CHAPITRE 2: MODELES LINEAIRES A EQUATIONS SIMULTANEES

CHAPITRE 2: MODELES LINEAIRES A EQUATIONS SIMULTANEES 1

1. Exemple : u modèle d offre et de demade Marché de cocurrece pure et parfaite 1.1. Forme structurelle du modèle Foctios de de m a de e t d of f r e du p r odu it da s u e r é g io i : q i d a p i u i q i s b p i c z i v i (1) d s q i de m a de du b ie, q i of f r e du b ie p i p r ix du p r odu it z i u e v a r ia b le e x og è e a f f e cta t l of f r e de p r odu it (p a r e x e m p le, u e v a r ia b le clim a tiq u e si ce p r odu it e st u b ie a g r icole ) 2

a, b, c s o t de s p a r a m è t r e s c o s t a t s e t r e r é g i o s : COEFFICIENTS A ESTIMER O s u p p o s e r a q u e le p r i x du p r o du i t e s t dé t e r m i é p a r l é q u i li b r e e t r e o f f r e e t de m a de e t o o t e r a : q i d q i s q i O t r a du i r a l h y p o t h è s e d e x o g é é i t é de la v a r i a b le z i p a r Eu i z i Ev i z i 0 H y p o t h è s e s i m p li f i c a t r i c e : h o m o s c é da s t i c i t é de s p e r t u r b a t i o s u e t v, e t c e s p e r t u r b a t i o s s o t i dé p e da t e s e t r e r é g i o s E u i v i u i v i z i u 2 uv uv v 2 P a r dé f i i t i o, o a p p e lle le s y s t è m e (1), la forme s t ru c t u rel l e (F S ) du m o dè le. E lle c o r r e s p o d a u x é q u a t i o s du m o dè le é c o o m i q u e. 3

Variables e do g è es (au se s d u m o d è le é c o o m i q u e ): le s q u a t i t é s q i e t le s p r i x p i Variable ex o g è e : z i 1.2. Forme réduite du modèle P ar d é f i i t i o, la f o rm e ré du it e (F R ) d u m o d è le e st l é c r i t u r e d e t o u t e s le s é q u at i o s d e d é t e r m i at i o d e s v ar i ab le s e d o g è e s c o m m e f o c t i o d e s v ar i ab le s e x o g è e s L e m o d è le é c o o m i q u e e st b i e d é t e r m i é s i l y a au t a t d é q u at io s da s la f o rm e ré du it e q u e de v ariables e do g è es. D a s o t r e e x e m p le : p i c a b z i v i u i a b q i ac a b z i av i bu i a b 4

L h y p o t h è se su r l a dé t e r m i a t i o du m o dè l e s e x p r i m e p a r a b 0. C e t t e de r i è r e h y p o t h è se p e u t se j u st i f i e r i c i p a r l a c r o i ssa c e de l a f o c t i o d o f f r e (b 0) e t l a dé c r o i ssa c e de l a c o u r b e de de m a de (a 0 Reparamétrisatio d u mod è l e: p i z i i q i z i i (2) O v é r i f i e a i sé m e t q u e : Ez i i E z i v i u i a b 0 Ez i i E z i av i bu i a b 0 5

Notatio: s oit i i M u i v i av e c M 1 a b 1 1 b a al or s E i 2 i i i i i 2 z i MM 6

Les d eu x problèmes pri c i pa u x d e l est i m a t i o d e m o d è les à é q u a t i o si m u lt a é es: 1. Estimatio de la forme structurelle par la méthode des MCO: Ep i u i Ez i i i a i c o v i, i ae i 2 0 Il y a edogééité de la variable p i, et la première équatio est doc qu u modèle apparemmet liéaire La remarque s applique de faço similaire à la deuxième équatio Le premier problème est relatif à l absece d idetificatio directe de la forme structurelle (1) 2. L estimatio par MCO de la forme réduite e pose pas de problème puisque par hypothèse les régresseurs et les perturbatios sot o corrélées Néamois les coefficiets obteus et ot aucue sigificatio écoomique 7

Ils sot reliés aux paramètres des foctios d offre et de demade par les relatios: c a b ac a b Problème g é é ra l da s les modèles d é q u a t i os s i mu lt a é es : p a s s a g e des c oef f i c i et s q u i s ot i det i f i a bles, ) a u x c oef f i c i et s s t ru c t u rels a, b, c 1.3. Coséqueces Q u els p a ra mèt res de la f orme s t ru c t u relle s ot i det i f i é s? L e p a ra mèt re a es t i det i f i é c a r a / L es p a ra mèt res b et c e le s ot p a s p u i s q u e i mp ort e q u el c ou p le b, c s a t i s f a i s a t c b es t c omp a t i ble a v ec les p a ra mèt res i det i f i é s da s la f orme ré du i t e 8

