Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis

Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis Franck Pigeonneau Surface du verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain 39, quai Lucien Lefranc 93303 Aubervilliers cedex Tél. 01 48 39 59 99 email : franck.pigeonneau@saint-gobain.com Mai 2011

ii TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Introduction 1 2 Rappel de mécanique des milieux continus 3 2.1 Les principes fondamentaux............................ 3 2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus............ 5 2.2.1 Equations de l élasticité.......................... 6 2.2.2 Equations de la mécanique des fluides................... 8 3 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés 13 3.1 Classification des équations aux dérivées partielles................ 13 3.2 Formulation variationnelle d un problème elliptique................ 14 3.3 Formulation variationnelle des équations de l élasticité.............. 16 3.4 Formulation variationnelle des équations de Stokes................ 18 3.5 Méthode des résidus pondérés........................... 19 4 Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret 21 4.1 Méthode des éléments finis à une dimension.................... 21 4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions..................... 25 4.3 Mise en œuvre numérique............................. 27 5 Exemples de problèmes traités par la méthode des éléments finis 29 5.1 Comsol Multiphysics R............................... 29 5.2 Compression diamétrale d un disque........................ 30 5.2.1 Position du problème............................ 30 5.2.2 Résultats numériques............................ 31 5.3 Equation de Burgers................................ 32 5.3.1 Position du problème............................ 32 5.3.2 Solution à l aide de la méthode de Galerkin................ 33 5.3.3 Solution à l aide de la méthode de Galerkin/moindres carrés....... 34 5.4 Ecoulement forcé dans un demi-cylindre...................... 36

TABLE DES MATIÈRES iii 6 Travaux dirigés 39 6.1 Equation de Poisson avec un terme source ponctuel................ 40 6.2 Propagation de front de fissure........................... 45 6.2.1 Géométrie, conditions aux limites et propriétés mécaniques........ 45 6.2.2 Rappel sur le facteur d intensité de contrainte............... 46 6.2.3 Simulation dans Comsol Multiphysics R.................. 47 6.3 Transfert de masse autour d une bulle en ascension dans un verre en fusion... 47 6.3.1 Position du problème............................ 48 6.3.2 Simulation dans Comsol Multiphysics R.................. 49 Bibliographie 51 Index 53

Introduction 1 Chapitre 1 Introduction La physique, la thermodynamique des phénomènes irréversibles, la mécanique ou plus généralement les sciences des transferts présentent une très large variété d équations multidimensionnelles s appliquant à des milieux continus. Ces équations décrivent les processus mise en jeu dans les phénomènes à étudier tels que la diffusion chimique ou thermique, le mouvement d un fluide ou encore des réactions chimiques. Dans la grande majorité des cas, ces équations sont des formes différentielles et sont couramment appelées équations aux dérivées partielles (EDP en abrégé). Les solutions exactes ou approchées de ces EDP qui sont toujours d une aide précieuse ne sont malheureusement pas très répandues. Elles sont généralement limitées à des géométries et des situations simples ou dégénérées. Le recours à des méthodes alternatives s impose. La résolution numérique de ces EDP en est une. Les ordinateurs qui deviennent jour après jour de plus en plus puissants restent néanmoins finis en place mémoire, en précision et en temps de calcul. Ainsi, il est utopique de penser pouvoir résoudre le problème continu. De là découle inéluctablement une formulation discrète du problème. Parmi les approximations discrètes, citons la méthode des différences finies qui est sans nulle doute une des premières méthodes à avoir été développée 1 basée simplement sur les développements limités permettant d évaluer les dérivées. Elle est simple à implémenter mais reste d une utilité limitée pour décrire des géométries complexes. Citons la méthode des volumes finis très utilisée dans la résolution des problèmes hydrodynamiques. Elle est particulièrement bien adaptée aux problèmes faisant intervenir des équations de conservation avec peu de diffusion. La méthode des éléments finis, terme pour la première fois introduit par Clough [7] prend ses racines dans la résolution de calcul des structures. Elle a ensuite reçue une assise mathématique importante basée sur les approches variationnelles et des résidus pondérés proposées bien des années auparavant par Rayleigh [30] en 1870 pour la première et par Gauss dès 1795 pour la deuxième. Depuis, la méthode des éléments finis a été étendue à une très large gamme de problèmes allant bien sur de la mécanique des structures à la mécanique des fluides mais aussi électromagnétisme [35, 9]. 1. Newton [24] dans ses Principia avait recours à des approximations discrètes bien que présentées uniquement sous forme géométrique dans son œuvre maitresse.

2 Introduction Ces éléments de cours ne feront qu effleurer la technique des éléments finis. Comme il s agit ici de résoudre des équations sur des domaines macroscopiques, il nous a semblé important de rappeler les concepts de milieux continus, de même que les principes de la dynamique, chapitre 2. Pour les lecteurs ayant de bonnes connaissances de la mécanique des milieux continus, ce premier chapitre peut être sauté. La méthode des éléments finis étant fondée sur une formulation faible 2, le chapitre 3 sera consacrée à la formulation variationnelle et à la méthode des résidus pondérés. Ce chapitre débutera par la classification des EDPs. Nous appliquerons la formulation variationnelle à trois problèmes qui se rencontrent très fréquemment dans les applications. Ensuite, le passage du continu au discret sera abordé dans le chapitre 4 en traitant d abord un exemple simple à une dimension. La généralisation à un nombre de dimension plus élevé sera abordée. La chapitre 5 sera dénié à la présentation de trois exemples numériquement résolus à l aide du logiciel Comsol Multiphysics R. Le premier exemple sera un problème d élasticité, le deuxième sera consacré à la résolution d une équation non-linéaire. Le dernier exemple sera un problème de mécanique des fluides. Finalement, nous finirons, chap. 6, ces éléments de cours par la présentation des travaux dirigés réalisés au cours de cette école. 2. Cet adjectif qui peut vous sembler flou sera précisé par la suite.

