TOPOLOGIE & CONTINUITÉE Une approche mathéematique et philosophique III

TOPOLOGIE & CONTINUITÉE Une approche mathéematique et philosophique III 4. PARTIES D UN ENSEMBLE. Déefinition. Ensemble des parties d un ensemble Soit A un ensemble ; l ensemble des parties de A notée P(A) est l ensemble formée des sous-ensembles de A i.e. P(A) := {X; X A}. Le cas de l ensemble vide : Soit A =, alors P(A) = { } est un ensemble àa un éeléement et n est donc PAS l ensemble vide. Plus géenéeralement, on a : Lemme 4.1. L ensemble des parties d un ensemble A n est jamais vide. Déemonstration. En effet, l ensemble vide éetant un sous-ensemble de n importe quel ensemble, il appartient àa P(A) qui n est donc jamais l ensemble vide. En fait, dèes que A, P(A) contient au moins et A, et donc a au moins 2 éeléements. Exemples 4.1. i) A = {a}; P(A) = {, {a}} d oùu N(P(A)) = 2 ii) A = {1, 2,3}; P(A) = {, {1},{2}, {3},{1, 2},{1, 3}, {2, 3}, {1,2, 3}} d oùu N(P(A)) = 8 Plus préeciséement : Proposition 4.2. 2 N(A). Soit A un ensemble fini; alors P(A) est éegalement fini et on a N(P(A)) = Remarque 4.0. i) Dans les exemples ci-dessus on avait : A := {1}, N(A) = 1 et N(P(A)) = 2; A := {1, 2, 3}, N(A) = 3 et N(P(A)) = 8, ce qui correspond bien àa la proposition. De mêeme si A = i.e. N(A) = 0, on a encore : P(A) = { }, d oùu N(P(A)) = 1 = 2 N(A) = 2 0 et la proposition 4.2 est encore véerifiée. ii) On rappelle que de la déefinition de la bijectivitée, s il existe une bijection entre deux ensembles finis, ces deux ensembles ont mêeme nombre d éeléements (cf. remarque 1.2.ii)). Déemonstration de la proposition 4.2. 1

On va construire une bijection de P(A) sur un ensemble F dont il est facile de calculer le nombre d éeléements. Suivant la remarque 1.2.ii), le nombre d éeléements de P(A) sera éegal àa celui de F. Cette méethode est trèes utile lorsqu on veut calculer le nombre d éeléements d un ensemble un peu compliquée. i) Tout d abord soit F l ensemble des applications de A dans l ensemble àa 2 éeléements {0, 1}, i.e. F := {f : A {0, 1}}. Pour chaque éeléement de A, on a deux choix possibles pour son image; or 2 applications f, g sont distinctes ssi il existe a A tq f(a) g(a). Il existe donc autant d éeléements dans F que de choix possibles pour tous les N(A) éeléements de A, autrement dit 2 N(A) i.e. N(F) = 2 N(A). ii) Construction d une bijection entre P(A) et F. Soit φ : P(A) F l application de P(A) dans F (i.e. φ associe àa tout X A une application de A dans {0,1}) déefinie par : pour tout X P(A), φ(x) est l application f X : A {0,1} donnéee par : f X (a) := 1 si a X et f X (a) := 0 si a A\X. On va montrer que φ est bijective (i.e. injective et surjective). a) Injectivitée de φ : soit X, X P(A) (i.e. X, X A), f X := φ(x), f X := φ(x ); il faut montrer l implication : φ(x) = φ(x ) X = X. Par déefinition, on a : f X (a) := 1 si a X (1), f X (a) := 1 si a X (1 ) f X (a) := 0 si a A\X (2), f X (a) := 0 si a A\X (2 ). Par déefinition φ(x) = φ(x ) signifie f X = f X i.e. pour tout a A, f X (a) = f X (a), d oùu d aprèes (1) et (1 ) : a X a X i.e. X = X et φ est injective. b) Surjectivitée de φ : il faut montrer que pour toute application f F, il existe X P(A) (i.e. X A) tq φ(x) = f. Soit X sous-ensemble de A déefini par X := {a A;f(a) = 1} := f 1 ({1}) (3). Par déefinition, on a : φ(x) := f X oùu f X (a) := 1 pour a X (4) et f X (a) := 0 pour a A\X (4 ). Une application de X dans {0,1} ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, d oùu f(a) = 0 si a A\X (5). D aprèes (3) et (4), on a : f(a) = f X (a) pour a X, et d aprèes (4 ) et (5) : f(a) = f X (a) pour x A\X. On obtient donc : f(a) = f X (a) pour tout a A, d oùu f = f X := φ(x), et φ est surjective. 2

iii) Déemonstration alternative (réecurrence sur le nombre (fini) d éeléements de A). a) On suppose A et a A un éeléement de A. Soit A := A\{a}; pour tout sous-ensemble de X A, on a : - ou bien X ne contient pas a et donc X est un sous-ensemble de A, - ou bien x X, et en posant X := X\{a} (avec éeventuellement X = si X := {a}), on a : X := X {a}, avec X P(A ), et X est réeunion d un sous-ensemble X de A et de {a}. Le nombre de sous-ensembles de A est donc éegal àa 2 fois le nombre de sousensembles de A. b) Soit alors A un ensemble àa n 2 éeléements. On va considéerer les sousensembles de A et faire une réecurrence sur leur nombre d éeléements. Soit A A avec N(A ) = 1. Suivant l exemple 4.1.i), N(P(A)) = 2 = 2 1, et la proposition est vraie. On suppose la proposition vraie pour tout sous-ensemble X A (fini) tq X ait k 1 éeléements (hypothèese de réecurrence). Soit B A un sous-ensemble de A ayant k+1 éeléements. Soit a B un éeléement de B et B := B\{a}. Suivant l hypothèese de réecurrence, on a : N(P(A )) = 2 k, et suivant a), N(P(B)) = 2N(P(B )) = 2 2 k = 2 k+1 = 2 N(B). La proposition est donc vraie (par réecurrence) pour tout sous-ensemble B de A, et en particulier pour A. D oùu N(P(B)) = 2 N(A), et la proposition est déemontréee. Remarque. En fait, puisque N( ) = 0 et P( ) = { } est un ensemble àa 1 éeléement, on aurait pu commencer la réecurrence àa partir de 0 au lieu de 1 (cf. remarque 4.0.i)). Lemme 4.3. ÀA toute application f : A B, on associe une application P f de P(A) (ensemble des parties de A) dans P(B) (ensemble des parties de B) et une application P f 1 de P(B) dans P(A), en posant : pour tout X P(A) (i.e. X A), P f (X) := {f(a) B; a X} B et pour tout Y P(B) (i.e. Y B), P f 1(Y ) := {a A; f(a) Y } A. Déemonstration Par construction P f et P f 1 sont respectivement des sous-ensembles de B et A. Aussi P f (resp. P f 1) est bien une application de P(A) dans P(B) (resp. de P(B)) dans P(A) (cf. remarque 3.2.ii)). Il faut remarquer que, avec les notations de la propositions 1.3, pour tout X A et Y B, on a : P f (X) := f(x) et P f 1(Y ) := f 1 (Y ). En particulier, P f (A) est l image de A par f. ATTENTION. 3

