Pour bien démarrer l année

Pour bien démarrer l année Ce chapitre a un statut un peu particulier par rapport à tous ceux qui vont suivre : nous allons y étudier les bases de la logique mathématique, y définir quelques notions élémentaires que nous utiliserons toute l année, et enfin y faire quelques rappels d analyse de Terminale Ne paniquez pas si vous n aimez pas ce chapitre, les chapitres suivants ressembleront davantage à ceux que l on vous a enseignés au lycée 1 Un peu de logique Convenons d appeler proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question : p est-elle vraie? La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions, mais par exemple, «Dis-le-moi!», «Bonjour» ou «Comment vas-tu?» n en sont pas; la question «Est-il vrai que bonjour?» n a aucun sens La valeur de vérité d une proposition est soit le vrai V), soit le faux F) Deux propositions qui ont la même valeur de vérité sont dites équivalentes ; cela veut dire qu elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses Cette notion est très importante : quand vous devez démontrer une proposition p, vous n êtes pas obligé de démontrer p elle-même ; il suffit que vous démontriez n importe quelle proposition q équivalente à p Exemple «Socrate n est pas immortel» et «Socrate est mortel» sont deux propositions équivalentes; démontrer l une, c est démontrer l autre 11 Connecteurs logiques On appelle connecteur logique tout moyen de construire une proposition unique à partir d une ou plusieurs propositions Par exemple, «et», «ou», «si, alors» et «parce que» sont des connecteurs : à partir des propositions «J ai faim» et «J ai soif», on peut construire une nouvelle proposition «J ai faim et j ai) soif» Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d une proposition construite à l aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction Ainsi la proposition «p et q» est vraie si et seulement si les deux propositions p et q sont vraies Peu importent le contenu exact, le sens exact de p et q : seule leur vérité compte En mathématiques, tous les connecteurs logiques sont vérifonctionnels L intérêt des connecteurs vérifonctionnels réside dans la facilité avec laquelle on peut les définir Par exemple, pour définir le connecteur «et», il suffit de décrire, en fonction de la valeur de vérité de p et q, la valeur de vérité de la proposition «p et q» : par définition, «p et q» est vraie si p et q le sont, et fausse dans tous les autres cas Par souci de clarté, on présente généralement cette définition sous forme d un tableau appelé table de vérité : p q p et q V V V V F F F V F F F F Pour votre propre culture, remarquez bien que certains connecteurs logiques ne sont pas vérifonctionnels C est le cas du connecteur «parce que» Imaginons en effet un contexte dans lequel il est vrai que «Ses lunettes sont cassées parce qu il s est assis dessus» Alors les deux propositions «Ses lunettes sont cassées» et «Il s est assis dessus» sont vraies Remplaçons à présent «Il s est assis dessus» par «La glace est un solide», elle aussi vraie Si le connecteur «parce que» était vérifonctionnel, notre nouvelle proposition «Ses lunettes sont cassées parce que la glace est un solide» devrait encore être vraie ; ce qui n est pas le cas Cette absurdité prouve que «parce que» n est pas vérifonctionnel 111 Négation non La proposition «non p» est vraie si p est fausse, fausse si p est vraie p V F non p F V Loi de la double négation : p et «non non p)» sont deux propositions équivalentes On s en rend compte en observant la table suivante : p non p non non p) V F V F V F Colonnes identiques 1

112 Conjonction et, disjonction ou La proposition «p et q» est vraie si p et q sont vraies, fausse dans tous les autres cas Quant à la proposition «p ou q», elle est vraie si p est vraie ou si q est vraie éventuellement les deux), fausse dans le seul cas où p et q sont fausses toutes les deux p q p et q p ou q V V V V V F F V F V F V F F F F Attention! Dans le langage usuel, il arrive que le «ou» oppose les termes qu il relie : dans l expression «fromage ou dessert», le «ou» est exclusif car il exclut la possibilité qu on choisisse les deux fromage et dessert) Au contraire, en mathématiques, «ou» est inclusif : «p ou q» est vraie même quand p et q sont vraies Lois de De Morgan : «non p et q)» et «non p) ou non q)» sont deux propositions équivalentes «non p ou q)» et «non p) et non q)» sont deux propositions équivalentes p q non p non q p et q non p et q) non p) ou non q) p ou q nonp ou q) non p) et non q) V V F F V F F V F F V F F V F V V V F F F V V F F V V V F F F F V V F V V F V V Colonnes identiques Colonnes identiques Exemple Ces deux phrases sont équivalentes : { «Je n aime ni le chocolat ni la vanille» «non p) et non q)» «Il est faux que j aime le chocolat ou la vanille» «non p ou q)» 113 Implication = La proposition «p = q» se lit «p implique q» ou «si p, alors q» Elle est vraie si p est fausse ou si q est vraie, fausse uniquement lorsque p est vraie et q fausse Elle répond à la question : si on suppose que p est vraie, q l est-elle aussi? La proposition p est appelée l antécédent de l implication «p = q», et q est appelée son conséquent p q p = q V V V V F F F V V F F V En pratique Pour montrer la vérité d une implication «p = q», il convient d abord de supposer que p est vraie ce n est là qu une hypothèse); puis de montrer d une façon ou d une autre que, sous cette hypothèse, q est vraie Même si vous ne savez pas démontrer jusqu au bout que l implication «p = q» est vraie, vous devez sur votre copie, de vous-même, commencer bêtement par : «Supposons p vraie» Attention! Une implication «p = q» peut être vraie alors que p et q n ont rien de commun Il suffit que leurs valeurs de vérité respectent la table de vérité de l implication Ainsi la phrase «Si 0 = 0, alors les oiseaux ont des plumes» est vraie Par définition, «p = q» est toujours vraie quand p est fausse Ainsi la phrase étrange «Si 0 0, alors 0 = 0» est vraie Après un tel exemple, la définition du connecteur = peut sembler suspecte ; pourquoi donc avoir choisi cette table de vérité? Nous le justifierons un peu plus loin Affirmer que «p = q» est vraie n implique ni que p est vraie, ni que q est vraie Ainsi, il est vrai que «Si Pinocchio est Président de la République, alors il est le chef des armées» ; pourtant il est faux que Pinocchio est Président de la République, et il est également faux qu il est chef des armées Négation d une implication : «non p = q)» et «p et non q)» sont deux propositions équivalentes p q non q p = q non p = q) p et non q) V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F Colonnes identiques En pratique Conformément à ce qui précède, pour montrer qu une implication «p = q» est fausse, on peut montrer que «p et non q)» est vraie, ie que p est vraie mais que q est fausse 2

