Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - Eercice. : Parmi les repères suivant, lesquels sont des repères orthonormés? O O O O O O Le premier repère n'est pas orthonormé car l'angle entre les aes n'est pas de 90. Le deuième repère n'est pas orthonormé car les graduations des aes sont de longueurs différentes. Le troisième est orthonormé car les aes sont perpendiculaires et leurs graduations sont de même longueurs. Le quatrième est orthonormé car les aes sont perpendiculaires et leurs graduations sont de même longueurs. Le faite que les aes ne sont pas horizontal et vertical n'a pas d'importance. Le cinquième repère n'est pas orthonormé car les graduations de l'ae X ne sont pas réguliers. Le siième repère n'est pas orthonormé car les aes n'ont pas de graduations. Eercice. : Représentez sur un même repère les points A( ; 3), B( ; ), C( 6 ; 5), D( 4 ; 3) et E(4 ; π). 4 D A E 5 O 5 B C 5 Eercice.3 : Soient les points A( ; 3), B( ; ) et C( 6 ; 5). Calculez les distances entre : a) A et B b) B et C c) A et C d) C et A a) b) c) AB = ( ) + ( 3) = 6 BC = ( 6 ) + ( 5+ ) = 49+ 9 = 58 AC = ( 6 ) + ( 5 3) = 8 = 8 attention : AC AB + BC d) CA = ( + 6) + (3+ 5) = 8 = AC
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - Eercice.4 : Soit O(0;0) l'origine du repère. Quels sont les points P( ; ) qui vérifient les conditions suivantes? a) OP = 5 et = 4 b) OP = 4 et = c) OP = 8 et = d) OP = 8 et = e) OP = 8 a) b) c) d) e) 4 + = 5 il a deu solutions qui sont : P(4 ; 3) et P(4 ; 3). 4 3; P 3;. + = il a deu solutions qui sont : P ( ) et ( ) + = 8 il a deu solutions qui sont : P ( 4 ;4 ) et ( 4 ; 4 ) + = 8 il a quatre solutions qui sont : P ( ± 4 ; ± 4 ). + = 8 il a une infinité de solutions qui sont : P( ; 8 ) L'ensemble de ces points représentent le cercle centré à l'origine, de raon 8. P., avec [ 8;8]. Eercice.5 : Les points A(4 ; 6 ), B(6 ; 0), C( 6 ; ) et D( ; 7) pris dans cet ordre sont les sommets d un quadrilatère ABCD et M, N, P et Q respectivement les points milieu des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. a) Calculez les coordonnées des points M, N, P et Q. M 4+ 6 6+ 0 = ; = 5; ; N = 0;5,5 ; P =,5 ; 3 ; Q =,5 ; 6,5 b) Calculez les longueurs des segments [MN], [NP], [PQ], [QM]. Que constatez-vous? (C.f. point c) MN = 5 + 3,5 = 37, 5 ; NP =,5 + 8,5 = 78,5 ; PQ = 5 + 3,5 = 37, 5 ; QM = + = On constate que MN = PQ et que NP = QM. Donc le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.,5 8,5 78,5 d*) Pouvez-vous montrer que la constatation ci-dessus est toujours satisfaites, indépendamment des positions des points A, B, C et D? ( Cela mène au théorème de Varignon ) De façon générale on a : a + b a + b b + c b + c c + d c + d d + a d + a M = ; ; N = ; ; P = ; ; Q = ; + + b + c a + b c a b c a b c a MN = + = + + + d + a c + d a c d a c d a c PQ = + = + = MN De même on trouve que NP = QM, donc les points milieu des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] forment toujours un parallélogramme. Cet eercice donne un eemple de l'utilité de la géométrie analtique, qui permet de montrer par un simple calcul algébrique une propriété géométrique.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 3 CD 3. Dessinez deu représentants des vecteurs AB, CE et CD. C D 3. Dans chacun des dessins suivants, les deu flèches représententelles le même vecteur? B AB A CE E a) b) c) a) et c) : Non, car la direction des flèches est différente. b) Non, car le sens des flèches est différent. d) e) f) e) : Non, car les longueurs des flèches sont différentes. d) et f) : Oui, car les flèches ont même direction, même sens et même longueur. 3.3 Trouvez des points D, E, F et G tels que : BD = AC ; EB = AC et FG = BA. D B C F E A G
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 4 4. L'addition dans Ñ Soient a = < a ; a > et b = < b ; b > deu vecteurs de Ñ. b A = < a ; a > c a a b B = < b ; b > O Représentez sur le graphique le vecteur c = a+ b. Déterminez les composantes de ce vecteur c. c = < a + b ; a +b > On définit donc : < a ; a > + < b ; b > = < a + b ; a +b > 4. Norme d'un vecteur de Ñ La norme du vecteur p= OP= p ; p est définie par la longueur du segment [OP]. Elle se calcule facilement à l'aide du théorème de Pthagore : p p = OP = p ; p p = p ; p = p + p O p 4. Soient A, B, C, D, E et F des points quelconques du plan. Complétez, si possible : a) AD + DB = AB b) AB + BC + CF = AC + CF = AF c) DF + FB = DB d) BC+ AB= AB+ BC = AC e) AA + AB = AB f) BC+ AB+ CD= AB+ BC+ CD= AC+ CD= AD g) BF + DF = on ne peut pas compléter. On le pourrait si les lettes D et F étaient inversées. h) CD BD = CD + DB = CB i) BD + DF BF = BF BF = BF + FB = BB = 0 j) ED BD BE = ED + DB + EB = EB + EB = EB