Dans le lemme préecéedent, il faut faire attention àa une possible ambiguïıtée de notation lorsque f : A B est une bijection. En effet, dans ce cas, le lemme 4.3 déefinit deux applications de P(B) dans P(A). D une part (que f soit ou non bijective), l application P f 1 est déefinie, pour tout Y P(B) (i.e. Y B) par : P f 1(Y ) := {a A; f(a) Y } ( ). Et d autre part (seulement lorsque f est bijective), l application P (f 1 ), qui est associéee àa l application réeciproque f 1, déefinie par : P (f 1 )(Y ) := {f 1 (b); b Y } ( ). En fait, on va montrer le : Lemme 4.3. Soit f : A B est une bijection de A dans B. On a alors : P f 1 = P (f 1 ). Déemonstration Les deux applications P f 1 et P (f 1 ) ont mêeme ensemble de déepart (P(B)) et d arrivéee (P(A)), l éegalitée a donc un sens. Suivant le lemme 3.4, il faut montrer que pour tout Y B, on a : P f 1(Y ) = P (f 1 )(Y ). a) Tout d abord, pour tout a P f 1(Y ) := (d aprèes ( )) {a A;f(a) Y }, on a : f(a ) Y. En posant b := f(a ) Y, on a (puisque f est bijective) : a = f 1 (f(a )) := f 1 (b) (d aprèes ( )) P (f 1 )(Y ), d oùu P f 1(Y ) P (f 1 )(Y ). b) Inversement, soit a P (f 1 )(Y ). D aprèes ( ), il existe b Y en sorte que : a := f 1 (b) (ce qui a un sens puisque f est bijective), d oùu : f(a ) = f(f 1 (b)) := (f f 1 )(b) := Id B (b) := b Y. D aprèes ( ), on a donc : a P f 1(Y ), d oùu l inclusion : P (f 1 )(Y ) P f 1(Y ). Suivant a), on a donc l éegalitée P f 1(Y ) = P (f 1 )(Y ), et les deux applications P f 1 et P (f 1 ) sont bien éegales. Remarque 4.1. i) Comme on l a vu au paragraphe préecéedent, lorsque f n est pas bijective, f 1 n est pas une application de B dans A. Par contre, comme on vient de le montrer, P f 1 est une application, mais déefinie de P(B) dans P(A). Les notations f et donc f 1 peuvent induire en erreur, car elles ont alors deux sens. Soit ce sont des applications respectivement de A dans B et de B dans A (lorsque f est bijective), soit ce sont des raccourcis respectifs pour les applications P f : P(A) P(B) et P f 1 : P(B) P(A). ÉEtant déefinies sur des ensembles difféerents, on peut lever l ambiguïıtée, lorsqu on spéecifie ces ensembles (A ou P(A), B ou P(B)). On a ici un exemple de l importance d indiquer les ensembles sur lesquels les applications sont déefinies. 4

L annexe VIII, extrait de Parméenide de Platon, montre les paradoxes auxquels peut conduire cette ambiguïıtée lorsqu on ne distingue pas entre f et P f (resp. f 1 et P f 1 lorsque f est bijective) dans un cadre philosophique. Le lemme 4.3 montre par contre qu il n est aucune ambiguïıtée pour la notation P f 1. ii) Il est pourtant coutumier d éecrire pour abréeger f et f 1 pour P f et P f 1. De mêeme que, pour abréeger, l on note trèes souvent x au lieu de l ensemble {x}. Ainsi on trouve souvent : f({x}) ou mêeme f(x) pour P f ({x}), f 1 ({x}) ou mêeme f 1 (x) pour P f 1({x}). Il faut donc toujours distinguer soigneusement A de l ensemble de ses parties P(A). Le meilleur moyen éetant toutefois d éeviter cette confusion de notations, ce que nous ferons systéematiquement dans la suite. Avec les nouvelles notations introduites ici, il y a un changement d éecriture par rapport aux notations usuelles que nous avons utiliséees préecéedememnt au 1. Par exemple, la premièere éegalitée de la proposition 1.3.i) s éecrira : pour tout A, A P(A), on a : P f (A A ) = P f (A ) P f (A ) ( ). C est sous cette forme que nous utiliserons par la suite la proposition 1.3. Remarque 4.2. Soit A un ensemble. Lorsqu on considèere des sous-ensembles de P(A), l inclusion peut êetre conçcue de deux manièeres. Soient S, S des sous-ensembles de P(A) (i.e. les éeléements de S et S sont des sous-ensembles de A). a) La premièere, est l inclusion usuelle, que l on note : S S éequivaut àa : pour tout X S P(A), alors X S. b) la seconde, que l on note A sera déefinie de la manièere suivante : S A S éequivaut àa : pour tout X S, il existe X S avec X X. Ces deux notions sont tout àa fait difféerentes. Par exemple, si A S, on a : S A S pour tout S P(A) (puisque tout sous-ensemble de A est contenu dans A), ce qui est éevidemment faux si l on remplace A par l inclusion usuelle. Ainsi, soit A := {a, a } un ensemble àa deux éeléements (donc a a ), S := {{a}} P(A) et S := {A} P(A). On a : S A S (car A S ), mais S S (car {a} A := {a, a }). Lorsqu on veut distinguer plus préeciséement ces deux notions, on note l inclusion usuelle P(A). On voit encore l importance de distinguer entre éeléements et sous-ensembles d un ensemble. Proposition 4.4. 5

Soit f : A B et g : B C des applications respectivement de A dans B et de B dans C. On a alors : i) P g f = P g P f ii) P (g f) 1 = P f 1 P g 1. iii) Id P(A) = P IdA. Déemonstration. Tout d abord, on doit montrer que les éenoncées ont un sens. On a : g f : A C, d oùu : P g f : P(A) P(C), P f : P(A) P(B), P g : P(B) P(C), P (g f) 1 : P(C) P(B), P g 1 : P(C) P(B), P f 1 : P(B) P(A) et les éegalitées de la prop. 4.4 ont bien un sens. i) Pour tout X P(A), on a : P f (X) := {f(x); x X}, et donc P g f (X) := {g f(x) := g(f(x));x X} := {g(y);y P f (X)} := {z; z P g (P f (X))} := {z;z P g P f (X)} := P g P f (X), ce qui donne la premièere éegalitée. ii) Pour tout Z P(C), on a : P (g f) 1(Z) := {x A;g f(x) Z} := {x A; g(f(x)) Z} := {x A; f(x) P g 1(Z)} := {x A; x P f 1(P g 1(Z))} := {x A; x P f 1 P g 1(Z)} := P f 1 P g 1(Z), ce qui donne la deuxièeme éegalitée de la proposition. iii) Par déefinition, pour tout X P(A), on a : P IdA (X) := {Id A (x) := x;x X} := X := Id P(A) (X) d oùu P IdA = Id P(A). ATTENTION. Dans la seconde éegalitée du i) de la proposition préecéedente, il faut faire attention àa la permutation entre f et g : P (g f) 1 = P f 1 P g 1. Proposition 4.5. Soit f : A B une application de A dans B. Les applications P f : P(A) P(B) et P f 1 : P(B) P(A) véerifient i) P f est injective (resp. surjective) ssi f : A B est injective (resp. surjective). En particulier P f est bijective ssi f l est, et dans ce cas sa réeciproque est P f 1 i.e. (P f ) 1 = P f 1. ii) P f 1 : P(B) P(A) est surjective (resp. injective) ssi f est injective (resp. surjective). En particulier P f 1 est bijective ssi f l est, et dans ce cas P f est sa réeciproque. ATTENTION. Dans le ii) de la proposition 4.5, il faut remarquer l inversion entre les propriéetées d injectivitée et surjectivitée de f et P f 1. 6