Rappel de mécanique des milieux continus 3 Chapitre 2 Rappel de mécanique des milieux continus 2.1 Les principes fondamentaux La mécanique des milieux continus est la théorie sur laquelle se fonde la mécanique des structures et la mécanique des fluides. Cette dernière est dite classique car fondée sur le concept de temps absolu. Ainsi, l ensemble T des instants est considéré comme un espace affine de dimension un. Un repère de temps ayant été choisi, à chaque instant correspond un temps t. Spatialement, la mécanique classique est formulée dans l espace affine euclidien orienté à trois dimensions dont le référentiel est noté E. Un repère R de E étant choisi, chaque point géométriquep E est repéré par le tripletx = (x 1,x 2,x 3 ) R 3. La matière est considérée constituée d éléments appelés particules ou points matériels. Un ensemble A de telles particules est un ensemble matériel. La conception de milieu continu admet que la matière est sans lacune. Ainsi, on appelle corps matériel ou milieu continu tout ensemble matériel dont toute position est une région fermée dee. La conséquence première de cette conception est que l on ne peut pas déduire la mécanique des milieux continus de celle du point [34]. Ainsi, les principes de conservation de la masse et de la dynamique doivent être formulés directement. Pour cela rappelons les notions de configuration, de déformation et de mouvement. Définition definition On appelle configuration d un ensemble matérial A, toute application K deadans E. Définition definition On appelle déformation d un ensemble matérial A entre deux configurationsket K, la bijectiong dek(a) vers K (A) définie par g = K K 1. (2.1) Définition definition On appelle mouvement d un ensemble matériel A durant l intervalle de tempsi R, une fonction χ : A I E (2.2) qui à chaque particulep A et à chaque instantt I associé un point géométriquep E P = χ(p,t). (2.3)

4 Rappel de mécanique des milieux continus Chaque application partielle est une configuration dea. χ t : p A χ(p,t) E (2.4) La masse d un point matériel n ayant aucun fondement, on doit introduire ρ la masse volumique du point matérielpassocié au point géométriquep dans la configuration χ t. Le principe de la conservation de la masse s exprime sous la forme : Principe principe La masse de tout corps matériel ne dépend pas de la configuration. La masse de tout corps en mouvement χ est indépendante det: d ρ(p)dv = 0. (2.5) dt χ t(a) Le principe de la dynamique exprime des relations entre grandeurs cinématiques et efforts. La vitesse et l accélération se déduisent du mouvement. Ainsi, l application partielle χ p : t I P = χ(p,t) (2.6) définit la loi horaire du mouvement de point matériel p. Si une origine O de E est choisie, on aura OP = χ(p,t). (2.7) Ainsi, la vitesse et l accélération deppar rapport au repère R sont simplement définies par V (p,t) = dχ(p,t) dt γ(p,t) = d2 χ(p,t) dt 2 = dop, (2.8) dt = d2 OP dt 2. (2.9) Le torseur dynamique d un ensemble matérielaécrit en un point quelconqueapar rapport au repère R est donné par la relation { d(a/r) = D(A/R) = γ(p,t)ρdv } A j A (A/R) = AP γ(p,t)ρdv. (2.10) A On définit de même le torseur des efforts deb suraau pointapar { } F(A,B) F(A,B) =, (2.11) M A (A,B) où F(A,B) est la force et M A (A,B) le moment défini en A. Le principe de la dynamique écrit dans le cadre de la mécanique des milieux continus s écrit sous la forme Principe principe Il existe un référentiel E g (de repère R g ) appelé galiléen et une chronologie absolue, tels que pour tout corps matériel A en mouvement et à chaque instant, le torseur dynamique galiléen deasoit égal au torseur des efforts extérieurs appliqués à A : D(A/R g ) = F e (A) = F(A,A e ), (2.12)

2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus 5 S n coté négatif coté positif FIG. 2.1 Représentation de la coupure S réalisée sur un corps matériel A à l aide d une orientation continue de la normalen. oùa e est le plus grand corps séparé dea. Le torseurs des efforts extérieurs prend également en compte les forces à distance. Passons maintenant à une écriture locale de ces principes de conservation. 2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus Afin de décrire les efforts internes que subit un corps matériel A par un autre B, la notion de contrainte doit être introduite. Elle repose sur le fait que les efforts de contact ne dépendent pas des corps mais uniquement des surfaces de contact. C est pour cette raison que ces efforts sont introduits sous forme de densités surfaciques mesurées en Newton par mètre carré (N/m 2 ). Lorsque l on exprime les efforts de contact, il convient de distinguer la partie agissante de la partie recevante, la notion de coupure est là pour préciser ce point. Définition definition Etant donnée une surface S, illustrée sur la Fig. 2.1, intérieure à A, on appelle coupure dea, notée S, le couple constitué des et du choix d une orientation continue du vecteur unitaire normal,n, à S. On appelle coté positif (resp. négatif) de S le domaine matériel situé au voisinage des du même coté (resp. du coté opposé) que la normalen. La convention universelle de la mécanique des milieux continus est la suivante Définition definition S étant une coupure de A, on note T S la densité vectorielle surfacique d efforts de contact réalisant l action de la matière située du coté positif de S sur la matière située du coté négatif de S. L hypothèse fondamentale de Cauchy (1822), démontrée par Noll en 1955 (cf. pour plus de détails, Truesdell et Toupin [34]) stipule quet S ne dépend que de la normale et non pas des que l on peut alors notéet(p,n). De plus, Cauchy a démontré quet S s écrivait de façon linéaire en fonction den. Ainsi, on peut dire qu en tout point matérialp, il existe un tenseur de contrainte, σ(p), tel que T(P,n) = σ(p) n, (2.13) où le point représente le produit contracté. Sous forme indicée relativement à une base orthonormée, la relation précédente s écrit T i (P,n) = σ ij (P)n j, (2.14)

