PARTIES GÉNÉRATRICES D'UN GROUPE. EXEMPLES

PARTIES GÉNÉRATRICES D'UN GROUPE. EXEMPLES SOMMAIRE 1. Sous-groupe engendré par une partie non vide S 1 1.1. Définition : sous-groupe < S > engendré par une partie non vide S 2 1.2. Définition : partie génératrice 2 1.3. Théorème : autres caractérisations de < S > 2 1.4. Cas particulier : groupe engendré par un seul élément 3 2. Exemples 3 2.1. Groupes monogènes 3 2.1.1. Définition : groupes monogènes 3 2.1.2. Définition : groupes cycliques 3 2.1.3. Théorème : structure des groupes monogènes 3 2.1.4. Théorème : générateurs des groupes monogènes 4 2.2. Groupes symétriques (engendrés par les cycles à supports disjoints) 5 2.2.1. Théorème : S n est engendré par les transpositions 5 2.2.2. Théorème : le groupe alterné A n est engendré par les 3-cycles 6 2.3. Groupes diédraux (engendrés par une symétrie et une rotation) 6 2.4. Groupe orthogomal (engendré par les reflexions) 8 2.5. Groupe linéaire (engendré par les matrices d'opérations élémentaires) : non démontré 9 Dans toute la leçon, (G,.) désigne un groupe (noté multiplicativement). I désigne un ensemble non vide (éventuellement infini non dénombrable). S désigne une partie non vide de G. Sous-groupe engendré par une partie (non vide) On rappelle que l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe : Soient H et K des sous-groupes de G. Alors H et K sont non vides, ils contiennent le neutre 1 de G. Donc 1 H K. Soient x et y dans H K. Comme x et y sont dans le sous-groupe H : xy 1 H De même, xy 1 H d'où : xy 1 H K Ce qui prouve bien que H K est un sous-groupe de G. Ce raisonnement marche encore avec une famille (quelconque) de sous-groupes. Ceci nous amène à la définition suivante : Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 1 G. COSTANTINI

1.1. Définition On appelle sous-groupe de G engendré par S le sous-groupe noté < S > et défini par : < S > = H sous-groupe de G H S H 1.2. Définition Si < S > = G, on dit que S est une partie génératrice de G. On dit que G est de type fini s'il admet au moins une partie génératrice de cardinal fini. 1.3. Théorème On a les caractérisations suivantes : 1) < S > est le plus petit sous-groupe, au sens de l'inclusion, contenant S 2) < S > = {x 1... x n où i 1, n, x i S S 1 } n (< S > est l'ensemble des produits constitués d'éléments de S ou de S 1 ) S 1 = {s 1, s S} 1) Soit H un sous-groupe de G contenant S : H S Comme H H sous-groupe de G H S H, on a : H < S > Donc tout sous-groupe H contenant S contient le sous-groupe < S >. Ce qui prouve bien que < S > est le plus petit (au sens de l'inclusion). 2) Notons H = n {x 1... x n où i 1, n, x i S S 1 } Montrons déjà que H est un sous-groupe de G : H est non vide, il contient 1. (Car S étant non vide, on a pour un x de S : 1 = xx 1 H) Soient h et k dans H. Notons : h = x 1... x n et k = y 1... y m où x i, y j S S 1 Alors : hk 1 = x 1... x n (y 1... y m ) 1 1 = x 1... x n y m... Donc H est bien un sous-groupe de G. De plus, H contient évidemment S. Montrons que c'est le plut petit : Soit K un sous-groupe de G contenant S. Alors, (K étant un sous-groupe) : x S K, x K et x 1 K Donc H K. 1 y 1 H n *, (x 1,... x n ) (S S 1 ) n, x 1... x n K H est bien le plus petit sous-groupe de G contenant S, donc d'après 1), H = < S >, ce qui prouve 2). Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 2 G. COSTANTINI