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 5 On définit donc : λ < a ; a > = < λ a ; λ a > Remarque : Si A = < a ; a > et B = < b ; b > sont deu points du plan, alors : ; AB= b a b a B = b ; b AB A= a ; a O AB= b a ; b a 4. Dessinez un représentant des vecteurs suivants : = AE + ED = CD+ CE z = AB+ EA t = AB+ DC E B t A z C D 4.3 Dessinez un représentant de : a) v = b) v = z c) v3 = d) v4 =, 5 e) v5 = 0,5 f) v 6 = + g) v 7 = h) v 8 = i) v 9 = z v = v 8 v 3 = v 7 v = z v = + 6 z z v 5 v 9 v4 =, 5
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 6 4.4 Dessinez un représentant des vecteurs suivants : tel que AB + = DC, tel que CD + = AB, z tel que CB + z = DA = DC + BA = AB+ DC z = DA+ BC On remarque que : z = B C D A = z 4.5 a) La norme de est,5 fois plus grande que celle de et le sens de est opposé au sens de, donc k =,5. b) h = / k = / 3 = 0,6. c) λ = et µ = car en partant d'un point, on avance de carrés horizontalement et on montre de 4 verticalement pour représenter le vecteur = λ e + µ e. d) α = 5/ et β = 3/ pour z = α e+ β e. e) Trouvez deu nombres δ et ε tels que : z = δ + ε.!?!? Ce n'est pas possible, car δ + ε donne un vecteur de même direction que. e e z 4.6 AC + BD = AD + BC AC + CB = AD + DB AB = AB, donc l'égalité de la première ligne est vraie. 4.7 Puisque ABCD est un parallélogramme, les segments orientés [AB] et [DC] sont parallèles, donc de même direction et ils sont de même sens et de même longueur. Ils représentent donc le même vecteur, c'est-à-dire : AB = DC. La même remarque s'applique à : AD = BC. 4.8 Puisque ABCD est un parallélogramme, l'eercice 4.3 indique que : AD = BC. De l'eercice 4. on a : AC + BD = AD + BC = AD + AD = AD CQFD. AD D BD C A B
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 7 4.9 Par définition du milieu M d'un segment [AB], la longueur AM égale la longueur BM. De plus les segments orientés [AM], [MB] et [AB], ont même direction et même sens. Donc AM = MB. A M B Puisque AM = AM + MB = AB, on a AM = 0,5 AB. OA + OB 4.0 OI = et OA + OC OJ =, donc OA + OC OA + OB OC OB BC IJ = OJ OI = = =., car ( ) 4.* On a : OM = 0,5 ( OA + OB) OM = OA + AM = OA + 0,5 AB = OA + 0,5 OB OA = 0,5 ( OA + OB). De même : ON = 0,5 ( OB + OC) ; OP = 0,5 ( OC + OD) et OQ = 0,5 ( OD + OA). Donc MN = ON OM = 0,5 ( OB+ OC) 0,5 ( OA+ OB) = 0,5 ( OC OA) et Donc QP = OP OQ = 0,5 ( OC + OD) 0,5 ( OD + OA) = 0,5 ( OC OA) On a montré que MN = QP, c'est-à-dire que les segments [MN] et [QP] sont parallèle et de même longueur, donc MNPQ est un parallélogramme. Si vous avez des doutes, montrez encore que NP = AQ. 4.a) ; = 6,5+ 7 5; + ( 3) = 3,5;5 b) 3; + ; = ;0 ; = ;0 3; = ; c) 3; + ; = 3; ; = 3; 3; = 6;4 d) ; + ; = 6; ; = 6; ; = 3; 4.3a) k 5;6 = 0; k = b) k 4;0 = 4;0 k = c) k ;3 = 3; k = 3 et 3k =, ce n'est pas possible. 4.4 A = 3; ; B = ;3 ; C = 4; et D = ;0 Montrons que : AB // CD AB = OB OA = ;3 3; = 4; CD = OD OC = ;0 4; = ; = 0,5 4; = 0,5 AB Puisque les vecteurs AB et CD sont multiple l'un de l'autre, ils sont parallèle.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 8 4.5 A = ; ; B = 6;4 et C = ;6 a) b) AB = 6;4 ; = 4;3 = 4 + 3 = 5= 5 AC = ;6 ; = 0;5 = 0 + 5 = 5= 5 c) Puisque les côtés [AB] et [AC] sont de même longueur, le triangle est isocèle. 4.6 A = 0;0 ; B = 6;8 et C = 3+ 4 3;4 3 3 a) Pour montrer que le triangle ABC est équilatéral, il faut montrer que la longueur des trois côtés est la même. AB = 6 ; 8 = 6 + 8 = 00 = 0 AC = 3+ 4 3 ; 4 3 3 = ( 3+ 4 3) + ( 4 3 3) = 00 = 0 BC = 3+ 4 3 ; 4 3 3 6 ; 8 = ( 3+ 4 3) + ( 4 3 3) = 00 = 0 Le triangle ABC est équilatéral, car les trois côtés sont de même longueur. 4.7 A = 3;8 ; B = ; 3 et C = 8; Calculons la longueur des trois côtés, pour montrer que deu côtés sont de même longueur et donc que le triangle ABC est isocèle. AB = ; 3 3 ; 8 = 4 ; 5 = ( 4) + ( 5) = AC = 8 ; 3 ; 8 = ; 0 = ( ) + ( 0) = Puisque les côtés [AB] et [AC] sont de même longueur, le triangle est isocèle. Pour savoir s'il est équilatéral, calculons la longueur du côté [BC]. BC = 8; ;3 = 3; 5 = (3) + ( 5) = 34 On peut en conclure que le triangle n'est pas équilatérale. 4.8 A = 5; ; B = 0;0 ; C = 4; 0 et D = 9; 8 ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC. AB = 0;0 5; = 5; DC = 4; 0 9; 8 = 5; On a bien AB = DC, donc ABCD est un parallélogramme. Une autre manière de faire est de calculer la longueur des côtés. AB = 5; = 5+ 4 = 9 ; CD = 5; = 5+ 4 = 9 AD = 9 5 ; 8 = 4 ; 0 = 6 + 00 = 6 ; BC = 4 ; 0 = 6 + 00 = 6 AB = CD et AD = BC Donc ABCD est un parallélogramme. C'est plus long, mais correcte. A AB B D CD C
