Cours de Terminale S / Suites E. Dostal juillet 204
Table des matières Suites 2. Notion de Suites......................................... 2.2 Suites arithmétiques et suites géométriques.......................... 2.3 La démonstration par récurrence................................ 3.4 Comportement global d une suite................................ 4.5 Techniques d étude de la monotonie d une suite........................ 5.6 Techniques pour prouver qu une suite est majorée (ou minorée ou bornée)......... 7.7 Comportement asymptotique d une suite............................ 8
Chapitre Suites. Notion de Suites Définition rang n 0 N Une suite numérique est une fonction de N dans R, définie à partir d un certain Remarques : La notation (U n ) désigne la suite en tant qu objet mathématique, et U n désigne l image de l entier n (appelé aussi terme d indice n de la suite (U n )). Certaines suites ne sont définies qu à partir d un certain rang. Une suite est donc définie sur un intervalle du type [[n 0, + [[. On note dans ce cas (U n ) n n0 Exemples : U n = définie pour n N n U n = n 5 définie pour n 5 Il faut comprendre qu il y a de multiples façons de définir une suite. Nous en rencontrerons principalement de deux types. Celles qui sont définies par une relation de récurrence et la donnée de un ou plusieurs termes initiaux comme par exemple U n+2 = U n+ + U n et U 0 = 0 ; U = (Suite de Fibonacci). Et celles définies de manière explicite en fonction de n comme les exemples précédents. Illustration : U n = n définie pour n N U n = f(n).2 Suites arithmétiques et suites géométriques Définition 2 On dit qu une suite (u n ) est arithmétique s il existe un nombre réel r tel que pour tout n N, u n+ = u n + r r est appelé la raison de la suite. Proposition Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. m N et p N, U m = U p + (m p)r 2
Proposition 2 Poour tout entier naturel m et tout entier naturel p non nul, la somme S p = U m +... + U m+p de p termes consécutifs d une suite arithmétique (U n ) est : Autrement dit, S p = p U m + U m+p 2 Cas particulier : S = nombre de termes n k= premier terme + dernier terme 2 k = n n + 2 Définition 3 On dit qu une suite (u n ) est géométrique s il existe un nombre réel q tel que pour tout n N, u n+ = u n q q est appelé la raison de la suite. Proposition 3 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. m N et p N, U m = U p q m p Proposition 4 Pour tout entier naturel m et tout entier naturel p non nul, la somme S p = U m +... + U m+p de p termes consécutifs d une suite géométrique (U n ) de raison q est : S p = U m q p q Autrement dit, raisonnombre de termes S = premier terme raison.3 La démonstration par récurrence Considérons la suite (U n ) définie pour tout n N, par : { Un+ = 2U n + U 0 = 0 Cette suite est définie par récurrence. On souhaite en obtenir une définition fonctionnelle si cela est possible. En calculant les premiers termes, on conjecture : pour tout n N, U n = 2 n Comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci dessus? Notons P la propriété définie pour n N, par : P (n) : U n = 2 n Supposons un instant, que pour un certain entier n, on ait effectivement la propriété P (n). Alors on aurait : U n+ = 2U n + = 2(2 n ) + = 2 n+ 3