Exemple Est-il vrai que, si on a 18 ans p), alors on a le droit de vote q)? La réponse est non Car je peux très bien avoir 18 ans p est vraie et un casier judiciaire tel que le droit de vote m a été supprimé q est fausse Contraposition : «p = q» et «non q) = non p)» sont deux propositions équivalentes La proposition «non q) = non p)» est appelée la contraposée de l implication «p = q» p q non q non p p = q non q) = non p) V V F F V V V F V F F F F V F V V V F F V V V V Colonnes identiques Exemple Ces deux phrases sont équivalentes : { «S il pleut, alors il y a des nuages» «p = q» «S il n y a pas de nuages, alors il ne pleut pas» «non q) = non p)» 114 Equivalence La proposition «p q» se lit «p si et seulement si q» ou «p et q sont équivalentes» Elle est vraie si p et q ont la même valeur de vérité, fausse sinon p q p q V V V V F F F V F F F V Equivalence et double implication : «p q» et «p = q) et q = p)» sont deux propositions équivalentes La proposition «q = p» est appelée la réciproque de l implication «p = q» p q p = q q = p p q p = q) et q = p) V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V Colonnes identiques En pratique Pour montrer qu une équivalence «p q» est vraie, on dispose d au moins trois méthodes : 1) aller de p jusqu à q au moyen d un raisonnement dont chaque étape est une équivalence : p p 1 p 2 p n q ; 2) montrer l implication «p = q», puis sa réciproque «q = p»; 3) montrer l implication «p = q», puis la contraposée de sa réciproque «non p) = non q)» Revenons un instant sur le connecteur = Nous sommes restés sur un point d interrogation tout à l heure : pourquoi avoir décidé que «p = q» est vraie quand p est fausse? Cela a pour conséquence étrange que la proposition «Si 0 0, alors 0 = 0» est vraie En réalité avions-nous le choix? Ce qui est sûr, c est qu il n est pas question de toucher aux deux premières lignes de la table de vérité de l implication Seules les deux dernières lignes nous gênent, lorsque p est fausse Et si on les changeait? Le problème, c est qu en changeant les deux dernières lignes de la table de vérité de l implication, on retombe sur des connecteurs déjà connus qui n ont pas le même sens, comme l illustre la table ci-contre : p q p = q q p q p et q V V V V V V V F F F F F F V V V F F F F V F V F 12 Quantificateurs universel et existentiel 121 Définition On appelle prédicat toute propriété portant sur un ou plusieurs objets donnés en arguments Par exemple, «être un oreiller» est un prédicat ; si nous le notons O, la notation Ox) signifiera «x est un oreiller» De même, «être plus âgé que» est un prédicat, portant lui sur deux objets ; si nous le notons A, la notation Ax, y) pourra signifier «x est plus âgé que y» En mathématiques, nous connaissons quelques prédicats incontournables : =,, < sauf qu au lieu de noter x,y), on préfère employer la notation x y 3

Il existe deux quantificateurs en mathématiques : le quantificateur universel et le quantificateur existentiel Si E est un ensemble et si P est un prédicat à un objet : la proposition «Tous les éléments de E vérifient la propriété P» s écrit : x E, Px) et se lit : «Pour tout x élément de E/quel que soit x élément de E, x vérifie P»; la proposition «L un au moins) des éléments de E vérifie la propriété P» s écrit : x E/ Px) et se lit : «Il existe un élément x de E tel que x vérifie P» En pratique La remarque qui suit est très importante : je me ferai un plaisir de couper la tête à tous ceux qui n apprendront pas vite à la respecter Vous la retrouverez avec davantage de détails dans le «Petit manuel de bonne rédaction» Supposons qu on veuille démontrer un théorème à base de de la forme : x E, Px) La plupart des théorèmes mathématiques peuvent se mettre sous cette forme Vous avez le droit de ne pas savoir démontrer jusqu au bout un tel théorème, mais vous n avez pas le droit de ne pas savoir comment commencer votre démonstration Sans réfléchir, vous la commencerez par : «Soit x E» Un élément x étant ainsi fixé, vous tenterez de montrer que ce x a la propriété P Si vous y parvenez, c est terminé Supposons qu on veuille démontrer un théorème à base de de la forme : x E/ Px) Montrer l existence d un objet mathématique ici, l existence d un élément x de E qui vérifie la propriété P revient à exhiber un tel objet L exemple suivant illustre la marche à suivre dans un tel contexte Exemple x,y R, z R/ z > x + y En effet Prouvons cette proposition La formulation «x, y R» est un raccourci d écriture pour dire «x R, y R» Début de la démonstration : Soient x, y R Un x et un y étant fixés, nous devons montrer l existence d un réel z tel que z > x + y Or démontrer l existence d un objet revient à donner un exemple de tel objet Ici nous avons le choix : n importe quel réel strictement supérieur à x + y convient Par exemple, posons z = x + y + 1 Alors z = x + y + 1 > x + y et c est terminé Attention! La lettre x de «x, Px)» ou «x/ Px)» peut être remplacée par n importe quel symbole n apparaissant pas dans P ; tout symbole figurant dans P est exclu Pour comprendre cela, fixons un entier naturel n quelconque) et intéressons-nous au prédicat «être inférieur ou égal à n» Imaginons qu on veuille répondre à la question : tous les entiers naturels sont-ils inférieurs ou égaux à n? Bien sûr la réponse est non, car par exemple n + 1 n est pas inférieur ou égal à n En tout cas, la proposition étudiée s écrit : N, n La lettre pourrait ici être remplacée par les lettres x, p mais pas par la lettre n En effet, la proposition obtenue serait alors : n N, n n, qui est vraie, tous les entiers naturels étant inférieurs ou égaux à eux-mêmes 122 Négation Négation du quantificateur universel : Les propositions «non x E, Px) )» et «x E/ non Px)» sont équivalentes Exemple Ces deux phrases sont équivalentes : { «Il est faux que tout homme a les yeux bleus» «non x E, Px) )» «Certains hommes n ont pas les yeux bleus»/«il existe au moins un homme qui n a pas les yeux bleus» «x E/ non Px)» Négation du quantificateur existentiel : Les propositions «non x E/ Px) )» et «x E, non Px)» sont équivalentes Exemple Ces deux phrases sont équivalentes : { «Aucun homme n a de cornes»/«il est faux qu il existe un homme à cornes» «non x E/ Px) )» «Tout homme est sans cornes» «x E, non Px)» En pratique Pour nier une phrase contenant un ou plusieurs quantificateurs, on réécrit cette phrase : 1) en remplaçant tous les par des et tous les par des, et 2) en niant le prédicat final Exemple La négation de la proposition : ε > 0, α > 0/ x R, [ x < α = ] x x 2 + 1 < ε Négation [ ] est : ε > 0/ α > 0, x R/ x < α et x x 2 + 1 ε 4

