RDM : Résistance des Matériaux

INSA de Rouen - MECA3 - Année 01-013 RDM : Résistance des Matériaux Sommaire 1 Introduction 3 1.1 Hypothèses fondamentaes................................................ 3 1.1.1 Géométrie..................................................... 3 1.1. Déformations................................................... 3 1.1.3 Contraintes.................................................... 3 1.1.4 Matériaux..................................................... 3 1. Notations......................................................... 4 1.3 Démarche de résoution.................................................. 4 Cacu des forces extérieures 4.1 rincipe fondamenta de a statique............................................ 4. Liaisons cinématiques................................................... 4 3 Efforts intérieurs 5 3.1 Convention de signes................................................... 5 3. Reations différentiees pour es barres droites - Diagrammes d efforts......................... 5 3..1 Reations différentiees............................................. 5 3.. Diagrammes d efforts.............................................. 5 3.3 Reations différentiees pour es barres courbes..................................... 6 4 Traction-Compression 7 5 Fexion 8 5.1 Fexion pure........................................................ 8 5.1.1 Contraintes.................................................... 8 5.1. Moments quadratiques par rapport à axe y................................... 8 5. Fexion déviée....................................................... 8 5.3 Fexion composée..................................................... 8 5.4 Barres courbes...................................................... 8 5.5 Sections composites.................................................... 9 6 Cisaiement 10 6.1 Cisaiement simpe.................................................... 10 6. Cisaiement en fexion simpe.............................................. 10 6..1 Contrainte..................................................... 10 6.. Moments statiques................................................ 10 7 Torsion 11 7.1 Contrainte......................................................... 11 7.1.1 Expression.................................................... 11 7.1. Moment quadratique poaire........................................... 11 8 Ressort héicoïda 1 8.1 Soicitations....................................................... 1 8. Fèche du ressort..................................................... 1 9 Cacu des structures : Théorèmes énergétiques 13 9.1 Effort unitaire fictif.................................................... 13 9. Réciprocité du travai................................................... 13 9.3 Réciprocité des dépacements............................................... 13 9.4 Théorème de Mohr-Maxwe............................................... 13 9.5 Théorème de Castigiano................................................. 13 1

9.6 Méthode grapho-anaytique................................................ 14 9.6.1 Enoncé...................................................... 14 9.6. Aires simpes................................................... 14 10 Systèmes hyperstatiques 15 10.1 Définition......................................................... 15 10. Degré d hyperstatisme.................................................. 15 10.3 Méthode de résoution.................................................. 15 11 Critères de résistance 16 11.1 Quantités imites usuees................................................. 16 11. Critères.......................................................... 16 11.3 Etats particuiers..................................................... 16 1 Soicitation par choc 17 1.1 Enoncé.......................................................... 17 1. Méthode de résoution.................................................. 17 13 Treiis 18 13.1 Enoncé du probème................................................... 18 13. Méthode usuee de résoution.............................................. 18 13.3 Méthode de Ritter..................................................... 18 14 Fambement 19 14.1 hénomène........................................................ 19 14. Fambement éastique................................................... 19 14.3 Modèe compet...................................................... 19 14.4 Fambement et conditions aux imites.......................................... 0