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 9 4.9* Soient a = < a ; a > et b = < b ; b > deu vecteurs de Ñ. Le but est de déterminer l'angle γ entre ces deu vecteurs. a) Dessinez le vecteur c = b a b) Eprimez les composantes du vecteur c = b a c) En utilisant le théorème du cosinus, eprimez cos(γ) en fonction des normes des vecteurs a, b et c. d) Ecrivez le numérateur en utilisant les composantes de a, b, développez et simplifiez. b) c = b a = b a ; b a a = < a ; a > c) Le théorème du cosinus donne : c = a + b a b cos( γ ), donc a + b c cos( γ ) = a b d) En composantes, cela devient : a + a + b + b ( b a ) ( b a ) cos( γ ) = a b ( a b + a b) cos( γ ) = après développement et simplification. a b a b Finalement on obtient : cos( γ ) = où a b a b = a b + a b s'appelle le produit scalaire de a avec b. γ c b = < b ; b > Eercice 4.0* : Eprimez (' ; ') en fonction de ; et θ sans utiliser les fonctions arcsin, arccos ni arctan. (' ; ') est obtenu par rotation d'angle θ autour de l'origine du point ( ; ). ( ' ; ' ) Eprimons les coordonnées à l'aide des angles. = L cos(α) L = L sin(α) ' = L cos(α + θ) = L ( cos(α) cos(θ) sin(α) sin(θ) ) ( ; ) ' = L sin(α + θ) = L ( sin(α) cos(θ) + cos(α) sin(θ) ) θ L En développant, on obtient : α ' = L cos(α) cos(θ) L sin(α) sin(θ) O ' = L sin(α) cos(θ) + L cos(α) sin(θ) En substituant, on obtient : ' = cos(θ) sin(θ) ' = cos(θ) + sin(θ) La relation entre (' ; ') et ( ; ) est simple!
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 0 5. Déterminez une équation vectorielle de la droite D de l'eemple du graphique ci-dessus. A = (7 ; 0) et B = (0 ; 6) sont deu points de la droite. Donc a = (0 ; 6) est un vecteur position de la droite et d = (7 ; 0) (0 ; 6) = (7 ; 6) est un vecteur directeur de la droite. Donc une équation vectorielle de la droite D est : v = p+ λ d λ Ñ, écrite plus eplicitement, on l'appelle l'équation paramétrique de la droite D : ( ; ) = ( p ; p ) + λ ( d, d ) = (0;6) + λ (7; 6) λ Ñ. 5. A = (a ; a ) et B = (b ; b ). Un vecteur directeur de la droite passant par A et B est : d = b a = ( b; b) ( a; a) = ( b a; b a) Une équation vectorielle de cette droite est : v = a+ λ d λ Ñ L'équation paramétrique correspondante est : ( ; ) = ( a; a) + λ ( b a; b a) λ Ñ On confond souvent l'équation vectorielle avec l'équation paramétrique et ce n'est pas important! 5.3 Une équation vectorielle ou plutôt une équation paramétrique de la droite passant par les points ( ; 5) et (4 ; ) est : ( ; ) = ( ;5) + λ ( 5 ; 3) λ Ñ. 4 ( ) Une autre équation paramétrique est : ( ; ) = (4;) + λ ( 5 ; 3 ) λ Ñ 4 5 Il en a encore des infinités d'autres! 5.4 Soient deu points A = (a ; a ) et B = (b ; b ) d'une droite. Soit d = ( b a; b a). Soit l'équation paramétrique de cette droite : ( ; ) = ( a; a) + λ ( d; d) ; λ Ñ. Eaminez les points correspondants au valeurs suivantes de λ. 5 λ= Le point correspondant à λ = 0 est le point A. Le point correspondant à λ = est le point B. Le point correspondant à λ = 0,5 est le point M au milieu entre A et B. b + a b + a ( m ; m ) ( a ; a ) 0,5 ( b a ; b a ) ; = + = Le point correspondant à λ = est le point smétrique de B par rapport à A. ( a ; a ) + ( a b ; a b ) = a b ; a b Les coordonnées de ce point sont : ( ) B M (λ=0.5) A λ= Le point correspondant à λ = est le point smétrique de A par rapport à B. ( a ; a ) + ( b a ; b a ) = b a ; b a. Les coordonnées de ce point sont : ( )