123 Permutation des quantificateurs On peut toujours permuter les quantificateurs universels entre eux, et les quantificateurs existentiels entre eux Exemple Les propositions «x R +, y R, x y» et «y R, x R +, x y» sont équivalentes Les propositions «x R +, y R, x y» et «y R, x R +, x y» sont équivalentes Attention! La permutation d un et d un n est pas aussi facile Voyons cela sur deux exemples «Dans toute cerise il y a un noyau» Formellement, cette proposition s écrit : c cerise, n noyau/ n est dans c Qu arrive-t-il si nous permutons et? Essayons : «n noyau/ c cerise, n est dans c» En bon français, cela donne : «Il existe un noyau qui se trouve dans toutes les cerises» Tiens donc : alors que nous étions convaincus de la vérité de la proposition initiale, cette nouvelle proposition nous paraît clairement fausse Conclusion : quand une proposition de la forme est vraie, la proposition correspondante peut être fausse L opération de permutation qui fait passer d une configuration à une configuration est interdite Attention cependant : ce n est pas le genre de chose qu il faut apprendre par cœur; il faut juste savoir le retrouver dans chaque cas parce que c est «logique» «Il existe une femme qui est la mère de tous les être humains» faisons comme si Eve existait) Formellement, cette proposition s écrit : f femme/ h être humain, f est la mère de h A présent permutons et : «h être humain, f femme/ f est la mère de h» En bon français, cela donne : «Tout homme a une mère», proposition évidemment vraie La permutation a ici fonctionné convenablement, mais la proposition obtenue après permutation est beaucoup moins forte, beaucoup moins contraignante que celle dont nous sommes partis : la première était vraie à condition qu Eve ait existé ; la seconde au contraire est d une banalité incroyable Conclusion : quand une proposition de la forme est vraie, la proposition est elle aussi vraie Ce genre de permutation est donc autorisé 124 Le pseudo-quantificateur! Parfois on ne veut pas seulement affirmer qu un objet existe avec certaines propriétés, mais affirmer en outre qu il est le seul à posséder ces propriétés La proposition «Il existe un et) un seul élément de E qui possède la propriété P» s écrit en mathématiques :! x E/ Px) et se lit : «Il existe un unique x élément de E tel que x vérifie P» En pratique Pour démontrer la proposition «! x E/ Px)», on a deux choses à démontrer : l existence d un tel x et son unicité Pour l existence, on fait comme si on travaillait avec la proposition «x E/ Px)» Pour l unicité, on suppose généralement que deux éléments x et x de E ont la propriété P et on montre alors que x = x Cela montre qu il ne peut y avoir deux objets distincts possédant la propriété P, autrement dit qu il n y en a qu un seul Exemple! x R +/ x 2 = 1 En effet Existence : Posons x = 1 Alors x R + et x 2 = 1 comme voulu Unicité : Soient x, x R + On suppose que x 2 = x 2 = 1 Montrons que x = x Or puisque x 2 = x 2, on a x = x ou x = x Peut-on avoir x = x? Si c est le cas, alors comme x et x sont positifs, x = x = 0 Cela contredit le fait que x 2 = x 2 = 1 On ne peut donc pas avoir x = x Par conséquent x = x comme voulu Attention! Dans l exemple ci-dessus, il n est pas nécessaire de supposer x et x différents On prend deux objets x et x qui ont la même propriété Si on arrive à montrer qu alors ils sont forcément égaux, cela montre bien qu il ne peut pas en exister deux différents Idée simple, mais grande idée quand même! 5

13 Le raisonnement par récurrence Soient P 0, P 1, P 2, une suite infinie de propositions Supposons qu on veuille démontrer la proposition : n N, P n Le raisonnement par récurrence est la technique générale de démonstration adaptée à ce problème Initialisation {}}{ Principe de la récurrence : Si P 0 est vraie, et si, Hérédité {}}{ pour tout n N, la vérité de P n implique la vérité de P n+1, alors la proposition : n N, P n est vraie Plus généralement, n 0 étant un entier naturel fixé, si P n0 est vraie, et si, pour tout n N, n n 0, la vérité de P n implique la vérité de P n+1, alors la proposition : n N, n n 0, P n est vraie Exemple Soit u n) n N une suite géométrique de raison q, où q C Montrons que pour tout n N : u n = q n u 0 En effet Par définition de u n) n N, u n+1 = qu n pour tout n N Initialisation : On a q 0 = 1 par convention, donc u 0 = q 0 u 0 Hérédité : Soit n N On suppose que u n = q n u 0 Il s agit de montrer que u n+1 = q n+1 u 0 Facile : u n+1 = qu n = q q n u 0 = q n+1 u 0 comme voulu Fin de la récurrence Exemple Par définition, un entier n Z est pair s il existe Z tel que n = 2, impair s il existe Z tel que n = 2 + 1 Tâchons de montrer que tout entier est pair ou impair En effet Initialisation : L entier 0 est pair car il s écrit 0 = 2 0 Hérédité : Soit n N On suppose n pair ou impair Il s agit de montrer que n + 1) est lui aussi pair ou impair Deux cas se présentent : 1) si n est pair, de la forme n = 2 où Z, alors n + 1 = 2 + 1 donc n + 1) est impair ; 2) si n est impair, de la forme n = 2 + 1 où Z, alors n + 1 = 2 + 1) + 1 = 2 + 1) avec + 1 Z et donc n + 1) est pair Au final n + 1) est pair ou impair comme voulu Fin de la récurrence Nous venons donc de montrer que tout entier naturel est pair ou impair Qu en est-il des entiers négatifs? Soit n un tel entier Alors n est un entier naturel, donc n est pair ou impair : 1) si n est pair, on peut l écrire n = 2 où Z, donc n = 2 ) est pair avec Z ; 2) si n est impair, on peut l écrire n = 2 + 1 où Z, donc n = 2 1 = 2 1) + 1 est impair avec 1) Z Dans les deux cas n est pair ou impair C est terminé En pratique Pour vos récurrences, je vous recommande la rédaction des exemples précédents Je rédigerai toujours toutes mes récurrences ainsi, en commençant l hérédité par : «Soit n N On suppose que ) au rang n» Faites de même! Attention! Dans la partie hérédité d une récurrence, ne commencez jamais par : «On suppose que pour tout n N, P n est vraie» Si vous supposez en effet la proposition P n vraie pour tout n N, quel sens cela a-t-il encore de prouver quoi que ce soit au rang n + 1)? Vous avez supposé le résultat vrai! Vous ne pourrez donc jamais le prouver Cette erreur est gravissime Bien souvent, l hypothèse que P n est vraie ne suffit pas pour montrer que P n+1 est vraie : on peut avoir besoin de P n et P, voire de toute la suite P 0, P 1,, P n Nous allons voir sur un exemple comment le raisonnement par récurrence peut être adapté à de tels cas Exemple Soit u n) n N la suite réelle définie par u 0 = 1, u 1 = 5 et pour tout n N : u n+2 = 3u n+1 2u n Alors pour tout n N : u n = 62 n 7 En effet Tout terme de la suite u n) n N ne peut être calculé que si les deux termes précédents sont déjà connus; on ne peut calculer u n+2 que si l on connaît u n et u n+1 Quant à nous, nous voulons montrer la propriété P n «u n = 62 n 7» pour tout n N Nous ne pouvons pas la démontrer par une récurrence classique, car pour montrer P n+1, nous aurions besoin de supposer P n et P vraies Pour tout n N, notons Q n la propriété «P n et P n+1» Supposons qu on ait réussi à montrer que Q n est vraie pour tout n N ; alors on a en fait montré que P n est vraie pour tout n N Montrer la proposition «n N, P n» revient donc à montrer la proposition «n N, Q n» Mais alors que nous ne pouvions pas montrer la première par une récurrence classique, nous allons pouvoir montrer la deuxième très simplement 6