1 Introduction 1.1 Hypothèses fondamentaes La Résistance des Matériaux prend en compte es hypothèses de a Mécanique des Miieux Continus et en ajoute d autres pour a simpification du modèe. 1.1.1 Géométrie On se pace dans a théorie des barres : étude porte sur des soides déformabes éancés au repos On introduit aors a notion d axe (coordonnée x) et de section normae (pan yz) pour permettre une réduction du tridimensionne vers unidimensionne. L axe va définir si es barres sont droites (par portions), courbes, ou gauches (tridimensionnees) Seon es soicitations, on parera pus aisément de poutres, d arbres, de tirants, de poteaux, etc. 1.1. Déformations Hypothèse de Bernoui-Navier : Les sections panes et normaes à axe avant déformation e restent après déformation. (Cette hypothèse n est pas forcément respectée en cisaiement) 1.1.3 Contraintes Hypothèse de Saint-Venant : La modéisation n est vaabe qu à une certaine distance des conditions imites de a poutre. Autrement dit, oin de tout point d appication des forces, es efforts concernant es contraintes et es déformations produits par deux groupes de forces équivaentes et statiques sont identiques. Efforts extérieurs : forces (unité : N) moments (unité : N.m) efforts distribués : inéaires (unité : N.m 1) surfaciques (pression, unité : N.m ) voumiques (poids propre, unité : N.m 3) L hypothèse de Saint-Venant permet de reier une effort distribué à une force statique équivaente. Efforts intérieurs : L hypothèse de Saint-Venant permet de séparer ce qui se passe e ong de axe et dans une certaine section, ce qui introduit a notion d efforts internes. forces/efforts axiaux/normaux : N efforts tranchants T (T y, T z ) moment de torsion M t moments de fexion M f (M f y, M f z ) A chacun de ces types d efforts est associé un type de soicitation simpe. 1.1.4 Matériaux La Mécanique des Miieux Continus pose es hypothèses suivantes : Conservation de a masse Conservation de a quantité de mouvement Conservation du moment cinétique etites déformations Easticité inéaire isotrope (oi de Hooke généraisée) 3

1. Notations Déformations spécifiques : our être conforme aux covnentions internationaes, on va parer de déformations spécifiques (aongements spécifiques ε, gissements spécifiques γ). L adjectif "spécifique" indique e caractère adimensionne. Tenseur des contraintes : σ 11 σ 1 σ 13 σ 1 σ σ 3 = σ 1 τ 1 τ 13 τ 1 σ τ 3 σ 31 σ 3 σ 33 τ 31 τ 3 σ 3 1.3 Démarche de résoution La résoution en RDM doit toujours suivre es étapes qui suivent, si besoin est d aer jusqu au bout seon e probème posé. Généraement, i s agit de chercher à dimensionner en déterminant d abord e comportement de a barre ou en ocaisant ses sections dangereuses, à où es contraintes sont maximaes. Etapes de résoution : Bian des forces extérieures Cacu des réactions Etude des variations des efforts intérieurs e ong de axe Cacu des déformations Cacu des forces extérieures.1 rincipe fondamenta de a statique Dans e cadre de a RDM, on peut aisément e probème sur une seue dimension : a barre, tridimensionnee, devient une simpe igne sans épaisseur. De même, pour une barre courbe, abscisse curviigne s peut être utiisée en repacement de abscisse x usuee. ar cette simpification, e rincipe fondamenta de a statique se réduit à un probème pan, c est à dire trois équations : es résutantes verticaes (suivant z dans a convention qui sera adoptée par a suite) es résutantes horizontaes (suivant x) es moments dans e pan (autour de y). Liaisons cinématiques armi toutes es iaisons existantes permettant de modéiser, de situer et de cacuer es réactions, on s intéressera seuement aux trois principaes, que on retrouve sempiterneement en RDM : Appui simpe (onctuee) : Articuation (Rotue) : H Encastrement : H M V V V 4

3 Efforts intérieurs 3.1 Convention de signes Considérons une barre en équiibre statique, et une section de cee-ci : our conserver équiibre statique sur chaque tronçon, on doit définir es efforts intérieurs. F M x = n n x M F Là où a normae sortante et axe x ont e même sens, c est a face positive. Sur cette face, es efforts intérieurs sont positifs s is sont orientés comme es axes. On retrouve e contraire sur es faces négatives. M f y y T y G T z N M t x N M f y T z M f y N M f z z A gauche d une section, es efforts intérieurs vaudront a somme des forces exercées à gauche, e signe défini par a convention. A droite, on retrouve e même fonctionnement. T z 3. Reations différentiees pour es barres droites - Diagrammes d efforts 3..1 Reations différentiees Si on considère un tronçon d épaisseur dx d une barre droite subissant une force inéique f = chaque face, on aura : dn dt y dt z dx = p(x) dx = q(x) d = r(x) dn dx = p(x) dm fy dx = T z(x) dm fz d = T y(x) p(x) q(x) r(x) au centre de gravité de N T M dx T + dt N M + dm Dans a mesure où on simpifie a barre pour un probème pan, on ne s intéresse qu à deux de ces reations : dt dx = et dm dx = T en considérant = r(x), T = T z et M = m fy Une autre façon de e retenir est d assember es deux reations : d M dx = dt dx = 3.. Diagrammes d efforts Le diagramme d efforts est une représentation des efforts e ong de a barre considérée. Ee suit a convention de signes posée précédemment et utiise es reations différentiees. ar convention due aux reations différentiees, axe positif de M est inversé par rapport à ceui de T. Exempe : 5