Déemonstration. i) a) On montre tout d abord que si P f est injective (resp. surjective), il en est de mêeme de f. - Si P f injective, pour tout a, a A, on a : P f ({a}) = P f ({a }) : {a} = {a } : (éegalitée de deux ensembles) a = a, d oùu f est injective. - Si P f est surjective, puisque B P(B), il existe A P(A) (i.e. A A) tq P f (A ) = B. Tout éeléement de B est alors l image d un éeléement de A (donc de A), et donc f est surjective. d oùu : b) Inversement, on va utiliser la proposition 1.5. 1. Soit f injective. Suivant la prop. 1.5, il existe g : B A tq g f = Id A P g f = P IdA = (prop. 4.4.iii)) Id P(A). On a donc : P g f = (prop. 4.4i)) P g P f = Id P(A), d oùu (prop. 1.5) P f est injective. 2. Si f est surjective, il existe (prop. 1.5) h : B A tq f h = Id B. On a alors de mêeme qu en 1. : d oùu : P f h = P IdB = (prop. 4.4.iii)) Id P(B), P f h = (prop. 4.4i)) P f P h = Id P(B), et donc (prop. 1.5) P f est surjective. c) Suivant a) et b), f est bijective ssi il en est de mêeme de P f. Et dans ce cas, suivant la prop. 4.4.ii), on a : P f 1 P f = P f 1 f = P IdA = Id P(A), d oùu (lemme 1.2.iii)), P f et P f 1 sont des applications réeciproques. ii) a) Soit P f 1 surjective, on va montrer l injectivitée de f i.e. que pour a, a A tq f(a) = f(a ) alors on a : a = a. La surjectivitée de P f 1 implique : il existe Y P(B) véerifiant : P f 1(Y ) := {a}, d oùu : f(a) Y et donc (car f(a) = f(a )) f(a ) Y. Par déefinition de P f 1, on a : f(a ) Y : a P f 1(Y ) := {a} d oùu ({a} éetant un ensemble àa un seul éeléement) : a = a, et f est injective. b) On montre maintenant que l injectivitée de P f 1 implique f est surjective i.e. P ( fa) = B. Soit B := B\{b} (B éetant éeventuellement vide). On a alors B B et B B, d oùu : P f 1(B ) (lemme 1.3 ) P f 1(B)), et suivant l injectivitée de P f 1 : P f 1(B ) P f 1(B)), d oùu : P f 1(B)\P f 1(B ) est non vide. 7

Soit a P f 1(B)\P f 1(B ). On a donc : f(a) P f 1(B) : f(a) B (1) et f(a) P f 1(B ) : f(a) B (2). D aprèes (1) et (2), on a : f(a) B\B := {b}, d oùu f(a) = b et f est surjective. c) On suppose maintenant que f est injective, il faut montrer la surjectivitée de P f 1 : P(B) P(A). On procèede comme dans le i). 1. Suivant le lemme 1.5, f éetant injective, il existe g : B A tq g f = Id A. On a alors : P f 1 P g 1 = (prop. 4.4.ii)) P (g f) 1 = P IdA = (prop. 4.4 iii) Id P(A), d oùu (lemme 1.5) P f 1 est surjective. 2. Si f est surjective, soit (lemme 1.5) h : B A tq f h = Id B. On a alors : P h 1 P f 1 = (prop. 4.4.ii)) P (f h) 1 = P IdB = (prop. 4.4 iii) Id P(B), d oùu (lemme 1.5) P f 1 est injective. d) De c), f est bijective ssi P f 1 l est, et suivant i), sa réeciproque est P f. Remarque. Dans le cas du ii.b) de la déemonstration, on n a pas considéerée le cas oùu B =. En effet, toute application dans ce cas est surjective, et l on a mêeme néecessairement éegalement A = (cf. remarque 3.1.iii)). Qu est-ce que cela implique pour P f 1? Lemme 4.6. Soit A,B des ensembles, f : A B une application de A dans B. Pour tout X A et tout Y B, on a : i) X P f 1(P f (X)) et ii) P f (P f 1(Y )) Y. Déemonstration. i) x X : f(x) P f (X) : x P f 1(P f (X)), d oùu X P f 1(P f (X)). ii) b P f (P f 1(Y )) : il existe x P f 1(Y ) tq f(x) = b B (1) et, d autre part : x P f 1(Y ) : f(x) Y (d aprèes (1)) b = f(x) Y, d oùu : P f (P f 1(Y )) Y. Proposition 4.7. Soit A, B des ensembles, f : A B une application de A dans B. i) f est injective ssi P f 1 P f = Id P(A) i.e. pour tout X A, on a l éegalitée X = P f 1(P f (X)). ii) f est surjective ssi P f P f 1 = Id P(B) i.e. pour tout Y B, on a l éegalitée : P f (P f 1(Y )) = Y. Déemonstration. a) Si P f 1 P f = Id P(A), suivant la prop. 1.5.i) (appliquéee àa P f : P(A) P(A)), P f est injective, d oùu suivant la prop. 4.5.i) f est injective. 8

De mêeme, si P f P f 1 = Id P(B), la prop. 1.5.ii) donne P f est injective, d oùu suivant la prop. 4.5i) f est surjective, d oùu (prop. 4.5.ii)) f est surjective. b) Il reste àa déemontrer les implications inverses. D aprèes le lemme préecéedent, il suffit de montrer que si f est injective (resp. surjective), pour pour tout X A (resp. Y B), on a l inclusion : P f 1(P f (X)) X (resp. Y P f (P f 1(Y ))). i) On suppose f est injective. On a alors : a P f 1(P f (Y )) : f(a) P f (X) := {f(x);x X} : il existe x X tq f(a) = f(x) (par injectivitée de f) a = x X, d oùu P f 1(P f (X)) X. ii) On suppose f surjective. Par déefinition de la surjectivitée, pour y Y B, il existe x A tq : y = f(x) Y (1). Pour tout y Y, on a : y = f(x) Y : [y = f(x) et x P f 1(Y )] y P f (P f 1(Y )) d oùu, d aprèes (1) : Y P f (P f 1(Y )). Remarque 4.3. Suivant la proposition 1.5, on savait que : si f est injective, il existe une application g : B A tq g f = Id A (1) si f est surjective, il existe une application h : B A tq f h = Id B (2). D oùu, suivant la prop. 4.4.ii) : si f est injective, P g P f = Id P(A) (1 ) si f est surjective, P f P h = Id P(B) (2 ). La proposition 4.7 ne dit rien, pour f injective (resp. surjective), de l existence d une application de B dans A véerifiant (1) (resp. (2)). Mais elle donne une application de P(B) dans P(A) tq (1 ) (resp. (2 )) soit véerifiéee (àa savoir P f 1), ce que ne faisait pas la proposition 1.5. 9