1) Initialisation : P 0 {}}{ u 0 = 1 = 62 0 7 et P 1 {}}{ u 1 = 5 = 62 1 7 Bref, Q 0 est vraie 2) Hérédité : Soit n N Supposons Q n vraie Cela revient à supposer P n et P n+1 vraies Nous devons montrer que Q n+1 est vraie, ie que P n+1 et P n+2 le sont Mais comme P n+1 est vraie par hypothèse, il ne nous reste plus qu à montrer que P n+2 est vraie ; ce qui est facile : u n+2 = 3u n+1 2u n = 3 62 n+1 7 ) 2 62 n 7 ) = 92 n+2 21 32 n+2 + 14 = 62 n+2 7 C est fini En pratique, ne vous embêtez pas à définir proprement la propriété double Q n Rédigez votre preuve de la façon suivante : 1) Initialisation : Comme ci-dessus double initialisation) 2) Hérédité : Soit n N On suppose que u n = 62 n 7 et que u n+1 = 62 n+1 7 Montrons que u n+2 = 62 n+2 7 C est facile : u n+2 = = 62 n+2 7 Et voilà, c est terminé On a souvent l impression, quand on fait des récurrences, que les initialisations ne servent à rien Quelle erreur de le croire! Tentons par exemple de montrer que : n N, n = n + 1 Ce résultat est faux, bien entendu Hérédité : Soit n N Nous supposons que n = n + 1 et voulons montrer que n + 1 = n + 1) + 1 C est facile, il suffit d ajouter 1 aux deux membres de l hypothèse de récurrence : puisque n = n + 1, alors n + 1 = n + 2 L hérédité ne pose donc aucun problème Initialisation : En fait c est l initialisation qui pose problème, car l égalité 0 = 1 est fausse 14 Le raisonnement par l absurde Principe du raisonnement par l absurde : Pour montrer que p est vraie, on suppose qu elle est fausse et on tâche d en tirer une contradiction, ie la vérité de deux propositions q et «non q» ; une proposition et sa négation ne pouvant être vraies toutes les deux, on en déduit que l hypothèse selon laquelle p est fausse est fausse, ie que p est vraie Exemple Tout entier est pair ou impair, mais pas les deux En effet Soit n Z Nous avons déjà vu que n est pair ou impair Peut-il être les deux à la fois? Pour montrer que non, supposons que oui Alors n s écrit n = 2 = 2l+1 où, l Z On a donc 2 l) = 1, et du coup 1 est un 2 entier ce qui est faux L hypothèse selon laquelle n est à la fois pair et impair est donc fausse Par conséquent n est pair ou impair, mais pas les deux Exemple Rappelons qu un nombre est dit rationnel s il est le quotient d un entier par un entier non nul, ie s il est une fraction d entiers; au contraire, un nombre est dit irrationnel s il n est pas rationnel Nous allons montrer ci-dessous que : 2 est irrationnel En effet Commençons par un lemme : pour tout n Z, n est pair si et seulement si n 2 est pair Soit n Z 1) Si n est pair, on peut écrire n = 2 pour un certain Z, et donc n 2 = 2) 2 = 22 2 ) avec 2 2 Z Bref : n 2 est pair 2) Pour la réciproque, raisonnons par contraposition : cela revient à montrer que si n n est pas pair, alors n 2 n est pas pair Si donc n n est pas pair, alors n est impair comme nous l avons vu, donc de la forme n = 2 + 1 pour un certain Z On a alors n 2 = 2 + 1) 2 = 22 2 + 2) + 1 avec 2 2 + 2) Z, de sorte que n 2 est impair L exemple précédent implique aussitôt que n 2 n est pas pair Supposons à présent, par l absurde, que 2 est rationnel Alors 2 peut s écrire sous la forme p q où p et q sont deux entiers Choisissons p et q de façon à ce que la fraction p soit irréductible, ie de façon à ce q qu aucune simplification ne soit plus possible entre le numérateur et le dénominateur 1) L égalité p 2 = q 2 )2 = 2q 2 montre que p 2 est pair Mais donc p est pair via le premier point et s écrit p = 2p pour un certain p Z 2 p 2p 2) Du coup q 2 2 = 2 = = p 2 )2 = 2p 2 Ceci montre que q 2 est pair, et donc q aussi 2 est pair, de la forme q = 2q pour un certain q Z Concluons Nous venons de montrer que la fraction p q puisque p q = 2p 2q = p q Contradiction! est réductible, contrairement à notre hypothèse, 7

