GESTION DES RISQUES FINANCIERS 4 ème année ESCE Exercices / Chapitre 3

GESTION DES RISQUES FINANCIERS 4 ème année ESCE Exercices / Chapitre 3 1) Couvertures parfaites A) Le 14 octobre de l année N une entreprise sait qu elle devra acheter 1000 onces d or en avril de l année N+1. Sur le CME le contrat future sur l or échéance avril N+1 cote le 14 octobre N 1682 USD par once d or. La taille de ce contrat est de 100 onces d or. - Quel est le profil de risque? 1 + 1 raisonnement par rapport à l évolution du prix de l or. - Construire une couverture avec prise de livraison et une couverture en utilisant le CME comme instrument financier. Acheter (prendre une position longue sur) 10 contrats future sur l or échéance avril N+1. Deux possibilités : - conserver la position longue jusqu à l échéance et prendre livraison aux conditions définies par le CME (peu courant) ; - dénouer la position longue à l échéance du contrat en avril N+1 et utiliser le CME comme un instrument financier, puis acheter les 1000 onces d or sur le marché spot. - Le 1 er avril N+1 le prix de l once d or sur le spot cote 1700 USD. Quel est le bilan de la couverture? Bilan de l opération sur contrats futures en avril N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (1700-1682) 100 10 = 18000 USD ; Achat de l or au spot à 1700 USD /once en avril N+1 : payoff = -1700 1000 = -1 700 000 USD ; Bilan total : Payoff total = -1 700 000 + 18000 = -1 682 000 USD Payoff par once = 1682000/1000 = 1682 USD; Tout se passe comme si l entreprise avait acheté à terme les 1000 onces d or à 1682 USD/once dès le 14 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. B) Le 15 octobre de l année N une entreprise sait qu il lui faudra livrer 50000 onces d argent en mars de l année N+1. Sur le CME le contrat future sur l argent échéance mars N+1 cote le 15 octobre N 32.40 USD par once d argent. La taille de ce contrat est de 5000 onces d argent. - Quel est le profil de risque? + 1 1 raisonnement par rapport à l évolution du prix du métal argent. - Construire une couverture avec livraison et une couverture en utilisant le CME comme instrument financier. Vendre (prendre une position courte sur) 10 contrats future sur l argent échéance mars N+1. Deux possibilités : 1

- conserver la position courte jusqu à l échéance et effectuer la livraison aux conditions définies par le CME (peu courant) ; - dénouer la position courte à l échéance du contrat en avril N+1 et utiliser le CME comme un instrument financier, puis vendre les 50000 onces d argent sur le marché spot. - Le 1 er mars N+1 le prix de l once d argent sur le spot cote 39.85 USD. Quel est le bilan de la couverture? Bilan de l opération sur contrats futures en mars N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (32.40-39.85) 100 10 = -372500 USD ; Vente de l argent au spot à 39.85 USD /once en mars N+1 : payoff = +39.85 50000 = USD ; Bilan total : Payoff total = -372500 + 1 992 500 = 1 620 000 USD Payoff par once = 1620000 /50000 = 32.40 USD; Tout se passe comme si l entreprise avait acheté à terme les 50000 onces d argent à 32.40 USD/once dès le 15 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. 2) Couvertures parfaites A) En octobre de l année N un céréalier américain prévoit une récolte de 75000 boisseaux de blé en juillet de l année N+1. Sur le CME le contrat future sur le blé Juillet N+1 cote le 21 octobre de l année N 571 cents par boisseau. La taille du contrat est de 5000 boisseaux. - Quel est le profil de risque du céréalier? + 1 1 raisonnement par rapport à l évolution du prix du blé. - Construire une couverture avec livraison et une couverture en utilisant le CME comme instrument financier. Vendre 15 contrats futures sur le blé échéance juillet N+1 au CME - Le 1er