Remarques: 1. Si o modifie le modèle e écrivat: q i d a p i d z i u i q i s b p i c z i v i alors o motre qu aucu paramètre est idetifiable 2. Si o modifie le modèle e itroduisat ue autre variable explicative: q i d a p i d z 1i u i q i s b p i c z 2i v i o motre que, sous certaies coditios, tous les paramètres sot idetifiables (à faire à titre d exercice) 9

2.Coditios d ordre et de rag 2.1. Le modèle O o m e t l i d i c e i d e l o b s e r v a t i o p o u r a llé g e r le s o t a t i o s H y p o t h è s e s : G variables e d o g è es y 1,..., y G e t K variables ex o g è es x 1,..., x K L e s y s t è m e e s t d é t e r m i é p a r G é q u at io s st ru c t u relles a 11 y 1... a G1 y G b 11 x 1... b K1 x K u 1 (3) a 1G y 1... a GG y G b 1G x 1... b KG x K u G L e s p e r t u r b a t i o s s o t h o m o sc é d ast iq u es: g, g 1,., G, Eu g u g x 1,., x K gg 10

a G1 a GG GG b K1 b KG KG Si l e s v a r ia b l e s x k s o t exogèes: g 1,., G, k 1,., K, Eu g x k 0 P a r a m èt r es d u m od èl e: l e s c o e f f ic ie t s a gg r a g é s d a s u e m a t r ic e a 11 a 1G A l e s c o e f f ic ie t s b kg r a g é s d a s u e m a t r ic e b 11 b 1G B l e s c o v a r ia c e s gg r a g é e s d a s u e m a t r ic e 11

Forme ma t ri c i el l e d e l a f orme s t ru c t u rel l e p o u r c h a q u e o b s e r v a t i o (le s i d i c e s d e l o b s e r v a t i o s o t o m i s ): ya xb u y y 1,., y G, v e c t e u r d e d i m e s i o 1 G x x 1,., x K, v e c t e u r d e d i m e s i o 1 K u u 1,., u G, v e c t e u r d e d i m e s i o 1 G H y p ot h è s es : A e s t i v e r s i b le (d e p le i r a g G) x x e s t i v e r s i b le (d e p le i r a g K) Eu g x k 0 Ex u 0 R ema rq u e: N o t a t i o s p o u r l é c h a t i llo d a s s o e t i e r : Y la m a t r i c e d e t a i lle, G q u i r a s s e m b le le s o b s e r v a t i o s s u r y X la m a t r i c e d e d i m e s i o, K d e s v a r i a b le s e x p li c a t i v e s U la m a t r i c e d e d i m e s i o, G d e s p e r t u r b a t i o s YA XB U 12

Première res t ric t io : l e m o d è l e é c o o m i q u e é t a t d é t e r m i é, o p e u t a d o p t e r l e s c o t ra i t es ( a t u rel l es ) d e o rma l is a t io : g 1,., G, a gg 1 C e s c o t r a i t e s si g i f i e t q u e c h a q u e é q u a t i o d e l a f o r m e st r u c t u r e l l e d é t e r m i e d e m a i è r e u i q u e u e v a r i a b l e e d o g è e e f o c t i o d e t o u t e s l e s a u t r e s e t d e s v a r i a b l e s e x o g è e s E x e m p l e d e l a p r e m i è r e é q u a t i o : a 11 1 y 1 a 21 y 2... a G1 y G b 11 x 1... b K1 x K u 1 S i A e st i v e r si b l e, l a f o rme ré d u it e d u mo d èl e se d é d u i t d e l a f o r m e st r u c t u r e l l e (p o u r c h a q u e o b se r v a t i o ): y xb A 1 ua 1 x v (4) 1,G 1,KK,G 1,G L e s c o ef f ic ie t s d e l a f o rme ré d u it e s o b t i e e t à p a r t i r d e s c o e f f i c i e t s d e l a f o r m e st r u c t u r e l l e c o m m e : B A 1 (5) 13

et les hypothèses stoc ha sti q u es s é c r i v et: Ex v 0 Ev v x A 1 A 1 L i d e ti f i c a ti o d es pa r a m ètr es d e la f or m e r é d u i te e p o se p as de p r o b lè m es dè s lo r s q u est v é r i f i é e la c o di ti o r g x x K P ar c o tr e, das la f o r m e str u c tu r elle (3), i l y a g é é r i q u em et c o r r é lati o etr e r é g r esseu r s edo g è es y g et p er tu r b ati o s u g Les esti m ateu r s M C O de c es é q u ati o s so t do c b i a i sé s et o c o v er g e ts P r ob lèm e g é é r a l d e l i d e ti f i c a ti o : c o m m et p eu t-o, à p ar ti r des p ar am è tr es de la f o r m e r é du i te, i deti f i er les p ar am è tr es m atr i c i els A et B de la f o r m e str u c tu r elle? U e m ai è r e de r ai so er ser ai t d u ti li ser les f o r m u les de p assag e (5) etr e f o r m es stu c tu r elle et r é du i te. C o m m e c e est p as si m p le, o r ai so e su r l i deti f i c ati o des p ar am è tr es é q u a ti o pa r é q u a ti o. 14