4 T V 1 = 4 3 T V 4 = 5 3 3 1 3 5 3 M 4 3 5 3 M 3.3 Reations différentiees pour es barres courbes Sur une barre courbe de rayon R, on considère un tronçon courbe de ongueur ds = Rdϕ subissant un effort radia inéique. Suivant intégrae curviigne, on choisit repère dans eque appiquer e rincipe fondamenta de a statique. Ceci nous amène à ces trois reations : dn dϕ = T dt dϕ = R N dm ds = T R On peut retrouver es reations pour une barre pane en posant R + et dϕ 0 6

4 Traction-Compression La barre va subir un effort axia N : N Les tenseurs de contrainte et de déformation sont donc respectivement : σ = σ 0 0 0 0 0 et ε = 0 0 0 A 0 ν N 0 0 0 0 0 ν avec σ = N A = N EA 7

5 Fexion 5.1 Fexion pure 5.1.1 Contraintes σ Contrainte normae : M fy = σ = M f y z I y dans a section considérée. y Contrainte tangentiee : T z = 0 = τ = 0 La contrainte maximae est atteinte à une des extrémités. Ee prend a forme σ max = M f y avec W y = I y e modue de résistance en fexion. W y z max z 5.1. Moments quadratiques par rapport à axe y I y est e moment quadratique par rapport à axe y de a section. Comme a section est d épaisseur nue, i prend a forme : I y = z da Rectange : I y = bh3 1 h A Cerce : I y = πd4 64 b Dans e cas de sections composées (forme compexe), i suffit de cacuer e moment quadratique dans chaque section simpe et de sommer ensembe par e théorème de Huygens : On prendra aors pour A et B es centres de gravité respectifs. 5. Fexion déviée I Ay = I By + A (z B z A ) La fexion n est pas uniquement suivant y ou z. Cette soicitation se décompose aors en deux soicitations simpes M fy et M fz. σ d y z σ On a σ = M f y z M f z y I y I z our un cerce, on aura simpement σ = M f r I 5.3 Fexion composée A a fexion déviée s ajoute a contrainte normae, on a aors dans e cas e pus généra : σ = N A + M f y z M f z y I y I z 5.4 Barres courbes L axe neutre ne passe pus par e centre de gravité et se trouve à une excentration e. La distribution des contraintes sur a section n est pus une distribution inéaire. On considère que e centre de gravité se trouve à a distance R du centre de courbure et axe neutre à a distance r = R e La position de a fibre neutre en N (σ = 0) suivant z dans a section est donnée par : z r z da = 0 = e I G A R La contrainte devient aors σ(z) = M f y A e z centrée sur axe neutre. r z A 8

5.5 Sections composites Si a section est composée de deux matériaux de sections et de modues respectifs A 1,E 1 et A,E, on aura des contraintes différentes dans chaque matériau. La position de axe neutre est donnée par z N = A 1z 1 E 1 + A z E A 1 E 1 + A E avec z 1 et z es centres de gravité de chaque section. Les deux contraintes seront σ 1 (z) = M f y z E 1 E 1 I 1 + E I et σ (z) = M f y z E E 1 I 1 + E I centrées sur axe neutre et imitées par es matériaux. 9

6 Cisaiement 6.1 Cisaiement simpe our un cisaiement simpe, on retrouve τ = T A 6. Cisaiement en fexion simpe 6..1 Contrainte Dans un cas de fexion simpe, a variation du moment de fexion crée un cisaiement T z dont a contrainte est τ = T z S y (z) b(z)i y avec S y (z) e moment statique suivant y de a section réduite A b(z) a argeur de a section par rapport à z On remarquera que a contrainte de cisaiement suit une forme paraboique par morceaux et atteint son maximum sur axe neutre. 6.. Moments statiques Le moment statique s exprime comme suit pour a section réduite A : S y = zda On peut aussi exprimer différemment grâce au centre de gravité de cette section homogène z G = S y A Ainsi, S y = z G A. On peut donc simpifier e cacu de a contrainte en posant τ = T z z G A avec z b(z)i G fonction de z y our un cerce, a contrainte maximae devient τ max = 4 T 3 A. our un rectange, ee est τ max = 3 T A. A y z z A τ 10