juillet N+1 le prix du blé sur le spot cote 485 cents par boisseau. Quel est le bilan de la couverture? Bilan de l opération sur contrats futures en juillet N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (5.71-4.85) 5000 15 = 64500 USD ; Vente du blé au spot à 485 cents /boisseau en juillet 2010 : payoff = 4.85 75000 = 363 750 USD ; Bilan total pour le céréalier : Payoff total = 363750 + 64500 = 428 250 USD Payoff par boisseau = 428 250/75000 = 5.71 USD; Tout se passe comme si le céréalier avait vendu sa récolte de juillet N+1 à terme à 5.71 USD/boisseau dès le 21 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. B) Mêmes questions si le 1 er juillet N+1 le prix du blé sur le spot cote 625 cents par boisseau. Bilan de l opération sur contrats futures en juillet N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (5.71-6.25) 5000 15 = -40500 USD ; Vente du blé au spot à 625 cents /boisseau en juillet N+1 : payoff = 6.25 75000 = 468 750 USD ; 2

Bilan total pour le céréalier : Payoff total = 468750-40500 = 428 250 USD Payoff par boisseau = 428 250/75000 = 5.71 USD; Tout se passe comme si le céréalier avait vendu sa récolte de juillet N+1 à terme à 5.71 USD/boisseau dès le 21 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. 3) Couvertures parfaites A) Le 15 octobre de l année N un négociant en bétail vivant prévoit d acheter 800 000 livres de bétail vivant en février de l année N+1. Sur le CME le contrat future sur le bétail vivant échéance février N+1 cote le 15 octobre N 125.10 cents par livre. La taille de ce contrat est de 40000 livres. - Quel est le profil de risque? 1 + 1 raisonnement par rapport à l évolution du prix du bétail vivant. - Construire une couverture avec prise de livraison et une couverture en utilisant le CME comme instrument financier. Acheter (prendre une position longue sur) 20 contrats future live cattle échéance février N+1. - Le 1 er février N+1 le prix de la livre de bétail vivant sur le spot cote 116 cents. Quel est le bilan de la couverture? Bilan de l opération sur contrats futures en février N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (1.16-1.251) 40000 20 = -72800 USD ; Achat du bétail au spot à 116 cents /livre en février N+1 : payoff = -1.16 800000 = - 928000 USD ; Bilan total pour le céréalier : Payoff total = -72800-928000 = -1 000 800 USD Payoff par livre = -1 000 800/800000 = -1.251 USD; Tout se passe comme si le négociant avait acheté à terme 800 000 livres de live cattle à février N+1 à 1.251 USD/livre dès le 15 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. B) Mêmes questions avec un prix de la livre de bétail vivant sur le spot de 136 cents le 1 er février N+1. Bilan de l opération sur contrats futures en février N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (1.36-1.251) 40000 20 = 87200 USD ; Achat du bétail au spot à 136 cents /livre en février N+1 : payoff = -1.16 800000 = -1 088 000 USD ; Bilan total pour le céréalier : Payoff total = +87200 1 088 000 = -1 000 800 USD Payoff par livre = -1 000 800/800000 = -1.251 USD; Tout se passe comme si le négociant avait acheté à terme 800 000 livres de live cattle à février N+1 à 1.251 USD/livre dès le 15 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. 4) Couvertures parfaites A) Une entreprise américaine va recevoir 2 millions de francs suisses CHF en mars de l année N+1. Le 20 octobre N le trésorier de cette entreprise note un taux de change spot de 3

