I. ACTIVITES NUMÉRIQUE (12 points) Exercice 1 Programme A Programme B Choisir un nombre Choisir un nombre Ajouter 8 Soustraire 7 Calculer le carré du résultat obtenu Calculer le carré du résultat obtenu 1. On choisit comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 4. choisi 7 = 2 ( 2) 2 = 4 Si on choisit comme nombre de départ, on obtient 4 avec le programme B. 2. On choisit 2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A? 2 choisi 2 + 8 = 6 6 2 = 36 Si on choisit 2 comme nombre de départ, on obtient 36 avec le programme A. 3. a. Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit 0? x choisi x + 8 (x + 8) 2 Si on choisit x comme nombre de départ, on obtient (x + 8) 2 avec le programme A. (x + 8) 2 = 0 x + 8 = 0 x = 8 Il faut choisir 8 comme nombre de départ pour que le résultat du programme A soit 0. b. Quels nombres faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 9? x choisi x 7 (x 7) 2 Si on choisit x comme nombre de départ, on obtient (x 7) 2 avec le programme B. (x 7) 2 = 9 (x 7) 2 9 = 0 (x 7) 2 3 2 = 0 (x 7 3)(x 7 + 3) =0 (x 10)(x 4) = 0 Un produit de facteurs est nul revient-à-dire qu'un au moins des facteurs est nul. x 10 = 0 ou x 4 = 0 x = 10 ou x = 4 Vérifications : 10 choisi 4 choisi 10 7 = 3 4 7 = 3 3 2 = 9 ( 3) 2 = 9 Il faut choisir 4 ou 10 comme nombre de départ pour que le résultat du programme B soit 9. 4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes? Résultat du programme A = Résultat du programme B (x + 8) 2 = (x 7) 2 (x + 8) 2 (x 7) 2 = 0 [(x + 8) (x 7)][(x + 8) + (x 7)] = 0 [x + 8 x + 7][x + 8 + x 7] = 0 1 (2x + 1) = 0 2x + 1 = 0 2x = 1 x = 1 2 = 0, Correction du brevet blanc de mathématiques Mai 2012
Vérification : Programme A Programme B 0, choisi 0, choisi 0, + 8 = 7, 0, 7 = 7, 7, 2 = 6,2 ( 7,) 2 = 6,2 Il faut choisir 0, comme nombre de départ pour obtenir le même résultat avec les programmes A et B. Exercice 2 Libellé de la question Réponses 1. 400 kg/m 3 = 400 g/cm 3 0,4 g/cm 3 4 kg/dm 3 4000 g/m 3 400 kg/m 3 = 400 000 g/m 3 = 400 kg/0 dm 3 = 0,4 kg/dm 3 = 400 g/0 cm 3 = 0,4 g/cm 3 2. L'équation 2 x ( 4 3 x )=0 a pour solutions : 1 2 et 4 3 2 et 3 4 2 x ( 4 3 x )=0 Un produit de facteurs est nul revient-à-dire qu'un au moins des facteurs est nul. - 2x = 0 ou 4 3x = 0 x = 0 ou 4 = 3x x = 0 ou x = 4 3 Les solutions de l'équation sont 0 et 4 3. 0 et 3 4 0 et 4 3 3. L'expression factorisée de ( x+ ) ( 3 x 1 ) ( x+ ) est : ( x+) (3 x 2 ) ( x+ ) ( 3x 1 ) ( x+ ) ( 2 x 6 ) ( x+ ) ( 2 x 1 ) ( x+ ) ( 3 x 1 ) ( x+ ) = (x + )[(3x 1) 1] = (x + )[3x 1 1] = (x + )(3x 2) 4. Un article qui valait 0 est soldé 40. Le pourcentage de réduction est : 10 % 20% 2 % 1 % 0 40 = 10 Le montant de la remise est de 10. 10 0 = 20 = 20 % Le pourcentage de remise est de 20%.. Voici le regroupement en classe d'âge d'un club d'escalade : Age ( en années) [10 ;14[ [14 ; 18[ [18 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 0[ [0 ; 76[ Effectif 2 29 31 37 33 7 L'âge médian est : 30 ans Compris entre 18 et 30 ans 2 + 29 + 31 + 37 + 33 + 7 = 162 L'effectif total est de 162 La médiane est la moyenne de la 81 ème et la 82 ème valeur de la série ordonnée. Age ( en années) [10;14[ [14;18[ [18;30[ [30;40[ [40;0[ [0;76[ Effectif 2 29 31 37 33 7 Effectif cumulé 2 4 8 122 1 162 43 ans On voit que la 81 ème et la 82 ème valeur de la série ordonnée se trouvent dans l'intervalle [18 ; 30[. Compris entre 30 et 40 ans
Exercice 3 Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge. 10 + 6 + 4 = 20 Il y a 10 boules rouges sur 20 boules au total. La probabilité pour que la boule tirée soit rouge est de 10 20 soit 1 2. 2. Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune. 6 + 4 = 10 Il y a 10 boules noires ou jaunes sur 20 boules au total. La probabilité pour que la boule tirée soit noire ou jaune est de 10 20 soit 1 2. 3. Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes. Le résultat est-il prévisible? Pourquoi? 1 2 + 1 2 = 2 2 = 1 Ce résultat était prévisible puisque «tirer une boule rouge» et «tirer une boule noire ou tirer une boule jaune» sont deux événements contraires. Or la somme des probabilités de deux événements contraires vaut 1. 4. On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et des boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à 1, calculer le nombre de boules bleues. Puisque la probabilité de tirer une boule bleue doit être de 1, cela signifie qu'il faut qu'il y ait fois plus de boules au total que de boules bleues. Appelons b le nombre de boules bleus ajoutées. *b = 20 + b b b = 20 4b = 20 b = 20/4 = Il faut ajouter boules bleues dans le sac. Vérification : Il y a alors boules bleus sur 2 boules au total. La probabilité de tirer une boule bleue est de 2 soit 1.
II. ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 1. Dans le triangle ABC, [AC] est le plus grand côté, comparons donc AC² et AB² +BC² AC² = 140² = 19600 et AB² + BC² = 11² + 80² = 1322 + 6400 = 1962 d'où AC² AB²+BC² donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle. 2. Dans le triangle ACD rectangle D : CD cos ÂCD= CA d'où cos ÂCD= 140 ÂCD=arcos ( 140 ) ÂCD 44 (valeur arrondie au degré) 3. Les points C, D, E et les points C, A, F sont alignés dans le même ordre. Comparons CD CA et CE CF CD CE = +20 = 120 = 10 12 = CA et 6 CF = 140 140+28 = 140 168 = 20 24 = 6 Ainsi CD CE = CA CF donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AD) et (FE) sont parallèles. Exercice 2 1. a. Les droites (HS) et (AB) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (HA), elles sont donc parallèles entre elles. b. Les points M, A, H et les points M, B, S sont distincts et alignés, les droites (HS) et (A B) sont parallèles MA donc d'après le théorème de Thalès : MH = AB 2, 4 d'où HS 16 = 2 2 16 donc HS= =137,. HS 2,4 La hauteur [SH] de la pyramide mesure donc 137, m. 2. V ( pyramide )= Aire ( KEOP ) HS 3 = 230m 230 m 137, m 3 2 424 83 m 3 (valeur arrondie au m 3 ) 3. Dans le triangle OPE, H est le milieu de [EP] et I est le milieu de [OE]. Le segment [HI] mesure donc la moitié du côté [OP] : HI = OP = 230m = 11m. 2 2 4. On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle SHI rectangle en H : SI² = SH²+HI² SI² = 137,²+11² SI² = 32131,2 SI= 32131,2 SI 179,3 m (valeur arrondie au dm).. Aire ( SOE )= SI OE 2 = 32131,2 230 2 20 614 m² (valeur arrondie au m²)
Correction du problème: Partie A: 1. 1,2 30=36: Avec l'offre A, 30morceaux téléchargés coûtent 36. 3+0, 30=0: Avec l'offre B, 30morceaux téléchargés coûtent 0. 2. a. Offre A=1,2 x b. Offre B=0, x +3 3. a. g(x) est de la forme ax+b avec a=0, et b=3. Comme b 0, on en déduit que g est une fonction affine mais qu'elle n'est pas linéaire. b. f est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Comme f()=120, elle passe aussi par le point A de coordonnées (;120). g est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite. g(0)=3 et g()=8, donc cette droite passe par les points B et C de coordonnées (0;3) et (;8) 4. a. C'est pour 0 morceaux téléchargés que les deux offres sont équivalentes. b. On cherche x pour que f(x)=g(x), soit 1,2 x=0, x+3. D'où 0,7 x=3, puis x= 3 0,7 =0. Vérification: 1,2 0=60 et 0, 0+3=60. C'est donc bien pour 0 morceaux téléchargés que les deux offres se valent.. Pour 60 morceaux téléchargés, c'est l'offre B la plus avantageuse. 6. Avec 80, on peut télécharger 90 morceaux avec l'offre B. Partie B 1. 26 3 8,3 On pourra télécharger 8 morceaux de musique. 2. 10 Mo/s 120s=1200 Mo En 2 minutes, on peut télécharger 1200 Mo. 1200 Mo 3 Mo=400 En 2 minutes, on peut télécharger 400 morceaux de musique. 1. 2. Partie C 6 1+8 +10 7+12 8+14 12+1 9+17 8 13 0 La note moyenne obtenue par le site est d'environ 13. 12+9+8 =8 0 8% des internautes ont donné une note supérieure ou égale à 14. L'enquête est donc jugée satisfaisante.