7 Torsion 7.1 Contrainte 7.1.1 Expression Le cisaiement produit par un moment de torsion sur une section est τ = M t r I G. avec r a distance par rapport au centre de gravité de a section. I G e moment quadratique poaire de a section. 7.1. Moment quadratique poaire Le moment quadratique poaire est défini comme suit : I G = On a de même I G = I y + I z au même point. Ainsi on a : our un rectange, I G = (h + b)b h our un cerce, I G = πd4 3 1 A r da = A ( y + z ) ds 11

8 Ressort héicoïda Considérons un ressort de rayon extérieur R et de n spires. La section des spires est un cerce de diamètre d. d R 8.1 Soicitations L appication d un effort tranchant sur e ressort va créer deux soicitations : M t d Un moment de torsion M t = R = τ max = = 16R I G πd 3 Un cisaiement T = = τ max = 4 T 3 A = 16 3πd La contrainte maximae devient τ max = 16R ( πd 3 1 + d ). 3R On peut remarquer que e cisaiement est une soicitation négigeabe devant a torsion. Le cisaiement n infue réeement que pour es ressorts épais devant eur rayon de courbure. 8. Fèche du ressort A partir de : Le cisaiement maxima réduit à τ max = 16R πd 3 L énergie éastique du ressort en torsion U = GI Gθ Le travai de a force W = f [J = Nm] avec f a fèche La ongueur totae a fibre neutre : = nπr = GI ( ) G Mt [N = J/m] GI G On obtient a reation suivante : f = 64nR3 Gd 4 = 1 K On peut remarquer que énergie éastique accumuée par a torsion est très grande, ce qui expique utiisation du ressort pour imiter es efforts sur es structures puisqu une grande partie de énergie transmise va se retrouver absorbée par e ressort. On a aors deux conditions de fonctionnement : τ max τ a f f a 1

9 Cacu des structures : Théorèmes énergétiques Un cacu de structures nécessite de prendre en compte contraintes et déformations. Les théorèmes énergétiques permettent e cacu des dépacements. 9.1 Effort unitaire fictif Si on considère une barre soicitée par pusieurs groupes de forces, effort fictif unitaire est effort adimensionne de vaeur 1 nécessaire pour reproduire un dépacement généraisé (dépacement ou rotation) δ équivaent. 9. Réciprocité du travai Si on appique successivement deux groupes d efforts extérieurs F 1 et F, on peut décomposer e travai produit sur a barre. On a aors e travai L = L 11 + L 1 + L avec W 11 : e travai produit par F 1 sur es dépacements issus de F 1 W : e travai produit par F sur es dépacements issus de F W 1 : e travai produit par F 1 sur es dépacements issus de F Cette décomposition étant possibe en posant L 1, on obtient a reation de réciprocité du travai : 9.3 Réciprocité des dépacements W 1 = W 1 Si on considère cette même barre et que on cherche à cacuer ses dépacements, on a e cacu de dépacement suivant : δ = δ 11 + δ 1 + δ avec δ 11 : e dépacement produit par F 1 au point d appication de F 1 δ : e dépacement produit par F au point d appication de F δ 1 : e dépacement produit par F 1 au point d appication de F On a ors a réciprocité suivant : 9.4 Théorème de Mohr-Maxwe δ 1 = δ 1 Soit un barre encastrée-ibre soicitée par des forces axiaes dont on cherche e dépacement à extrémité ibre, et dont a soicitation axiae est aors N(x). On va d abord considérer cette barre subissant uniquement un effort fictif 1 donnant W 1 = 1 δ. L effort fictif crée une soicitation axiae n(x) et e dépacement associé (dx) = n(x)dx EA. Le travai de N(x) avec e dépacement issu de effort fictif donne : dw 1 = N(x) (dx) = N(x)n(x)dx EA Comme es efforts fictifs sont adimensionnes et es deux travaux réciproques, on a : ar extension, δ = Nn EA dx + M fy m fy dx + EI y δ = N(x) n(x) dx EA M fz m fz dx + EI z M t m t dx + EI p k Tt GA dx avec k un coefficient dépendant de a forme de a section (on travaie généraement avec es contraintes maximaes) 9.5 Théorème de Castigiano Le théorème de Castigiano donne e dépacement généraisé sous cette forme : δ n = U e X n avec U e énergie de a structure X n effort extérieur généraisé Le théorème de Menabrea est son coroaire concernant es conditions aux imites : U e V i = 0 si V i est une réaction généraisée. 13