5. RELATIONS ET GRAPHES ATTENTION. Dans la suite, comme préecéedemement aux paragraphes 2 et 3, on va utiliser la notation P pour déesigner une certaine propriéetée. Il faut bien faire attention àa distinguer cette notation ( P en majuscule) de celle des parties d une ensemble àa savoir cal P ( P majuscule bf caligraphiéee). Déefinition. Relation sur un ensemble. Une relation sur une ensemble A est la donnéee d une propriéetée déefinie sur A A. On peut donc lui associer un sous-ensemble de A A qui est le graphe de la propriéetée déefinie sur A A (cf. 3). ATTENTION. Un sous-ensemble de A A n est pas néecessairement de la forme A A avec A,A A. Exemple 5.0. Soit A := {x,y} un ensemble àa deux éeléements (i.e. x y). Soit B := {(x, x), (y, y)}, c est un sous-ensemble de A A et il n est pas de la forme A A. En effet, il existe 4 sous-ensembles de A (cf. prop. 4.2) :,{x}, {y}, {x, y} := A. On a donc 10 ensembles de la forme A A avec A, A A :, (x, x), (x, y), {x} A, (y, y), (y,x), {y} A,A {x},a {y} et A A; et B A A n est pas de la forme A A. Plus géenéeralement, si A est un ensemble fini, l existence de tels sous-ensembles de A A qui ne sont pas des produits de deux sous-ensembles de A, est conséequence de la proposition 4.2. En effet, pour tout ensemble fini X, en notant toujours par N(X) son nombre d éeléements, la proposition 4.2 donne : N(P(A)) = 2 N(A) et on a 2 N(A) 1 sous-ensembles non-vides possibles pour A et A donc k := (2 N(A) 1) 2 produits non-vides possibles de la forme A A. Le nombre d éeléements de A A est N(A) N(A) = (N(A)) 2 et (prop. 4.2) celui de sous-ensembles de A A non-vides est h = 2 N(A)2 1. Dèes que N(A) 2, on a : h > k, et il y a plus de sous-ensembles de A A que d ensembles de la forme A A (avec A, A A). Ainsi dans l exemple ci-dessus oùu A := {x, y}, N(A) = 2, k = (4 1) 2 = 9 tandis que h = 2 (22) 1 = 2 4 1 = 15. La difféerence augmente trèes vite, ainsi avec N(A) = 3, k = (2 3 1) 2 = 7 2 = 49 et h = 2 9 1 = 511. 10

Exemples 5.1. i) Soit A N; supéerieur ou éegal notée est une une propriéetée sur A A donc une relation sur A i.e. elle met en relation certains éeléements de A deux àa deux. Ainsi soit A := {1, 2, 3} N; le sous-ensemble G de A A associée àa en tant que propriéetée de A A est : G := {(1, 1), (2,1),(3, 1), (2, 2), (3, 1), (3,2),(3, 3)}. ii) Avec le mêeme ensemble A = {1,2, 3}, êetre difféerent de est une relation (notéee ) et son sous-ensemble G associée est G = {(1, 2), (1, 3),(2,1), (2, 3), (3, 1), (3,2). iii) Sur l ensemble des êetres humains ou des animaux, êetre le frèere de est une relation. Une relation sur un ensemble A éetant une propriéetée sur A A, on peut poser : Déefinition. Graphe d une relation. Soit R une relation sur un ensemble A donc une propriéetée P R sur A A. On déefinit le graphe de R notée G R comme éetant le graphe de P R i.e. G R := G PR. C est donc un sous-ensemble de A A. Dans les exemples préecéedents i) et ii) les ensembles G et G éetaient les graphes respectifs des relations et sur A := {1,2, 3}. Remarque 5.1. Une propriéetée sur ensemble A éetant déeterminéee par la donnéee d un sousensemble de A, àa savoir le graphe de cette propriéetée (cf. remarque préeliminaire du 2), une relation sur A est donc déeterminéee par le graphe de cette relation (qui est un sous-ensemble de A A). Que veut-on dire exactement par : A est déeterminée par B, oùu A, B sont des ensembles ou des propriéetées ou toutes autres notions? Cela signifie que, lorsque B est connu alors A l est aussi. Ainsi au paragraphe 3, on a vu qu une application éetait déeterminéee par son graphe. Si inversement B est déeterminée par A, on une éequivalence entre ces deux notions, la connaissance de l une éequivalant àa celle de l autre. Ainsi on a déefini finalement une application comme éetant un graphe (cf. 3). On peut donc éegalement déefinir une relation comme éetant le graphe d une propriéetée de A A. Affirmer que deux notions éequivalentes signifie en quelque sorte que l on donne deux points de vue difféerents, mais qui portent sur le mêeme objet (par exemple l application). On pose donc : Déefinition. Relation. Une relation est la donnéee d un couple (A, G) oùu A est un ensemble et G est un sous-ensemble de A A. 11

Ainsi comme dans les applications, on a deux déefinitions pour la relations, l une éetant la déefinition qu on peut nommer en termes usuels (c est la premièere déefinition), l autre en termes ensemblistes. On peut donc, au choix, considéerer l une ou l autre de ces déefinitions. Et comme pour les applications, la construction d une relation se fait géenéeralement en utilisant la déefinition en termes usuels. Déefinition. Relation d ordre large, strict, total. Soit R une relation sur un ensemble A. On dit que cette relation est i) une relation d ordre (large) si elle véerifie les propriéetées suivantes : 1) pour tout a A, on a : ara (propriéetée de réeflexivitée) 2) pour tout a, a A, si on a : ara et a Ra, alors on a : a = a (propriéetée d antisyméetrie) 3) pour tout a,a, a A, si on a : ara et a Ra, alors on a : ara (propriéetée de transitivitée). ii) une relation d ordre strict si elle véerifie 1) pour tout a, a A, ara implique a a (propriéetée d antisyméetrie stricte) 2) la propriéetée de transitivitée. iii) une relation d ordre total si tous les éeléements de A sont comparables 2 àa 2 i.e. pour tout a,a A, on a : ou bien ara ou bien a Ra. Remarque 5.2. i) En géenéeral lorsqu on ne spéecifie pas, une relation d ordre est une relation d ordre large. ii) Une relation d ordre strict ne peut êetre réeflexive. En effet, la propriéetée d antisyméetrie stricte donne pour tout a A : ara a a et on ne peut donc avoir a = a. Lemme 5.1. Soit R une relation d ordre (large) (resp. strict, total) sur un ensemble A. La restriction de R àa tout sous-ensemble A de A est encore une relation d ordre (large) (resp. strict, total) sur A. Déemonstration a) Les propriéetées de réeflexivitée, de syméetrie et de transitivitée restent vraies par restriction. Aussi, la restriction d une relation d ordre (large) àa un sous-ensemble reste une relation d ordre (large) sur ce sous-ensemble. b) Si pour tout x,y A on a : xry x y, il en va éevidemment de mêeme pour x, y restreints àa un sous-ensemble de A, et la restriction d une relation d ordre strict reste une relation d ordre strict. c) Enfin, si pour tout a, a A, on a ara ou a Ra, a fortiori cela est vrai si l on choisit a, a A A. Exemples 5.2. 12