6 Rappel de mécanique des milieux continus où la convention d Einstein sur les indices muets (répétés deux fois) est utilisée. Le principe de la dynamique peut être maintenant formulé sous forme locale où nous passons sous silence l obtention de ces équations via l écriture intégrale de la relation (2.12). Nous obtenons les deux relations fondamentales suivantes : ργ = f +divσ, (2.15) σ ij = σ ji. (2.16) f correspond à la densité volumique des forces à distance (gravité par exemple) ; div est l opérateur de divergence qui appliqué à un tenseur d ordre deux s exprime sous la forme (divσ) i = σ ij x j = σ ij,j. (2.17) La relation (2.16) montre que pour avoir la conservation des moments, il est nécessaire que le tenseur des contraintes soit symétrique. Ces relations de conservation ne sont pas suffisantes pour poser complètement le problème car les conditions aux frontières (conditions aux limites) stipulant par exemple un chargement ou un encadrement doivent être ajoutées. Nous reportons la discussion sur ce point dans le chapitre suivant. Nous allons maintenant particulariser ces équations de conservation dans le cadre de la mécanique des structures (élasticité) et de la mécanique des fluides. 2.2.1 Equations de l élasticité L élasticité est la science où l on cherche à définir l état de contrainte et de déformation dans un corps sollicité mécaniquement. L objectif est de contrôler si ce dernier peut supporter les charges soumises sans aucun endommagement. Afin de relier les déformations et les contraintes, nous devons exprimer la relation les liant qui est généralement décrit sous le nom de loi de comportement. Pour cela, rappelons la notion de champ de déplacement. Celle-ci doit être faite en introduisant une configuration de référence, K appliqué au corps matériel A. Le domaine de référence est noté D = K(A) E. Définition definition On appelle déplacement associé à une déformation g, le champ vectoriel u définit sur la configuration de référenced par P D, u(p) = g(p) OP (2.18) En dehors des solides indéformables, la première approximation possible pour décrire les déformations dans un solide est de supposer que celles-ci sont petites ou infinitésimales. Dans ce cas, la configuration déformée reste très voisine de la configuration de référence. L état de déformation se décrit en faisant un développement limité autour d un pointp : u(q) = u(p)+gradu(p) PQ, (2.19)

2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus 7 où grad est l opérateur gradient tel que appliqué à un vecteur ce dernier donne un tenseur d ordre deux : (gradu) ij = u i x j = u i,j. (2.20) La décomposition canonique du tenseur du gradient deus écrit sous la forme où w, e sont définis par gradu(p) = w+e, (2.21) w = 1 ( gradu t gradu ), 2 (2.22) e = 1 ( gradu+ t gradu ). 2 (2.23) t désigne le tenseur transposé.w correspond à la partie antisymétrique eteàla partie symétrique On rappelle que la partie antisymétrique ne décrit uniquement le mouvement de translation et rotation solide, il est d ailleurs appelé tenseur de rotation. La partie symétrique, qu en à elle, décrit les déformations : les termes diagonaux correspondent à des allongements et les termes non-diagonaux à des glissements [34]. Maintenant que les déformations ont été caractérisées, les relations entre contrainte et déformation peuvent être spécifiées. Comme nous l avons vu auparavant seul le tenseur e décrit les déformations. Ainsi, l état de contrainte étant uniquement relié à l état de déformation, on s attend à avoir un tenseur de contrainte qui soit une fonction de e décrivant la loi de comportement. Cette dernière constitue une restriction sur les forces subies par un solide. Nous allons nous limiter ici au cas de l élasticité linéaire reposant sur deux hypothèses : l une stipule l existence d un état libre de contrainte, appelé état naturel et la seconde est que les contraintes s expriment de façon linéaire en fonction des déformations. Ceci se traduit mathématiquement sous la forme suivante σ(p) ij = C ijkl (P)e kl. (2.24) Le tenseur d ordre quatrec est appelé tenseur élastique. Cette relation reste encore trop compliquée pour les applications. C est pourquoi on introduit encore deux autres simplifications. La première est de supposer que le corps est homogène, i.e. que le tenseur élastique est indépendant du point matériel, P ; la deuxième est de considérer le milieu comme isotrope. Ainsi et compte-tenu des symétries des deux tenseurs σ et e, seuls deux constantes suffissent pour exprimer le tenseur élastique sous la forme [34] : C ijkl = λδ ij δ kl +µ(δ ik δ jl +δ il δ jk ). (2.25) oùλetµdésignent les coefficients de Lamé etδ ij correspond au symbole de Kronecker, égal à 1 sii = j et à zéro sii j. La relation contrainte déformation devient alors σ(p) ij = λtr(e)δ ij +2µe ij, (2.26)

8 Rappel de mécanique des milieux continus où tr(e) désigne la trace dee :e ii. Remarquons que les deux coefficients de Lamé sont reliés au module de Young,E, et au coefficient de Poisson,ν, classiquement introduit en résistance des matériaux à l aide des relations suivantes E = µ(3λ+2µ), λ+µ (2.27) λ ν = 2(λ+µ). (2.28) Ceci finit complètement l établissement des équations de l élasticité linéaire. En effet, le principe de la dynamique entraîne l écriture de trois relations scalaires dépendant de trois inconnues scalaire, u i. L introduction de la loi de comportement (2.26) dans l équation exprimant le bilan de quantité de mouvement, Eq. (2.15), conduit à l écriture des équations de Navier : 2.2.2 Equations de la mécanique des fluides Description cinématique des fluides ρ 2 u i t 2 = µu i,jj +(λ+µ)u j,ji +f i. (2.29) Nous avons vu précédemment qu en élasticité, la configuration de référence avait beaucoup d intérêt pour écrire les équations de la déformation du solide matériel. En mécanique des fluides, on l on cherche à étudier le mouvement d un fluide, deux descriptions du milieu matériel existent. La première appelée description Lagrangienne consiste à exprimer la position x à tout instant t de chaque particule matériel en fonction detet dex 0, position dans la configuration de référence, D 0. On écrit x = g(x 0,t). (2.30) Les variablesx 0, t sont dites variables de Lagrange. Pour un x 0 donné, g(x 0,t) décrit la loi horaire du mouvement d une particule matérielle p dont la position dans la configuration de référence est x 0. La vitesse et l accélération sont alors simplement données par les dérivées partielles suivantes v(x 0,t) = g(x0,t), t (2.31) γ(x 0,t) = 2 g(x 0,t). t 2 (2.32) Cette description est généralement mal adaptée pour décrire le mouvement du fluide. En effet, on recherche rarement à connaître le mouvement individuel de chaque particule matérielle. Il est plus intéressant de connaître à tout moment et en tout point d une région de l espace où le fluide se trouve, la vitesse ou toute autre variable des particules matérielles. Ainsi, on introduit la description eulérienne qui consiste à exprimer toute grandeur en fonction de la position, x dans

2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus 9 le domaine de l espace et à chaque instantt. Par exemple, la vitesse, notée iciu, est alors écrite sous la forme suivante : U = U(x,t). (2.33) Les variablesx,tsont appelées variables d Euler. L introduction de cette représentation nécessite de bien définir la dérivation par rapport au temps. Ainsi on définit les deux dérivées temporelles suivantes [1] : ( ) t = : dérivée temporelle àxfixé, (2.34) t ( ) x D Dt = : dérivée temporelle à x 0 fixé. (2.35) t x 0 La deuxième dérivée correspond au cas où l on suit une particule matérielle au cours de son mouvement. Elle est appelée dérivée matérielle ou dérivée convective. Il vient alors que la vitesse est donnée par U(x,t) = Dx Dt. (2.36) L accélération est également définie à l aide de γ(x,t) = DU Dt. (2.37) L expression de la dérivée matérielle s obtient facilement en utilisant la notion de dérivée de fonctions composées. Ainsi on a pour toute grandeur scalaire, f(x,t), la relation suivante : Df Dt = f t Pour une grandeur vectorielle comme la vitesse, on a DU Dt = U t qui suivant une base cartésienne, s écrit pour la composanteu i +U gradf. (2.38) +U gradu, (2.39) DU i Dt = U i t + U i x j U j. (2.40) Pour finir ces quelques rappels, on parle de mouvement stationnaire si toutes les dérivées partielles par rapport au temps définies par la relation (2.34) sont nulles. Dans le cas contraire, le mouvement est dit instationnaire.

