Les programmes de géométrie plane en 2012-2013 1
Ecole primaire CYCLE 1 Dessiner un rond, un carré, un triangle 2
CYCLE 2 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique. 3
Reconnaître un triangle; Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle; Utilisation de la règle, de l équerre, du gabarit d angle droit; Percevoir et reconnaître: alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs Utiliser un vocabulaire géométrique adapté. Mesurer des segments, des distances. Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs 4
Exemples (évaluation CE2 2006): - construire un rectangle Exercices\CE2 2006 rectangle.pdf - reconnaître un alignement Exercices\CE2 2006 alignement.pdf - Reconnaître un angle droit Exercices\CE2 2006 angle droit.pdf - Tracer un segment Exercices\CE2 2006 segment.pdf 5
CYCLE 3 L objectif principal de l enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. 6
Les relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d un segment. L utilisation d instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage. Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle. Description, reproduction, construction ; Vocabulaire spécifique relatif à ces figures; Agrandissement et réduction de figures planes, 7
Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales; Périmètre d un polygone; Formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle. Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles ; Formule de l aire d un rectangle et d un triangle. Les angles : comparaison, utilisation d un gabarit et de l équerre ; angle droit, aigu, obtus. 8
Exemples (évaluations CM2 2009 et 2010): Exercices\Eval CM2 reconna perp - parall.pdf Exercices\Eval CM2 recon carré.pdf Exercices\Eval CM2 tracer - reproduire.pdf 9
COLLEGE Passer de l identification perceptive (la reconnaissance par la vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (passage du dessin à la figure) ; Isoler dans une configuration les éléments à prendre en compte pour répondre à une question ; Découvrir quelques transformations géométriques simples : symétries : symétries axiales et centrales ; Se constituer un premier répertoire de théorèmes et apprendre à les utiliser. Se familiariser avec l usage des longueurs, angles, aires; Connaître et utiliser les périmètres, aires des figures planes étudiées. 10
Trace le carré ABCD de côté 2 cm. Trace le cercle de centre B passant par A. 11
Sixième et cinquième Sixième Les travaux doivent viser à stabiliser les connaissances et à les structurer L objectif d initier à la déduction est aussi pris en compte. Les activités qui permettent le développement des capacités à décortiquer et à construire des figures simples, à partir de la reconnaissance des propriétés élémentaires, occupent une place centrale. Différents cadres: espace ordinaire, espace de la feuille de papier, écran d ordinateur. Cinquième L étude de la symétrie centrale permet de réorganiser et de compléter les connaissances sur les figures. Les travaux prennent toujours appui sur des figures dessinées, suivant les cas, à main levée, à l aide des instruments ou dans un environnement informatique. Les activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettent de s entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux acquis en sixième. 12
Sixième et cinquième Sixième Parallèle Perpendiculaire Cercle Propriétés des quadrilatères usuels Propriétés des triangles Médiatrice : caractérisation Bissectrice Constructions géométriques Symétrie axiale Angles : rapporteur Aires : triangle, disque Cinquième Parallélogramme Triangle : - somme des angles - construction - inégalité triangulaire - cercle circonscrit -médianes - hauteurs Symétrie centrale 13
Exemples 14
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Placer quatre points R, S, T et V non alignés et tels que (RS) ne soit pas perpendiculaire à (TV). Construire un point W équidistant de R et S et qui soit aligné avec T et V. Justifier la construction. Tracer un triangle ABC. Tracer la médiane [AM]. Tracer le point F symétrique de A par rapport à M. Quelle est la nature du quadrilatère ACFB? Justifier la réponse. 17
Quatrième et Troisième Quatrième Connaître les objets usuels du plan et utiliser leurs propriétés géométriques. Développer les capacités heuristiques et conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples Entretenir la pratique des constructions géométriques. Initier les élèves à la démonstration. Troisième Connaître les objets usuels du plan et utiliser leurs propriétés géométriques. Développer les capacités heuristiques, les capacités de raisonnement et les capacités relatives à la formalisation d une démonstration. Entretenir la pratique des constructions géométriques. Solliciter dans les raisonnements les propriétés géométriques et les relations métriques vues dans les classes antérieures. 18
Quatrième et Troisième Quatrième Théorème des milieux Théorème de Thalès dans le triangle Théorème de Pythagore Cosinus d un angle Triangle rectangle et cercle circonscrit Distance d un point à une droite Tangente à un cercle Bissectrice: caractérisation Cercle inscrit Agrandissement et réduction de figures Troisième Trigonométrie du triangle rectangle Théorème de Thalès et réciproque Angle inscrit, angle au centre Polygones réguliers Effet d une réduction ou d un agrandissement sur les aires 19
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SECONDE L objectif de l enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs de distance, la démonstration d un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche des coordonnées du point d intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée. Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquels la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants. 23
Coordonnées d un point du plan : distance, milieu Configurations du plan Droites : lien avec fonction affine, équation Vecteurs : cordonnées, somme, produit par un réel, relation de Chasles Trigonométrie: sinus et cosinus d un nombre réel 24
Un exercice Soit un triangle quelconque ABC. La parallèle à (BC) passant par A coupe en I la parallèle à (AC) passant par B et en J la parallèle à (AB) passant par C. Les droites (IB) et (JC) se coupent en K. a) Démontrer que IACB et AJCB sont des parallélogrammes. En déduire que A est le milieu de [IJ]. b) Quel est le milieu de [IK]? Quel est le milieu de [KJ]? c) Démontrer que la médiatrice de [IJ] est une hauteur du triangle ABC. d) En déduire que les médiatrices du triangle IJK sont les hauteurs de ABC. 25
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PREMIERE S L objectif est de renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de distances et d angles, la démonstration d alignement, de parallélisme ou d orthogonalité. L outil nouveau est le produit scalaire, dont il importe que les élèves sachent choisir la forme la mieux adaptée au problème envisagé. L introduction de cette notion implique un travail sur le calcul vectoriel non repéré et la trigonométrie. La géométrie dans l espace est source de situations permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de l analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des problèmes d optimisation. 27
Première S Condition de colinéarité de deux vecteurs Equation cartésienne d une droite. Vecteur directeur Trigonométrie: cercle trigonométrique, le radian, mesure d un angle orienté Angles orientés : mesure principale Produit scalaire Applications du produit scalaire : vecteur normal, équation d un cercle, formule d Al Kashi, théorème de la médiane, formules d addition et de duplication en trigonométrie 28
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PREMIERES STI2D - STL Produit scalaire Applications du produit scalaire Nombres complexes: affixe, module, argument 30
PREMIERE STD2A Figures régulières: - Transformations: translation, symétrie axiale, rotation - Polygones réguliers - Frises Produit scalaire Applications du produit scalaire 31
TERMINALE S Le plan complexe: affixe, module, argument 32
TERMINALES STI2D - STL Trigonométrie: formules d addition et de duplication. 33
TERMINALE STD2A Pavages: exemples, formule d Al Kashi Cercle: paramétrage, équation cartésienne Ellipse: paramétrage, équation réduite 34