Ce qui est P (n + ) Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l est également au rang suivant. On dit que la propriété P est héréditaire. Faisons un bilan. On a vérifié que la propriété est vraie au rang n = 0,, 2, 3, 4 et 5. (On dit que la propriété P est initialisée). Mais comme elle est héréditaire, elle sera vraie encore au rang n = 6, puis au rang n = 7 etc... Si bien que notre propriété est vraie à tout rang. Nous venons de faire un raisonnement par récurrence Axiome 5 Soit P une propriété définie sur N ( ou un intervalle I de N) Si : La propriété est INITIALISEE à un certain rang n 0 (C est à dire P (n 0 ) est vraie) La propriété est HEREDITAIRE à partir du rang n 0 ( C est à dire : pour tout n n 0, P (n) P (n + )) Alors : La propriété est vraie à tout rang plus grand que n 0. Histoire : C est Pascal (623-662, français) qui, dans son Traité sur le triangle arithmétique, énonça, pour la première fois, le principe de raisonnement de récurrence. Remarques : ) Il existe un autre principe de récurrence appelé principe de récurrence forte. On procède à l étape d initialisation, puis dans l étape d hérédité, on suppose non pas que la propriété est vraie pour un certain entier naturel n mais que la propriété est vraie pour tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n, et on démontre alors qu elle est vraie au rang n +. 2) Attention, il ne faut pas oublier l étape d initialisation : une propriété héréditaire mais non initialisée peut n être vraie pour aucun entier naturel..4 Comportement global d une suite.4. Suites majorées - minorées - bornées Définition 4 Une suite (U n ) est majorée lorsqu il existe un réel M tel que U n M pour tout entier n. Une suite (U n ) est minorée lorsqu il existe un réel m tel que m U n pour tout entier n. Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Remarques : ) Une suite (U n ) est bornée ssi il existe une réel positif M tel que U n M pour tout entier naturel n. (à demontrer) 2) Il existe des suites ni minorées, ni majorées. 4
.4.2 Sens de variation d une suite Définition 5 Soit (U n ) une suite de nombres réels. La suite (U n ) est croissante (à partir du rang n 0 ) lorsque U n U n+ pour tout entier n n 0. La suite (U n ) est décroissante (à partir du rang n 0 ) lorsque U n U n+ pour tout entier n n 0. La suite (U n ) est monotone (à partir du rang n 0 ) lorsqu elle est croissante ou décroissante à partir du rang n 0. La suite (U n ) est stationnaire s il existe un entier n 0 tel que U n = U n+ pour tout entier n n 0. La suite (U n ) est constante lorsque U n = U n+ pour tout entier n du domaine de définition de (U n ) Remarque :. Pour comprendre la nuance entre une suite stationnaire et une suite constante, donnons un exemple. Notons E la partie entière d un réel et (U n ) la suite définie, pour n N, par : U n = E( n ) 2. Il existe des suites qui sont ni croissantes, ni décroissantes. Par exemple : U n = ( ) n. 3. Contrairement aux fonctions de la variable réelle, on ne définit le sens de variation d une suite que sur des intervalles de la forme [[n 0, + [[, ce qui se passe sur les premiers termes reste ici anecdotique. Théorème 6 Soit (U n ) une suite arithmétique de raison r. La suite (U n ) est strictement croissante ssi r > 0 La suite (U n ) est strictement décroissante ssi r < 0 La suite (U n ) est constante ssi r = 0 Théorème 7 Soit q un réel non nul La suite (q n ) est strictement croissante ssi q > La suite (q n ) est strictement décroissante ssi 0 < q < La suite (q n ) est constante ssi q = La suite (q n ) n est pas monotone si q < 0 Théorème 8 Soit (U n ) une suite géométrique de raison q. Si q > 0 et U 0 > 0 alors la suite (U n ) a le même sens de variation que la suite (q n ). Si q > 0 et U 0 < 0 alors la suite (U n ) a le sens de variation contraire de la suite (q n ). Si q = 0 alors la suite est stationnaire à partir du rang, voir constante si U 0 = 0. Si q < 0 alors la suite (U n ) n est pas monotone..5 Techniques d étude de la monotonie d une suite 5