2 Un peu de théorie des ensembles 21 Appartenance et inclusion E x Les notions intuitives d ensemble et d appartenance sont supposées connues : les ensembles sont des sacs de billes dont les éléments sont les billes Pour tout ensemble E, la relation «x est un élément de E» ou «x appartient à E» est notée x E ; on note x / E pour dire que x n appartient pas à E L ensemble vide, celui qui n a pas d élément, est noté Exemple On note N l ensemble des entiers naturels, Z l ensemble des entiers relatifs, Q l ensemble des rationnels, R l ensemble des réels et C l ensemble des nombres complexes On note en outre E + l ensemble des éléments positifs ou nuls de E quand E est l un des ensembles Q ou R ; même principe pour la notation E On note enfin E l ensemble des éléments non nuls de E quand E est l un des ensembles N, Z, Q, Q +, Q, R, R +, R, C Définition Egalité) Soient E et F deux ) ensembles On dit que E et F sont égaux s ils possèdent exactement les mêmes éléments, ie si : x, x E x F Cette relation entre E et F est notée E = F Un ensemble peut être défini de deux façons : en extension ou en compréhension Définir un ensemble en extension, c est donner la liste complète explicite de{ tous ses } éléments On note cette liste entre accolades, l ordre des éléments listés n ayant aucune importance Par exemple, 0, 1,2 est un ensemble, le même que { } 2, 1,0 Un ensemble de la forme { x } { }, ie à seul élément, est appelé un singleton ; un ensemble de la forme x, y avec x y, ie à deux éléments, est appelé une paire Il est bien évident qu on ne peut définir en extension que des ensembles ayant un nombre fini d éléments, incapables que nous sommes d écrire une liste infinie de symboles Définir un ensemble en compréhension, c est donner une propriété vérifiée par les éléments de cet ensemble et eux seuls Parler par { exemple de l ensemble } des entiers naturels qui sont égaux à leur carré, c est parler d un ensemble unique que l on note n N/ n 2 = n, «l ensemble des entiers naturels n tels que n 2 = n» La lettre n pourrait être remplacée par n importe quelle symbole ne figurant pas dans le prédicat de définition de l ensemble Les éléments d un ensemble sont souvent repérés dans une liste par un ou plusieurs «paramètres» Ainsi { x i } désigne l ensemble des éléments notés x i repérés par un indice } i décrivant un certain ensemble I Décrit en compréhension, cet ensemble s écrit aussi {x/ i I/ x = x i Par exemple, { 2 n} désigne l ensemble constitué des éléments n N 2 0,2 1,2 2,2 3 Que ce soit bien clair : il n y a pas deux sortes d ensembles en mathématiques Un même ensemble, s il est fini, sera défini tour à tour en extension ou en compréhension selon les contextes Ainsi les quatre ensembles décrits ci-dessous sont égaux : { } { } { } { } 0, 1 = n N/ n 2 = n = z C/ z 2 = z = n Z/ n 0 et n < 2 Définition Inclusion) Soient E et F deux ensembles On dit que E est ) inclus dans F si tout élément de E est un élément de F, ie si : x E, x F, ou encore : x, x E = x F F Cette relation entre E et F est notée E F On dit aussi que F contient E ou que E est une partie de F E Exemple Les inclusions suivantes sont bien connues : N Z Q R C En pratique Si vous devez montrer une inclusion E F vous aurez très souvent à le faire commencez sans réfléchir ainsi : «Soit x E Montrons que x F» Vous avez le droit de ne pas réussir à aller plus loin, mais vous devez au moins commencer par là Exemple { } x R/ y R +/ x y R + En effet Soit x R pour lequel il existe y R + tel que x y Montrons que x R + Or y 0 par hypothèse et x y, donc x 0 Cela montre bien que x R + 8

Exemple Si E est l ensemble des entiers de la forme +1), décrivant N, et si 2N est l ensemble des entiers naturels pairs, alors : E 2N En français, cela revient à dire que tout entier de la forme + 1) avec N est pair En effet Soit n E Montrons que n 2N Par définition, il existe N tels que n = + 1) Or l un des entiers et + 1) est pair En effet, est pair ou impair, et si est impair, alors + 1 est pair Par produit, n = + 1) est donc pair Bref : n 2N Théorème Soient E et F deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si E F et F E En pratique Pour démontrer l égalité de deux ensembles E et F, deux possibilités : 1) soit vous raisonnez directement par équivalence : x E x F ; Il n est malheureusement pas toujours possible de raisonner ainsi, cela peut s avérer compliqué à rédiger 2) soit vous raisonnez par double inclusion en vous appuyant sur le théorème précédent Cela revient à raisonner en deux temps Premier temps : vous vous donnez un élément de E et vous montrez qu il appartient à F Second temps : vous vous donnez un élément de F et vous montrez qu il appartient à E L exemple suivant illustre l usage de la technique 2) La technique 1) sera illustrée plus loin par différents théorèmes Exemple R = En effet { } x R/ y R +, x y Montrons que R { } x R/ y R +, x y Soit x R Nous devons montrer que : y R +, x y Soit donc y R + On a bien x y comme voulu, puisque x est négatif et y positif { } Montrons que x R/ y R +, x y R Soit x R tel que : y R +, x y Alors en particulier x 0 pour y = 0) Ainsi x R Attention! L erreur classique consiste à confondre l appartenance et l inclusion Soyez vigilants! { L ensemble 0, { 0 }} est l ensemble dont les éléments sont exactement 0 et { 0 } { 1) Il est vrai que 0 0, { 0 }} { car 0 est bien un élément de 0, { 0 }} 2) Il est vrai que { 0 } { 0, { 0 }} car { 0 } { est bien un élément de 0, { 0 }} 3) Il est vrai que { 0 } { 0, { 0 }} En effet, { 0 } a pour seul élément 0 Tout élément de { 0 } est donc bel et { bien élément de 0, { 0 }} { {0 } } { 4) Il est vrai enfin que 0, { 0 }} { {0 } } En effet, a pour seul élément { 0 } Tout élément de { {0 } } { est donc bel et bien élément de 0, { 0 }} { } { } On peut dire que 0 N, mais par contre 0 N Egalement 1,0, 1 Z, mais 1, 0,1 / Z Définition Ensemble des parties) Soit E un ensemble L ensemble des parties de E est noté PE) Pour tout ensemble A, on a donc : A PE) A E Attention! Dire que A appartient à PE) équivaut à dire que A est incluse dans E Il est ici particulièrement important de comprendre la différence entre appartenance et inclusion Exemple Soit E un ensemble Alors E PE) et PE) En effet Montrons que E PE) Cela revient à montrer que E E, ce qui est vrai car tout élément de E est un élément de E Montrons que PE) Cela revient à montrer que tout élément de est un élément de E ) ; autrement dit que, pour tout x, si x, alors x E ; ce qui s écrit encore : x, x = x E Or par définition n a pas d élément D antécédent faux, l implication «x ) = x E» est donc vraie via la table de vérité de = Il est donc vrai que : x, x = x E comme voulu 9