En reprenant a forme du théorème de Mohr-Maxwe, e dépacement causé par effort unitaire généraisé i devient : δ i = N N i EA dx + M fy M fy i dx + EI y M fz M fz i dx + EI z M t M t i dx + EI p T T k i GA dx 9.6 Méthode grapho-anaytique 9.6.1 Enoncé On cherche à cacuer es intégraes de Mohr-Maxwe sans passer par a ourdeur de intégrae. Cette méthode ne marche que sur des barres droites puisqu ee nécessite des soicitations n(x) issues de effort fictif inéaires. Soit : m est une fonction inéaire (de coefficient directeur tan(α)) A M aire sous a courbe de M x G e centre de gravité de aire A M I = M(x)m(x)dx = A M m(x G ) 9.6. Aires simpes Triange araboe convexe araboe concave Trapèze M 0 M 0 M 0 M M 1 0 A M = 1 M 0 x G = 3 0 A M = M 0 3 x G = 3 4 0 A M = M 0 3 x G = 5 8 0 A M = A 1 + A = (M 1 + M ) 14

10 Systèmes hyperstatiques 10.1 Définition Un système de barres est dit hyperstatique si, après avoir écrit es équations d équiibre, on reste incapabe de cacuer es efforts intérieurs. On peut distinguer deux catégories dans hyperstatisme : es systèmes extérieurement hyperstatiques : es iaisons qui maintiennent e système amènent pus d inconnues que e FS ne peut en résoudre (dans un probème pan, 4 inconnues suffisent). On peut par exempe es retrouver dans un probème d encastrement doube ou de poutre continue (chemin de fer), etc. es systèmes intérieurement hyperstatiques : es réactions sont toutes déterminées sans aucun probème grâce au FS mais i est impossibe de cacuer es efforts intérieurs. Ces probèmes se retrouvent par exempe pour des systèmes composites et des systèmes fermés empêchant de "couper" a barre en deux, etc. Les systèmes hyperstatiques sont résous grâce à des conditions données par e théorème de Menabrea. 10. Degré d hyperstatisme Le degré d hyperstatisme N correspond au nombre d efforts intérieurs qui ne peuvent être connus en ayant posé es équations d équiibre. ce nombre dépend : du nmobre tota de réactions (inconnues externes) du nombre tota d équations d équiibre (D:3 ; 3D:6) des articuations intérieures des contours pans fermés (chaque contour introduit trois inconnues internes) des symétries géométriques Dans e cas de symétries géométriques, trois cas se distinguent : Efforts symétriques : N(x) et M(x) sont des fonctions symétriques T (x) est une fonction antisymétrique : annuation au pan de symétrie Efforts symétriques : N(x) et M(x) sont des fonctions antisymétriques : annuation au pan de symétrie T (x) est une fonction symétrique Efforts queconques : aucune réduction de hyperstatisme n est possibe 10.3 Méthode de résoution La méthode a pus courante consiste à transformer e système hyperstatique par un système de base ou fondamenta qui a des conditions aux imites modifiées dans e sens de a réduction du nombre d inconnues. Cette réduction du nombre d inconnues passe généraement par a considération des déformations et des dépacements totaux du système. En utiisant a superposition des dépacements, on peut définir e dépacement tota et e décomposer en fonction des efforts appiqués au point considéré pour cacuer es inconnues manquantes. 15