2.2 Idetificatio d ue équatio Sas p e r t e d e g é é r ali t é, o é t u d i e l idetificatio de l a p r em iè r e é q u atio O su p p o se é g ale m e t sas p e r t e d e g é é r ali t é q u e r g x x K e t d o c q u e le s p ar am è t r e s d e la f o r m e r é d u i t e so t i d e t i f i ab le s O é c r i t le m o d è le so u s u e f o r m e q u e l o ap p e lle for m e s em i-s tr u ctu r el l e e c o si d é r at : la p r e m i è r e é q u at i o d e la f o r m e st r u c t u r e lle e t le s G 1 d e r i è r e s é q u at i o s d e la f o r m e r é d u i t e : y 1 y 1 a 1 xb 1 u 1 y 1 x 1 v 1 1,G1 1,KK,G1 1,G1 15

Notatios: v d c f é v d d c v d q u y 1 est la 1ère ariab le ed og èe, ot le oef ic iet a té orm alisé à l u ité a 11 1 le ec teu r y 1 e im esio 1, G 1 otiet les au tres ariab les ed og èes a 1 a 21,..., a G1 et b 1 b 11,..., b K1 e sorte e: A 1 a 1 A 1, B b 1 B 1 1 est c om p osé e d es G 1 d erières c oloes d e : 1 1 K,G K,1 K,G1 C om m e est id etif iab le, 1 est id etif iab le 16

Puisque y 1 x 1 v 1, o e dé duit : y 1 y 1 a 1 xb 1 u 1 x 1 a 1 xb 1 u 1 v 1 a 1 x 1 a 1 b 1 u 1 v 1 a 1 C et t e é qua t io est do c la forme ré d u i t e d e l a p remi è re é q u a t i o, et 1 1 a 1 b 1 (6) est ide t if ia b le E st -il p o ssib le d ide t if ier les p a r a m è t r es st r uc t ur els a 1 et b 1 à p a r t ir de l é qua t io (6)? 17

2.3. Coditio d ordre L é q u a t i o (6) e s t u s y s t è m e li é a i r e à K é q u a t i o s (la di m e s i o du v e c t e u r 1 ) e t G 1 K p a r a m è t r e s (la s o m m e de s di m e s i o s de a 1 e t b 1 ) Le s y s t è m e es t s o u s -dé t er m i é (p lu s de p a r a m è t r e s q u e d é q u a t i o s ) D o c a 1 e t b 1 e s o t p a s g é é r i q u e m e t i de t i f i a b le s C e r t a i s d e t r e e u x p e u v e t l ê t r e da s c e r t a i s c a s p a r t i c u li e r s : p a r e x e m p le, s i 1 0, le p a r a m è t r e b 1 e s t i de t i f i a b le, m a i s a 1 e l e s t p a s G é é r a le m e t, i l f a u t do c i m p o s e r de s c o di t i o s d i de t i f i c a t i o s u p p l é m e t a i r es s u r le s p a r a m è t r e s s t r u c t u r e ls (o u de s r es t r i c t i o s q u e l o a p p e lle i de t i f i a t es ) P a r e x e m p le, ex c l u s i o de v a r i a b l es de la p r e m i è r e é q u a t i o 18

e t Supposos a i si q u u c e r t a i om b r e d é l é m e t s de s v e c t e ur s a 1 e t b 1 soi e t ul s: soi t G 1 1 l e om b r e d é l é m e t s o ul s de a 1 soi t K 1 l e om b r e d é l é m e t s o ul s du pa r a m è t r e b 1 D e c e f a i t, l a pr e m i è r e é q ua t i o c ot i e t se ul e m e t : G 1 v a r i a b l e s e dog è e s (e c om pt a t y 1 ) e t K 1 v a r i a b l e s e x og è e s O pose e sui t e : a 1 S a 1 (7) G1,1 G1,G 1 1 G 1 1,1 b 1 S b 1 K,1 K,K 1 K 1,1 où S a e t S b sot de s m a t r i c e s c oue s (c om posé e s de 0 e t de 1) e t 1 e t 1 sot l e s sous-v e c t e ur s o ul s de a 1 e t b 1 19