22 Opérations sur les ensembles Définition Réunion, intersection) Soient A et B deux ensembles On appelle réunion de A et B, notée A B, l ensemble des x tels que : x A ou x B On appelle intersection de A et B, notée A B, l ensemble des x tels que : x A et x B A A A B B A B B Ces définitions se généralisent au cas de plus de deux ensembles Soit { A i } est un ensemble, et que pour tout i I, A i est un ensemble un ensemble d ensembles cela veut dire que I On appelle réunion des A i, i I, notée A i, l ensemble des x tels que : i I/ x A i «x est dans l un des A i» On appelle intersection des A i, i I, notée A i, l ensemble des x tels que : i I, x A i «x est dans tous les A i» Explication On notera bien les parallélismes suivants : /ou/ d une part, /et/ d autre part Définition Ensembles disjoints) Soient E et F deux ensembles On dit que E et F sont disjoints si E F =, autrement dit si E et F n ont aucun élément commun Théorème Distributivité de la réunion et de l intersection l une sur l autre) Soient { A i un ensemble d ensembles } et B un ensemble A i B = Ai B ) et A i B = Ai B ) Démonstration Montrons seulement la première égalité même chose pour la deuxième Pour tout x : x A i B x A i et x B i I/ x Ai et x B i I/ x A i et x B ) i I/ x A i B x Ai B ) Définition Différence, complémentaire) Soient A et B deux ensembles On appelle différence de B dans A, notée A B, l ensemble des x tels que : x A et x / B Soient E un ensemble et A une partie de E L ensemble E A est appelé le complémentaire de A dans E Il est noté A c ou Ā quand il n y a pas d ambiguïté A A A B c A E B Théorème Relations de De Morgan) Soit { A i un ensemble de parties d un même ensemble E } A i)c = A c i et A i)c = A c i 10

Explication Pourquoi appeler ces égalités «relations de De Morgan»? Dans le cas de deux ensembles A et B, elles c s écrivent : A B = A c B c c et A B = A c B c Si nous voyons la réunion comme un «ou», l intersection comme un «et» et le passage au complémentaire comme un «non», ces égalités nous rappellent les lois de De Morgan de notre introduction à la logique A méditer Démonstration Contentons-nous de démontrer la première égalité Pour tout x E : c x A i non x ) A i non i I/ x A i i I, non x A i i I, x A c i x A c i Nous aurons l occasion de revenir plus tard sur les définitions qui suivent Contentons-nous ici d une présentation intuitive Pour tout m, n Z tels que m n, on note m, n l ensemble des entiers compris entre m et n m et n inclus) Définition Famille) Soient E et I deux ensembles Une suite d éléments de E repérés chacun par un élément de I est appelée une famille d éléments de E indexée par I Une telle famille est notée x i) x i E étant repéré par l indice i I Dans le cas où I = m,n où m, n Z sont tels que m n, on la note plus couramment x i) m i n ou x m, x m+1,, x n) Deux familles x i) et y i) d éléments de E indexées par I sont égales si et seulement si : i I, x i = y i L élément x i est appelé la composante d indice i de x i) Attention! Ne confondez surtout pas la famille x i) avec l ensemble { x i Dans un ensemble, les éléments sont donnés sans { } } { } ordre ; dans une famille l ordre des éléments compte Ainsi 1, 2,3 = 2, 3,1, mais 1,2,3) 2, 3,1) Dans une famille du type x i) m i n, il y a n m +1 éléments, et non pas n m) comme on pourrait le penser Définition Produit cartésien) Soient E 1, E 2,, E n des ensembles non vides L ensemble des familles x 1, x 2,, x n) dans lesquelles x 1 E 1, x 2 E 2, x n E n est appelé le produit cartésien) de E 1, E 2,, E n et noté E 1 E 2 E n Dans le cas où E 1 = E 2 = = E n = E, le produit E 1 E 2 E n est généralement noté E n Remarque Les débuts de proposition «x E 1, y E 2,» et «x,y) E 1 E 2,» sont rigoureusement identiques 3 Un peu de calcul 31 Le symbole somme 311 Définition Définition Symbole ) Soient I un ensemble fini et z i) une famille de nombres complexes indexée par I La somme des z i, i parcourant I, est notée z i Dans le cas où I = m, n où m,n Z sont tels que m n, on la note plus couramment z ou z Elle vaut z m + z m+1 + z m+2 + + z n Dans le cas où I = m, n p,q où m,n, p, q Z sont tels que m n et p q, on la note plus couramment =m m n m n p l q z l 11

En pratique Le symbole est utilisé très souvent en mathématiques Quand vous êtes bloqués devant une somme quelconque, écrivez-la in extenso, ie en détaillant les termes qui la composent : les choses paraissent alors souvent plus claires Par exemple, pour étudier la somme, il faut bien avoir en tête qu on a affaire à 1 + 2 + 3 + + n 1 + n Exemple Soit α C α = =m =m =m+1 {}}{{}}{ α + α + + =n {}}{ α = n m+1) fois {}}{ α + α + + α = n m + 1)α Exemple 1 1+ 1 n + 1 = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n 1 + 1 ) 1+ 1 n n + 1 = 1 2 + 1 1 + + 3 n 1 + 1 n + 1 n+1 n + 1 = =2 1 Attention! Dans une somme du type z, il convient de ne jamais confondre et n Ainsi et n sont deux quantités tout à fait différentes : n = n + n + + n 1 + 2 + 3 + + n 1) + n = }{{} n fois Plus généralement, la lettre de z peut être remplacée par tout symbole distinct des bornes m et n et ne figurant =m pas dans les z Par exemple, si n et a sont des entiers fixés, on peut écrire que que a = a = a a : la somme de gauche vaut a 1 + a 2 + + a n et celle de droite 1 1 + 2 2 + + n n a=1 a p, mais on ne peut pas écrire p=1 312 Changements d indice Le changement d indice est une opération très courante Les exemples valent ici mieux qu un long discours Exemple 1 + 1) = 1 + 1 2 2 + 1 n+1 2 3 + + 1 2 n + 1) = 2 l=1 1 l 2 On a effectué ici le changement d indice l = + 1 Cela revient à remplacer tous les de la somme initiale par des l 1 Mais il faut aussi changer les bornes Quand varie de 0 à n, que fait l = + 1? Il varie de 1 à n + 1) 9 7 r r = 2 2 + 3 3 + 4 4 + + 9 9 = s + 2) s+2 On a effectué ici le changement d indice r = s + 2 Pendant que r varie r=2 de 2 à 9, s = r 2 varie de 0 à 7 s=0 313 Simplifications téléscopiques Le résultat suivant est à la fois stupide et essentiel car les simplifications télescopiques sont partout Théorème Simplifications télescopiques) Soit z ) m n+1 une famille de nombres complexes z +1 z ) = z n+1 z m =m Démonstration simplification simplification simplification {}}{{}}{{}}{ z +1 z ) = z n+1 z n) + z n z ) + z z n 2)++z m+2 z m+1) + z m+1 z m) = z n+1 z m =m Exemple 1 + 1) = n 1 1 ) = 1 1 + 1 n + 1 12

