() Compléments de géométrie 1 / 33

Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33

1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33

Plan 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 3 / 33

On considère le plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormal (O; e 1, e 2 ). Rappel : on peut utiliser les complexes pour faire de la géométrie (voir le cours sur C). En bref, un point M (ou le vecteur OM) de coordonnées (x, y) est associé au complexe z = x + iy. Le module z correspond à la distance OM et l argument arg(z) est une mesure l angle (Ox, OM) en radians. () Compléments de géométrie 4 / 33

Proposition Soit A, B, C, D quatre points d affixes respectives a, b, c et d dans le plan complexe. 1 La distance AB est donnée par : AB = b a. 2 Une mesure de l angle orienté ( ) AB, CD est donnée par : ( ) ( d c ) AB, CD = arg. b a En particulier, on a l équivalence suivante : ( ) CD AB = k et ( ) AB, CD = θ d c b a = k eiθ. Cette proposition permet en particulier d interpréter l alignement, l orthogonalité. () Compléments de géométrie 5 / 33

Démonstration. Les affixes des vecteurs sont AB = b a et CD = d c. La distance AB est la norme du vecteur AB, donc le module de son affixe, c est à dire a b. On décompose ( AB, CD ) = ( AB, e1 ) + ( e1, CD ) = ( e1, AB ) + ( e1, CD ) = arg(b a) Finalement d c b a = d c b a (i exp arg ( )) d c = ke iθ b a () Compléments de géométrie 6 / 33

Corollaire Soient A, B, C et D trois points distincts d affixes respectives a, b, c et D dans le plan complexe. 1 Les points A, B et C sont alignés si et seulement si le quotient b c a c est un nombre réel. 2 Les vecteurs AB et CD sont orthogonaux si et seulement si le quotient b a d c Démonstration. est imaginaire pur. 1 D après le résultat précédent, b c est un réel si et seulement si a c l angle θ = ( CA, CB) vaut 0 ou π. C est-à-dire : les vecteurs CA et CB sont colinéaires. Les trois points sont bien alignés. b a 2 est un imaginaire pursi et seulement si l angle θ = ( CD, AB) d c vaut ±π/2. C est-à-dire les vecteurs CD et AB sont orthogonaux. () Compléments de géométrie 7 / 33

Plan 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 8 / 33

Définition Un point pondéré (A, α) du plan est la donnée d un point A et d un réel α, appelé masse du point A. Un système de points pondérés est un ensemble fini de points pondérés {(A 1, α 1 ),..., (A n, α n )}. La quantité m = α 1 + + α n est appelée la masse du système. Remarque: Notons que la masse d un point pondéré peut être positive, négative ou nulle. () Compléments de géométrie 9 / 33

Définition À tout système de points pondérés {(A 1, α 1 ),..., (A n, α n )} du plan P, on associe la fonction vectorielle de Leibniz f : P P M qui, à tout f (M) point M, associe le vecteur f (M) = α 1 MA1 + α 2 MA2 + + α n MA n. Par exemple, la fonction vectorielle de Leibniz du système {(A, 3), (B, 1), (C, 0)} associe à M le vecteur f (M) = 3 MA MB + 0 MC = 3 MA MB. () Compléments de géométrie 10 / 33

Proposition Soit {(A 1, α 1 ),..., (A n, α n )} un système de points pondérés du plan. Alors : n Si m = α k = 0, la fonction vectorielle de Leibniz est constante. Si m = k=1 n α k 0, il existe un unique point G, appelé barycentre du k=1 système, tel que f (G) = 0, c est-à-dire α 1 GA1 + α 2 GA2 + + α n GAn = 0. On a alors, pour tout point M du plan, f (M) = m MG, c est-à-dire m MG = α 1 MA1 + α 2 MA2 + + α n MA n. On note alors G = Bar{(A 1, α 1 ),..., (A n, α n )}. () Compléments de géométrie 11 / 33 ( )

Attention, un système de points pondérés de masse nulle n a pas de barycentre puisque sa fonction vectorielle est constante. Par exemple, la fonction vectorielle de Leibniz du système {(A, 2), (B, 1), (C, 3)} est constante puisque 2 MA + MB 3 MC = 2 MA + ( ) ( ) MA + AB 3 MA + AC = AB 3AC et que cette expression ne dépend pas de M. La relation ( ) permet de positionner le barycentre par rapport à n importe quel point. Avec l origine O d un repère (O; e 1, e 2 ), on obtient : m OG = α 1OA1 + +α noan donc OG = α 1 OA 1 + + α n OA n. m m () Compléments de géométrie 12 / 33