Exemple: a 21 0 0 0 a 31 1 0 a 31 a 31 a 41 a 41 0 1 a 41 S a L e s y s t è me (6) s e r é é c r i t c o mme: 1 a 1 b 1 1 S a 1 S b 1 1 (8) L a q u es t i o d i de t i f i c a t i o po r t e ma i t e a t s u r les pa r a mè t r es 1 et 1 L e s y s t è me li é a i r e c o mpo r t e a lo r s plu s d é q u a t i o s q u e de pa r a mè t r es i c o u s s i : G 1 1 K 1 K 20

ou e c or e s i : G 1 1 b de variables edogèes K K 1 b de variables exogèes exlues Défiitio: U e c odi t i o éc e s s a ir e p our l i de t i f i c a t i o de s p a r a m è t r e s d ue é q ua t i o s t r uc t ur e lle e s t q u i l e x i s t e a u m oi s a ut a t de v a r i a b le s e x og è e s e x c lue s de l é q ua t i o q ue de v a r i a b le s e dog è e s a p p a r a i s s a t da s l é q ua t i o (c oditio d or dr e ) C os é q ue c e s : s i la c odi t i o d or dr e e s t p a s v é r i f i é e, le s p a r a m è t r e s de l é q ua t i o e p e uv e t ê t r e i de t i f i é s s i la c odi t i o d or dr e e s t v é r i f i é e, i l s e p e ut q u i l le s oi t 21

2.4. Coditio de rag La c o di t i o d o r dr e e s t p as s u f f i s at e p u i s q u e l e s y s t è m e (8) p e u t c o m p o r t e r p l u s d é q u at i o s q u e d i c o u e s, au q u e l c as l a s o l u t i o p e u t e p as e x i s t e r, o u l e s y s t è m e (8) p e u t e p as ê t r e r é g u l i e r D as c e c as, l a c o di t i o d i de t i f i c at i o dé p e d de s v al e u r s de s p ar am è t r e s de l a f o r m e r é du i t e 1 e t 1 R é -é c r i v o s (8) s o u s l a f o r m e 1 S a S b 1 K,G1G1,G 1 1 K,K 1 1 G 1 1K 1,1 (9) M 1 1 K,G 1 1K 1 1 K,1 22

e t L u i c i t é de la s o lu t i o de c e s y s t è m e e s t do é e p a r le s c o di t i o s rgm G 1 K 1 1 MM M 1 M 1 1 C e t t e c o di t i o e s t a p p e lé e coditio de r a g C o m m e c e t t e c o di t i o dé p e d de p a r a m è t r e s i c o u s, o e p e u t e g é é r a l s a v o i r a p ri o ri s i e lle e s t v é r i f i é e A p o s t e ri o ri, s e u le s s o t c o u e s de s e s t i m a t i o s de 1 e t 1 La c o di t i o de r a g p o u r r a do c ê t r e l o b j e t de te s ts m a i s e p o u r r a p a s ê t r e v é r i f i é e da s u c a dr e dé t e r m i i s t e O e p e u t v é r i f i e r a p ri o ri q u e la c o di t i o d o r dr e O r e v i e dr a s u r le s i m p li c a t i o s de la o v é r i f i c a t i o de la c o di t i o de r a g a p r è s l e s t i m a t i o 23

E p a r t i c u li e r, o v e r r a q u e la m a u v a i s e q u a li t é de s r é s u lt a t s d e s t i m a t i o de l é q u a t i o le s e s t i m a t e u r s a y a t u e g r a de v a r i a c e e s t u di a g o s t i c q u i i di q u e q u e la c o di t i o de r a g e s t p a s v é r i f i é e T e r m i o lo g i e : L é q u a t i o e s t juste i d e ti f i é e s i G 1 1 K K 1 Elle e s t so us-i d e ti f i é e s i G 1 1 K K 1 Elle e s t sur -i d e ti f i é e s i G 1 1 K K 1 Le de g r é de s u r - (s o u s -) i de t i f i c a t i o e s t do é p a r K K 1 G 1 1 O g é é r a li s e c e s r é s u lt a t s d i de t i f i c a t i o à l e s e m b le du s y s t è m e : o di r a q u e l e sy stè m e est i d e ti f i é s i c h a q u e é q u a t i o du s y s t è m e e s t i de t i f i é e 24