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - Eercices 5.5 : a. α = b a ; β = a b et γ = α a + β a, L'équation : ( b a ) ( a ) = ( b a ) ( a ) devient : α ( a ) = β ( a ) En la développant, elle devient : α α a = β + β a et donc α + β = α a + β a = γ. b. Si a = b, alors β = 0 et γ = α a, donc α = α a et l'équation devient : = a. c. Si a = b, alors α = 0 et γ = β a, donc β = β a et l'équation devient : = a. d. Pour passer d'une équation cartésienne à une équation paramétrique, il suffit de trouver deu points de la droite à partir de l'équation cartésienne, puis d'utiliser l'eercice 5.. Si une équation cartésienne de la droite est donnée : α + β = γ En posant = 0, on obtient : = γ / β, donc (0, γ / β) est un point de la droite. En posant = 0, on obtient : = γ / α, donc (γ / α, 0) est un point de la droite. γ γ γ Donc ( ; ) = 0; + λ ; β α β λ Ñ est une équation paramétrique de la droite. γ Une équation plus simple est : ( ; ) = 0; + λ ( β ; α) β λ Ñ. Une autre est simple est : ( ; ) = ( γ / α ; 0) + λ ( β ; α) λ Ñ. Si α = 0 ou β = 0, une des deu équations ci-dessus est inutilisable, car elle contient une division par zéro. Eercices 5.6 : droite b) a. Selon ce qui précède, une équation cartésienne de la droite passant par les points ( ; 5) et (4 ; ) est : ( 5) ( ( )) = (4 ( )) ( 5). Développée et simplifiée, cela devient : 3+ 5 =. On peut aussi utiliser la bonne vieille méthode : = pente + b. pente = 3 / 5. b = pente pour un point ( ; ) de la droite. b = ( 3 / 5) 4 = / 5. O droite a) Donc = ( 3 / 5) + / 5 est aussi une équation cartésienne de la droite. b. Une équation cartésienne de la droite passant par les points (3 ; 3) et (3 ; 5) est : = 3. Cela signifie que la première coordonnée "" est fiée égale à 3, la deuième "" est quelconque. Eercice 5.7 : Droite définie par : ; = ; + λ ;3 λ Ñ a) A = ; appartient à la droite, cas où λ =. B = 3; n'appartient pas à la droite, car 3 = + (λ = ) et + 3. C = + π ; + 3π appartient à la droite, cas où λ = π. b) ; ; 0 ; 5 ; ; 8 et + 0 π ; + 30π sont des points de la droite. c) ( ; 3) est un vecteur directeur de la droite, ( ; 6) en est un autre. + d) L'équation cartésienne de cette droite est : ( λ = ) =, 3 plus simplement : = 3 5.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - Eercice 5.8 : Dans Ñ on considère les points : A = 3; ; B = 5;7 et C = 7;. a) Un vecteur directeur de la droite passant par A et B est : AB = 5;7 3; = ;5 b) Une équation paramétrique de cette droite est : ; = 3; + λ ;5 λ Ñ c) 7; = 3; + ;5 ( λ = ), donc C est sur la droite. + 3 d) L'équation cartésienne de cette droite est : ( λ = ) =, 5 5 plus simplement : =. Eercice 5.9 : A = ; ; B = 0;3 et C = 5; Les points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont parallèles et donc multiples l'un de l'autre. AB = 0;3 ; = ; ; AC = 5; ; = 4; 4 = 4 AB, donc ces trois points sont alignés. Eercice 5.0* : Dans Ñ on considère les points : A = 37 ; 8 ; B = 5 ; 67 ; C = 8 ; 37 et D = 67 ; 5. a) Une équation paramétrique du segment de droite [A ; B] est : ; = 37 ; 8 + λ 5 + 37 ; 67 8 λ [0 ;]. ; = 37 ; 8 + λ 89 ; 95 λ [0 ;]. Le paramètre λ est limité entre 0 et. Pour λ = 0, l'équation correspond à A. Pour λ =, l'équation correspond à B. b) Une équation paramétrique de la demi-droite [C ; D) est : ; = 8 ; 37 + λ 67 + 8 ; 5 37 λ [0 ; [. Le paramètre λ est limité au nombres non négatifs. Eercice 6. : Soient deu droites D et D', d'équation paramétrique : ; = 3; + λ ;5 λ Ñ pour D et ; = ; 3 + λ 3;8 λ Ñ pour D'. Déterminez le point d'intersection de ces deu droites. Il faut se rendre compte que les deu paramètres λ sont indépendant l'un de l'autre et que la deuième équation peut aussi s'écrire : ; = ; 3 + µ 3;8 µ Ñ. Il faut donc satisfaire : ( ; = ) 3; + λ ;5 = ; 3 + µ 3;8. C'est un sstème de deu équations à deu inconnues λ et µ : 3 λ = 3µ λ + 3µ = 0λ + 5µ = 5 + 5λ = 3+ 8µ 5λ 8µ = 5 0λ 6µ = 0 µ = 5 et λ = 7 Le point d'intersection des deu droites est : ; = 3; + 7 ;5 = 7;37. Vérification : ; = ; 3 + 5 3;8 = 7;37 OK.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 3 Eercice 6. : Soient deu droites D et D', d'équation cartésienne : =,5 5,5 pour D et 8 5 = pour D'. 3 3 Déterminez le point d'intersection de ces deu droites. C'est un sstème de deu équations à deu inconnues et : =,5 5,5 8 5 8 5 5 8 5,5 5,5 = = 5,5 on multiplie par 6. = 3 3 3 3 3 3 6 5 = 33 50 = 7 = 7 et =,5 ( 7) 5,5 = 37 Le point d'intersection des deu droites est : ; = 7;37. 8 5 Vérification : 37 = ( 7) OK. 3 3 Eercice 6.3 : Soient deu droites D et D', d'équation paramétrique et cartésienne : ; = ; + λ 3;8 λ Ñ pour D et 5 = pour D'. Déterminez le point d'intersection de ces deu droites. On a : = 3λ et = + 8λ, que l'on peut substituer dans l'équation cartésienne : 5 + 8 λ = ( 3 λ), qui donne une équation à une inconnue. On trouve : λ = 6 Le point d'intersection des deu droites est : ; = ; + 6 3;8 = 7;37. 