ANGLES ET PARALLÉLISME Quelques définitions Définition 1. Deux angles sont dits adjacents lorsque : 1. ils ont le même sommet ; 2. ils ont un côté en commun ; 3. ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Exemple et contre-exemples. Les angles â et b sont adjacents. Les angles ĉ et d ne sont pas adjacents. Les angles ê et f ne sont pas adjacents. Figure 1 Lorsque deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sont coupées par une troisième droite (δ), appelée la sécante, elles forment huit angles auxquels on a attribué des qualificatifs particuliers. Ces qualificatifs décrivent la façon dont deux angles sont placés l'un par rapport à l'autre et par rapport au trois droites. Figure 2 Définition 2. Deux angles déterminés par deux droites coupées par une sécante sont dits alternes-internes lorsque : 1. ils sont situés de part et d'autre de la sécante ; 2. ils sont situés "entre les deux droites" ; 3. ils ne sont pas adjacents. Exemples. Les angles â et ĝ sont alternes-internes. Les angles d et f sont alternes-internes. Définition 3. Deux angles déterminés par deux droites coupées par une sécante sont dits correspondants lorsque : 1. ils sont situés du même côté de la sécante ; 2. un seul est situé entre les deux droites ; 3. ils ne sont pas adjacents. Exemples. Les angles â et ê sont correspondants. Les angles b et f sont correspondants. Les angles d et ĥ sont correspondants. Les angles ĉ et ĝ sont correspondants. 1
Propriétés des angles alternes-internes et des angles correspondants Propriété 1. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles alors les angles alternesinternes déterminés par ces droites sont égaux. Démonstration. Etant donnés deux (d 1 ) et (d 2 ) coupées respectivement en A et en B par une sécante (δ), on construit I le milieu de [AB] ainsi que le segment [CD] perpendiculaire aux droites (d 1 ) et (d 2 ) et dont les extrémités sont sur ces droites. Sachant que les angles d'un triangles sont supplémentaires, on a ÎAC = 180 ÎBD ÂCI ĈIA = 180 BDI DIB Or les angles opposés par le sommet ĈIA et DIB sont égaux ; et par hypothèse les angles ÂCI et BDI sont droits. On en déduit donc que les angles alternes-internes ÎAC et ÎBD sont égaux. Réciproque. Si deux angles alternes-internes déterminés par deux droites coupées par une sécante sont égaux alors ces deux droites sont parallèles. Démonstration. Soient deux droites (d 1 ) et (d 2 ), coupées respectivement en A et en B par la sécante (δ). On construit la droite perpendiculaire à (d 1 ) passant par B, elle coupe (d 1 ) en C. On suppose que les angles alternes-internes BAC et ÂBx sont égaux. On a : ĈBx = ĈBA + ÂBx = ĈBA + BAC. Or, les angles aiguës d'un triangle rectangle sont complémentaires, on en déduit que ĈBx est un angle droit. Ainsi, les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont perpendiculaire à la même droite (BC), elles sont donc parallèles entre elles. Autre démonstration. Nous proposons ici un raisonnement par l'absurde. Supposons que les angles alternes-internes ÔAB et ÂBx soient égaux et que les droites (d 1 ) et (d 2 ) soient sécantes en O. Sachant que les angles d'un triangles sont supplémentaires, on a ÔAB + ÂBO + BOA = 180 ÂBx + ÂBO + BOA = 180. Or ÂBx et ÂBO sont supplémentaires, donc l'angle BOA doit être nul et les droites (d1 ) et (d 2 ) doivent être confondues. Figure 3 Figure 4 Figure 4 Figure 5 2
Propriété 2. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles alors les angles correspondants déterminés par ces droites sont égaux. Démonstration. Soient deux droites (d 1 ) et (d 2 ), coupées respectivement en A et en B par la sécante (δ). D'après la propriété 1, Ces droites déterminent deux angles alternes-internes égaux (figure 6). Prenons l'angle opposé par le sommet à l'un de ces angles alternes-internes, nous obtenons alors deux angles correspondants. Sachant que les angles opposés par le sommet sont égaux, ces angles correspondants sont donc égaux. Figure 6 Réciproque. Si deux angles correspondants déterminés par deux droites coupées par une sécante sont égaux alors ces deux droites sont parallèles. Démonstration. Cette propriété résulte de la réciproque de la propriété 1 et de ce que deux angles opposés par le sommet sont égaux. 3