0.9874USD par CHF et un cours de 0.9895USD par CHF pour le future CHF/USD échéance mars N+1 coté sur le CME. La taille de ce contrat future est de 125000 CHF. - Quel est le profil de risque de l entreprise? + 1 1 Raisonnement par rapport à l évolution du prix du CHF. - Quelle couverture peut-on construire? Vendre 16 contrats futures sur le CHF/USD échéance mars N+1 sur le CME. - A l échéance du contrat, c est-à-dire en mars N+1, le taux de change spot CHF/USD est 0.9554 USD par CHF ; quel est le bilan de cette opération? Bilan de l opération sur contrats futures en mars N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (0.9895 0.9554) 125000 16 = 68200 USD ; Vente du CHF au spot à 0.9554USD /CHF en mars N+1 : payoff = 0.9554 2000000 = 1910800 USD ; Payoff total = 1910800 + 68200 = 1979000 USD Payoff par CHF =1979000/2000000 = 0.9895 USD ; Tout se passe comme si cette entreprise avait vendu ses 2 millions CHF à recevoir en mars N+1 à terme à 0.9895USD/CHF dès le 20 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. B) Même question si le taux de change spot CHF/USD est 0.9950 USD par CHF à l échéance. Bilan de l opération sur contrats futures en mars N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (0.9895 0.9950) 125000 16 = -11000 USD ; Vente du CHF au spot à 0.9950USD /CHF en mars N+1 : payoff = 0.9950 2000000 = 1990000 USD ; Payoff total = 1990000-11000 = 1979000 USD Payoff par CHF = 1979000/2000000 = 0.9895 USD ; Tout se passe comme si cette entreprise avait vendu ses 2 millions CHF à recevoir en mars N+1 à terme à 0.9895USD/CHF dès le 20 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. 5) Couvertures parfaites A) Une entreprise américaine va devoir payer 1 million de livres sterling GBP en juin de l année N+1. Le 20 octobre N le trésorier de cette entreprise note un taux de change spot de 1.6459USD par GBP et un cours de 1.6444USD par GBP pour le future GBP/USD échéance juin N+1 coté sur le CME. La taille de ce contrat future est de 62500 GBP. - Quel est le profil de risque de l entreprise? 1 + 1 Raisonnement par rapport à l évolution du prix du GBP. - Quelle couverture peut-on construire? Acheter 16 contrats futures sur le GBP/USD échéance juin N+1 sur le CME. - A l échéance du contrat, c est-à-dire en juin N+1, le taux de change spot GBP/USD est 1.5045 USD par GBP ; quel est le bilan de cette opération? Bilan de l opération sur contrats futures en juin N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (1.5045 1.6444) 62500 16 = -139900 USD ; Achat du GBP au spot à 1.5045USD /GBP en juin N+1 : payoff = -1.5045 1000000 = - 1504500 USD ; 4

Payoff total = -1504500-139900 = -1644400 USD Payoff par GBP = -1644400/1000000 = -1.6444 USD ; Tout se passe comme si cette entreprise avait acheté ses 1 million GBP à payer en juin N+1 à terme à 1.6444USD/GBP dès le 20 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. B) Même question si le taux de change spot GBP/USD est 1.7036USD par GBP à l échéance. Bilan de l opération sur contrats futures en juin N+1 (prix du future converge vers le spot à l échéance) : Payoff = (1.7036 1.6444) 62500 16 = +59200 USD ; Achat du GBP au spot à 1.7036USD /GBP en juin N+1 : payoff = -1.7036 1000000 = - 1703600 USD ; Payoff total = -1703600 + 59200 = -1644400 USD Payoff par GBP = -1644400/1000000 = -1.6444 USD par GBP ; Tout se passe comme si cette entreprise avait acheté ses 1 million GBP à payer en juin N+1 à terme à 1.6444USD/GBP dès le 20 octobre N : c est un cas de couverture parfaite. 