314 Sommes doubles Théorème Permutation des ) Soit z ij) 1 i,j n une famille de nombres complexes j z ij = z ij = z ij, z ij = z ij = z ij = 1 i n 1 j n i=1 j=1 j=1 i=1 1 i j n j=1 i=1 i=1 j=i z ij, 1 i<j n j 1 z ij = j=2 i=1 i=1 j=i+1 z ij Démonstration Première série d égalités : La famille z ij) 1 i,j n peut être vue comme un tableau à deux entrées : j 1 2 3 n i 1 z 11 z 12 z 13 z 1n 2 z 21 z 22 z 23 z 2n 3 z 31 z 32 z 33 z 3n n z n1 z n2 z n3 z nn Calculer la somme 1 i n 1 j n Pour tout i 1, n, la somme des termes de la i ème ligne s écrit résultats ainsi obtenus sur chaque ligne, c est calculer z ij, notée aussi 1 i,j n z ij, c est calculer la somme de tous les termes de ce tableau On peut effectuer ce calcul de différentes manières Voyons ce qui se passe si on effectue d abord la somme des termes de chaque ligne, avant d additionner les résultats obtenus i=1 j=1 z ij ; elle dépend de i Faire la somme des j=1 z ij C est pourquoi : On démontre la seconde égalité en sommant d abord sur chaque colonne Seconde série d égalités : Calculer j 1 2 3 n i 1 z 11 z 12 z 13 z 1n 2 z 22 z 23 z 2n 3 z 33 z 3n n z nn 1 i j n 1 i n 1 j n z ij = i=1 j=1 z ij, c est calculer la somme de termes du tableau suivant : Pour tout j 1, n, la somme des termes de la j ème colonne de ce j tableau s écrit z ij ; elle dépend de j Faire la somme des résultats i=1 ainsi obtenus sur chaque colonne, c est faire la somme explique qu on ait : 1 i j n z ij = On démontre la seconde égalité en sommant d abord sur chaque ligne j j=1 i=1 z ij j=1 i=1 z ij j z ij Ceci Troisième série d égalités : A vous de jouer! Je vous donne juste le tableau correspondant : j 1 2 3 n i 1 z 12 z 13 z 1n 2 z 23 z 2n 3 z 3n n 32 Le symbole produit Nous passerons plus vite sur les produits que sur les sommes, car une fois qu on a compris, on a compris Définition Symbole ) Soient I un ensemble fini et z i) une famille de nombres complexes indexée par I Le produit des z i, i parcourant I, est noté z i Exemple Soit α C α = =m n m+1) fois {}}{ α α α = α n m+1 13

Définition Factorielle) Pour tout n N, on appelle factorielle n, notée n!, l entier n! = = 1 2 3 n Par convention : 0! = 1 Attention! Dans un produit du type deux quantités tout à fait différentes : n n = z, il convient de ne jamais confondre et n Ainsi n = n n n }{{} n fois 1 2 3 n 1) n = et n sont = n! Théorème Simplifications télescopiques) Soit z ) m n+1 une famille de nombres complexes non nuls z +1 = zn+1 z z m =m Théorème Permutation des ) Soit z ij) 1 i,j n une famille de nombres complexes j z ij = z ij = z ij, z ij = z ij = z ij, z ij = 1 i n 1 j n i=1 j=1 j=1 i=1 1 i j n j=1 i=1 i=1 j=i 1 i<j n j 1 z ij = j=2 i=1 i=1 j=i+1 z ij Exemple 1 i,j n La notation ij 2 ) = i=1 j=1 1 i,j n ij 2 ) = ij 2 ) est un résumé pour i=1 i n n j=1 1 i n 1 j n ij 2 ) ) n ) n ) n n ) n n 2n j 2 = i n j 2 = i j) = n!) n n!) 2n = n!) 3n i=1 j=1 i=1 j=1 Attention! Les symboles et ne peuvent être permutés en général Ainsi : 1 = i=1 j=1 n = n n n = i=1 1 = j=1 1 j=1 i=1 Ce n est pas étonnant, car c est déjà faux avec deux termes en général : a + b)c + d) ab + cd 33 Quelques formules à connaître par cœur La définition et les formules suivantes sont en principe de simples rappels Définition Coefficients binomiaux) n Pour tous n, N tels que n, on appelle coefficient binomial) parmi n, noté, le nombre : n n! =!n )! n n Pour tout n N et pour tout 0, n : = n n n n n n n nn 1) Pour tout n N : = = 1, = = n et = = 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n n + 1 Formule de Pascal : Pour n 1, et pour tout 1, n : + = 1 14

Explication On peut calculer tous les ) coefficients binomiaux à l aide de la formule de Pascal, en construisant ce n qu on appelle le triangle de Pascal On y range dans la case qui se trouve à l intersection de la ligne n et de la colonne 0 1 2 3 4 5 n 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 zoom zoom n 1 + = n n + 1 Formule de Pascal ) Théorème Formule du binôme de Newton) Soient n N et a, b C a + b) n = n a b n Démonstration Soient a, b C fixés Raisonnons par récurrence Initialisation : a + b) 0 0 0 = 1 = a 0 b 0 0 0 = a b 0 0 Hérédité : Soit n N On suppose que a + b) n n = a b n a + b) n+1 = a + b)a + b) n n = a + b) a b n n = a a b n n + b a l b n l l l=0 n = a +1 b n n + a l b n l+1 = a n+1 n + a +1 b n n + a l b n l+1 + b n+1 l l l=0 l=1 = a n+1 n + a b n +1 n + a l b n l+1 + b n+1 changement d indice = + 1) 1 l =1 l=1 [ ] = a n+1 n n + + a b n+1) + b n+1 1 = a n+1 n + 1 + a b n+1) + b n+1 formule de Pascal) n+1 n + 1 = a b n+1) Fin de la récurrence Théorème Soit n N = nn + 1) 2 et 2 = nn + 1)2n + 1) 6 Démonstration Posons S n = Ci-dessous, la ligne 3 est obtenue par somme des lignes 1 et 2 S n = 0 + 1 + 2 + + n 1) + n S n = n + n 1) + n 2) + + 1 + 0 2S n = n + n + n + + n + n = n n + 1) Comme voulu : 2S n = nn + 1), ie S n = nn + 1) 2 15