3. Estimatio Deux t y p es de m é t h o des d es t i m a t i o : m é t h o des di t es à i f o r m a t i o l i m i t é e, e c o c er a t q u u e é q u a t i o m é t h o des di t es à i f o r m a t i o c o m p l è t e, p o r t a t s u r l es t i m a t i o du s y s t è m e da s s o e t i er P o u r a p p li q u er c es m é t h o des, i l f a u t b i e é v i dem m e t q u e les p a r a m è t r es s o i e t i de t i f i é s L es m é t h o des à i f o r m a t i o c o m p lè t e s o t e g é é r a l p l us p r é c i s es q u e les m é t h o des à i f o r m a t i o li m i t é e s a u f da s des c a s p a r t i c u li er s q u e o u s dé t a i ller o s E lles s o t m o i s r o b us t es à des er r eu r s de s p é c i f i c a t i o q u i a f f ec t er a i e t des s o u s -p a r t i es du s y s t è m e 25

3.1 Méthodes à iformatio limitée a) Les doubles moidres carrés (DMC, 2SLS) O c o s i d è r e s a s p e r t e d e g é é r a li t é l e s t i m a t i o d e la p r e m i è r e é q u a t i o : y 1 y 1 a 1 xb 1 u 1 O i m p o s e le s r e s t r i c t i o s i d e t i f i a t e s (7): y 1 y 1 S a 1 xs b 1 u 1 N o t a t i o : y 1 y 1 S a v e c t e u r d e s v a r i a b le s e d o g è e s o e x c lu e s d e la p r e m i è r e é q u a t i o x 1 xs b v e c t e u r d e s v a r i a b le s e x o g è e s o e x c lu e s d e la p r e m i è r e é q u a t i o 26

D o ù y 1 y 1 1 x 1 1 u 1 z 1 1 u 1 (10) o ù Z 1 y 1 x 1 e t 1 1 1 O s u p p o s e r a q u e 1 e s t i d e t i f i a b l e Pricipe d e l a m é t h o d e d es D M C : P r e m i è r e é t a p e : o r é g r e s s e p a r M C O y 1 s u r l e s v a r i a b l e s x e t o c o s t r u i t s a p r é d i c t i o m a t r i c i e l l e : Ŷ 1 XX 1 X X Y 1 P X Y 1 De u x i è m e é t a p e : o r é g r e s s e l a v a r i a b l e e d o g è e Y 1 s u r l e s v a r i a b l e s Y 1 e t X 1 p a r M C O O o t e 1,D M C e t 1,D M C l e s e s t i m a t e u r s o b t e u s 27

Autre p ré s e ta ti o (p lu s c o c i s e ): S i o u t i li s e la d e u x i è m e f o r m e d e l é q u a t i o (10): y 1 z 1 1 u 1 e t s i o r e m a r q u e q u e : P X Z 1 P X Y 1X 1 P X Y 1P X X 1 P X Y 1 X 1 Ŷ 1 la d e u x i è m e é t a p e d e la m é t h o d e d e s D M C e s t a u s s i la r é g r e s s i o d e Y 1 s u r Z 1 P X Z 1 L a f o rm e c o c i s e d e l es ti m a teur e s t a lo r s : 1 Z 1 P X Z 1 1 Z 1 P X Y 1 (11) 28

p p p p p Propositio: L e s e s t i m at e u r s D M C s o t c ov e rg e ts as y m p t o t i q u e m e t Pre u v e : C o m m e P X XX X1 X, o a s o u s l e s c o d i t i o s d e l a l o i d e s g r a d s o m b r e s : l i m Z 1 P X Z 1 l i m Z 1 X X X 1 X Z 1 l i m Z 1 X l i m X X 1 l i m X Z 1 Ez 1 x Ex x 1 Ex z 1 0 e u t i l i s a t l e t h é o r è m e d e S l u t s k y e t r e l a p r e m i è r e e t d e u x i è m e l i g e 29

p Rappel d u T h é o r è m e d e S lu t s k y : S o i t x ; 1, 2,... u e s u i t e d e v ec t eu r s alé at o i r es d e d i m e s i o K 1 t els q u e pli m x c A lo r s s i g es t u e f o c t i o d e R K d a s R J c o t i u e au po i t c: pli m gx gpli m x gc D e la m ê m e f aç o : l i m Z 1 P X Y 1 Ez 1 xex x 1 Ex y 1 Ez 1 xex x 1 Ex z 1 1 Ex u 1 0 Ez 1 xex x 1 Ex z 1 1 30

Puis o ut il ise l e t h é o r è m e de S l ut sk y a p p l iq ué à (11) p o ur o b t e ir : plim 1 0 1 0 1 1 Variace as y m p t o t iq u e d es es t im at eu rs D M C : 1 1 d ˆ N0, 1 2 Ez 1 xex x 1 Ex z 1 1 P reu v e : R e m a r q uo s d a b o r d q ue : 1 1 Z 1 XX X 1 X Z 1 1Z 1 XX X 1 X U 1 U t il iso s e suit e l e t h é o r è m e c e t r a l l im it e a p p l iq ué à l a v a r ia b l e x u 1 t e l l e q ue Ex u 1 0 e t Vx u 1 Ex u 1 2 x: X U 1 d ˆ N0, Ex u 1 2 x 31