6) Divers A) En fin de journée un intervenant a une position longue sur 100 contrats avec un cours de compensation de 50000USD par contrat. Le deposit initial est de 2000USD par contrat. Le jour suivant la position longue a augmenté de 20 contrats négociés à 51000USD par contrat. Le cours de compensation de ce jour est de 50200USD. Que se passe-t-il au niveau du compte de marge? Solde du compte de marge au dernier jour : 100 2000 + 20 2000 + 100 (50200-50000) + 20 (50200-51000) = 244 000 USD B) Le 29 septembre de l année N, vous prenez une position longue sur un contrat futures sur le Light Sweet Crude Oil échéance Décembre N coté sur le Nymex au prix de 68.51 USD par baril. Vous fermez votre position le 19 octobre de l année N alors que le futures cote 78,96 USD par baril. - Quel est le payoff sachant que le contrat porte sur 1 000 barils? Payoff = (78.96 68.51) 1000 = 10450 USD - Quel est le payoff sachant que le contrat porte sur 1 000 barils et que les coûts de transactions sont de 0,25%? Payoff = (78.96 (1-0.25%) 68.51 (1+0.25%)) 1000 = 10081.33 USD C) Le 19 octobre de l année N un investisseur prend une position courte sur un contrat future sur l argent (silver) échéance mars N+1 au prix de 17.905USD coté sur le Comex. La taille du contrat est de 5000 onces. En février N+1 il dénoue sa position. Le deposit est de 8000USD et la marge à maintenir de 6000USD. - Quelle variation minimale de prix conduira à un appel de marge? L équation à résoudre est : (17.905 x) 5000 = -2000 soit x = 17.905 + 2/5 = 18.305 USD - Que se passe-t-il si on n y répond pas? La position de l investisseur est alors dénouée par la chambre de compensation (clearing house). 5

7) Contrats FGBL A) Le 15 décembre 2009 un investisseur prend une position courte sur 10 contrats FGBL échéance mars 2010 au prix de 121.14. La taille du contrat est de 100 000 EUR. Le gisement du contrat FGBL mars 2010 est composé du : - Bund 3.50%, 04.07.2019, facteur de concordance 0.825135 ; - Bund 3.75%, 04.01.2019, facteur de concordance 0.849118. Que représente le gisement? Le gisement représente les obligations livrables. Quelle est la somme que recevra l investisseur à l échéance du contrat s il choisit de livrer le Bund 3.75%? 1/100 (121.14 0.849118 + 55/365 3.75) 100000 10 = 1 034 272.23 EUR Le jour de l échéance en mars 2010, le Bund 3.50% cote 101.62 (pied de coupon) et le Bund 3.75% cote 103.70 (pied de coupon). Quelle est l obligation la moins chère à livrer? Bund 3.50% : 121.14 0.825135 101.62 = -1.66% Bund 3.75% : 121.14 0.849118 103.70 = -0.84% Le Bund 3.75% est l obligation la moins chère à livrer (the cheapest to deliver). B) Le 7 novembre 2012 un investisseur prend une position courte sur 20 contrats FGBL négociés sur Eurex échéance mars 2013 au prix de 144.38. La taille du contrat est de 100 000 EUR. Le gisement du contrat FGBL mars 2013 est composé du : - Bund 2%, 04.01.2022, facteur de concordance 0.732026; - Bund 1.75%, 04.07.2022, facteur de concordance 0.703119; - Bund 1.5%, 04.09.2022, facteur de concordance 0.681447 ; a) Quelle est la somme que recevra l investisseur à l échéance du contrat s il choisit de livrer le Bund 2%? Cette somme est de 1/100 (144.38 0.732026+55/365 2.00) 100000 20 = 2 119 825.67 EUR. b) Le 1 er mars 2013 on relève sur Deutsche Börse les cotations suivantes pour les obligations du gisement du contrat FGBL mars 2013 : - Bund 2%, 04.01.2022 cote 105.93 ; - Bund 1.75%, 04.07.2022 cote 103.84 ; - Bund 1.5%, 04.09.2022 cote 100.75. Quelle est l obligation la moins chère à livrer? - Bund 2.00% : 144.38 0.732026-105.93 = - 0.24%; - Bund 1.75% : 144.38 0.703119-103.84 = - 2.32%; - Bund 1.5% : 144.38 0.681447-100.75 = - 2.36%; L obligation la moins chère à livrer est le Bund 2%. 8) Contrats Eurodollar A) Le 21 octobre 2009 un investisseur souhaite pouvoir fixer le taux d intérêt à recevoir sur une somme de 5 millions USD à placer à compter de mars 2011 pour une période de trois mois. Sur le CME le contrat Eurodollar échéance mars 2011 cote 97.955. La taille du contrat est de 1 million USD. - Quel est le profil de risque de cet investisseur? + 1 1 Raisonnement par rapport à l évolution des taux à court terme. 6