.5. Technique fonctionnelle Théorème 9 Où l on utilise le sens de variation de la fonction associée Soit (U n ) la suite définie par U n = f(n) où f est une fonction définie sur un intervalle du type [a; + [ où a R. Si la fonction f est monotone sur [a; + [ alors la suite (U n ) est monotone sur [[E(a)+; + [[ et possède le même sens de variation que f. Démonstration Cas ou f est croissante sur [a; + [ (les autres cas se prouvent de manière analogue) Soit n [[E(a) + ; + [[, comme f est croissante sur [E(a) + ; + [, on a alors : U n+ U n = f(n + ) f(n) 0 Donc (U n ) est croissante sur [[E(a) + ; + [[ De même la stricte monotonie de f entraine celle de (U n ) Exemple Etudier les variations de la suite (U n ) définie, pour n N, par : U n = 2n2 + n 2 + 5.5.2 Techniques algébriques C est l utilisation pure et simple de la définition (U n ) est croissante à partir du rang n 0 pour tout n n 0 on a U n+ U n 0 Exemple 2 U n = 2n + sin(n) Variante : Soit (U n ) une suite à termes strictements positifs. Si pour tout entier n, U n+ alors (U n ) est croissante. U n Si pour tout entier n, 0 < U n+ alors (U n ) est décroissante. U n Exemple 3 Exemple 4 Cas d une suite définie par une somme : U n = U n = 2n n 2 pour n n k= pour n N k2.5.3 Technique par récurrence pratique pour les suites du type U n+ = f(u n ) Exemple 5 Soit (U n ) la suite définie par : { Un+ = U n U 0 = 6 6
.6 Techniques pour prouver qu une suite est majorée (ou minorée ou bornée).6. Technique algébrique Manipulation d inégalités Exemple 6 : U n = ( )n + sinn n 2 pour n N Exemple 7 Montrer que (U n ) est majorée par 2. Exemple 8 U n = n k= U n = pour n N k2 où pour k N on a k! = 2 3... k (factorielle de k) et par convention 0! = Montrer que (U n ) est majorée par 3..6.2 Technique fonctionnelle n k=0 k! Exemple : U n = 2n2 + n 2 + 5.6.3 Technique par récurrence Exemple : U n+ = 6 + U n avec U 0 = 0 7
.7 Comportement asymptotique d une suite.7. Suites convergentes Définition 6 Suite convergente On dit qu une suite converge (ou admet une limite finie) lorsqu il existe un réel l tel que : tout intervalle ouvert I centré en l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang Lorsque (U n ) converge vers l, on note alors : l = lim U n n + Une suite non convergente est appelée suite divergente En formulant différement cette définition, on obtient plusieurs variantes toutes équivalentes : (U n ) converge lorsqu il exite un réel l tel que :. Tout intervalle I =]l ε; l + ε[(ε R +) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang 2. Pour tout réel ε R +, il existe un rang N à partir duquel tous les U n vérifient U n ]l ε; l + ε[ 3. Pour tout réel ε R +, il existe un rang N tel que pour tout indice n, on ait : n N U n l < ε Graphiquement, cela se traduit ainsi : Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) à partir duquel tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande. Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite (U n ) converge vers 3 2 théorème des gendarmes confirmera. ce que le Proposition 0 Unicité de la limite Si une suite (U n ) converge, alors sa limite l est unique 8
Histoire : Cantor (845-98, allemand) a utilisé les suites pour élaborer une construction rigoureuse et définitive des nombres réels, déjà entreprise par Méray (835-9, français). Un nombre apparaît comme la limite d une suite de nombres rationnels. Proposition Si une suite (U n ) converge, alors (U n ) est bornée 9