NOTES COMPLEMENTAIRES La notion de portion de plan situé "entre les deux droites" Cette notion facile à définir pour deux coupées par une sécante, est moins évidente lorsque les deux droites ne sont plus parallèles [Cirade, Les angles alternes-internes : un problème de la profession, Petit x 76, 5-26, 2008]. Lorsque deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sont coupées par une sécante (δ), respectivement en A et en B, cette sécante est ainsi partagée en deux demi-droites et un segment, en l'occurrence [AB]. La portion du plan contenant le segment [AB] est dite située "entre les deux droites" (d 1 ) et (d 2 ). Un angle de sommet A ou B est dit interne si l'un de ses côtés contient le segment [AB]. Figure 7 Sur la démonstration des propriétés des angles alternes-internes Les démonstrations de la propriété 1 et de sa réciproque, proposées dans cette leçon, reposent sur la propriété que les angles d'un triangle sont supplémentaires. Dans ses Éléments, Livre I, Euclide démontre en premier lieu la réciproque (proposition XXVII) puis la propriété 1 (proposition XXIX). Proposition XXVII. Si deux angles alternes-internes déterminés par deux droites coupées par une sécante sont égaux alors ces deux droites sont parallèles. Démonstration. Supposons les deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sécantes en O et les angles alternes-internes ÔAB et ÂBx égaux (voir figure 8). Alors l'angle extérieur ÂBx du triangle OAB est égal à l'angle intérieur et opposé ÔAB, Ce qui est impossible (Proposition XVI). Proposition XVI. Si on prolonge l'un des côtés d'un triangle alors l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés. Démonstration. Soient I le milieu de [AB] et J le symétrique de O par rapport à I. Les angles au sommet ÔIA et BIJ sont égaux entre eux (Proposition XV). Ainsi, dans les triangles OIA et BIJ nous avons : OI = IJ ; IA = IB ; ÔIA = BIJ. On en déduit (Proposition IV) que ces triangles sont égaux et que les autres angles sont égaux, et en particulier : Figure 8 ÔAB = ÂBJ. Mais ÂBx est plus grand que ÂBJ et donc ÂBx est plus grand que ÔAB. 4
Proposition XXIX. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles alors les angles alternes-internes déterminés par ces droites sont égaux. Démonstration. Supposons que xab > ÂBz, alors il vient xab + ŷab > ÂBz + ŷab. Or xab + ŷab = 180 (Proposition XIII) donc ÂBz + ŷab < 180, ce qui signifie que les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes (Demande 5) ce qui contredit l'antécédent de la proposition. On démontre de même que xab < ÂBz conduit à une contradiction. Par conséquent les angles alternes-internes xab et ÂBz sont égaux. Figure 9 Le schéma ci-dessous replace les propriétés de cette leçons dans l'enchaînement logique du Livre I des Éléments. Conditions pour avoir deux triangles égaux (Proposition IV) Construire deux segments égaux (Proposition III) Placer le milieu d'un segment (Proposition X) Angles adjacents supplémentaires (Proposition XIII) Angles internes et (Demande 5) Angles opposés par le sommet égaux (Proposition XV) Angle extérieur d'un triangle (Proposition XVI) Construire un angle égal à un angle donné (Proposition XXIII) Angles alternes-internes égaux (Proposition XXVII = récip. Propriété 1) Angles correspondants égaux (Proposition XXVIII = récip. Propriété 2) Droites parallèles et angles égaux (Proposition XXIX = propriétés 1 & 2) Transitivité parallélisme (Proposition XXX) Construire une droite parallèle à une autre et passant par un point donné (Proposition XXXI) Somme des angles d'un triangle (Proposition XXXII) Figure 10 5