10 Rappel de mécanique des milieux continus Equations de Navier-Stokes Les principes de la conservation de la masse et de la dynamique peuvent maintenant énoncés. Ainsi, la conservation de la masse s exprime à l aide de l équation suivante ρ t +div(ρu) = 0. (2.41) où ρ est la masse volumique du fluide. Cette relation est appelée équation de continuité. Pour la quantité de mouvement, on a ρ DU Dt = f +divσ, (2.42) où f sont les forces volumiques. Pour clore le système, le tenseur des contraintes doit être relié au champ de vitesse. L expérience montre qu un fluide au repos subit toujours une compression liée à la pression,p régnant dans le fluide. Lorsque le fluide est mis en mouvement, l existence de la variation du champ de vitesse provoque, l apparition de contrainte de frottement ou de viscosité. Ainsi le tenseur de contrainte peut être décomposé sous la forme suivante σ = PI +σ v, (2.43) où I est le tenseur unité et σ v est le tenseur de contrainte visqueuse. Ce dernier doit être relié au gradient de viscosité,gradu. A l instar de ce que nous avons vu pour la déformation des solides, le gradient de vitesse peut être décomposé de façon canonique sous la forme : gradu = Ω+d, (2.44) où Ω, d sont définis par Ω = 1 ( gradu t gradu ), 2 (2.45) D = 1 ( gradu + t gradu ). 2 (2.46) La partie antisymétrique est relié au vecteur tourbillon,ω défini par ω = 1 rotu, (2.47) 2 où rot est l opérateur rotationel. On a la relation suivante en repère cartésien [1] ω i = 1 2 ǫ ijkω jk, (2.48) où ǫ ijk désigne le tenseur d ordre trois antisymétrique de Levi-Cevitta qui faut 1 si i, j et k sont des permutations paires de 123, 1 si i, j et k sont des permutations impaires et 0 si deux des trois indicesi, j et k sont repetés une fois.

2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus 11 Le tenseurdcaractérise au même titre queeles déformations subit par le milieu et est appelé tenseur des taux de déformations. Le tenseur des contraintes visqueuses σ v doit alors être une fonction de d. Dans le cas d un comportement linéaire et isotrope, connu sous le nom de fluide newtonien, le tenseur des contraintes visqueuses est σ v = λtr(d)i +2µd, (2.49) Le coefficient µ est appelé viscosité de cisaillement. Le premier, λ est relié à la compressibilité subit par le fluide. L hypothèse couramment utilisée est de supposer que la quantité 3λ + 2µ est égal à zéro. De tels fluides sont appelés, fluides de Stokes. On remarque également que tr(d) = divu. En reportant (2.49) dans l équation de quantité de mouvement et pour des fluides homogènes, i.e. pourµet λ constants, on obtient l équation de Navier-Stokes : ρ DU Dt = gradp +(λ+µ)grad(divu)+µ U +f. (2.50) A l aide de l équation de bilan de masse, nous disposons de deux équations pour trois inconnues, P, U et ρ. Il faut donc compléter ce système par une relation supplémentaire fournie par une loi d état. Néanmoins, l hypothèse couramment utilisée est de considérer la masse volumique comme constante. Dans ce cas, l équation de continuité devient seulement divu = 0, (2.51) signifiant qu il y a conservation du volume, i.e. mouvement isochore. De là, l équation de quantité de mouvement dégénère sous la forme la plus connue ρ DU Dt = gradp +µ U +f. (2.52) Alors que dans le cas général, la pression P s identifie à la pression thermodynamique [1], ce caractère n a plus de sens dans la situation incompressible. La pression n est alors qu un scalaire qui assure la condition d incompressibilité correspondant à un multiplicateur de Lagrange [23]. L une des grandes difficultés des équations de Navier-Stokes est leur non-linéarité. En effet, la dérivée particulaire de la vitesse présente la contribution U j U i / x j. Cette particularité fait que ces équations font partir des plus compliquées à étudier mathématiquement [33, 23]. A ce jour, les mathématiciens ne savent toujours pas démontrer l existence et l unicité des équations de Navier-Stokes dans l espace à trois dimensions. Ce problème fait d ailleurs parti des problèmes du millénaire proposés par the Clay Institute of Mathematics en 2000. Le membre de gauche de (2.52) correspond aux forces d inertie. Le deuxième terme du membre de droite traduit les forces de viscosité. Lorsque la viscosité d un fluide est importante comme pour le verre en fusion, les effets visqueux dominent le reste. Ainsi, les équations de Navier-Stokes se simplifient sous la forme des équations de Stokes : gradp +µ U +f = 0. (2.53)

12 Rappel de mécanique des milieux continus Les conditions aux limites généralement prises pour les fluides visqueux sur une paroi est d imposer une condition de non-glissement. Ceci signifie que la vitesse est soit fixée à zéro si la paroi est immobile sinon le fluide est animé de la même vitesse que la paroi. Les écoulements font apparaître nécessairement un gradient de pression. Inversement, si un gradient de pression existe, il en résulte un mouvement d un fluide. Ainsi, une des conditions aux limites qui est souvent prise est de fixer une valeur de la contrainte normale principalement dominée par la pression. Lorsque deux fluides sont en contact, des conditions de saut doivent être écrites traduisant la conservation de la quantité de mouvement (cf. pour plus de détails [18]). Nous reviendrons sur ces conditions aux limites lors de la résolution numérique des équations de Navier-Stokes.

Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés 13 Chapitre 3 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés La formulation intégrale est à la base de toute discrétisation par la méthode des éléments finis. Nous verrons ci-dessous que dans certain cas cela conduit à la minimisation de fonctionnelle, d où l adjectif variationnelle dans le titre de ce chapitre. De plus, les formes intégrales permettent de préciser si les problèmes sont bien posés au sens d Hadamard [14] : un problème est bien posé s il admet une et une seulle solution et si cette dernière est stable par rapport aux données. La première propriété nous assure que la solution que l on obtient est bien la bonne. La deuxième nous assure qu en changeant une donnée, par exemple en multipliant par un facteur quelconque un terme source, la solution ne présente pas de singularité (en terme plus imagé, il ne faut pas que la solution explose ). 3.1 Classification des équations aux dérivées partielles Les équations aux dérivées partielles sont souvent classifiées en fonction de la valeur prise par les coefficients multiplicateurs des termes différentiels. Le but ici est juste d introduire le vocabulaire communément employé par les numériciens. Prenons le cas d une équation aux dérivées partielles portant sur un champ u dépendant de deux variables,xety, écrite sous la forme A 2 u x +B 2 u u 2 x y +C 2 y +D u 2 x +E u +Fu+G = 0, (3.1) y où les coefficients A à G peuvent être constants ou fonctions de x et y. L équation aux dérivées partielles (3.1) est elliptique si B 2 4AC < 0, (3.2a) parabolique si et hyperbolique si B 2 4AC = 0, B 2 4AC > 0. (3.2b) (3.2c)

14 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés On remarque que cette classification ne porte que sur les coefficients des dérivées d ordres deux. Elle est directement reliée à la forme quadratique prise par les trois termes des dérivées d ordres deux de (3.1) [14]. Elle peut être généralisée à un nombre de dimension plus grands que deux et à un nombre d équations plus grands que un (cf. pour plus de détails la référence [11]). La classification des équations est importante à connaître car elle conditionne les types de conditions aux limites mais également les méthodes numériques à employer. Lorsque les coefficients A à G sont constants, la classe de l équation ne change pas. Dans le cas contraire, la classification devient locale. Ce dernier cas est généralement la source de difficultés numériques et intervient par exemple dans la résolution des écoulements subsoniques. L équation de Laplace u = 2 u x + 2 u = 0, (3.3) 2 y2 écrite ici en dimension deux, est l archétype de l équation elliptique. Elle se rencontre dans de nombreux problèmes de physique où bien souvent des problèmes plus général se réduisent à l écriture d une équation de Laplace ou de Poisson lorsqu il y a un terme source. Notons que les équations de Navier stationnaire présentée précédemment est également un exemple typique d équation elliptique. L exemple typique de l équation parabolique est l équation de diffusion instationnaire qui pour un champ de températuret s écrit T t = κ T, (3.4) où κ est la diffusivité thermique. L opérateur laplacien peut être écrit en dimension deux ou trois ce qui ne change rien au caractère de l équation. Finalement, le modèle d équation hyperbolique nous est fourni par l équation des cordes vibrantes qui se réduit à 1 2 u c 2 t = 2 u 2 x2, (3.5) où c représente la vitesse de propagation des ondes donnée par F t c = ρ. (3.6) F t représente la force de traction etρla masse volumique de la corde. Cette équation, écrite ici en dimension un se généralise à plusieurs dimensions pour les applications de propagation des ondes sonores mais également des ondes gravitaires à la surface d un liquide [17] décrivant les Tsunamis! 3.2 Formulation variationnelle d un problème elliptique Pour faire passer l idée de la formulation variationnelle, nous allons regarder le problème simple suivant où u vérifie dans un domaine à deux dimensions D, représenté sur la Fig. 3.1,

3.2 Formulation variationnelle d un problème elliptique 15 D D 1 n D 2 FIG. 3.1 Représentation du domaine D sur lequel l équation (3.7) est appliquée. La frontière de D est partitionné en deux sur lesquels les conditions aux limites sont appliquées. n est la normale unitaire sortante à la frontière ded. l équation de Poisson suivante u = g, (3.7) où le signe - a été introduit pour des raisons qui apparaitront plus loin dans l exposé. La prise de dérivée du second ordre ne peut se faire que si u C 2 (D). Nous préciserons plus loin quel espace doit être considéré. Afin de définir complètement le problème, on complète l équation (3.7) par les conditions aux limites suivantes u = u 1, sur D 1, (3.8) u n = u n i = φ, sur D 2. x i (3.9) La première condition qui porte sur la valeur prise par u sur D 1 est dite condition de Dirichlet. La deuxième écrite sur la dérivée normale est appelée condition de Neumann. La formulation variationnelle s obtient en multipliant l équation (3.7) par une fonction test. Pour faire cela de façon rigoureuse, des espaces fonctionnels doit être introduits. L espaces W est ainsi définis : W = {v L 2 (D), m v L 2 (D) avecm 2,v D1 = 0}. (3.10) L 2 (D) est l espace de fonctions à carré sommable surd. Les quantités m v correspondent à l ensemble des dérivées soit d ordre un, soit d ordre deux. Cet espace est une version plus restrictive de C 2 (D). Il s agit d un espace de Sobolev d ordre deux (pour plus de détails sur ces espaces, voir le livre de Raviart et Thomas [29]). De même, on définit un deuxième espacev sous la forme suivante : V = {v L 2 (D), v L 2 (D),v D1 = 0}. (3.11)

16 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés V forme donc un espace moins régulier quew. Si u W, vérifiant le problème initial constitué de l équation (3.7) et muni des conditions aux limites (3.8) et (3.9), en multipliant par une fonction testv V, et en intégrant sur l ensemble du domained, on obtient la forme variationnelle suivante a(u,v) = D Trouveru V, tel que gvds + φvdl, v V, (3.12) D 2 où a(u,v) est forme bilinéaire symétrique donnée par a(u,v) = gradu gradvds. (3.13) D L équation (3.12) s obtient en faisant une intégration par partie et en appliquant le théorème de Green-Ostrograski. C est cette étape qui justifie l introduction du signe - dans (3.7) qui est éliminé par l intégration par partie. La vérification de l équation (3.12) est laissée en exercice. On remarque que dans le problème (3.12),uest maintenant à chercher dans V qui est moins régulier que l espace W. C est dans ce sens où cette formulation est dite faible car nous réduisons le niveau de régularité de u. L obtention de la forme variationnelle est à la base de la recherche de l existence et de l unicité de la solution du problème continu formulé au début de cette section. Montrons maintenant qu il est relié à un problème de minimisation. En effet en prenant v = δu considéré comme une variation deu, on montre que la fonctionnelle J(v) = 1 2 a(v,v) gvds φvdl, (3.14) D D 2 est minimum si u vérifie le problème variationnel. C est à partir de ce résultat que l on montre que la solution est unique, cf. [10, 29]. L obtention du problème de minimisation n est possible que si a est une forme symétrique. C est d ailleurs pour cela que par abus de langage, la formulation intégrale, Eq. (3.12), est appelée formulation variationnelle. 3.3 Formulation variationnelle des équations de l élasticité Les équations de l élasticité linéaire écrites sur un domaine spatial à trois dimensions D dans le cas stationnaire s écrivent sous la forme suivante Le tenseur de containte est donné par la loi de comportement σ ij x j +f i = 0. (3.15) σ ij = λtr(e)δ ij +2µe ij, (3.16)