Proposition On rapporte le plan P à un repère cartésien R = (O; e 1, e 2 ). Soit S = {(A 1, α 1 ),..., (A n, α n )} un système de points pondérés du plan. On suppose que le poids m = n k=1 α k du système de points pondérés est non nul. Si l on note (x k, y k ) les coordonnées de chacun des points A k dans le repère R, alors les coordonnées (x G, y G ) du barycentre du système S dans le repère R sont données par : x G = n α k x k = m k=1 n α k x k k=1 et y n G = α k k=1 n α k y k = m k=1 n α k y k. n α k k=1 k=1 () Compléments de géométrie 13 / 33

Proposition Si le repère R est orthonormé direct, et si l on note z k l affixe de chacun des points A k, alors l affixe z G du barycentre du système S est : z G = n α k z k = m k=1 n α k z k. n α k Remarque: Lorsque l on multiplie tous les poids d un système de points pondérés par une même constante réelle non nulle, le barycentre, s il existe, ne change pas. Ainsi, on a k=1 k=1 Bar{(A, 4), (B, 8)} = Bar{(A, 1), (B, 2)}. () Compléments de géométrie 14 / 33

Définition Lorsque tous les poids d un système de points pondérés sont égaux et non nuls, on parle alors d isobarycentre. Il revient alors au même d attribuer la valeur 1 à tous les poids du système. L isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB]. L isobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC. () Compléments de géométrie 15 / 33

Remarque: Si A, B, C et D sont quatre points du plan d affixes respectives z A, z B et z C, alors : le milieu M du segment [AB] a pour affixe z M = z A + z B. 2 le centre de gravité G du triangle ABC a pour affixe z G = z A + z B + z C. 3 Pour tous réels a, b, c et d tels que a + b + c + d 0 et a + b 0, le barycentre du système { (A, a), (B, b), (C, c), (D, d) } est aussi le barycentre du système { (E, a + b), (C, c), (D, d) } où E est le barycentre du système { (A, a), (B, b) }. Ce résultat, qu on généralise facilement à plusieurs points, est la propriété d associativité du barycentre. () Compléments de géométrie 16 / 33

Plan 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 17 / 33

Rappels sur des transformations courantes Translation de vecteur v : La translation t v de vecteur v associe à tout point A du plan le point A = t v (A) défini par AA = v. Une translation de vecteur non nul n a aucun point invariant. () Compléments de géométrie 18 / 33

Rotation de centre Ω et d angle orienté θ : La rotation r Ω,θ de centre Ω et d angle orienté θ associe à tout point A du plan le point A = r Ω,θ (A) défini par { ΩA = ΩA ( ΩA, ΩA ) = θ. Une rotation d angle non nul a un unique point invariant qui est le centre Ω de cette rotation. () Compléments de géométrie 19 / 33

Symétrie orthogonale (réflexion) d axe : La symétrie S d axe la droite associe à tout point A du plan l unique point A = S (A) tel que la droite est la médiatrice du segment [A, A ]. Les points invariants par une symétrie orthogonale sont les points de l axe de cette symétrie. () Compléments de géométrie 20 / 33

Les translations, les rotations et les symétries sont des isométries du plan : pour tous points A et B du plan d images respectives A et B, on a A B = AB. Une isométrie est une bijection du plan sur lui-même (ce que l on appelle communément une transformation du plan ). Les translations, les rotations et les symétries sont donc des transformations du plan. () Compléments de géométrie 21 / 33

Les translations et les rotations conservent les angles orientés de vecteurs : si l on note A, B et C les images par une translation ou une rotation de trois points A, B, C, alors on a ( A B, A C ) = ( AB, AC). Les symétries changent les angles orientés de vecteurs en leurs opposés : si l on note A, B et C les images par une symétrie de trois points A, B, C, alors on a ( A B, A C ) = ( AB, AC). () Compléments de géométrie 22 / 33

Homothétie de centre Ω et de rapport k : L homothétie h Ω,k de centre Ω et de rapport le réel k associe à tout point A du plan le point A = h Ω,k (A) défini par ΩA = k ΩA Une homothétie de rapport k 1 a un unique point invariant qui est le centre Ω de cette rotation. Les homothéties de rapport k ne sont pas des isométries mais des similitudes de rapport k : pour tous points A et B du plan d images respectives A et B, on a A B = k AB. Les homothéties conservent les angles orientés de vecteurs. On dit que les homothéties sont des similitudes directes (cf plus bas). () Compléments de géométrie 23 / 33

Les transformations z az + b du plan complexe La transformation z az avec a 0 Théorème Soit a C. On note f la transformation du plan complexe représentée par ϕ : z az. Si a est réel, alors f est l homothétie de centre O et de rapport a. Si a = 1, alors f est la rotation de centre O et d angle θ = arg(a). Dans les autres cas, f est la composée de l homothétie de centre O, de rapport a, et de la rotation de centre O et d angle θ = arg(a). () Compléments de géométrie 24 / 33

