la valeur moyenne et la valeur effcace des sgnaux suvants de fréquence 50 Hz. alculer leur pérode. u(v 2 T t(s u(v 2 T t(s Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 4

Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 5

Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 6

II DIPOES PASSIFS EN EGIME SINUSOÏDA 1 - Impédances complexes Exprmer le module et l'argument des mpédances complexes des dpôles AB suvants. a) A B b) A B 2 - Assocaton d mpédances Dans le montage suvant, exprmer l mpédance du dpôle AB ; donner la condton pour qu elle sot ndépendante de (valeur constante quand 0 et ). A B ' 3 - Equlbre d un pont Trouver les condtons qu donnent l'équlbre du pont suvant : 1 2 ~ Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 7

4 - ondensateur réel Un condensateur réel est modélsé, en basses fréquences (f 10 khz) par l'assocaton d'un condensateur déal de capacté, et d'une résstance d'solement branchée en parallèle. = 1,0 F f = 50 Hz u = 100 M 1. Exprmer lttéralement pus numérquement son admttance complexe Y. 2. alculer sa tangente de pertes tan, défne pour Y = G + jb par tan = oncluson : que peut-on dre de ce condensateur réel? G. B 3. alculer la valeur effcace du courant quand u = Û cos t, avec Û = 10 V. 4. alculer le déphasage de par rapport à u. 5 - Pont de Wen a fgure c-contre représente un pont de Wen ; Il est almenté par une source déale de tenson entre A et B, et relé à une charge éventuelle Z entre M et N. Il peut être étudé comme un quadrpôle ABMN. v A M v B N 1. Exprmer l mpédance d entrée Z AB vue par le générateur quand le quadrpôle n est pas chargé. alculer son module et son argument pour = 1,0 k, = 1,0 µf et f = 1,0 khz. V s Vˆ 2. Exprmer le rapport ; calculer le rapport des ampltudes s Ve Vˆ e par rapport à ve quand le quadrpôle est à vde. et le déphasage de v s 3. es valeurs sont-elles modfées s le quadrpôle est chargé par une mpédance Z? Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 8

III METHODES D ANAYSE DES ESEAUX INEAIES EN EGIME SINUSOÏDA 1 - Dvseur de courant ndépendant de la fréquence e courant fourn par une source de courant à un condensateur réel, d mpédance Z 1, est trop mportant. Un dvseur de courant est réalsé à l ade d un deuxème condensateur réel d mpédance Z 2 monté en parallèle avec le premer. u 1 1 1 2 2 2 1. Exprmer le coeffcent I1 d atténuaton en courant sous forme complexe. I Z 1 Z 2 2. e condensateur d'mpédance Z 1 étant connu ( 1 et 1 ), détermner les valeurs de 2 et 2 pour que le coeffcent d'atténuaton en courant égal à une constante k fxée (k = 5%). 2 - Dvseur de tenson Exprmer la tenson effcace aux bornes de la bobne en foncton de la tenson effcace U eff aux bornes de la source déale de tenson. u Applcaton numérque : = 10 mh ; = 10 µf ; f = 500 Hz ; = 1,0 k 3 - rcut parallèle On réalse un crcut parallèle en assocant en parallèle un condensateur déal de capacté, une bobne déale d nductance et une résstance, que l on almente par une source déale de courant. 1. Exprmer en notaton complexe les courants dans chaque dpôle en foncton des données. 2. Exprmer leur valeur effcace et leur déphasage par rapport à (avec ² < 1). 3. Qu observe-t-on pour 1? Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 9

4 - Méthodes d analyse On donne pour le crcut suvant : e g = Ê cos t ; Ê = 10 V ; f = 50 Hz ; g = 50 ; = 0,20 H ; r = 12 ; = 100 et = 1,0 F. alculer, par la méthode de votre chox, le g courant dans : donner sa valeur effcace et son déphasage par rapport à e g. e g r 5 - Générateur de Thévenn équvalent Une tenson v e = V cos t est applquée entre les bornes d'entrée M et N du crcut cdessous. 'mpédance nterne du générateur est néglgeable. A ~ M v e N v s B 1. Détermner le générateur équvalent de Thévenn de ce montage entre les bornes A et B. 2. Exprmer la valeur effcace du courant qu crculerat dans une bobne d nductance branchée entre A et B. a calculer pour : = 100, = 1,00 µf, Ve = 10,0 V et = 50,0 mh, la fréquence étant 50 Hz. 3. Exprmer la condton d équlbre de ce pont : concluson? 6 - Théorême de Kennely ~.. ve 2 /2.. vs orsqu'une tenson v e est applquée à l'entrée du quadrpôle schématsé c-contre, une tenson v s est mesurée en crcut ouvert à la sorte. 1. En supposant la tenson d'entrée snusoïdale, donner l'équvalent en té du quadrpôle. Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 10