3.3 Formulation variationnelle des équations de l élasticité 17 où le tenseur de déformationeest défini par e ij = 1 2 ( ui + u ) j x j x i (3.17) et u correspond au champ de déplacement. Comme précédemment, nous considérons la situation où la frontière de D est partitionnée en deux. Sur la partie D 1, on impose les déplacements sous la forme u = 0, sur D 1 (3.18) et sur la deuxième partie, on impose un chargement exprimé en terme de contrainte sous la forme σ n = T, sur D 2. (3.19) Les espaces introduits précédemment doit être généralisées pour les fonctions vectoriels, u. Ainsi, iciv et W seront les suivants V = {v [ L 2 (D) ] 3, v [ L 2 (D) ] 3,v D1 = 0}, (3.20) W = {v [ L 2 (D) ] 3, m v [ L 2 (D) ] 3 avecm 2,v D1 = 0}. (3.21) La formulation faible du problème continu local, Eq. (3.15), s obtient en multipliant par v V l équation (3.15). Par suite de l intégration par partie et compte-tenu des conditions aux limites et du fait que le tenseur de contrainte est symétrique, on obtient le problème variationnelle suivant : avec a(u,v) = D Trouveru V, tel que f vdv + T vds, v V, (3.22) D 2 a(u,v) = D σ ij (u)e ij (v)dv. (3.23) Cette forme bilinéaire est encore symétrique comme on peut le voir simplement en permutantu et v. Le problème variationnel (3.22) exprime le principe des travaux virtuels. En prenant pour v une variation deu, on montre que la solution de (3.22) minimise la fonctionnelle suivante J(v) = 1 2 a(v,v) D f vdv T vds. (3.24) D 2 Résultat bien connu de tout les mécaniciens qui savent que parmi les champs cinématiquement admissibles, le champ réel est celui qui minimise l énergie potentielle [10].

18 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés 3.4 Formulation variationnelle des équations de Stokes Passons à un problème crucial pour la résolution des équations de la mécanique des fluides. Nous nous limitons ici à la situation d un fluide incompressible où les effets visqueux sont prépondérants. Dans cette situation, les équations de Stokes régissent l écoulement dans un domaine D qui sont rappelées ci-dessous divu = 0, (3.25) µ U +gradp = 0. (3.26) U et P désignent respectivement la vitesse et la pression. µ est la viscosité dynamique. Dans ces équations, les forces de volume ont été négligées. Les conditions aux limites sont simplement des conditions de vitesse imposée : U = g sur D. (3.27) A la différence de ce nous avons vu jusqu à maintenant, U et P ont un caractère différent. Alors que la vitesse présente un caractère elliptique, la pression n intervient uniquement par son gradient. On s attend à ce que ces deux variables jouent un rôle différent. Pour établir la forme faible de ce problème et compte-tenu des conditions aux limites indiquées ci-dessus, on prend comme espace pour les fonctions tests pour la vitesse le suivant : H 1 0 = {v [ L 2 (D) ] 3, v [ L 2 (D) ] 3,v D = 0}. (3.28) Pour la pression, l espace suivant : L 2 0 = {q L2 (D), D qdv = 0}. (3.29) Le fait de prendre un espace à moyenne nulle provient du fait que la pression intervient uniquement à travers son gradient. Ainsi, prendre P + c où c est une constante à la place de P ne change rien aux équations de conservation. L imposition d une moyenne nulle permet d éliminer cet arbitraire. En multipliantv H0 1 par l équation de quantité de mouvement et en intégrant par partie et en multipliant par q L 2 0 l équation de conservation de la masse et en intégrant, la formulation faible du problème de Stokes s énonce sous la forme : Trouver(U,P) H 1 0(D) L 2 0(D) tel que { a(u,v )+b(v,p) = 0, V H 1 0(D), b(u,q) = 0, q L 2 0 (D), (3.30) où a(u,v ) et b(u,q) sont donnés par a(u,v ) = µ U i V i dv, (3.31) D x j x j b(u,q) = qdivudv. (3.32) D

3.5 Méthode des résidus pondérés 19 Comme dans les deux précédents exemples, en prenant V = δu, on établit la fonctionnelle suivante L(V,q) = 1 a(v,v )+b(v,q). (3.33) 2 On montre que sil(u,p) admet l encadrement suivant L(U,q) L(U,P) L(V,P), (V,q) H0 1 (D) L2 0 (D), (3.34) alors le problème (3.30) est bien posé. L encadrement montre que la fonctionnelle ne correspond plus à un minimum mais à un point selle [9]. Cette particularité a des conséquences importantes sur la mise en œuvre numérique de la résolution du problème de Stokes. En effet, les résultats établis sur le problème continu doit être également vrais sur le problème discret. Ainsi, le fait que U et P ne soient pas dans les mêmes espaces fonctionnels et que l encadrement (3.34) doit être vérifié entraîne que les choix d éléments finis pour discrétiser la vitesse et la pression ne sont pas arbitraire. Nous en donnerons des exemples dans le chapitre 4. Remarquons pour finir que nous avons abordé ce problème de type point selle en prenant l exemple de la mécanique des fluides. Néanmoins, la mécanique des solides présente le même type de problème lorsque le coefficient de Poisson tend vers 1/2 correspondant à la limite d un solide incompressible [9, 35]. 3.5 Méthode des résidus pondérés La méthode des résidus pondérés est déjà un premier pas vers une solution discrète. Supposons qu un problème s écrit de façon générale dans un domained sous la forme suivante L(u) = f, x D, (3.35) où L est un opérateur différentiel vectoriel quelconque portant sur le champ u et f un terme source. De même, les conditions aux limites peuvent être écrites ainsi M(u) = t x D. (3.36) Comme numériquement il est impossible de résoudre le problème continu, u peut être approchée en la développant suivant une base de fonctions sous la forme suivante : ū = N a n φ n, (3.37) n=1 oùa n sont des coefficients numériques inconnus etφ n des fonctions de base. La barre au dessus de u signifie qu il s agit d une solution approchée. L introduction du champ approché, ū dans les équations du problème continu entraîne que les égalités des équations (3.35) et (3.36) ne sont plus rigoureusement vérifiées. On note les résidus sous la forme suivante : R(ū) = L(ū) f, (3.38) B(ū) = M(ū) t. (3.39)