Pour tout 0, n : + 1) 3 3 = 3 2 + 3 + 1 via la formule du binôme de Newton Sommons [ alors ces identités de = 0 à = n : + 1) 3 3] = 3 2 + 3 + 1 La somme de gauche est le lieu d une simplification télescopique D autre part nous venons de calculer 1 = n + 1) Du coup : n + 1) 3 = 3 2 + 3 Isolant nn + 1) 2 + n + 1) 2 et simplifiant les calculs, nous obtenons aisément le résultat voulu et savons que Théorème Soient n N et a, b C a n b n = a b) a b n 1 Attention! Gare à ceux qui confondent cette formule avec la formule du binôme de Newton! Démonstration Développons le membre de droite de la formule : a b) a b n 1 = a a b n 1 b a b n 1 = a +1 b n +1) a b n = a +1 b n +1) a b n ) = a n b n par simplification télescopique En particulier, pour b = 1, on obtient le résultat fondamental suivant : Corollaire Pour tous n N et q C : q n 1 q si q 1 ; = q 1 n si q = 1 Et plus généralement, pour tous m,n N et q C tels que m n : Premier terme q = =m Nombre de termes {}}{ q m qn m+1 1 q 1 si q 1 ; n m + 1 si q = 1 4 Quelques rappels d analyse 41 Vocabulaire sur les fonctions de R dans R Définition Parité/imparité) Soit A une partie de R On suppose A symétrique par rapport à 0, ie telle que : x A, x A f paire Soit f : A R une fonction On dit que f est paire si : x A, f x) = fx) On dit que f est impaire si : x A, f x) = fx) f impaire Attention! Le contraire de «paire» n est pas «impaire» En général, les fonctions ne sont ni paires ni impaires pensez à la fonction exponentielle 16

c Christophe Bertault - MPSI Exemple Soient A une partie de R contenant 0 et f : A R une fonction Alors f0) = 0 En effet Par imparité : f0) = f 0) = f0), donc 2f0) = 0, ie f0) = 0 Définition Périodicité) Soient T > 0 et A une partie de R On suppose A T-périodique, ie telle que : x A, x+t A Soit f : A R une fonction On dit que f est T-périodique ou périodique de période T si : T x A, fx + T) = fx) Le réel T est alors appelé une période de f Attention! Une fonction périodique ne possède jamais une unique période Par exemple, si T est une période de f, 2T,3T, 4T en sont également C est pourquoi on ne parle jamais de «la» période, mais toujours d une période de f Définition Monotonie) Soit f : A R une fonction On dit que f est croissante resp décroissante) si : x, y A, x < y = fx) fy) resp fx) fy)) On dit que strictement croissante resp strictement décroissante) si : x,y A, x < y = fx) < fy) resp fx) > fy)) On dit que f est monotone resp strictement monotone) si f est croissante ou décroissante resp strictement croissante ou strictement décroissante) Attention! Le contraire de «croissante» n est pas «décroissante» En général, les fonctions ne sont ni croissantes ni décroissantes pensez à la fonction sinus 42 Action d une translation ou d une homothétie sur le graphe d une fonction de R dans R Théorème Action d une translation sur le graphe d une fonction) Soient A une partie de R et f : A R une fonction Les graphes ci-dessous sont représentés dans un repère orthonormal O, ı, j) Soit y 0 R La fonction x fx) + y 0 est définie sur A et son graphe s obtient à partir de celui de f par une translation de vecteur y 0 j y 0 j y = fx) + y 0 Soit x 0 R La fonction x fx + x 0) est définie sur A x 0, ie A décalé vers la gauche de x 0, et son graphe s obtient à partir de celui de f par une translation de vecteur x 0 ı x 0 ı y = fx) y = f x ) y = fx + j j x 0 ) O ı O ı Attention! Dans le cas de la fonction x fx + x 0), il y a bien un signe «moins» dans l expression du vecteur de translation x 0 ı et c est normal : la fonction x fx + x 0) atteint la valeur f0) pour x = x 0, puis la valeur f1) pour x = x 0 + 1, etc Pour résumer, on peut dire que x fx + x 0) est en avance de x 0 sur x fx) 17

c Christophe Bertault - MPSI Théorème Action d une homothétie sur le graphe d une fonction) Soient A une partie de R et f : A R une fonction Les graphes ci-dessous sont représentés dans un repère orthonormal O, ı, j) Soit λ > 0 La fonction x λfx) est définie sur A et son graphe s obtient à partir de celui de f par une dilatation/contraction verticale de rapport λ Soit λ > 0 La fonction x fλx) est définie sur 1 A, ie A dilaté/contracté horizontalement d un λ rapport λ, et son graphe s obtient à partir de celui de f par une dilatation/contraction horizontale de rapport λ Dilatation verticale λ > 1 y= λfx) Dilatation horizontale λ > 1 y = fλx) j y = f x) j y = f x) O ı O ı Contraction verticale λ < 1 j y = y=fx) λf x) Dilatation horizontale λ < 1 j y y = = fλx) f x ) O ı O ı 43 Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire Théorème Théorème des valeurs intermédiaires ou TVI) Soient a,b R tels que a < b et f : [a, b] R une fonction continue Alors tout réel y compris entre fa) et fb) possède un antécédent par f : x [a, b]/ y = fx) y x 1 x 2 x 3x 4 Attention! Avec les notations du théorème, il peut exister plusieurs antécédents de y par f Corollaire Corollaire du TVI) Soient a, b R tels que a < b Sont énoncées ci-dessous seulement quelques versions du théorème ; il en existe d autres selon que f est croissante ou décroissante, et définie ou non en a et b Soit f : [a, b] R une fonction continue strictement croissante Alors tout réel y [ fa), fb) ] possède un et un seul antécédent par f ] ] Soit f : [a, b[ R une fonction continue strictement décroissante Alors tout réel y lim f, fa) b possède un et un seul antécédent par f Soit f : ]a, b[ R une fonction continue strictement croissante Alors tout réel y un et un seul antécédent par f ] lim a f, lim b [ f possède Attention! Insistons lourdement Nous allons au cours de l année utiliser ce théorème une infinité de fois Brûleront donc en enfer tous ceux d entre vous qui oublieront une hypothèse En l occurrence il y en a trois : 1) la continuité; 2) la stricte monotonie ; 3) l étude des bornes 18

Exemple On définit une fonction f : R R en posant f0) = 1 et pour tout x R : fx) = ex 1 Alors tout réel x strictement positif possède un et un seul antécédent par f En effet Continuité : En tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas, f est continue sur R Mais qu en est-il en 0? Par définition du nombre dérivé de l exponentielle en 0 : e x 1 lim = exp 0) = e 0 = 1, ie lim f = f0) continuité en 0 Conclusion : f est continue sur tout R x 0 x 0 Stricte monotonie : En tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s annule pas, f est dérivable sur R peu importe ce qui se passe en 0 et pour tout x R : f x) = ex x 1) + 1 x 2 Le signe de f dépend donc du signe de la fonction g : x e x x 1) + 1, définie et dérivable sur R comme somme et produit de fonctions dérivables On a, pour tout x R : g x) = xe x Le tableau ci-contre indique que f est strictement croissante sur R et strictement croissante sur R + Or f est continue en 0, donc le graphe de f à gauche de 0 et le graphe de f à droite de 0 se joignent en 0 et font de f une fonction strictement croissante sur R tout entier x 0 g x) gx) gx) f x) fx) + 0 + + + + Etudes des bornes : Il est facile de voir que lim f = 0 et lim f = D après le corollaire du TVI, on peut bien dire que tout réel de l intervalle possède un et un seul antécédent par f ] [ lim f,lim f = ]0, [ = R + 19