5 Vérification : 37 = ( 7) OK. Remarquons que les trois eercices précédents traitaient chaque fois l'intersection des deu mêmes droites, mais écrites de manières différentes! Les résolutions des trois derniers eercices de la page précédente montrent comment déterminer les intersections de droites. Eercice 6.4 : Dans Ñ on considère les points : A = ; ; B = 0;3 ; C = 3; et D = 5;0 Déterminez le point d'intersection des deu droites (AB) et (CD). ; = ; + λ ; λ Ñ pour (AB) et ; = 3; + µ ; µ Ñ pour (CD). Il faut donc satisfaire : ( ; = ) ; + λ ; = 3; + µ ;. C'est un sstème de deu équations à deu inconnues λ et µ : λ = 3+ µ 5 3 = + 3 µ µ = et λ = + µ = + λ = + µ 3 3 8 Le point d'intersection des deu droites est : ; = ; + ; = ;. 3 3 3 5 8 Vérification : ; = 3; + ; = ; OK. 3 3 3
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 4 Eercice 6.5 : Soient deu droites D et D', d'équation paramétrique et cartésienne : ; = p ; p + λ d ; d λ Ñ pour D et α + β = γ pour D'. a) Déterminez le point d'intersection de ces deu droites. b) Sous quelles conditions ces deu droites n'ont pas d'intersection? On a : = p + λ d et = p + λ d, que l'on peut substituer dans l'équation cartésienne : α ( p + λ d ) + β ( p + λ d ) = γ, qui donne une équation à une inconnue. α p + α λ d + β p + β λ d = γ λ ( α d + β d ) = γ α p β p γ α p β p On trouve : λ = α d + β d. Si le dénominateur est nul, les deu droites sont parallèles. Le point d'intersection des deu droites s'obtient en substituant λ dans l'équation paramétrique. b) Si le dénominateur α d + β d est nul, les deu droits sont parallèles. Si le point p ; p satisfait l'équation cartésienne, i.e. α p + β p = γ, alors les deu droites sont confondues, sinon elles n'ont pas d'intersection. Eercice 6.6 : Soient deu droites D et D', d'équation paramétrique : ; = p ; p + λ d ; d λ Ñ pour D et ; = q ; q + µ e ; e µ Ñ pour D'. a) Déterminez le point d'intersection de ces deu droites. b) Sous quelles conditions ces deu droites n'ont pas d'intersection? ; = p ; p + λ d ; d = q ; q + µ e ; e. Il faut donc satisfaire : ( ) C'est un sstème de deu équations à deu inconnues λ et µ : p + d λ = q + e µ e p e d λ = e q e e µ on additionne : p + d λ = q + e µ e p + e d λ = e q + e e µ e p + e d λ e p e d λ = e q e q λ ( e d e d ) = e q e q + e p e p e q e q + e p e p On trouve : λ = e d e d e ( q p ) e ( q p ) Remarque : λ =. e d e d. Si le dénominateur est nul, les deu droites sont parallèles. Le point d'intersection des deu droites s'obtient en substituant λ dans l'équation paramétrique. b) Si le dénominateur e d e d est nul, les deu droits sont parallèles. Si le point p ; p satisfait la deuième équation paramétrique (ce qui est le cas si et seulement si le numérateur e ( q p ) e ( q p ) est nul), alors les deu droites sont confondues, sinon elles n'ont pas d'intersection.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 5 Eercice 6.7 : Soient deu droites D et D', d'équation cartésienne : α + β = γ pour D et δ + ε = η pour D'. a) Déterminez le point d'intersection de ces deu droites. b) Sous quelles conditions ces deu droites n'ont pas d'intersection? C'est un sstème de deu équations à deu inconnues et : α + β = γ ε α + ε β = ε γ on additionne : δ + ε = η β δ β ε = β η ε α β δ = ε γ β η ( α ε β δ) = γ ε β η γ ε β η On trouve : =. Si le dénominateur est nul, les deu droites sont parallèles. α ε β δ α η γ δ On trouve : = par smétrie ou par substitution. α ε β δ Le point d'intersection des deu droites est le points de coordonnées ( ; ) ci-dessus. b) Si le dénominateur α ε β δ est nul, les deu droits sont parallèles. Si un des deu numérateurs de ou de est nul, alors l'autre est aussi nul et les deu droites sont confondues, sinon elles n'ont pas d'intersection. Eercice 7. : c = b a = ( b a ; b a ) a = a + a b = b + b c = ( b a) + ( b a) Le théorème de Pthagore indique que a et b sont perpendiculaires si et seulement si : a + b = c b c a a + a + b + b = ( b a ) + ( b a ) = b a b + a + b a b + a En simplifiant, on obtient : 0= a b a b = ( a b+ a b). Donc a et b sont perpendiculaires si et seulement si : a b = 0 c'est-à-dire : a et b sont perpendiculaires si et seulement si a b+ a b = 0 O Eercice 7. : Soit une droite D d'équation cartésienne : α + β = γ a) Deu points de cette droite sont : A = (0, γ / β) et B = (γ / α, 0). b) Un vecteur directeur est : d = b a = ( γ / α ; 0) (0 ; γ / β) = ( γ / α ; γ / β) En le multipliant par α β / γ on trouve le vecteur directeur : d = ( β ; α). c) Puisque ( β ; α) ( α ; β) = β α α β = 0, les deu vecteurs : ( β ; α) et ( α ; β ) sont perpendiculaires. Puisque (β ; α ) est un vecteur directeur de la droite, on a (α ; β ) est normal à cette droite. Il est utile de se rappeler que : (α ; β ) est un vecteur perpendiculaire à la droite d'équation : α + β = γ (β ; α) est un vecteur directeur de la droite d'équation : α + β = γ