20 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés La méthode des résidus pondérés consiste à minimiser l erreur commise en intégrant les résidus sous la forme R(ū) W m dv + B(ū) W m ds = 0, pourm = 1 àn, (3.40) D D où W m correspond à une fonction test ou encore appelée fonction poids. Le choix dew m permet d énumérer diverses méthodes [11] : 1. Méthode des sous-domaines : Elle s obtient en décomposant le domaine D en N sousdomaines tel que D = N n=1 D n et que D n D m = n m et en prenant W m = 1 sur D m. Cette méthode coïncide avec celle des volumes finis qui a l avantage d assurer la conservation des bilans sur le domaine discrétisé. 2. Méthode de collocation : IciW m = δ(x x m ) oùδ représente la fonction de Dirac. Cette méthode impose que l on force le problème discret à vérifier les équations du problème locale en un nombre limité de points. C est la base de la méthode des différences finies où les opérateurs différentiels sont par la suite approchés. Cette méthode est également utilisée dans les méthodes spectrales où dans ce cas les fonctions de base sont prises suivant des bases de polynômes orthogonaux qui en font des méthodes très précises. 3. Méthode des moindres carrés : En prenant comme fonction test et W m = R a m surd (3.41) W m = B sur D, (3.42) a m on minimise les erreurs revenant à écrite la forme intégrale ainsi R(ū) RdV + B(ū) BdS = 0, (3.43) D correspondant bien à l erreur quadratique. 4. Méthode de Galerkin : Elle correspond au choix suivantw m = φ m. Remarquons que dans le cas où les fonctions de base sont choisies de telle sorte à être des solutions fondamentales du problème local et vérifiant les conditions aux limites, la méthode de Galerkin permet d établir une solution exacte du problème correspondant par exemple à une décomposition de Fourier. Comme nous l avons vu au cours du précédent chapitre, le fait de prendre la fonction test dans le même espace que celui de l inconnue conduit soit à un problème de minimisation soit à un problème de type point selle. Ainsi, l utilisation de la méthode de Galerkin nous assure de retrouver cette caractéristique. C est pourquoi cette méthode est la plus populaire dans la méthode des éléments finis. Néanmoins, dans certaines situations comme par exemple les équations de transport, la méthode de Galerkin n est pas efficace. Pour ces situations, la méthode des moindres carrés est préférable car elle donne toujours des opérateurs symétriques. Néanmoins, elle requiert des espaces très réguliers. Quelque fois, les deux méthodes sont couplées, on parle alors d approche Galerkin-Moindres carrés. Nous en verrons deux exemples au cours du chapitre 5. D

Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret 21 Chapitre 4 Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret Sur la base des deux chapitres précédents, nous pouvons aborder la mise en œuvre de la méthode des éléments finis. Les étapes importantes dans la discrétisation sont la formulation sous une forme varionnelle ou plus précisément sous une forme faible et ensuite l écriture sous forme discrète du problème continu et puis finalement la résolution numérique du problème discret. Pour aborder cette méthode, nous commençons par traiter un problème à une dimension, 4.1. Ensuite, une situation à plusieurs dimensions sera présentée, 4.2. 4.1 Méthode des éléments finis à une dimension L exemple traité ici est emprunté à Raviart et Thomas [29]. Il s agit d un problème elliptique écrit sur l ouvertω =]0,1[ sous la forme suivante d2 u = f surω =]0,1[, dx2 (4.1) u(0) = u(1) = 0. (4.2) Comme précédemment dans l écriture intégrale, nous introduisons un espace fonctionnel. Ici, il s agit de l espace de Sobolev H0 1 que nous avons déjà rencontré précédemment et qui est défini en 1D par H 1 0 (Ω) = {v L2 (Ω), dv dx L2 (Ω), v(0) = v(1) = 0}. (4.3) En prenantuet v deux fonctions dans l espaceh0 1 (Ω), la formulation variationnelle s écrit avec a(u,v) = a(u,v) = 1 0 1 0 fvdx, (4.4) dudv dx. (4.5) dx dx

22 Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret 1 2 i N x 0 = 0 x i 1 x i x N = 1 FIG. 4.1 Discrétisation du segment]0,1[ en N éléments réguliers. 1 φ 0 φ 1 φ i φ N 1 φ N 1 2 i N x 0 = 0 x i 1 x i x N = 1 FIG. 4.2 Fonctions de base sur le segment]0,1[. La discrétisation commence par la réalisation d un maillage. Pour le cas simple qui est le nôtre ici, on partitionne Ω en N segments qui constituent les éléments finis comme illustré sur la FIG. 4.1. L élément i est compris entre les sommets x i 1 et x i. En prenant pour simplifier un maillage uniforme, les sommetsx i sont donnés par la relation suivante où h correspond à la taille de la maille donnée par x i = ih, (4.6) h = 1 N. (4.7) Nous allons maintenant construire une approximation u h de u pour cela on introduit un espace d approximation de fonctions continue et affines par morceau défini ainsi V h = {v h C 0 (Ω); i [1,N], v h [xi 1,x i ] P 1 }, (4.8) où P 1 désigne l espace des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1. On définit les fonctions de baseφ i pourivariant de0àn par x x i 1, si x [x h i 1,x i ], x φ i (x) = i+1 x, six [x h i,x i+1 ], (4.9) 0 sinon. Ces fonctions, dessinées sur la FIG. 4.2, satisfont la condition φ i (x j ) = δ ij, 0 i,j N. (4.10) Dans la mesure où la famille(φ 0,,φ N ) constitue un espace vectoriel de dimensionn+1 1, on peut construire une approximation deusous la forme u h = N u h (x i )φ i (x), (4.11) i=0 1. C est d ailleurs pour cela que les fonctionsφ i sont dites fonctions de base.