- Pourrait-il utiliser le CME pour couvrir sa position? Si oui, construire une couverture adéquate. Le CME permet de couvrir cette position en fixant par avance le taux d intérêt à court terme à gagner sur une somme à prêter. Acheter 5 contrats futures Eurodollar échéance mars 2011 à 97.955 correspondant à un taux Libor 3 mois de 2.045% par an - En mars 2011 le LiborUSD-3 mois est de 1.25%. Quel est le bilan de l opération de couverture? en mars 2011, c est-à-dire à l échéance du contrat, l investisseur dénoue sa position sur le contrat Eurodollar en prenant une position courte sur 5 contrats Eurodollar dont le prix sera (100-1.25)=98.75. Le bilan de cette opération sur future sera : Payoff sur future = (98.75% - 97.955%)/4 5 1000000 = 9937.50 USD Intérêt gagné sur un prêt de 5 millions USD sur trois mois : 5000000 1.25%/12 3 = 15625 USD bilan total de l opération : 15625 + 9937.50 = 25562.50 USD soit la somme équivalente à l intérêt produit par 5 millions USD à 2.045% sur trois mois. Tout se passe comme si l investisseur avait fixé dès le 21 octobre 2009 le taux à court terme à appliquer à partir de mars 2011. B) Le 21 octobre 2009 un investisseur souhaite pouvoir fixer le taux d intérêt à payer sur une somme de 4 millions USD à emprunter à compter de septembre 2010 pour une période de trois mois. Sur le CME le 21 octobre 2009 le contrat Eurodollar échéance septembre 2010 cote 98.72. La taille du contrat est de 1 million USD. - Quel est le profil de risque de cet investisseur? 1 + 1 Raisonnement par rapport à l évolution des taux à court terme. - Pourrait-il utiliser sur le CME pour couvrir sa position? Si oui, construire une couverture adéquate. Le CME permet de couvrir cette position en fixant par avance le taux d intérêt à court terme à payer sur une somme à emprunter. Vendre 4 contrats futures Eurodollar échéance septembre 2010 à 98.72 correspondant à un taux Libor 3 mois de 1.28% par an - En septembre 2010 le LiborUSD-3 mois est de 1.75%. Quel est le bilan de l opération de couverture? en septembre 2010, c est-à-dire à l échéance du contrat, l investisseur dénoue sa position sur le contrat Eurodollar en prenant une position longue sur 4 contrats Eurodollar dont le prix sera (100-1.75)=98.25. Le bilan de cette opération sur future sera : Payoff sur future = (98.72% - 98.25%)/4 4 1000000 = 4700 USD Intérêt payé sur un emprunt de 4 millions USD sur trois mois : 4000000 1.75%/12 3 = 17500 USD bilan total de l opération : -17500 + 4700 = -12800 USD soit la somme équivalente à l intérêt payé sur 4 millions USD à 1.28% sur trois mois. Tout se passe comme si l investisseur avait fixé dès le 21 octobre 2009 le taux à court terme à payer sur un emprunt à contracter à partir de septembre 2010. C) A la date du 7 mai 2013 une entreprise italienne prévoit qu elle devra emprunter 12 millions USD pour des besoins de trésorerie sur une période de trois mois à compter de 7

septembre 2013. Le 7 mai 2013 le Libor-3 mois sur USD est de 0.275%. L entreprise craint une remontée du Libor-3 mois à l horizon de septembre 2013. Sur le CME le contrat future Eurodollar septembre 201l cote 99.710 le 7 mai 2013. a) Quelle couverture peut-on proposer à cette entreprise dès le 7 mai 2013? Prise d une position courte sur 12 contrats Eurodollar échéance septembre 2013 au prix de 99.710 = (100-0.29) soit la fixation d un taux à terme de 0.29% b) Si le 1 er septembre 2013 le Libor-3 mois sur USD atteint le niveau de 0.425%, quel bilan peut-on faire de l opération de couverture? Payoff sur opération future = 1/4 (99.710-(100-0.425))/100 1000000 12 = 4050 USD Payoff opération spot (emprunt 12000000 à 0.425% sur 3 mois) = -0.425% 3/12 12000000 = -12750 USD Payoff total = +4050 12750= -8700 USD soit l équyivalent des intérêts payés sur 12000000 USD empruntés sur 3 mois au taux de 0.29%. 