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 6 Eercice 7.3 : Soient les droites : D : 4 = et D : 3 + 6 = 5. Un vecteur directeur de D est : ( ; 4) Un vecteur directeur de D est : (6 ; 3) On a : ( ; 4) (6 ; 3) = 6 + 4 ( 3) = 0, donc les directions de ses deu droites sont perpendiculaires, donc elles sont orthogonales. Eercice 8. : Soit P=( ; ) un point appartenant au cercle Γ de raon r et de centre C=(0 ; 0). Déterminez une équation reliant et. Un eercice similaire a déjà été vu en.4e). La distance entre le point P et l'origine O est constante égale à r. Cette distance est la norme du vecteur ( ; ), donc + = r. Pour éviter une racine carrée, on écrit : + = r. Eercice 8. : Soit P=( ; ) un point appartenant au cercle Γ de raon r et de centre C=(c ; c ). Déterminez une équation reliant et. La distance entre le point P et le point C est constante égale à r. Cette distance est la norme du vecteur ( ; ) (c ; c ). donc ( c) + ( c) = r. Pour éviter une racine carrée, on écrit : ( c ) + ( c ) = r c C=(c ; c ) r P=( ; ) En résumé l'eercice 8. montre que O c ( ; ) Γ ( c ) + ( c ) = r Cette équation s'appelle l'équation cartésienne du cercle Γ. Eercice 8.3 : Déterminez l'équation cartésienne du cercle de raon r et de centre C=(c ; c ) où : a) C=(3 ; 0) et r =. ( 3) + = 4 b) C=(7 ; 4) et r =. + + = ( 7) ( 4) c) C=(0 ; 0) et r =. Comment s'appelle ce cercle? + =. C'est le cercle trigonométrique. Utile pour l'eercice 8.4*.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 7 Eercice 8.4* : Déterminez une équation paramétrique du cercle de raon r et de centre C=(c ; c ). Les points sur le cercle trigonométrique, c'est-à-dire le cercle de centre (0 ; 0) et de raon sont : = cos( t) t [0 ; π[ C'est l'équation paramétrique du cercle trigonométrique. = sin( t) Une équation paramétrique du cercle de centre (0 ; 0) et de raon r est = r cos( t) t [0 ; π[ = r sin( t) Pour obtenir un cercle de centre (c ; c ) et de raon r, il suffit d'additionner (c ; c ) à ( ; ). = c + r cos( t) t [0 ; π[ est une équation paramétrique du cercle de centre (c ; c ) et raon r. = c + r sin( t) Eercice 8.5 : L'équation cartésienne + 4+ = 4 détermine bien un cercle. Quel est son centre et quel est son raon? Cette équation peut s'écrire sous la forme : + + + + = 4. On a ajouté deu fois 0, ce qui a l'avantage de mettre en évidence deu identités remarquables. L'équation devient : ( ) + ( + ) = 4+ +, donc ( ) + ( + ) = 9. C'est l'équation cartésienne d'un cercle de centre : ( ; ) et de raon 3. Eercice 8.6 : L'équation cartésienne + + 4= 0 détermine-t-il un cercle. Si oui, quel est son centre et quel est son raon? Il n'eiste aucune valeur de et de dans satisfaisant cette équation, elle ne détermine donc aucun point et donc aucun cercle. Eercice 8.7 : L'équation cartésienne 4 + 4 + 40 48+ 9 = 0 détermine-t-il un cercle. Si oui, quel est son centre et quel est son raon? On peut commencer par simplifier en divisant tout par 4 : + + 0 + 54, 75 = 0 Comme dans l'eercice 8.5, cette équation peut s'écrire sous une forme plus utile : + 5+ 5 5 + 6+ 6 6 + 54,75= 0. L'équation devient : ( + 5) + ( 6) = 5 + 36 54, 75, donc ( + 5) + ( 6) = 6, 5 =,5. C'est l'équation cartésienne d'un cercle de centre : ( 5 ; 6) et de raon,5. Eercice 8.9 : L'équation cartésienne 4 + 4 + 40 48+ 60 = 0 détermine-t-il un cercle. Si oui, quel est son centre et quel est son raon? On peut commencer par simplifier en divisant tout par 4 : + + 0 + 65 = 0 Comme précédemment, cette équation peut s'écrire sous une forme plus utile : + 5 + 5 5+ 6 + 6 6+ 65= 0. L'équation devient : ( + 5) + ( 6) = 5 + 36 65, donc ( + 5) + ( 6) = 4. Dans le plan, cette équation n'a pas de solution et ne détermine pas de cercle. Les mathématiciens ne s'arrêtent pas là et imagine un cercle de raon 4 = i dans le plan complees, indispensable à la phsique moderne (mécanique quantique).