i) Sur A := {1, 3, 5}, la relation R déefinie par xr y : y x = 2 ou 4 est une relation d ordre strict sur A; la relation R déefinie par xry : y x = 0, 2 ou 4 est une relation d ordre large. Le graphe G R de R est G R := {(1, 3), (1, 5), (3, 5)} (1) celui de R est G R := {(1,1), (3, 3), (5, 5), (1,3),(1, 5), (3, 5)} (2). Soit R la restriction àa A de la relation, qui est une relation d ordre sur A suivant le lemme 5.1. Son graphe G R est G R := {(1, 1), (3, 3),(5,5), (1, 3), (1, 5), (3,5)} (3). D aprèes (2), G R = G R donc (remarque 5.1) les relations R et R coïıncident. Ainsi deux relations d ordre peuvent êetre identique bien que leurs déefinitions soient trèes difféerentes. D oùu l importance de tenir compte des ensembles sur lesquels elles sont déefinies. Ainsi, les relations R et (qui sont bien déefinies sur N) ne coïıncident pas sur N. i ) Une relation n a de sens que sur l ensemble oùu elle est déefinie, de mêeme qu une application n a de sens que si l on donne les ensembles de déepart et d arrivéee. Ainsi pour la relation d ordre déefinie sur N (i.e. sur les éeléements de N), on ne peut comparer un entier àa N, puisque N n est pas son propre éeléement. Par contre, ce serait possible, sur un ensemble N dont N et les entiers seraient éeléements. On pourrait, par exemple, considéerer N N comme le plus grand de tous les éeléements de N. Mais alors N serait vu comme un éelement de N et non plus comme l ensemble des entiers positifs De mêeme, soit A := {1, 2} et A la relation d ordre induite par sur A N. On ne peut pas dire que 3 est plus grand que 2 pour cette relation A (i.e. que 3 A 2), puisque 3 n est pas un éeléement de A. Ce qui est en cause ici est l homogéenéeitée de ce qui est mis en relation. On peut comparer des éeléements d un mêeme ensemble (par exemples les entiers par la relation d ordre ) ou des ensembles (par exemple au moyen de l inclusion), mais non pas des éeléements et des ensembles d un mêeme ensemble. Néegliger ce point peut êetre la cause de difficultées voire conduire àa des paradoxes. Pour l éetude de certains d entre eux, voir l Annexe XII. ii) Soit A un ensemble; l inclusion (au sens large) est une relation sur l ensemble P(A) des parties de A qui est une relation d ordre. En effet, pour tout X,Y,Z P(A) i.e. X, Y, Z A, on a : X X (réeflexivitée); X Y et Y X X = Y (antisyméetrie); X Y et Y Z X Z (transitivitée). 13

En particulier, en posant B := P(A), l inclusion est une relation d ordre sur P(B) := P(P(A)). Par contre, en reprenant les notations de la remarque 4.2, l inclusion A est une relation sur P(B) qui n est PAS une relation d ordre. En effet, soit P, P,P B (i.e. P, P, P ont pour éeléements des sous-ensembles de A). La relation A est : - réeflexive : en effet, pour tout X A avec X P, on a X X, d oùu (par déefinition de A ) P A P. En particulier (remarque 5.2.ii)), la relation A n est pas strictement antisyméetrique. - P A P et P A P signifie : pour tout X P, il existe X P avec X X (1) et pour tout Y P il existe Y P tq Y Y (2). D aprèes (2), il existe X P tq X X d oùu, d aprèes (1), par transitivitée de l inclusion (usuelle), on a : X X, et A est transitive. Par contre, en géenéeral A n est pas antisyméetrique. En effet, soit A := {x, y},p := {{x}, A},P := {{x}, {y},a}. Les éeléements de P sont des sous-ensembles de A d oùu P, P P(A) i.e. P, P P(P(A)). On a éevidemment P A P, et inversement : {x} P,{y} A P,A A d oùu : P A P et pourtant, on a : P P. La relation A n éetant ni antisyméetrique, ni strictement antisyméetrique, elle n est ni une relation d ordre (large), ni une relation d ordre strict. Cela montre encore une fois que les deux relations et A (déefinies sur P(P(A))) sont trèes difféerentes. iii) Autre exemple d une relation qui n est pas une relation d ordre. Sur un ensemble quelconque oùu l on peut déefinir une notion de forme, la propriéetée êetre semblable àa est une relation. Ainsi soit T l ensemble des triangles du plan. On dit que qu un triangle t est semblable àa un triangle t s ils véerifient l une des conditions éequivalentes : a) ils sont éegaux àa deux triangles qui se déeduisent l un de l autre par une homothéetie b) ils sont éegaux àa deux triangles dont les côotées sont parallèeles 2 àa 2 c) leurs angles sont éegaux (i.e. chaque angle d un des triangles est éegal àa un des angles de l autre). L éequivalence de ces propriéetées réesulte du théeorèeme de Thalèes (et de l éegalitée des angles déecoupées par des parallèeles sur une mêeme droite). Suivant la condition b), ce sont des triangles de la forme : 14

La relation R déefinie par cette relation êetre semblable àa n est pas une relation d ordre. En effet, comme le montre imméediatement la déefinition c), si un triangle t est semblable àa un triangle t, alors t est semblable àa t. Et on voit sur la figure que deux triangles peuvent êetre semblables l un àa l autre (i.e. trt et t Rt) sans qu ils soient éegaux (i.e. t = t ). Autrement dit R n est pas antisyméetrique. En outre, cette relation est trivialement réeflexive. Elle n est donc pas non plus une relation d ordre strict (cf. remarque 5.2.ii)). Notation. Pour indiquer qu une relation est une relation d ordre, on la note souvent sous la forme ou. Si la relation R sur A est une relation d ordre notéee, on éecrit a a pour ara, et l on spéecifie si on a une relation d ordre large ou stricte. 15

6. LA MÉETAPHORE ET MATHÉEMATIQUE : TRANSPORT ET COMPATIBILITÉE. Tout d abord une remarque d ordre géenéeral. L intéerêet premier des applications est d éetudier des propriéetées sur un ensemble A àa partir d un autre ensemble B. On a déejàa vu cela avec les bijections qui permettent de connaîıtre le nombre d éeléements d un ensemble A en comptant ceux de B (cf. remarque 4.0.ii) et la premièere déemonstration de la proposition 4.2). On procèede de la mêeme manièere avec les tables de multiplication. Ainsi pour compter un grand nombre d éeléements, il est plus facile de les regrouper par sousensembles tous éegaux et de compter ces ensembles, puis de faire une multiplication. B A La multiplication ici consiste àa transformer un diagramme linéeaire en un diagramme plan et àa éetablir une bijection entre les deux (puisque ce n est qu un autre arrangement, ce qui ne change pas le nombre des éeléements) et l on a imméediatement que N(A) = N(B) = 5 4 = 20. Plus géenéeralement, si P est une propriéetée sur A, une application f : A B permettra de transporter l éetude de P de l ensemble A àa l ensemble B, s il existe une propriéetée P sur B tq pour tout éeléement a de A véerifiant P, alors f(a) véerifie P. C est ce qu on appelle la compatibilitée de f avec(p, P ). Déefinition. Compatibilitée d une application avec des propriéetées. Soit A et B deux ensembles, P et P des propriéetées respectivement sur A et B, f : A B une application de A dans B. On dit que f est compatible avec (P,P ) si pour tout a A, on a : P(a) P (f(a)) i.e. si a véerifie la propriéetée P alors f(a) véerifie la propriéetée P. On note alors f : (A, P) (B, P ). Si A = B et P = P, on dit simplement que f est compatible avec P. Exemples 6.1. i) On considèere une famille F d ensembles finis et on fixe un ensemble A F. Soit P la propriéetée sur F : il existe une bijection sur A et P la propriéetée sur N êetre éegal àa N(A). L exemple ci-dessus se réeinterprèete en disant que l application N : F N qui àa X F lui associe son nombre d éeléements N(X), est compatible avec (P,P ). 16