1.4. Cas particulier : Si S = {a}, alors : < S > not = < a > = n {x 1... x n où i 1, n, x i = a ou x i = a 1 } Or, a et a 1 commutent, donc : < S > = n {a p a q, p + q = n} = {a n, n } Moralité : un groupe monogène (engendré par un seul élément a) se compose des puissances de a. On reprendra l'étude des groupes monogènes en 2.1. 2. Exemples 2.1. Groupes monogènes 2.1.1. Définition S'il existe un élément x de G tel que G = <{a}> (on note plutôt < a >), on dit que G est monogène. On dit alors que a est un générateur de G. D'après 1.4., on a alors : G = {a n, n } 2.1.2. Définition On dit qu'un groupe est cyclique s'il est monogène et fini. Exemples : Typiquement : (, + ) 2.1.3 Théorème n Tout groupe monogène < a > est soit infini et isomorphe à (, +), soit fini et isomorphe à (, m + ), m *. On considère l'application : Im(ϕ a ) = < a > donc ϕ a est surjectif. ϕ a : < a > n a n ϕ a (n + n') = a n+n' = a n a n' = ϕ a (n) ϕ a (n') donc ϕ a est un morphisme de groupes. On sait que le noyau d'un morphisme de groupe est un sous-groupe, donc : Ker(ϕ a ) = {n a n = 1} est un sous-groupe de Par conséquent, il existe m tel que : Ker(ϕ a ) = m Deux cas se présentent alors : m = 0 : et alors Ker(ϕ a ) = {0}, ϕ a est injective et donc bijective. Donc < a > est infini et isomorphe à (, +). m * : dans ce cas, ϕ a n'est pas injective. Mais : ϕ a (n) = ϕ a (n') a n = a n' a n n' = 1 n n' Ker(ϕ a ) n n' m n = n' [m] ϕ a (n) ne dépend donc que de la classe n de n modulo m. Définissons alors : ϕ a : = Ker( ϕ a ) m < a > Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 3 G. COSTANTINI

n a n Ainsi, ce nouveau morphisme Donc < a > est isomorphe à ϕa est injectif (puisque m. On dit que l'on a factorisé le morphisme ϕ a : ϕ a ( n ) = ϕ a ( n ) n = n ) et surjectif. n p ϕ a < a > ϕ a a n m n L'entier m * vérifie donc a m = 1 et c'est le plus petit. (En effet : a k = 1 k Ker(ϕ a ) k m ) Cet entier m s'appelle l'ordre de l'élément a. 2.1.4. Théorème Soit G un groupe monogène : G = < a > 1) Si G est infini, alors ses seuls générateurs sont a et a 1. 2) Si G est fini d'ordre n, alors ses générateurs sont d'ordre n et sont les a k où (k, n) = 1. 1) Puisque a est générateur, a 1 l'est également : g G, n, g = a n = (a 1 ) n Soit b un générateur de G. Comme a est générateur : u, b = a u Comme b est générateur : v, a = b v On a donc : b = b uv b 1 uv = 1 Or, b n'est pas d'ordre fini. (S'il l'était, il ne pourrait pas être générateur) Donc : 1 uv = 0 uv = 1 Et comme u et v sont des entiers : u = 1 ou u = 1 D'où: b = a ou b = a 1 2) Soit b un générateur de G. Montrons que b est d'ordre n. D'après le théorème de Lagrange, on sait que l'ordre de b divise n. S'il le divisait strictement, b ne pourrait pas engendrer G, donc b est d'ordre n. Soit maintenant un entier k tel que b = a k soit générateur. Comme b est générateur : u, a = b u On a donc : b = b ku b 1 ku = 1 Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 4 G. COSTANTINI