Exercice Soit (U n ) une suite bornée et (V n ) une suite convergeante vers 0. Démontrer que la suite (U n V n ) converge vers 0. Théorème 2 Théorème d encadrement ou des gendarmes Soient (U n ), (V n ) et (W n ) trois suites telles que : A partir d un certain rang : U n V n W n (U n ) et (W n ) convergent vers le même réel l. Alors (V n ) converge vers l. (démonstration admise) Exemples : 3n + 5 ( )n. Déterminer la limite de la suite (V n ) définie par : V n = 2n n 2. Déterminer la limite de la suite (U n ) définie par : U n = 2 + pour n n Théorème 3 Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge démonstration admise (hors programme) Applications : La suite (U n ) définie par U n = n k= k 2 pour n N, pour n est croissante et majorée donc convergente. (sa limite est difficile à déterminer, elle vaut π2 6 n La suite (U n ) définie par U n = est croissante et majorée donc convergente. On montrera que k! k=0 sa limites est irrationnelle. (Nombre e qui sera défini ultérieurement) Proposition 4 Soit (U n ) une suite de réels définie dans N convergente vers l. Si (U n ) est croissante, alors pour tout n N, U n l Si (U n ) est décroissante, alors pour tout n N, U n l démonstration par l absurde 0
.7.2 Limite infinie en l infini Définition 7 Suite divergente vers + On dit qu une suite diverge vers + lorsque tout intervalle ouvert du type ]A; + [ (où A > 0) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. En formulant différemment cette définition, on obtient plusieurs variantes toutes équivalentes : (U n ) diverge vers + lorsque :. Pour tout A R +, l intervalle ]A; + [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. 2. Pour tout A R + il existe un rang N tel que pour tout indice n, on ait : n N U n > A On définit de même la divergence vers à l aide d intervalles du type ] ; A[ Proposition 5 Toute suite croissante et non majorée diverge vers + démonstration : Quelques limites de références : lim n + n = 0 lim n + (démonstration hors programme) Exemples : n 2 = 0 lim n = + n + lim n + n2 = +. Divergence vers + de la série harmonique H n = 2. Etudier la limite de la suite (U n ) définie par U n = 3n2 2n + 4 4n 2 + 3. Autres cas de divergence U n = ( ) n 4. Démontrer que les suites (sinn) et (cosn) divergent n k= k Théorème 6 Soient (U n ) et (V n ) deux suites telles que : pour tout n, U n V n Si (U n ) diverge vers + alors (V n ) aussi. Si (V n ) diverge vers alors (U n ) aussi.
Exemples :. Etudier la limite de la suite (U n ) définie pour tout n N par : U n = 2 cos n + 3 ( ) n 3n 2. Etudier la limite de la suite (U n ) définie pour tout n N par : U n = n 4 (cos n 2) 3. l affirmation une suite qui diverge vers + est nécessairement croissante est-elle vraie?.7.3 Théorèmes d opérations Les tableaux suivants rassemblent les théorèmes d opérations, admis, relatifs aux suites. Théorème 7 Limite d une somme Si (U n ) a pour limite l l l + + et si (V n ) a pour limite l + + alors (U n + V n ) a pour limite l + l + + F.A.D. Théorème 8 Limite d un produit Si (U n ) a pour limite l l 0 0 et si (V n ) a pour limite l alors (U n V n ) a pour limite ll F.A.D. Comprendre dans ce tableau, qu il faudra en plus une étude des signes pour déterminer à quel on a affaire. Théorème 9 Limite d un quotient Si (U n ) a pour limite l l l 0 0 et si (V n ) a pour limite l 0 l 0 0 0 0 alors ( U n l ) a pour limite V n l 0 F.A.D. F.A.D. En particulier, lorsque le dénominateur tend vers 0, il sera important d en déterminer le signe afin de savoir si on obtient finalement + ou. 2
.7.4 Suites arithmétiques et géométriques Théorème 20 Soit (U n ) une suite arithmétique de raison r Si r > 0 alors la suite (U n ) diverge vers + Si r < 0 alors la suite (U n ) diverge vers Si r = 0 alors la suite converge vers U 0 Théorème 2 Pour tout réel a positif et quelque soit l entier naturel n, ( + a) n + n a Théorème 22 Soit q un réel non nul, Si < q < alors la suite (q n ) converge vers 0. Si q = alors la suite (q n ) est constante et égale à. Si q > alors la suite (q n ) diverge vers +. Si q alors la suite (q n ) n admet pas de limite. 3