ii) Sur l ensemble des entiers positifs N, soit P la propriéetée êetre un carrée et f : N N l application déefinie par f(n) := n 3 ; alors f est compatible avec P. En effet, pour tout n N on a : P(n) il existe m N tq n = m 2 d oùu f(n) := (m 2 ) 3 = m 6 = (m 3 ) 2 est donc un carrée dans N. Cela est encore vrai pour toute application f k : N N oùu f k (n) := n k, car on a (m 2 ) k = m 2k = m k m k := (m k ) 2. iii) Soit P la propriéetée sur N êetre un nombre pair, l N un entier et f l : N N l application multiplication par l i.e. pour tout m N, f l (m) := lm. La multiplication d un nombre pair donne encore un nombre pair, d oùu pour tout l N, l application f l est compatible avec P. iv) On considèere les applications f l de l exemple iii) ci-dessus, et pour k N, on note R k la propriéetée déefinie sur N par : êetre plus grand (ou éegal) àa k. Alors pour tout k,l N, les f l sont compatibles avec R k. En effet, pour tout entier m N, on a : m k f l (m) := lm lk = f l (k) ( ). Par contre, cela serait faux si on avait pris pour R k : êetre strictement plus grand àa k. En effet, pour m = 0 l implication ( ) n est pas véerifiéee. Proposition 6.1. Soit A et B deux ensembles, P et P des propriéetées respectivement sur A et B. Soit G P et G P les graphes respectifs de P et P. Une application f : A B est compatible avec (P,P ) ssi P f (G P ) G P. Remarque. En notant i : G p A (resp. i : G P A) l injection naturelle de G p dans A (resp. de G P dans B), la proposition 6.1 éequivaut en utilisant les diagrammes commutatifs, àa la commutativitée du diagramme : G p i A f GP GP i f B Déemonstration de la proposition 6.1. Tout d abord, on a : G P A et donc P f (G p ) a un sens. i) Si f est compatible avec (P,P ), pour tout a A on a (par déefinition) : P(a) P (f(a)), d oùu : a G p : P(a) P (f(a)) : f(a) G P d oùu P f (G P ) G P. ii) Inversement soit P f (G P ) G P. On a alors pour tout a A : a G P f(a) G P d oùu : P(a) : a G P f(a) G P : P (f(a)), et f est compatible avec (P, P ). Une relation éetant une propriéetée sur A A (cf. 4), on peut déefinir la compatibilitée d une application avec une relation. 17

Déefinition. Compatibilitée d une application avec des relations. Soit R (resp. R ) une relation sur A (resp. B). Une application f : A B est dite compatible avec (R,R ) si pour tout a,a A, on a : ara f(a)r f(a ). Si A = B et R = R, on dit simplement que f est compatible avec R. On verra un peu plus loin l interpréetation de la compatibilitée d une application et d une relation en terme de graphes. Exemples 6.2. i) Soit A = B := Z (ensemble des entiers relatifs i.e. positifs ou néegatifs), R (resp. R ) la relation d ordre (resp. ) sur A (resp. B), et f : Z Z l application déefinie par f(n) := n. L application f est compatible avec (, ). Par contre elle n est PAS compatible avec ou (i.e. avec (, ) ou (, )). Cela montre l importance de considéerer les relations donnéees àa la fois sur A et sur B. ii) Soit A = B := N (ensemble des entiers positifs), f : N N l application déefinie par f(n) := n 2 et R = R la relation sur N. Alors l application f est compatible avec. Par contre, si l on prend A = B := Z, f : Z Z (avec encore f(n) := n 2, cette fois pour tout n Z) et R = R la relation sur Z, l application f n est PAS compatible avec. Par exemple, on a : 1 0 et 0 = f(0) 1 = f( 1). Mais en outre, elle n est pas non plus compatible avec (, ) contrairement àa l exemple i), puisque l on a : 0 1 et f(0) = 0 g(1) = 1. iii) Soit A,B des ensembles quelconques; on note A (resp. B ) l inclusion (usuelle) entre sous-ensembles de A (resp. B). Ce sont donc des relations déefinies respectivement sur P(A) et P(B). Le lemme 1.3 s interprèete en disant que pour toute application f : A B, l application P f : P(A) P(B) (resp. P f 1 : P(B) P(A)) est compatible avec ( A, B ) (resp. ( B, A )). On exprime cela plus brièevement en disant que l image directe et l image réeciproque (d une application) est compatible avec l inclusion. iv) La proposition 1.3 s interprèete de la manièere suivante. En notant A et A (resp. B et B ), la réeunion et l intersection déefinies sur P(A) (resp. P(B)), alors : P f 1 : P(B) P(A) est compatible avec ( B, A ) et avec ( B, A ) (formules (2) et (3) de la prop. 1.3), P f : P(A) P(B) est compatible avec ( A, B ) (formule (1), prop. 1.3), mais pas en géenéeral avec ( A, B ) (formule (4)). Toutefois suivant le lemme 1.4, si f est injective alors P f est éegalement compatible avec ( A, B ) 18

Pour abréeger, on dit que pour toute application, l image réeciproque est compatible avec la réeunion et l intersection et que l image directe est compatible avec la réeunion, mais pas en géenéeral avec l intersection. Si l application est injective son image directe est éegalement compatible avec l intersection. v) Soit A = B := N. Soit f : N N déefinie par f(n) := n 2 et R la relation déefinie sur N par nrm si n m est pair. Alors f est compatible avec R. En effet, s il existe p N tq n m = 2p (i.e. n m est paire), on a : f(n) f(m) := n 2 m 2 = (n m)(n + m) = 2p(n + m) est pair. vi) Plus géenéeralement pour tout entier k N soit R k la relation déefinie sur N par : nr k m éequivaut àa n m est un multiple de k, et f la mêeme application que ci-dessus (f(n) := n 2 ). S il existe p N tq n m = kp (i.e. si on a nr k m), alors f(n) f(m) := n 2 m 2 = (n m)(n+m) = kp(n+m) est un multiple de k i.e. on a : f(n)r k f(m). L application f est donc compatible avec toutes les relations R k, k N. Déefinition. Application produit de deux applications. Soient f : A B et f : A B applications respectivement de A dans B et A dans B. i) L application produit de f et f, notéee f f : A A B B est l application de A A dans B B déefinie par : f f ((a,a )) := (f(a),f(a )). ii) Si A = A, on déefinit l application [f,f ] de A dans B B par : [f, f ](a) := (f(a), f (a)). Par réecurrence, on peut déefinir le produit d un nombre quelconque d applications. Exemples 6.3. i) Soit A = A := {1,2}, B = B := {1, 3,4, 6, 7}, et f : {1,2} {1, 3,4, 6, 7} l application de A dans B déefinie par : f(1) := 3, f(2) := 6. L application produit f f : A A B B est donc une application de {1, 2} {1, 2} dans {1, 3,4, 6,7} {1, 3,4, 6, 7} déefinie par : f f((1, 1)) := (3, 3) ;f f((1,2)) := (3, 6); f f((2, 1)) := (6, 3) ;f f((2,2)) := (6, 6), tandis que [f, f] : A B B est l application de {1, 2} dans {1,3, 4, 6,7} {1, 3, 4, 6,7} déefinie par : [f, f](1) := (3, 3) ; [f, f](2) := (6, 6). ii) Soit A = B = C := N (ensemble des entiers positifs), f j : N N (j {1,2, 3}) les applications multiplication par j i.e. f j (n) := j n. L application produit f 1 f 2 f 3 : N N N N N N est déefinie par : f 1 f 2 f 3 ((n, m, p)) = (n, 2m, 3p). Comme pour les applications déefinies sur des couples d éeléements, on note : f 1 f 2 f 3 (n, m,p) au lieu de f 1 f 2 f 3 ((n,m, p)). 19