P Remarquos esui t e que Ex u 1 2 x Ex Eu 1 2 xx 1 2 Ex x et que: 1 1 Z 1 X X X 1 X Z 1 1 Z 1 X X X 1 X U 1 ui sque: p l i m Ez 1 xex x 1 Ex z 1 1 Ez 1 xex x 1 o a : X U 1 d ˆ N0, Ex u 1 2 x 32

Comme : Ex u 1 2 x 1 2 Ez 1 xex x 1 Ex z 1 1 a l or s, 1 1 d ˆ N0, 1 2 Ez 1 xex x 1 Ex z 1 1 E s t i ma t eu r d e c et t e ma t r i c e d e v a r i a c e-c ov a r i a c e: V a s 1 1 2 Z 1 P X Z 1 1 a v ec 1 2 Y 1 Z 1 1 Y 1 Z 1 1 (moy e e d es c a r r é s d es r é s i d u s ) 33

Retour sur l i de ti f i c a ti o du p a ra m è tre 1 : 1 est i de ti f i a b le si les ré g resseurs e so t p a s c oli é a i res C ette c o di ti o s ex p ri m e c om m e la c o di ti o de ra g sui v a te : rg Z 1 P X Z 1 K 1 G 1 1 (12) K 1 G 1 1,,,K 1 G 1 1 L a coditio de r a g s ex p ri m e m a i te a t o p lus e term es de p a ra m è tres i c o us m a i s e term es des c o trep a rti es em p i ri q ues de c es p a ra m è tres i c o us P our la v é ri f i er, i l suf f i t do c de tester la c o di ti o (12) L a (q ua si )m ulti c oli é a ri té se si g a le p a r l im p r é cis io de s e s tim a te u r s (v a ri a c es et é c a rt-ty p es trè s i m p orta ts) C ec i tra dui t des p rob lè m es d i de ti f i c a ti o sous-j a c e ts 34

b) Idetité etre doubles moidres carrés, moidres carrés idirects et estimateurs à variables istrumetales lorque l équatio est juste idetifiée La m é t h o de de s D M C p o s s è de c e r t ai e s p r o p r i é t é s s at i s f ai s a t e s I l p o u r r ai t é a m o i s e x i s t e r d au t r e s m é t h o de s do t é e s de p r o p r i é t é s p lu s s at i s f ai s a t e s O e x p o s e c e s m é t h o de s e t o m o t r e q u e, p ar m i le s m é t h o de s de m o m e t s, l e s t i m at e u r de s D M C s e di s t i g u e p ar de s p r o p r i é t é s d o p t i m ali t é L e s t i m a t e u r d e s m o i d r e s c a r r é s i d i r e c t s (M C I ): C as o ù l é q u at i o e s t j u s t e i d e t i f i é e G 1 1 K K 1 R e lat i o e t r e le s p ar am è t r e s de la f o r m e r é du i t e e t le s p ar am è t r e s de la f o r m e s t r u c t u r e lle du s y s t è m e c o m p le t : B A 1 35

doc A B 0 e t doc p ou r la p r e m i è r e é q u at i o: 1 a 1 b 1 0 (e u t i li s at le s ot at i os de la s e ct i o 2) P r i ci p e de la m é t h ode de s M C I : r é s ou dr e l é q u at i o p r é cé de t e e a 1 e t e b 1 à l ai de de l e s t i m at e u r de s p ar am è t r e s de la f or m e r é du i t e D as le cas de j u s t e i de t i f i cat i o, o s ai t q u e ce t t e é q u at i o a u e e t u e s e u le s olu t i o q u e l o ap p e lle e s t i m at e u r de s M C I : 1 â 1 b 1 0 (13) 36

Propositio: Q u a d l é q u a tio e st j u ste id e tif ié e, l e stim a te u r d e s m oid re s c a rré s id ire c ts e st u e stim a te u r à v a ria b le s istru m e ta le s e t c oï c id e a v e c l e stim a te u r d e s d ou b le s m oid re s c a rré s. Preuve: O su ppose q u e K G 1 K 1 1 O pa rt d e l é q u a tio d e d é f iitio d e s M C I e re m pla ç a t pa r X X1 X Y (13) e st é q u iv a le t à: X 1 X X Y 1 b 1 0 X Y 1 Xb 1 0 K,K K,G â 1 K,1 â 1 G,1 pu isq u e l é q u a tio e st j u ste id e tif ié e 37