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 8 Eercice 8.0 : a) Comment passer d'une équation cartésienne d'un cercle à une équation paramétrique du cercle? b) Comment passer d'une équation paramétrique d'un cercle à une équation cartésienne du cercle? a) Si le cercle est donné sous la forme ( c) + ( c) = r, alors, son centre et son raon sont = c + r cos( t) connus, donc l'équation paramétrique associée est immédiate : t [0 ; π[ = c + r sin( t) b) Dans l'autre sens, l'équation paramétrique donne le centre et le raon immédiatement. Eercice 8. : Soit Γ un cercle d'équation + + =. ( 3) ( ) 36 a) Donnez le centre et le raon de Γ. Centre = (3 ; ), raon = 6 b) Le point A=( ; 4) appartient-il à Γ? ( 3) + ( 4 + ) = + 4 36, donc non A Γ. c) Trouvez les coordonnées des points de Γ aant pour abscisse =. Il faut trouver les satisfaisant : ( 3) + ( + ) = 36 Donc ( + ) = 36 5=, donc + =±, = ±. Il a deu points de Γ aant pour abscisse =, qui sont : ( ; ) et ( ; ). d) Trouvez les coordonnées des points de Γ aant pour ordonnée = 0. Il faut trouver les satisfaisant : ( 3) + (0+ ) = 36 Donc ( 3) = 36 4= 3, donc 3=± 3 =± 4, = ±. Il a deu points de Γ aant pour ordonnée = 0, qui sont : (4 + 3; 0) et ( 4 + 3;0). Réponses en valeur eacte. Eercice 8. : Si cela est possible, déterminer le centre C et le raon r des cercles suivants : a) Γ : b) Γ : c) Γ : + 5 = 0. Centre = (0 ; 0), raon = 5. + + 36 = 0 pas de solutions, donc ce n'est pas un cercle. + 4 + 6 + 4= 0 3 4+ + + 6+ 3 3 + 4= 0 + + = + =. Centre = ( ; 3), raon = 3. ( ) ( 3) 4 9 4 9 d) Γ : + + 4 + 6 + 3= 0 3 + 4+ + + 6+ 3 3 + 3= 0 + + + = + =. ( ) ( 3) 4 9 3 0 Les solutions de cette équation se réduisent à un point qui est ( ; 3). Ce n'est pas un cercle.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 9 8., suite. e) Γ : + 8 6 = 0 3 8+ 4 4 + 6+ 3 3 = 0 + = + =. Centre = (4 ; 3), raon = 5. ( 4) ( 3) 6 9 5 f) Γ : + 7 = 0. Centre = (0 ; 0), raon = 7 = 3 3. g) Γ : + 8+ + 8= 0 Il est bon de simplifier par au départ : + 4+ 6+ 4= 0 C'est la même équation et donc le même cercle qu'en c). h*) Γ : 9 + 4 8 6 = 0 Cette fois, et ne sont pas multiplié par le même nombre. transformons cette équation : (3 ) 3 3+ 3 3 + ( ) 4 + 4 4 = 0. (3 3) + ( 4) = + 3 + 4. 3 ( ) + ( ) = 36. ( ) ( ) 3 On écrit généralement ceci sous la forme : + =. 3 Ce n'est pas l'équation d'un cercle, mais d'une ellipse, centrée en ( ; ), de demi petit ae = en et de demi grand ae = 3 en. = + cos( t) L'équation paramétrique correspondante est : t [0 ; π[ = + 3 sin( t) Eercice 8.3* : Déterminer l équation, le centre et le raon du cercle passant par les points : E = (3 ; ) ; F = (0 ; ) ; G = ( ; 4). Notons (s ; t) le centre du cercle. Les distances au centre doivent être les mêmes, donc : s + t = s + t = s + t On développe et simplifie par s + t. (3 ) ( ) (0 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ; ) 9 6s+ t = 4 4t = 4+ 4s+ 6+ 8t De la ème égalité, on a : 6 t = 4s, donc s = 4 3t. On substitue dans la première égalité : 6 ( 4 3 t) t+ 0 = 4 4t, donc 4 + 8t t+ 0 = 4 4t, 0t = 30, on trouve : t =, 5 et donc s = 4+ 3,5= s= 0,5 Maintenant que l'on a le centre, le raon au carré vaut : L'équation du cercle passant par ces trois points est : r = (0 0,5) + ( +,5) =,5 ( 0,5) + ( +,5) =,5 Eercice 9. : Soit le cercle Γ d'équation : + 5 = 0 et la droite D d'équation : ; = 8; + λ 7; λ Ñ Déterminez les points d'intersections de cette droite D et de ce cercle Γ. Il faut résoudre : ( 8+ 7 λ) + ( + λ) 5= 0 Donc 8 8 7λ+ 49λ + + λ+ λ 5 = 0 50λ 50λ+ 300 = 0 λ 5λ+ 6= 0 ( λ ) ( λ 3) = 0 Soit λ = et ; = 8; + 7; = 4;3 est un point d'intersection, soit λ = 3 et ; = 8; + 3 7; = 3;4 est un autre point d'intersection. Il n' en a pas d'autres.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - 0 Eercice 9. : Soit le cercle Γ d'équation : + + = et ( 3) ( 7) 69 0 la droite D d'équation : ; = 8;5 + λ ;7 λ Ñ. Déterminez les points d'intersections de cette droite D et de ce cercle Γ. Il faut résoudre : (8 + λ 3) + (5 + 7λ+ 6) 69 = 0 i.e. (5 + λ) + ( + 7 λ) 69 = 0 Donc 5 + 5 λ+ 4λ + + 7λ+ 49λ 69 = 0 53λ + 88λ = 0 Soit λ = 0 et ; = 8;5 est un point d'intersection, 88 88 48 05 soit λ = et ; = 8 ; 5 ; 7 = ; 53 53 53 53 0,905660377 ; 9,8308868 est un autre point d'intersection. Il n' en a pas d'autres. Eercice 9.3 : Soit le cercle Γ d'équation : + + = et ( 3) ( 7) 69 0 la droite D d'équation : ; = 0; 3 + λ ;7 λ Ñ. Déterminez les points d'intersections de cette droite D et de ce cercle Γ. On peut soit résoudre comme l'eercice précédent, soit se rendre compte qu'il s'agit du même cercle et de la même droite, décrite différemment, et donc les points d'intersections sont les mêmes. 