Remarque et notation 6.1 Un produit de k ensembles identiques A sera notée par A k (i.e. A k := A A (k fois)). Ainsi dans l exemple préecéedent, les f j sont toutes des applications de N 3 dans N 3. Déefinition. Diagonale d un produit. Soit A un ensemble. On appelle diagonale de A A le sous-ensemble notée de A A déefini par : := {(a, a);a A}. La restriction de la premièere (ou de la seconde! ) projection p A : A A A àa notéeee p : A (i.e. p (a, a) := a) est bijective (de réeciproque p 1 : A déefinie par : p 1 (a) := (a, a)). Remarque 6.2. L application produit f f : A A dans B B est déefinie par son graphe G f f. On pourrait penser que le graphe du produit f f est le produit des graphes G f et G f. Cela n est pas possible. En effet : f f est une application de A A dans B B, et donc G f f est un sousensemble de (A A ) (B B ), tandis que : G f G f est un sous-ensemble de (A B) (A B ). En fait, en notant φ : A B A B A A B B la bijection déefinie par : φ(a, b, a, b ) = (a, a, b,b ) (qui permute les éeléements b et a ), on a l éegalitée : G f f := φ(g f G f ). Ainsi le graphe d un produit d application n est pas le produit des graphes, mais son image par φ l est. Remarque 6.3. Soit f, h : A B et f,h : A B des applications respectivement de A dans B et A dans B. i) Si f f = h h, alors : f = h et f = h Pour tout (a,a ) A A, on a : f f ((a, a )) := (f(a),f (a )) = (hypothèese) h h ((a, a )) := (h(a), h(a ), d oùu (déefinition de l éegalitée d un couple) : f(a) = h(a) et f (a ) = h (a ). Ceci éetant vrai pour tout a A et a A, on obtient donc (lemme 3.4) : f = h et f = h. ii) Si A = A, on a de mêeme : [f, f ] = [h,h ] implique : f = h et f = h. Tout d abord, si A = A, les applications [f, f ] et [h, h ] sont bien déefinies et l éenoncée a bien un sens. Pour tout a A, si [f,f ] = [h, h ], on a : [f, f ](a) := (f(a), f (a)) = (hypothèese) [h,h ](a) := (h(a), h(a)), 20

d oùu : f(a) = h(a) et f (a) = h (a), et donc f = h et f = h. Par réecurrence, les éenoncées i) et ii) restent vrais pour le produit d un nombre (fini) quelconque d applications. iii) Mêeme lorsque A = A, on ne peut avoir d éegalitée entre f f et [f, f ] qui sont déefinies sur des espaces difféerents (respectivement A A et A). Toutefois, il existe une relation trèes simple entre elles (cf. exercice 6.1). On peut maintenant déefinir la compatibilitée d une application avec des relations en terme de graphes. Soient A et A deux ensembles, R (resp. R ) une relations sur A (resp. A ) et f : A A une application de A dans A. On note G R A A (resp. G R A A ) le graphe la relation R (resp. R ). On a alors : Proposition 6.1. L application f est compatible avec (R, R ) ssi l image par f f du graphe de R est contenue dans le graphe de R i.e. P f f (G R ) P f (G R ). Déemonstration. a) Tout d abord G R (resp. G R ) est par déefinition un sous-ensemble de A A := A 2 (resp. A A := A 2 ) et f f est (déefinition) une application de A A dans A A ; l éenoncée a donc bien un sens. Les graphes de R et R sont déefinis par : G R := {(a, b) A 2 ; arb} (1) et G R := {(a, b ) A 2 ;br b } (1 ). L image par f f de G R est : P f f (G R ) := {f f((a,b)); (a,b) G R } := {(f(a), f(b)); (a, b) G R } (2). b) On a donc les éequivalences suivantes : P f f (G R ) G R : (d aprèes (2)) {(f(a), f(b)); (a, b) G R } := (d aprèes (1)) {(f(a), f(b)); a, b A, et arb} G R := (d aprèes (1 )) {(a, b ) A 2 ; a R b } : [pour tout a, b A, on a : arb f(a)r f(b)], i.e. est f compatible avec (R,R ). Lemme 6.2. Soient A, B, B des ensembles et F A : A B B une application de A dans B B. Il existe alors deux uniques applications f : A B et k : A B tq F A = [f, k]. Plus préeciséement, si p B : B B B et p B : B B B sont respectivement les premièere et seconde projections de B B sur B et B, on a : f = p B F A et k = p B F A. Déemonstration. i) Pour tout a A, (par déefinition d une application de A dans B B ) il existe b, b B éeléements uniques dans B tq : F A (a) := (b, b ). En posant : f(a) := b := p B (F A (a)) (1) et k(a) := b := p B (F A (a)) (2), 21

on déefinit donc des applications f : A B et k : A B respectivement de A dans B et B (cf. remarque 3.2.ii)). Par construction, l application : [f, k] : A B B est déefinie sur les mêemes ensembles que F A et pour tout a A, on a (d aprèes (1) et (2)) : [f, k](a) := (f(a),k(a)) := (b, b ) := F A (a), d oùu (lemme 3.4) F A = [f, k]. ii) Par composition des applications, on a : p B F A : A B et p B F A : A B d oùu f (resp. k) est déefinie sur les mêemes ensembles que p B F A (resp. p B F A ). D aprèes (1) et (2), pour tout a A, on a : f(a) = p B (F A (a)) := p B F A (a), et k(a) := p B (F A (a)) := p B F A (a)) d oùu (lemme 3.4) : f = p B F A et k = p B F A. Enfin, l unicitée des applications f et k réesulte de la remarque 6.3.ii). Une application de A dans B éetant déefinie par son graphe, donc un sousensemble de A B, c est une propriéetée sur A B (cf. 2). On peut donc déefinir la compatibilitée relativement àa deux applications (considéeréees comme des propriéetées). Soit g : A B et g : A B des applications de graphes respectifs G g et G g auxquels correspondent respectivement les propriéetées notéees P g et P g ; G g et G g éetant des sous-ensembles respectivement de A B et A B, les propriéetées P g et P g sont des propriéetées sur A B et A B. Pour toute application F : A B A B, cela a donc un sens de dire que F est compatible avec (P g, P g ) et on dira simplement que F est compatible avec (g, g ). Suivant la proposition 6.1, cela peut s éenoncer de la manièere suivante : Déefinition. Compatibilitée avec des applications. Soient g : A B, g : A B et F : A B A B, des applications. On dit que F est compatible avec (g, g ) si on a l inclusion : P F (G g ) G g. ATTENTION. Pour f : X Y application de X dans Y, il faut bien distinguer la notation P f qui déesigne la propriéetée déefinie par le graphe de f, de celle P f qui déesigne l application induite par f de P(X) dans P(Y ). Soient A, A,B,B des ensembles et g : A B, g : A B, F : A B A B des applications. Si on note F A l application de A dans A B déefinie par : pour tout a A, F A (a) := F((a, g(a))). Suivant le lemme 6.2, il existe deux applications uniques f : A A et k : A B tq : F A = [f, k] ( ). On a alors : Proposition 6.3. F est compatible avec (g, g ) ssi k = g f i.e. ssi le diagramme ci-dessous est commutatif : 22