. Z 1 Z 3. ~ ve Z2 v s.. 2. Que devent-l quand la tenson d'entrée est contnue? 3. alculer le rapport des tensons effcaces V s. V e 4. alculer le déphasage de la tenson de sorte par rapport à la tenson d'entrée 5. Démontrer que le "double-té" suvant est équvalent au quadrpôle c-dessus. /2 /2 2 2 ~ ve v s 7 - Méthodes d analyse Détermner, par la méthode de votre chox l expresson lttérale du courant dans le condensateur 2. e 1 2 e Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 11

8 - Etude d un pont en régme snusoïdal 1. Quelles sont les condtons d'équlbre du pont suvant? 2. a tenson d'almentaton du pont e(t) = Ê cos t, a une valeur effcace E = 24,0 V. alculer, le pont étant supposé équlbré, la valeur effcace, la phase et la fréquence des courants x et y sachant que 1 = = 330, = 1,00 H. 3. Trouver la valeur effcace, la phase et la fréquence du courant fourn par le générateur. 1 2 x y ~ e(t ) 9 - Méthodes d analyse e crcut c-dessous comporte deux sources déales de tenson snusoïdale fournssant les E sgnaux e 1 (t) E 2 cos t et e 2 (t) 2 cos( t ). es composants vérfent les 2 2 1 relatons : 3r et 5r. expresson de l mpédance complexe Z est : Z = r(1-6j) avec r = 1,0 k et E = 10 V. Détermner par la méthode de votre chox le courant dans la bobne (valeur effcace et déphasage par rapport à e 1 ). e 2 1 Z e 1 2 r Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 12

10 - Méthodes d analyse A B e (t) = 5 cos wt 1. Détermner l expresson lttérale complexe du courant AB crculant dans la résstance branchée entre A et B (le crcut est almenté en régme snusoïdal permanent par la source déale de tenson e). 2. On chost la fréquence et les valeurs de et de telle que ² = 2 et = 5,0 ; calculer la valeur effcace et le déphasage par rapport à e du courant AB crculant dans la résstance = 10. 3. Donner l expresson numérque réelle du courant AB (t). 11 - Té de polarsaton Un Té de polarsaton est un trpôle (bornes 1, 2 et S) consttué par l'assocaton d'un condensateur et d'une nductance. Il est branché comme ndqué dans le crcut suvant ; on appellera E g la tenson effcace du générateur de tenson supposé déal, et sa pulsaton. Té de polarsaton 1 S e 2 d v s 1. A l'ade du théorème de Mllman, donner l expresson lttérale complexe de la tenson de sorte v s en S. Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 13

2. Qu observe-t-on pour v s quand tend vers 0 et quand tend vers l'nfn? On réalse mantenant le montage suvant avec 2 générateurs de tenson déaux : le générateur déal de tenson contnue v 2 (donc de fréquence nulle) branché entre la borne 2 et la masse, et le générateur de tenson snusoïdale v 1 de fréquence f 1 (pulsaton 1 ) branché entre la borne 1 et la masse. 1 Té de polarsaton S v 1 ~ 1 2 + v 2 - d v s Pour calculer v s (t), on consdèrera le générateur de tenson contnue v 2 comme un générateur de tenson snusoïdale dont la pulsaton 2 tend vers 0. On n'oublera pas que les générateurs n'ont pas la même fréquence et que les mpédances vues par les sources de fréquences dfférentes ne sont pas dentques. 3. A l ade du théorême de superposton, exprmer la tenson de sorte V S1 en foncton de,,, d, et V 1, lorsque le générateur 1 est allumé seul. 4. Fare l'applcaton numérque et détermner l'expresson v S1 (t). 5. Exprmer la tenson de sorte V S2 en foncton de,, d, et V 2, lorsque le générateur 2 est allumé seul. 6. Fare l'applcaton numérque pus détermner l'expresson v S2 (t). 7. En dédure la tenson v S (t) lorsque les deux générateurs sont allumés. A.N : = 4,70 mf = 2,2 µf d = 50 f 1 = 5,0 MHz V 1 = 0,50 V V 2 =2,0 V Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 14