4 On trouve pour λ : soit λ = 4, soit λ =. 53 Eercice 9.4 : Soit le cercle Γ d'équation : la droite D d'équation : = 3,5 3. + + = et ( 3) ( 7) 69 0 Déterminez les points d'intersections de cette droite D et de ce cercle Γ. Ici il est plus difficile de ce rendre compte que c'est de nouveau le même cercle et la même droite. Voici une résolution standard, par substitution : ( 3) + (3,5 3+ 7) 69 = 0, ( 3) + (3,5 6) 69 = 0 On développe : 6+ 9 + 3,5 3,5 6 + 6 69 = 0 Donc 3, 5 8+ 96 = 0 Le discriminant vaut : 8 94 4 48 48 05 Donc soit = = = et = 3,5 3 =. 3, 5 6,5 53 53 53 8 + 94 soit = = = 8 3,5 6,5 Ce sont bien les même que précédemment. Il n' en a pas d'autre, car ce sont les seules solutions des équations. = 8 4 3, 5 96 = 8836 = 94. 48 05 ; 53 53 et = 3,5 8 3 = 5. 8;5 est une autre intersection. est une intersection,
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - Eercice 9.5 : Soit le cercle Γ d'équation : + 50 = 0 et la droite D d'équation : = 3 +. Déterminez les points d'intersections de cette droite D et de ce cercle Γ. Voici une résolution standard, par substitution : + (3 + ) 50 = 0. On développe : + 9 + 6 + 50= 0. Donc 0 + 6 49 = 0 Le discriminant vaut : = 6 + 4 0 49 = 996. = 499 6 499 3 499 3 499 Donc soit = =,53383079 et = 3 + 6, 604937, 0 0 0 6 + 499 3+ 499 3+ 499 soit = =,93383079 et = 3 + 6,804937 est une autre 0 0 0 intersection. Il n' en a pas d'autre, car ce sont les seules solutions des équations. Eercice 9.6* : Soit les cercles Γ d'équation : Déterminez les points d'intersections de ces deu cercles. Ici, la résolution standard se fait en deu étapes : + 36 = 0 et Γ d'équation : Etape : Equation de Γ 8 6 3 0 8+ 6 + 3+ 36= 0 8 0 + =. ( 4) ( ) 3 0 + + + =, on lui soustrait l'équation de Γ. + = 4 + = 0 Donc = 4+ est l'équation de la droite passant par les deu points d'intersections. Etape : On est ramené à l'intersection d'une droite et d'un cercle. + ( 4 + ) 36= 0. On développe : + 6 88 + 36 = 0. Donc 7 88+ 85 = 0 Le discriminant vaut : = 88 4 7 85 = 964 = 4 49. 88 49 44 49 44 49 Donc soit = =, 8479953 et = 4 + 5,860889, 7 7 7 88 + 49 44 + 49 44 + 49 soit = = 3,89677636 et = 4 + 4,56670543 est une 7 7 7 autre intersection. Il n' en a pas d'autre, car ce sont les seules solutions des équations.
Corrigés des eercices du cours de géométrie Corrigé, Géométrie ème - Eercice 9.7* : Soit les cercles Γ d'équation : Déterminez les points d'intersections de ces deu cercles. Comme précédemment : + 9= 0 et Γ d'équation : Etape : Equation de Γ 36 4 0 + 36 + 4 + 9 = 0 4 0 + =. ( 6) ( ) 4 0 + + + =, on lui soustrait l'équation de Γ. + = 6 + = 0 Donc = 6+ semble être l'équation de la droite passant par les deu points d'intersections. Etape : On est ramené à l'intersection d'une droite et d'un cercle. + ( 6 + ) 9= 0. On développe : + 36 5 + 9 = 0. Donc 37 5+ 43 = 0 Le discriminant vaut : = 5 4 37 43 = 43. Le discriminant étant négatif, il n' a pas de solution. Ceci se voit facilement en traçant les deu cercles, qui sont trop éloignés l'un de l'autre pour avoir une intersection. Mais alors, que représente l'équation de la droite = 6+? Faites un dessin, c'est une droite perpendiculaire au segment reliant les deu centres, qui sépare les deu disques. Eercice 9.8* : Soit les ellipses E d'équation : + = et E d'équation : + =. 4 3 3 4 Déterminez les points d'intersections de ces deu ellipses. ( Il en a 4.) Par smétrie, on voit que = ±, et donc + = 4 3 5 6 9 + = = = 6 9 6 9 5 43 Donc =± =±, 4. 5, 4 ;, 4 ;, 4 ;, 4 ;, 4 ;, 4 ;, 4 ;, 4 Il a 4 solutions qui sont : { } Une autre résolution se fait en multipliant la première équation par 3 et la deuième par 4, puis en 4 4 4 3 les soustraant pour donner : 4 3 = 4 3, donc 4 3 = 3 4 3 4 On trouve que =± =±, 4, comme précédemment. 5