Or, l'ordre de b est égal à n (car b est générateur), donc : v, 1 ku = vn D'après le théorème de Bézout, on déduit : (k, n) = 1 Réciproquement, supposons (k, n) = 1 et montrons que b = a k est générateur : D'après le théorème de Bézout : (u, v) 2, uk + vn = 1 Comme a est d'ordre n, on a alors : (a k ) u = a uk = a 1 vn = a (a n ) v = a Ce qui prouve que a est une puissance de a k, donc G = < a k >. Remarque : d'après 2.1.3., on pouvait aussi se ramener aux propriétés de (, +) et (, ) n +. 2.2. Groupes symétriques Soit n \ {0 ; 1}. On note S n le groupe des bijections de 1, n. (Groupe symétrique d'ordre n!) On rappelle que S n est engendré par les cycles à supports disjoints. (Voir leçon sur le groupe des permutations). 2.2.1. Théorème 1) S n est engendré par les transpositions. 2) S n est engendré par les n 1 transpositions : (1, i) où i 2, n 3) S n est engendré par les n 1 transpositions : (i, i + 1) où i 1, n 1 On rappelle que toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints deux à deux. (Voir la leçon sur le groupe symétrique) 1) Il suffit donc de le démontrer pour un cycle. Par récurrence immédiate sur la longueur r. On considère la propriété : Retenir qu'un r-cycle peut H r : tout r-cycle (α 1, α 2,..., α r ) s'écrit τ 1 τ 2... τ r 1 s'écrire comme un produit de où les τ i (1 i r 1) sont des transpositions r 1 transpositions. On a H 2 car un 2-cycle est une transposition. Supposons : H r pour un certain entier r. Soit c = (β 1, β 2,..., β r+1 ) un cycle de longueur r + 1. On remarque que : c = (β 1, β r+1 )(β 1, β 2,..., β r ). Or, (β 1, β 2,..., β r ) est un cycle de longueur r, donc peut (par hypothèse de récurrence) s'écrire τ 1 τ 2... τ r. Posons τ = (β 1, β r+1 ). On a donc c = τ τ 1 τ 2... τ r, ce qui est H r+1. D'où 1). 2) Il suffit de remarquer que toute transposition (i, j) peut s'écrire : Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 5 G. COSTANTINI

(i, j) = (1, j)(1, i)(1, j) 3) Par récurrence. Soit (i, j) une transposition. On considère la propriété : (k) : toute transposition (p, q) avec p q k s'écrit comme un produit de transpositions du type (i, i + 1) où i 1, n 1 On a (1). (La transposition (p, p + 1) est déjà du type souhaité) Montrons que, pour tout k 1, n 2, on a : (k) (k + 1) Soit (p, q) une transposition telle que p q k + 1. On remarque que : (p, q) = (p, q 1)(q 1, q)(p, q 1) Or, par hypothèse de récurrence, la transposition (p, q 1) s'écrit comme un produit de transpositions du type (i, i + 1) où i 1, n 1. Il en est donc de même pour la transposition (p, q). D'où (k + 1). D'après le principe de raisonnement par récurrence, on en déduit 3). 2.2.2. Théorème Pour n 3, le groupe alterné A n est engendré par les 3-cycles Soit σ A n. Par définition de la signature, σ s'écrit donc comme un produit d'une nombre pair de transpositions. Or, on remarque que tout produit de deux transpositions est un 3-cycle ou un produit de 3-cycle : (a, b)(b, c) = (a, b, c) (a, b)(a, c) = (a, c, b) (a, b)(c, d) = (a, b)(b, c)(b, c)(c, d) = (a, b, c)(b, c, d) D'où le résultat. 2.3. Groupes diédraux 2.3.1. Propriété - Définition L'ensemble G des isométries d'un polygone régulier convexe A 0 A 1... A n 1 à n côtés de centre O est un groupe. On l'appelle groupe diédral. Son ordre est 2n. G est engendré par r et s où s est la symétrie d'axe (OA 0 ) et r la rotation de centre O qui envoie A 0 en A 1. On note r i la rotation de centre O qui envoie A 0 en A i. (0 i n 1) 1) Il est clair que G est un sous-groupe du groupe symétrique S n. D'après le théorème de Lagrange, on peut affirmer que l'ordre de G divise n! Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 6 G. COSTANTINI