Démonstration. Soit A un point du plan complexe, d affixe z. On appelle A le point du plan complexe d affixe z = φ(z) = az. On rappelle que z (resp. z ) est aussi l affixe du vecteur OA (resp. OA ). Si a est réel. Alors z = az implique OA = a OA Donc A est l image de A par l homothétie de centre O et de rapport a. Si a = 1, alors il existe θ R tel que a = e iθ. On écrit z sous forme exponentielle z = z e i arg(z). Alors z = e iθ z e i arg(z) = z e i(arg(z)+θ) Donc z = z, c est à dire OA = OA. De plus ( OA, OA ) = arg( z z ) = arg z ei(arg(z)+θ) z e i arg(z) = arg e iθ = θ Donc A est l image de A par la rotation de centre O et d angle θ = arg a. () Compléments de géométrie 25 / 33

Sinon, on écrit sous forme exponentielle a = a e iθ, donc z = a e iθ z }{{} Or z = e iθ z est l image de z par la rotation de centre O et d angle θ = arg a. On a donc z = a z donc z est l image de z par l homothétie de centre O et de rapport a. Finalement, z est l image de z par successivement la rotation de centre O et d angle arg a et l homothétie de centre O et de rapport a. () Compléments de géométrie 26 / 33

Le cas général Théorème La transformation z az + b, où (a, b) C C, définit une similitude directe f. On peut préciser que 1 f est une translation si, et seulement si, a = 1. 2 f est une homothétie ou une translation si, et seulement si, a R. 3 f est un rotation ou une translation si, et seulement si, a = 1. () Compléments de géométrie 27 / 33

Technique: Déterminer la nature de la transformation f associée à ϕ : z az + b avec a 0 : Si a = 1 et b = 0, alors tous les points du plan sont fixes et f est l application identité du plan. Si a = 1 et b 0, alors la transformation f correspondant à ϕ : z z + b est la translation de vecteur v d affixe b. Cette transformation ne possède aucun point fixe. () Compléments de géométrie 28 / 33

Supposons maintenant que a 1. L équation az + b = z admet alors pour unique solution ω = b et donc la transformation f admet pour unique 1 a b point invariant le point Ω d affixe 1 a. En soustrayant les égalités ω = aω + b et ϕ(z) = az + b, on obtient : z C, On a donc, pour tout z ω, ϕ(z) ω = a(z ω). ϕ(z) ω z ω = a = a ei arg(a). Si M et M sont les points d affixes z et ϕ(z), on obtient : { ΩM = a ΩM ( ΩM, ΩM ) = arg(a). On en déduit que f est la composée de l homothétie h de centre Ω et de rapport k = a et de la rotation r de même centre Ω et d angle θ = arg(a). On a donc f = r h = h r car h et r commutent pour la loi (car elles ont même centre). () Compléments de géométrie 29 / 33

Remarque: Toute similitude plane directe f transforme : 1 deux droites parallèles en deux droites parallèles ; 2 un cercle C de centre A et de rayon r en le cercle de centre f (A) et de rayon λr où λ est le rapport de la similitude f. 3 le barycentre d un système de points pondérés {(A 1, α 1 ),..., (A n, α n )} en le barycentre du système {(f (A 1 ), α 1 ),..., (f (A n ), α n )}. () Compléments de géométrie 30 / 33

Deux autres transformations Proposition Soit la transformation ϕ : z 1/z définie sur C. conserve l argument et inverse le module. La transformation du plan représentée par ϕ s appelle l inversion géométrique de centre O et de rapport 1. Remarque: Si z = r e iθ, on a ϕ(z) = 1 r eiθ. Le module est bien inversé et l argument conservé. () Compléments de géométrie 31 / 33

On peut démontrer que les points O, M(z) et M(ϕ(z)) sont alignés pour tout z C. On peut aussi démontrer que par une inversion géométrique : 1 l image d une droite passant par O (mais privée de O) est elle-même, 2 l image d une droite ne passant pas par O est un cercle ne passant pas par O, 3 l image d un cercle passant par O (mais privé de O) est une droite ne passant pas par O, 4 l image d un cercle ne passant pas par O est un cercle ne passant pas par O. () Compléments de géométrie 32 / 33

Corollaire La transformation ψ : z 1/z définie sur C change l argument en son opposé et inverse le module. La transformation du plan représentée par ψ s appelle l inversion complexe. Démonstration. C est la composée de l inversion géométrique de centre O et de rapport 1 et de la symétrie orthogonale par rapport à l axe des réels. () Compléments de géométrie 33 / 33