11 Critères de résistance 11.1 Quantités imites usuees Les critères de résistance sont étabis à partir de étude des structures de différents matériaux. En fonction de a nature des différents matériaux, on peut constater que on atteint état imite quand une ou pusieurs quantités atteignent eurs imites : Quantité Soicitation générae (3D) soicitation équivaente en traction-compression uniaxiae (1D) contrainte normae σ σ 1 σ e = σ 1 aongement spécifique ε ε 1 = σ 1 ν (σ + σ 3 ) ε e = σ 1 E E contrainte tangentiee τ τ = σ 1 σ 3 τ e = σ 1 énergie spécifique de déformation W e W e = σ 1 + σ + σ 3 + ν E E (σ 1σ + σ σ 3 + σ 1 σ 3 ) W e = σ 1 E énergie spécifique déviatrice W d W d = 1 + ν ((σ 1 σ ) + (σ 1 σ 3 ) + (σ σ 3 ) ) W d = 1 + ν 6E 3E σ 1 11. Critères L état imite est obtenu, dans e cas d une soicitation générae, orsque a quantité A devient égae à a quantité B dans e cadre d une soicitation équivaente de traction-compression. Les cinq critères précédents nous permettent notamment de cacuer, de tee sorte à avoir σ e σ a remier critère : σ ei = σ 1 Deuxième critère : σ eii = σ 1 ν (σ + σ 3 ) Troisième critère - critère de Tresca : σ eiii = σ 1 σ 3 Quatrième critère : σ eiv = σ1 + σ + σ 3 + ν (σ 1σ + σ σ 3 + σ 1 σ 3 ) Cinquième critère - critère de Von Mises : σ ev = 11.3 Etats particuiers 1 ((σ 1 σ ) + (σ 1 σ 3 ) + (σ σ 3 ) ) our ν = 0,3 Etat pan Barres Torsion Fexion + Torsion σ 1,σ σ 1, = σ ± 1 σ + 4τ τ M f,m t σ ei = σ 1 σ ei = σ + 1 σ + 4τ σ ei = τ M f ei = M f + 1 M f + M t ( σ σ eii = σ 1 νσ σ eii = + 1 ) ( σ σ + 4τ ν 1 ) σ + 4τ σ eii = 1,3τ M f eii = 0.35M f + 0.65 M f + M t σ eiii = σ 1 σ σ eiii = σ + 4τ σ eiii = τ M f eiii = M f + M t σ eiv = σ1 + σ + νσ 1σ σ eiv = σ + 3τ σ eiv = 1.73τ M f eiv = M f + 3 4 M t σ ev = σ1 + σ σ 1σ σ ev = σ +,6τ σ ev = 1.61τ M f ev = M f +,6 4 M t our e cas de a soicitation composée en fexion-torsion, on a : σ max = M f W ax avec W ax = I ax z max τ max = M t avec W p = I 0 ; I 0 = I ax et z max = r max = τ max = M t W p r max d où a reation exprimée directement en terme des moments. W ax 16

1 Soicitation par choc 1.1 Enoncé Une soicitation par choc est caractérisée par appication de forces extérieurs avec des variations brusques. On considère une poutre verticae de ongueur comme ci-contre. Une charge de poids va tomber sur a poutre depuis une hauteur h. La poutre subissant e choc va aors se déformer de δ. h δ Le travai de est aors L = (h + δ) L énergie de déformation de a poutre donne W e = EAδ Dans un cas sans choc, a force n aurait produit qu un travai L stat = δ stat Dans e modèe éastique, tout e travai L de a force est absorbé par a déformation de a poutre. On a L = W e Ceci impique δ δ stat δ δ stat h = 0 avec δ stat = obtenu par L stat = W e,stat EA Comme δ > 0, a soution est aors δ = 1 + 1 + h δ stat = Ψδ stat δ stat Le mutipicateur de choc Ψ peut s exprimer dans e cas où une vitesse et non pas une hauteur est considérée : Ψ = 1 + 1 + E c E p = 1 + 1 + v gδ stat On a de même a reation σ = Ψσ stat On peut remarquer que Ψ et que son effet diminue avec ampitude de δ stat. Ainsi, es contraintes dynamiques sont au moins deux fois supérieures aux contraintes statiques. Si on souhaite réduire ce coefficient, i faut faire en sorte d agrandir ampitude de δ stat, notamment en utiisant des ressorts. 1. Méthode de résoution Considérant a reation obtenue, i suffit de cacuer δ stat en se ramenant à un système statique (a charge en chute sur a poutre est rempacée par un effort statique déjà appiqué). De fait, δ stat se cacue avec es théorèmes énergétiques, de a même manière que dans es cas hyperstatiques. Si cas hyperstatique i y a, i faut commencer par poser e système statique. On résout ensuite e système hyperstatique par es méthodes usuees avant de cacuer δ stat. Une fois δ stat connu, on peut cacuer Ψ et toutes es grandeurs dynamiques qui nous intéressent. 17