A f A' k g' B' Remarque. On peut réeéecrire la proposition en remarquant que d aprèes la déefinition de F A, l image de F A (i.e. P FA (A)) est l image du graphe G g par F. Par déefinition, F est compatible avec (g, g ) signifie que l image par F de G g est contenue dans G g. D aprèes l éegalitée ( ), la proposition signifie donc : l image de [f,k] contenue dans G g éequivaut àa k = g f. Déemonstration de la proposition 6.3. i) On montre tout d abord que l éegalitée a un sens i.e. les applications k et g f sont déefinies sur les mêemes ensembles. On a : f : A A, g : A B, d oùu : g f : A B et k : A B sont déefinies sur les mêemes ensembles. ii) On a (cf. remarque ci-dessus) : P F (G g ) := (déefinition de G g ) P F {(a,g(a)); a A} := {F(a, g(a)); a A} := (déefinition de F A ) {F A (a);a A} = (d aprèes l éegalitée ( )) {[f, k](a); a A} := {(f(a), k(a));a A}. iii) Par déefinition, F compatible avec (g,g ) signifie P F (G g ) G g, ce qui éequivaut suivant ii) àa : {(f(a), k(a)); a A} G g := {(b, g (b)); b B} (1). Pour tout a A, on a les éequivalences suivantes : [(f(a), k(a)) = {(b, g (b))] : (déefinition de l éegalitée de deux couples) [f(a) = b et k(a) = g (b)] [f(a) = b et k(a) = g (f(a))] (2). L inclusion (1) éequivaut donc àa : pour tout a A, k(a) = g (f(a)) = g f(a) i.e. k = g f. ATTENTION. De mêeme que tout sous-ensemble d un produit A B n est pas néecesairement un produit A B avec A A, B B (cf. exemple 5.0), une application F : A B A B n est pas néecessairement de la forme F = f f avec f (resp. f ) application de A dans A (resp. de B dans B ). Exemple 6.4. Soient A = B = A := {a, b}, avec a b et B := {e}. On a : A B := {(a, a), (a,b), (b, a),((b, b)} (1). Soit f : A A (resp. f : B B ) une application quelconque de A dans A (resp. de B dans B ). Puisque B := {e} a un seul éeléement, f est néecessairement de la forme : f (a) = f (b) := e (2). 23

d oùu : Toute application f f de A B dans A B véerifie donc : f f ((a,a)) := (f(a),f (a)) = (d aprèes (2)) (f(a), f (b)) := f f ((a,b)) f f ((a,a)) = f f ((a,b)) (3). Soit F : A B A B, l application déefinie par : F(a, a) = F(b, a) = F(b,b) := (a, e); F(a, b) := (b, e). On a alors (puisque par hyp. a b) : F(a, a) F(a, b), ce qui est incompatible avec (3), et donc F n est pas de la forme f f. En faisant un déecompte àa la manièere de l exemple 5.0, on montre que, en géenéeral, le nombre d applications de A B dans A B est plus grand que le nombre d applications de la forme f f (cf. exercice 6.3). Si toutefois F est effectivement de la forme f f, la proposition 6.3 devient : Corollaire 6.3. F est compatible avec (g, g ) ssi f g = g f i.e. on a un diagramme commutatif : Soit F := f f : A B A B avec f : A A et f : B B. On a : f A A g g f B B Déemonstration. Comme pour la prop. 6.3, on note F A : A A B l application déefinie par : pour tout a A, F A (a) := F((a, g(a))) := (hypothèese) f f ((a, g(a))) := (f(a), f (g(a)) = (déefinition de [, ]) [f, f g](a) d oùu F A := [f, f g] En posant alors k := f g : A B, suivant la prop. 6.3, on a : F est compatible avec (g, g ) ssi k := f g = g f, et le corollaire est déemontrée. Exemple 6.5. Soient X et B des ensembles, g : X 2 B une application de X 2 dans B (oùu suivant la remarque 6.1, X 2 := X X) et s : X 2 X 2 l application déefinie par : pour tout (x,x ) X, s((x, x )) := (x, x) i.. s permute les couples de X 2. On pose : A = A := X 2, B := B, g := g, f := Id B l application identitée sur B, et f := x : A A = A. 24

On note F := f f := s Id B : A B A B. On est dans les conditions d application du corollaire 6.3 qui donne : F est compatible avec (g, g) ssi g f := g s = f g := Id B g := g i.e. pour tout (x, x ) X 2 : g s((x, x )) := g(s((x, x ))) = g((x,x)) = f g((x, x )) = Id B g((x, x )) = g((x,x )) i.e. g((x,x)) = g((x,x )) ( ). Une application g véerifiant ( ) est dite syméetrique. Ainsi, F := s Id B est compatible avec (g, g) ssi g est une application syméetrique. Exemples 6.6. On note N l ensemble des entiers positifs (ou nuls). Soit A = A := N 2 ; B = B := N, f : B := N B := N une application de N dans N, g : A := N 2 B := N et g : A := N 2 B := N des applications de N 2 N. On pose : f := f f : A := N 2 A := N 2 et F := f f := f f f : A B := N 2 N A B := N 2 N (i.e. F est une application de N 3 dans N 3 ). On est alors dans les conditions d application du corollaire 6.3. i) On prend pour g = g l application addition sur N i.e. pour tout (m,n) N 2, g(m,n) = g (m,n) := m + n. Suivant le corollaire 6.3,on a l éequivalence : F est compatible avec (g, g ) ssi f g = g f i.e. pour tout (m, n) N 2, on a : f g((m,n)) := f (g((m,n))) := f ((m + n)) = g f((m, n)) := g (f((m, n))) := (déefinition de f) g ((f (m), f (n))) := f (m) + f (n). Ainsi F est compatible avec (g,g ) (ou (g,g )) ssi pour tout m, n N, on a : f (m + n) = f (m) + f (n) (1). ii) En remplaçcant dans l exemple préecéedent g et g par la multiplication sur N (i.e. pour tout (m, n) N 2, g((m, n)) = g ((m, n)) := mn), on obtient suivant le corollaire 6.3 : F est compatible avec (g, g ) (ou (g, g )) ssi pour tout m, n N : f (mn) = f (m)f (n) (2). iii) En remplaçcant dans i), g par la multiplication (g restant l addition), le corollaire 6.3 donne : 25

F est compatible avec (g, g ) ssi pour tout m, n N, on a : f (m + n) = f (m)f (n) (3). iv) Si on remplace dans i), g par la multiplication (g restant l addition), le corollaire 6.3 donne : F est compatible avec (g, g ) ssi pour tout m, n N, on a : f (mn) = f (m) + f (n) (4). v) Quelques cas particuliers des exemples préecéedents. Soit k N un entier positif quelconque et f une application de N dans N. a) Soit f la multiplication par k (i.e. f (m) := k m). On a alors : f (m + n) := k (m + n) = km + kn := f (m) + f (n), et (1) est véerifiée. b) Soit f (m) := m k. On a : f (mn) := (mn) k = m k n k := f (m)f (n), et (2) est véerifiée. c) Soit f (m) := k m. On a : f (m + n) := k (m+n) = k m k n := f (m)f (n), et (3) est véerifiée. En remplaçcant g et g par les opéerations qu elles déefinissent, on peut encore dire que dans a) (resp. b), resp. c)) l application F est compatible avec (+, +) (resp. (, ), resp. (+, )). La compatibilitée dans a) (resp. c)) traduit la propriéetée, pour les entiers, de distributivitée de la multiplication par rapport àa l addition (resp. l additivitée de l exponentiation). On va donner une construction géenéeralisant les exemples ci-dessus. On rappelle tout d abord ce qu est une opéeration interne. Rappel. Une opéeration interne sur un ensemble A est une application de A A dans A, autrement dit àa deux quelconques éeléements x, y de A, on associe un éeléement z de A, ce que l on note : z := x y. C est donc une application de A A dans A (cf. Rappels de cours). Soient donc B et B deux ensemble, (resp. ) une opéeration interne dans B (resp. B ). Puisque par déefinition, une loi interne est une application, on notera encore ces opéerations une forme applicative g : B B B (resp. g : B B B ) i.e. g et g sont déefinies par : pour tout x, y B et x, y B, g(x, y) := x y et g (x, y ) := x y. Soit f : B B une application de B dans B. 26