IV PUISSANE EN EGIME SINUSOÏDA 1 - Facteur de pussance Une nstallaton électrque fonctonne sous une tenson snusoïdale de fréquence 50 Hz et de valeur effcace 230 V. Elle se compose d'un apparel de chauffage (résstance pure) consommant une pussance P 1 = 0,50 kw, branché en parallèle sur un moteur M consommant une pussance P 2 = 1,0 kw et dont le facteur de pussance est cos 2 = 0,60. u ~ 1 1 2 M ~ 3 1. alculer les ntenstés effcaces I 1, I 2 et I pus le facteur de pussance de l'nstallaton. 2. On adjont un condensateur en dérvaton pour obtenr un facteur de pussance égal à l'unté. Quelle est la valeur de cette capacté? 2 - Pertes en lgne Un moteur de pusance P = 10 kw, et de facteur de pussance cos = 0,7 est almenté sous 230V effcaces. a mse en parallèle d'une capacté permet de relever le facteur de pussance à l unté. 1. alculer les ntenstés effcaces I et I' dans le crcut d'almentaton de l nstallaton, avant et après relèvement du facteur de pussance. En dédure la dmnuton relatve de la I I - consommaton en ntensté =. I II' 2. En dédure l'économe relatve lgne d'almentaton de l nstallaton, de résstance équvalente r. P P J J sur la pussance dsspée par effet Joule dans la Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 15

3 - Facteur de pussance Un moteur fonctonne sous une tenson effcace U = 20 V, de fréquence f = 50 Hz. Il est modélsé par une nductance en sére avec une résstance = 3,0. a valeur effcace du courant dans le moteur est I = 4,0 A. 1. alculer, et en dédure l expresson numérque de l mpédance complexe du moteur. 2. Exprmer et calculer les pussances actve et réactve qu l échange. 3. On place en parallèle avec le moteur deux ampoules consommant chacune une pussance de 8 W. Quel est le facteur de pussance du montage? 4 - Améloraton du facteur de pussance Une nstallaton comporte, assocés en parallèle, 10 lampes de pussance 100 W chacune, un moteur de pussance P 1 = 4,0 kw et de cos 1 = 0,80, un moteur de pussance P 2 = 6,0 kw et de cos 2 = 0,70. 1. alculer le facteur de pussance de l'nstallaton. 2. Sachant que l'nstallaton est almentée sous 230V effcaces, détermner l'ntensté effcace du courant dans la lgne d'almentaton de l'nstallaton. 3. alculer cette ntensté après relèvement du facteur de pussance de l'nstallaton à l unté. 5 - Adaptaton d'mpédance et pussance On branche sur le secteur (V eff = 230 V, f = 50 Hz) une charge réactve d'mpédance Z c =a-jb (où a et b sont des réels postfs) consttuée par l'assocaton en parallèle de 1 et. 'ensemble est schématsé sur la fgure c-dessous. représente la résstance de la lgne (fl électrque) entre le générateur et la prse électrque du secteur. g e g ~ 1 V Zc Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 16

1. Exprmer lttéralement les valeurs de a et b en foncton de 1, et la fréquence f du secteur. 2. Fare l'applcaton numérque en exprmant le résultat avec 2 chffres sgnfcatfs. 3. alculer la pussance actve dsspée dans Z c et dans. 'mpédance { + Z c } vous paraît-elle adaptée à celle du générateur? 4. alculer le facteur de pussance de la charge Z c et celu de l'nstallaton (.e. le facteur de pussance du montage vu du générateur e g ) 5. Quel dpôle d mpédance Z peut on ajouter en sére à Z c pour que la pussance actve transmse par le générateur à l'ensemble { + Z c + Z } sot maxmum? alculer la valeur caractérstque de cet élément. Données : Eg eff = 230 V ; f = 50 Hz ; = 5,0 ; 1 = 10 g = 50 et = 320 µf Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 17

Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 18

V. EGIMES TANSITOIES 1 - éponses à une varaton brusque de résstance (t) + E - v(t) Une bobne supposée déale, d'auto-nductance = 100 mh, est almentée par un générateur déal de tenson contnue E = 6,00 V. a résstance totale du crcut, après avor conservé pendant longtemps la valeur 1 = 5,00 k, subt sous l'effet d'une contrante extéreure une brusque augmentaton, à l'nstant t = 0, jusqu'à une valeur 2 = 100 k. 2 O 1 t 1. Ecrre l'équaton dfférentelle qu régt le courant (t) à travers le crcut en foncton du temps, dans l'ntervalle [0, ]. 2. En dédure l'expresson (t). 3. Exprmer, pus donner une représentaton graphque de la tenson v(t) aux bornes de la résstance en foncton du temps, dans l'ntervalle [-, + ]. 4. alculer la constante de temps de la réponse à la varaton abrupte de la résstance et précser sa sgnfcaton à l'ade du graphque. Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 19

2 - Fermeture d un nterrupteur aux bornes de condensateurs orsqu'une tenson v e (t) est applquée à l'entrée (M, N) du quadrpôle schématsé c-après, une tenson v s (t) est mesurée aux bornes de sorte (A, B) à l'ade d'un osclloscope déal. K M + - E v e (t) A 1 1 vs(t) B 2 2 N a tenson applquée est un échelon réalsé par la fermeture, à l'nstant t = O, d'un nterrupteur K en sére avec un générateur déal de tenson contnue E. Antéreurement (t < O) le quadrpôle ne stockat aucune charge électrque. 1. Détermner, en foncton du temps, l'évoluton de la charge q 1 portée par l'armature postve du condensateur 1, pus de la charge q 2 portée par l'armature postve du condensateur 2. 2. En dédure l'évoluton en foncton du temps de la tenson de sorte dans l'hypothèse où les composants sont choss de sorte que 1 = 2 = et 1 = 2 =. 3. Donner une représentaton graphque sognée de v s (t) en précsant les coordonnées de tous les ponts caractérstques et notamment du pont sur la courbe dont l'abscsse est celle de l'ntersecton de la tangente à l'orgne avec l'asymptote. 3 - Ouverture d un nterrupteur aux bornes d une bobne e crcut d'allumage d'un moteur à essence est schématsé comme sut : r battere 12V Bobne d'allumage = 0,80 H r = 8,0 Bobne d'allumage ésstance du crcut d'allumage : = 1,0 k 1. 'nterrupteur est fermé, quelle est la valeur du courant I o dans la bobne? 2. 'nterrupteur est alors ouvert (nstant t = 0). Quelle dfférence de potentel apparaît aux bornes de? Quelle est sa valeur maxmale? 3. Exprmer l'énerge dsspée dans quand t 0. Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 20

4 - Ouverture d un crcut avec une bobne 1. Dans le crcut suvant l'nterrupteur est ouvert ; quelle est l expresson lttérale du courant dans la bobne? E u E 2. A l'nstant t = 0, l'nterrupteur est fermé. Décrre l'évoluton dans le temps de la tenson u aux bornes de la bobne. eprésenter u(t). 5 - Oscllatons d un crcut Un condensateur de capacté = 10 µf est chargé sous une tenson U o = 6 V. A l nstant t = 0, on le rele à une bobne déale d nductance = 25mH. 1. Etablr l équaton dfférentelle vérfée par la tenson u(t) aux bornes du condensateur. 2. Détermner u(t). Exprmer et calculer la fréquence des oscllatons et l ampltude de celles-c. 3. Détermner (t). Quelle est l ampltude de l ntensté? 4. Exprmer l énerge du condensateur et celle de la bobne à l nstant t. Que vaut l énerge totale? A quo correspond-elle? Justfer. 6 - Ouverture d un crcut avec une bobne Un moteur est modélsé par une résstance en sére avec une bobne d nductance. Il est almenté en contnu par une source déale de tenson E. 1. e régme permanent étant établ depus longtemps, exprmer le courant dans le crcut et l énerge magnétque stockée dans la bobne. 2. Fare un blan des pussances échangées par les 3 composants : source de tenson, bobne et résstance. 3. Que se passe-t-l s on ouvre le crcut à l nstant t? 4. On réalse le montage c-contre, en montant une dode déale en parallèle de l ensemble bobne et résstance sére ; quand l nterrupteur est fermé depus longtemps, la dode joue-t-elle un rôle? E 5. Donner l évoluton du courant (t) dans la bobne quand on ouvre l nterrupteur. Quel est le rôle de la dode? Travaux Drgés Electrocnétque 2 page 21