2) a) g possède dèjà deux points fixes. Il y a évidemment A 0. Mais également O. En effet, comme g est affine, elle conserve le barycentre d'une famille de points. Donc g(o) = O. (Car O est l'isobarycentre de A 0, A 1,... A n 1 ) En conséquence, g fixe la droite (A 0 O). (Puisque cette droite est l'ensemble des barycentres de A 0 et O) On en déduit : g = s ou g = Id b) On a : 1 ri o g(a 0 ) = 1 r i (A i ) = A 0. Et d'après a) : D'où : 1 ri o g = s ou 1 ri o g = Id g = r i o s ou g = r i De plus, ces deux isométries sont bien distinctes puisque l'on a, par exemple : r i o s(a 1 ) = r i (A n 1 ) = A i 1 [n] et r i (A 1 ) = A i+1 [n] Or, i 1 = i + 1 [n] entraîne, 2 = 0 [n] ce qui est exclu car n 3. Donc r i o s(a 1 ) r i (A 1 ). c) D'après les questions a) et b), on a examiné toutes les possibilités de transformation du point A 0. (À chaque image possible de A 0 correspond deux isométries distinctes). On a la liste des isométries suivantes : Id, r 1, r 2,..., r n 1, r 1 o s, r 2 o s,..., r n 1 o s En notant r = r 1, on a bien : G = < r, s > L'ordre de G est 2n. (Et : < r > = n, < s > = 2) 3) a) Calcul des composés d'éléments de G : r o s o r(a 0 ) = r o s(a 1 ) = r(a n 1 ) = A 0. Donc, d'après 2)a) : Or : D'où : b) Utilisons r o s = s o r 1. (D'après 3)a)) r o s o r = Id ou r o s o r = s r o s o r(a 1 ) = r o s(a 2 ) = r(a n 2 ) = A n 1. Donc r o s o r Id. r o s o r = s s o r o s o r = Id (On a aussi : r o s o r o s = Id) (r i o s) o (r j o s) = r i o s o r o... o r o s = r i o s o s o r j = r i j Illustration des axes de symétries dans les cas impairs et pairs : j fois O O A 0 A 0 Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 7 G. COSTANTINI

2.4. Groupe orthogonal Théorème Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Le groupe orthogonal de E est engendré par les réflexions : ƒ O n (E), s 1,..., s n réflexions de E telles que : ƒ = s 1 o... o s n On raisonne par récurrence sur la dimension de l'espace. On considère la propriété : (n) : pour tout espace vectoriel euclidien E de dimension n, on a ƒ O n (E), s 1,..., s n réflexions de E telles que : ƒ = s 1 o... o s n Si n = 1, et ƒ O 1 (E), alors : Montrons que, pour n 2 : (n 1) (n) ƒ = Id ou ƒ = Id Soit E e.v.e. de dimension n et ƒ O n (E). Distinguons deux cas : 1) ƒ possède un point fixe non nul x 0 : ƒ(x 0 ) = x 0 Notons D = Vect(x 0 ) et F = D. Alors ƒ D est égale à Id D. ( y D, λ, y = λx 0 et ƒ(y) = λƒ(x 0 ) = λx 0 = y) Montrons que ƒ est stable sur F : y F, (x 0 ƒ(y)) = (ƒ 1 (x 0 ) y) = (x 0 y) = 0 Donc ƒ(y) D = F 0 D x 0 F Donc ƒ F est un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien de dimension n 1. Comme la restriction d'un endomorphisme orthogonal est encore un endomorphisme orthogonal, on a, d'après (n 1) : il existe des réflexions s 1 o... o s n 1 de F telles que : ƒ F = s 1 o... o s n 1 Comme E = D F, on sait comment ƒ agit sur E tout entier : x E, (x 1, x 2 ) D F, x = x 1 + x 2 ƒ(x) = ƒ(x 1 ) + ƒ(x 2 ) = Id(x 1 ) + s 1 o... o s n 1 (x 2 ) = x 1 + s 1 o... o s n 1 (x 2 ) Or, s 1 o... o s n 1 (x 1 ) = x 1 car x 1 F, d'où : On pose s n = Id, ainsi : Ce qui est (n). 2) ƒ ne possède pas de point fixe non nul. ƒ(x) = s 1 o... o s n 1 (x) ƒ = s 1 o... o s n 1 ƒ = s 1 o... o s n 0 D x 0 H Donc il existe x 0 E \ {0} tel que : ƒ(x 0 ) x 0 Soit H l'hyperplan médiateur du segment [x 0, ƒ(x 0 ]. Soit d la réflexion par rapport à H. On a alors : d(x 0 ) = ƒ(x 0 ) Donc, en appliquant d : x 0 = d o ƒ(x 0 ) ƒ(x 0) Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 8 G. COSTANTINI

Comme d o ƒ a un point fixe non nul, d'après le cas précédent, il existe des réflexions s 1,..., s n 1 telles que : d o ƒ = s 1 o... o s n 1 Donc : ƒ = d o s 1 o... o s n 1 Là encore, ƒ est un produit de n réflexions, d'où (n). Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit le théorème. 2.5. Groupe linéaire Théorème Le groupe linéaire est engendré par les matrices d'opérations élémentaires (dilatations, transvections et transpositions) Parties génératrices d'un groupe. Exemples Page 9 G. COSTANTINI