4.1 Méthode des éléments finis à une dimension 23 oùu h (x i ) correspondent à la valeur prise paru h enx i et qui constitue nos inconnues maintenant. Par la suite on noteu h (x i ) = u i. La formulation variationnelle peut maintenant être écrite en prenant des fonctions dansv h. Le nombre d inconnues s élève à N +1 entraînant qu il est nécessaire de constituer N +1 équations. Pour se faire, la méthode de Galerkin est employée. Ceci veut dire que nous allons écrire N +1 l équation (4.4) en prenantv h = φ i où i varie de0àn. Le support de φ i est l intervalle [x i 1,x i+1 ] sur les éléments intérieurs. Pour φ 0, le support n est que[x 0,x 1 ] et pourφ N, le support n est que[x N 1,x N ]. La formulation variationnelle s écrit sous la forme du système suivant a(φ 0,φ 0 )u 0 +a(φ 1,φ 0 )u 1 = x1 0 xi+1 fφ 0 dx, (4.12) a(φ i 1,φ i )u i 1 +a(φ i,φ i )u i +a(φ i+1,φ i )u i+1 = fφ i dx, (4.13) x i 1 pouri = 1 àn 1 a(φ N 1,φ N )u N 1 +a(φ N,φ N )u N = xn x N 1 fφ N dx. (4.14) Ce système est dit tridiagonale montrant que la discrétisation par éléments finis reste locale. Le calcul des coefficientsa(φ i,φ j ) se fait sans difficulté. On obtient le système suivant 1 h u 0 1 h u 1 = b 0, (4.15) 1 h u i 1 + 2 h u i 1 h u i+1 = b i, (4.16) pouri = 1 àn 1 1 h u N 1 + 1 h u N = b N. (4.17) Les coefficients de second membre doivent être déterminés par une méthode d intégration numérique telle que la méthode des trapèzes. On remarque au passage, que cette discrétisation est totalement équivalente à celle obtenue par une méthode des différences finies. Remarquons qu à ce stade les conditions aux limites n ont pas été utilisées. Dans cet exemple, les valeurs de u sont imposées à zéro en x = 0 et 1. Ces conditions doivent être fixées a priori. Le fait de stipuler indépendamment de la formulation variationnelle les conditions aux limites de type Dirichlet font qu elles sont appelées conditions aux limites essentielles. Les conditions aux limites de type Neumann rentrent directement dans la formulation intégrale et sont alors dites conditions aux limites naturelles [8]. Ainsi, pour notre exemple, la première et la dernière ligne doivent être remplacées en imposant u 0 = 0 et u N = 0. Le système final peut être résolu sans aucune difficulté. Afin d illustrer cette partie, nous appliquons cette méthode à la résolution du problème suivant d2 u = sin(πx), surω =]0,1[, dx2 (4.18) u(0) = u(1) = 0. (4.19)

24 Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret 10-2 u uex 1, u uex 0 10-3 10-4 10-5 u u ex 1 u u ex 0 u u ex 1 = 0.2/N u u ex 0 = 6.4 10 2 /N 2 10-6 10 1 N 10 2 FIG. 4.3 Représentation des erreurs u u ex 1, u u ex 0 en fonction du nombre de maille sur le segment]0,1[. Ce problème admet une solution exacte très simple donnée par u ex (x) = sin(πx) π 2. (4.20) Ce problème est résolu à l aide du logiciel Comsol Multiphysics R qui sera utilisé lors des travaux dirigés. La connaissance de la solution exacte permet de faire un contrôle de l erreur faite par la résolution numérique. Pour faire cette estimation d erreur, nous devons définir une norme, dans le cadre des espaces de Sobolev, la norme utilisée est définie ainsi : u 1 = 1 0 [ u 2 + ( ) ] 2 du dx. (4.21) dx Il est courant d utiliser la norme dans l espace des fonctions à carré sommablel 2 défini par 1 u 0 = 0 u 2 dx. (4.22) Le calcul de l erreur suivant les deux normes suivantes a été réalisé en prenant un nombre d éléments allant de 10 à 100. Le résultat est montré sur la FIG. 4.3 où les erreurs obtenues à l aide des normes H 1 et L 2 sont représentées en fonction du nombre d éléments. La norme H 1 étant plus contraignante, l erreur est plus importante que celle obtenue en normel 2. Les courbes correspondent à des régressions linéaires où l on constate que l erreur décroît en h = 1/N en normeh 1 et en h 2 en normel 2. Ce résultat montré sur l exemple numérique traité ici est en fait un résultat fondamental de l approximation par éléments finis. Siu h désigne la solution du problème discret etula solution

4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions 25 FIG. 4.4 Représentation du maillage d une ellipse à l aide d éléments triangulaires. du problème continu, l erreur u u h 1 est du même ordre de grandeur que u I(u) 1 où I(u) correspond à l interpolation de u sur V h. De plus, on montre [9] que u I(u) 1 = O(h) et u I(u) 0 = O(h 2 ). Il est possible d étendre ces résultats à des éléments finis non plus linéaires mais dans des espaces de polynômes d ordre plus élevé que 1 type P k où k est l ordre des polynômes utilisés. Dans ce cas, on a le résultat suivant [9] : u I(u) 1 = O(h k ) et u I(u) 0 = O(h k+1 ). 4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions A plusieurs dimensions, la discrétisation de tout problème continu va devoir passer par le partitionnement du domaine auquel est appliqué le problème à résoudre. La FIG. 4.4 présente l exemple du maillage d une ellipse à l aide d éléments triangulaires. Les logiciels utilisent plusieurs types d éléments finis basés sur des polyêdres réguliers. Les éléments finis ont une définition précise que nous donnons ci-dessous [10]. Définition definition On appelle élément fini de Lagrange 2 le triplet(k,σ,p) constitué de d un compact K polyédrique droit ou courbe, d un ensembleσde points appelés nœuds ou degrés de liberté, d un espace vectoriel P de fonctions appelé espace d interpolation. Il faut que ce triplet donne des valeurs d une fonction quelconque f sur K continues. Dans le cas où l interpolation est continue d une élément à l autre, on parle d élément fini conforme dans le cas contrainte, d élément non-conforme. 2. Il existe des éléments où les degrès de liberté sont à la fois les valeurs nodales mais également les dérivées, on parle alors d élément fini de Hermite[9].