13 Treiis 13.1 Enoncé du probème Un treiis est un système de barres articuées. On retrouve ce type de structures dans e génie civi et architecture : ponts, aéroports, gares, etc. Ces bâtiments comptent aors des nœuds par centaines ou miiers, qu i faut aors résoudre. Même si ce cacu est ourd sans outi informatique, intérêt du treiis est a suppression des fexions. Les articuations des treiis peuvent être des soudures, des bouons ou des systèmes à bagues. On peut négiger es contraintes et déformations en fexion, et donc modéiser es encastrements par des articuations, grâce à a rigidité du système : considérant un ensembe de poutres, e moment d inertie goba devient très important. 13. Méthode usuee de résoution Les moments étant négigés, seues subsistent es forces axiaes. La résoution se "réduit" aors au cacu des forces axiaes à chaque nœud. Ainsi, on isoe chaque articuation pour y poser es deux équations statiques qui a concernent. Au niveau goba, ce sont es trois équations panes du FS que on retrouve. our que e système soit statique, avec n barres barres et n noeuds nœuds, on a aors cet équiibre pour e nombre d inconnues : n barres + 3 = n noeuds Dans e cas où des forces s appiquent sur es poutres et non es nœuds du treiis, i suffit de es répartir : b a a b V 1 = b V = a a + b a + b a + b a + b 13.3 Méthode de Ritter Si es réactions sont cacuées et que on cherche des efforts intérieurs particuiers, on va sectionner pusieurs barres dans e treiis, qu on va aors isoer. 18

14 Fambement 14.1 hénomène Le fambage est une perte de équiibre stabe d une structure en compression qui survient dans certaines conditions dues à trois types de facteurs : a géométrie de a pièce es efforts appiqués es propriétés du matériau Le fambage n est pas une soicitation, c est un phénomène assimié à une rupture en RDM, notamment car i impique des grands dépacements. Lors du fambement, a igne moyenne d une barre droite cesse d être une droite et devient sensibe à d autres soicitations. 14. Fambement éastique On a pour es barres droites, expression de a déformée EIv (x) = M(x) avec V (x) a fèche. Or, M(x) = v(x) Ainsi, on a équation différentiee EIv + v = 0 On a aors a soution v(x) = C 1 sin(αx) +C cos(αx) avec α = EI Ici, es conditions aux imites (v(0) = 0, v() = 0) donnent : v(x) = C sin(αx) = k π EI avec a vaeur pour aquee se produit e fambement On pose aors a force critique au premier mode de fambement (k = 1) : cr = π EI mni avec ici f = f On en déduit a contrainte de compression au fambement : σ f = cr A = π E λ avec λ = f e coefficient de svetesse i min 14.3 Modèe compet Le cas éastique nous donne σ f = π E λ. E Ceci n est vrai que pour e cas éastique, donc pour σ f σ e, c est à dire pour λ > λ 0 = π Jusqu à a rupture, on peut montrer que e cas pastique s approxime par σ f = a + bλ (b < 0). La rupture est atteinte à σ f = σ r, c est-à-dire λ = λ 1 = σ r a b σ f σ e et i y = Iy e rayon d inertie A σ r rupture pastique éastique σ e λ 1 λ 0 λ 19

14.4 Fambement et conditions aux imites Reprenons expression de a force critique : cr = π EI min. La ongueur f exprimée ici dépend des conditions aux imites de a poutre. On exprime par f = β f β = 1 β = β = 1 β = I est à noter que si on décide de boquer e premier fambement en rajoutant une condition suppémentaire, e fambement n apparaîtra que sur son deuxième mode. De pus pour k =, on a cr = cr = 4 cr. Ceci permet d éoigner e risque de fambement de manière significative. 0