Avec les o t a t i o s p r é cé d e t es, cet t e ex p r es s i o d evi e t : X Y 1 Y 1 â 1 Xb 1 X Y 1 Z 1 1 0 (14) et d o c l es t i m a t eu r M C I 1 es t u es t i m a t eu r à va r. i s t r u m e t a les E ef f et, co m m e l é q u a t i o es t j u s t e i d e t i f i é e, d i m X Z 1 K, G 1 K 1 1 K, K et r g X Z 1 K D o c 1 X Z 1 1 X Y 1 S o u s les m ê m es co d i t i o s, (14) é q u i va u t a u s s i à: Z 1 XX X 1 X Y 1 Z 1 1 0 Z 1 P X Y 1 Z 1 1 0 1 Z 1 P X Z 1 1 Z 1 P X Y 1 q u i es t l es t i m a t eu r D M C 38

c) L estimateur des doubles moidres carrés est optimal das la classe des estimateurs à variables istrumetales Das le c as o ù l é q u at i o e st j u st e i de t i f i é e, l e st i m at e u r de s do u b le s m o i dr e s c ar r é s e st au ssi l e st i m at e u r à v ar i ab le s i st r u m e t ale s: VI X Z 1 1 X Y 1 C e t e st i m at e u r e st dé f i i de m ai è r e u i q u e e t la c lasse de s e st i m at e u r s à v ar i ab le s i st r u m e t ale s e st r é du i t à u p o i t Das le c as o ù l é q u at i o e st suridetifiée, c e la e st p lu s le c as E e f f e t, i l y a p lu s de v ar i ab le s i st r u m e t ale s K q u e de v ar i ab le s à i st r u m e t e r G 1 K 1 1 O p e u t alo r s dé f i i r la c lasse de s e st i m at e u r s à v ar i ab le s i st r u m e t ale s c o m m e le s e st i m at e u r s o b t e u s p o u r u o m b r e G 1 K 1 1 d i st r u m e t s q u i so t c o m b i ai so s li é ai r e s de s i st r u m e t s o r i g i au x 39

O dé f i i t c e s i s t r u m e t s c o m m e : x xs o ù S e s t u e m a t r i c e de di m e s i o K, K 1 G 1 1 D a s c e c a s, o dé f i i t l e s t i m a t e u r p a r v a r i a b le s i s t r u m e t a le s a s s o c i é à S c o m m e : VI S X Z 1 1 X Y 1 s o u s la c o di t i o d e x i s t e c e r g X Z 1 K O c h e r c h e a lo r s à p r o u v e r q u i l e x i s t e u o u de s e s t i m a t e u r s do t la v a r i a c e e s t m i i m a le da s c e t t e c la s s e. 40

Propositio: L e s e s t i m a t e u r s p a r v a r i a b l e s i s t r u m e t a l e s o p t i m a u x s o t do é s p a r t o u t e s u i t e de m a t r i c e s S q u i c o v e r g e e p r o b a b i l i t é v e r s l a m a t r i c e : S Ex x1 Ex z 1 E p a r t i c u l i e r, c o m m e s o u s l e s c o di t i o s h a b i t u e l l e s S X X 1 X Z 1 p S e t do c V I S Z 1 P X Z 1 1 Z 1 P X Y 1 D M C l e s do u b l e s m o i dr e s c a r r é s o r di a i r e s s o t a s y m p t o t i q u e m e t o p t i m a u x da s c e t t e c l a s s e d e s t i m a t e u r s. 41

p p Preuve : O dé du i t l a l o i a s y m p t o t i q u e de t o u t e s t i m a t e u r de l a c l a s s e d e s t i m a t e u r s à v a r i a b l e s i s t r u m e t a l e s : 1 VI S S X Z 1 S X Y 1 S X Z 1 1 S X Z 1 U 1 S X Z 1 1 S X U 1 O s u p p o s e r a q u e : p l i m S S l i m X Z 1 Ex z 1 l i m X U 1 U 1 X 1 Ex u 1 2 x 1 2 Ex x A l o r s e u t i l i s a t l e s a r g u m e t s h a b i t u e l s : 42

plim V I S et V I S d ˆ N0, 1 2 S o ù : S ES x 1 1 z 1 S Ex xsez 1 xs P o u r tr o u v er l es tim a teu r d e v a r ia c e m i im a le, o c h er c h e à m i im is er la m a tr ic e S, i.e. à tr o u v er u e m a tr ic e d é f i ie p o s itiv e S telle q u e: S, S S S S es t s em i-d é f i ie p o s itiv e P u is q u e S es t u e m a tr ic e d e v a r ia c e-c o v a r ia c e, elle es t d é f i ie p o s itiv e, et c ette p r o p r ié té d o c es t é q u iv a le te à: S, MS S 1 S 1 es t s em i-d é f i ie p o s itiv e 43

E u t i li s a t l e x p r e s s i o : S Ez 1 xex x 1 Ex z 1 1 o o b t i e t : MS Ez 1 x Ex x 1 Ex z 1 Ez 1 xss Ex xs 1 S Ex z 1 E p o s a t : C Ex x1/2 Ex z 1 e t D Ex x1/2 S o o b t i e t : MS C C C DD D1 D C C I P D C C o m m e I P D e s t u p r o j e c t e u r, la m a t r i c e MS e s t a lo r s é c e s s a i r e m e t s e m i -d é f i i e p o s i t i v e 44

3.2 Méthodes à iformatio complète Pour ut i li s e r d e s m é t h od e s à i f orm a t i o c om p lè t e, i l f a ut s up p os e r q ue le m od è le e s t g lob a le m e t i d e t i f i a b le O s up p os e ra d o c q ue toutes l es é q ua ti o s so t i d e ti f i é es ou sur i d e ti f i é es a) La méthode des triples moidres carrés Pri c i p e d e la m é t h od e : s ui v re la m é t h od e ut i li s é e p our le s ré g re s s i o s s i m ult a é e s (S U R E ) N é a m oi s, la p re m i è re é t a p e d i f f è re p ui s q ue d a s le s s y s t è m e s d e ré g re s s i o s s i m ult a é e s, le p rob lè m e d e l e d og é é i t é d e s ré g re s s e urs e s e p os e p a s 45

o u 1. O utilise alors d abord les doubles moidres carrés équatio par équatio 2. O estime esuite les élémets de la matrice de variace-covariace etre équatios pour e déduire l estimateur pour le système e so etier O é c r i t : Z 1 0 y 1 1 u 1 Z 2 y G G u G 0 Z G Y Z U 46

u Deux p r o b l è m es : 1. Le premier problème est celui de l edogééité des régresseurs Z g O les remplace doc par leurs prédicteurs P X Z g comme das la première étape des DMC Le prédicteur de Z a des blocs diagoaux qui sot: Z g P X Z g 2. Le deuxième problème est relatif à la structure de corrélatio etre les équatios O pose: Eu x Das ce cas, o sait que la méthode qui permet d obteir la précisio maximale est celle de l estimateur SURE das u système de régressios simultaées 47

Pour c e la, c o s t rui re u e s t i m a t e ur c o v e rg e t d e la m a t ri c e S oi t g,d MC le s e s t i m a t e urs d e s g g 1,... G ob t e us p a r le s d oub le s m oi d re s c a rré s é q ua t i o p a r é q ua t i o (e s t i m a t e urs c o v e rg e t s ) S oi t û g le v e c t e ur d e s ré s i d us d e l é q ua t i o g ob t e us p a r le s D M C S oi e t le s e s t i m a t e urs : gg 1 û g û g Pa r le s ra i s o e m e t s h a b i t ue ls, gg s o t d e s e s t i m a t e urs c o v e rg e t s d e gg O ot e la m a t ri c e d e c e s é lé m e t s O d é f i i t a lors l e s t i m a t e ur d e s t ri p le s m oi d re s c a rré s c om m e : 3MC Z 1 I Z 1 Z 1 I Y 48

Deux p r o p r i é t é s d es T M C : 1. Si est ue matrice diagoale, les TMC sot équivalets asymptotiquemet aux DMC Das ce cas, l estimatio du système apporte rie de plus à l estimatio équatio par équatio 2. Si toutes les équatios sot juste idetifiées, les TMC sot égaux aux DMC Applicatio du pricipe de Zeller? Ici, les régresseurs das les différetes équatios P X Z g e sot pas idetiques. Néamois, comme les équatios sot juste idetifiées, les variables P X Z g formet ue base de l espace egedré par les variables X (d i m P X Z g d i m X. Il existe alors des matrices T g de chagemet de base et doc iversibles telles que: Z g P X Z g T g P X Z 1, d où le résultat (cf. preuve Chap. 1) 49

b) Maximum de vraisemblace à iformatio complète Supposos q ue u u 1,..., u G x ˆ N0, Le sy st è m e d é q ua t i os s é c r i t : ya xb u y xba 1 ua 1 a v e c f U u 1 e x p 1 2 u 1 u 2 G/2 de t e t y x NxBA 1, A 1 A 1 La v r a i se m b la c e d ue ob se r v a t i o s ob t i e t c om m e l ly x; A, B, G 2 l2 l de t A 1 2 l de t 1 2 ya xb 1 ya xb L E M V e st é q ui v a le t a sy m pt ot i q ue m e t à l e st i m a t e ur de s T M C M a i s pr opr i é t é s à di st a c e f i i e g é é r a le m e t di f f é r e t e s 50