9) Une entreprise américaine sait dès le 7 mai 2013 qu elle va recevoir le paiement d une créance sur un client suisse pour un montant de 500000 CHF le 6 novembre 2013. Le 7 mai 2013 le trésorier de cette entreprise note un taux de change spot de 1.0639 USD par CHF et un cours de 1.0664 pour le future CHF/USD échéance décembre 2013 coté sur le CME. La taille de ce contrat future est de 125000 CHF. Le future CHF/USD échéance décembre 2013 est le contrat dont l échéance est la plus proche postérieure au 6 novembre 2013. a) Quelle couverture peut-on proposer à cette entreprise? + 1 Cette entreprise est exposée au risque de change. Son profil de risque est 1 en raisonnant par rapport à l évolution du prix du support qui est ici le CHF. Il est possible de prendre une position courte sur 500000/125000 = 4 contrats future CHF/USD (équivalent à vendre à terme les CHF) échéance décembre 2013 mais la couverture ne sera pas parfaite car les échéances de la couverture (6 novembre 2013) et du contrat future (décembre 2013) sont différentes. On reste exposé au risque de base c est-à-dire à la différence entre le prix du spot et le prix du future en novembre 2013. b) Le 6 novembre 2013, le taux de change spot est 1.0521 USD par CHF et le contrat future CHF/USD décembre 2013 cote 1.0584. Quel bilan peut-on faire de l opération de couverture? Bilan de l opération sur contrats futures le 6 novembre 2013 : Payoff = (1.0664 1.0584) 125000 4 = 4000 USD ; vente de CHF au spot à 1.0521USD/CHF le 6 novembre 2013 : payoff = +1.0521 500000 = 526050 USD ; Payoff = +4000 + 526050 = +530050 USD soit 530050/500000 = 1.0601 USD par CHF soit 1.0664 + base, base = (1.0521 1.0584) = -0.0063 USD par CHF ; Tout se passe comme si cette entreprise avait vendu ses 500000 CHF à recevoir le 6 novembre 2013 à terme à 1.0601 USD/CHF dès le 7 mai 2013 : c est un cas de couverture qui n est pas parfaite. 10) Une entreprise américaine va recevoir 250 000 GBP le 1 er février 2010. Le 22 octobre 2009 le trésorier de cette entreprise note un taux de change spot de 1.6559 USD par GBP et 8

un cours de 1.6553 USD par GBP pour le future GBP/USD échéance mars 2010 coté sur le CME. La taille de ce contrat future est de 62500 GBP. Le future GBP/USD échéance mars 2010 est le contrat dont l échéance est la plus proche postérieure au 1 er février 2010. - Quel est le profil de risque de l entreprise? + 1 1 Raisonnement par rapport à l évolution du prix de la livre GBP. - Quelle couverture peut-on construire? La couverture sera-t-elle parfaite? Pourquoi? Il est possible de prendre une position courte sur 4 contrats future GBP/USD échéance mars 2010 mais la couverture ne sera pas parfaite car les échéances de la couverture et du contrat sont différentes. On reste exposé au risque de base c est-à-dire à la différence entre le prix du future et le prix du spot en février 2010. - Le 1 er février 2010, le taux de change spot GBP/USD est 1.5455$ par GBP et le contrat future GBP/USD mars 2010 cote 1.5374 ; quel est le bilan de cette opération? Bilan de l opération sur contrats futures en février 2010 : Payoff = (1.6553 1.5374) 62500 4 = +29475 USD ; Vente du GBP au spot à 1.5455USD /GBP en février 2010 : Payoff = +1.5455 250000 = +386375 USD ; Payoff total = +386375 + 29475 = +415850 USD soit un prix reçu de 415850/250000 = 1.6634 USD par GBP soit 1.6553 + base, base = (1.5455 1.5374) = 0.0081 USD par GBP ; Tout se passe comme si cette entreprise avait vendu ses 250000 GBP à recevoir en février 2010 à terme à 1.6634 USD/GBP dès le 22 octobre 2009 : c est un cas de couverture qui n est pas parfaite. - Même question si le taux de change spot GBP/USD est 1.7024 et le contrat future GBP/USD mars 2010 cote 1.6955, le 1 er février 2010. Bilan de l opération sur contrats futures en février 2010 : Payoff = (1.6553 1.6955) 62500 4 = -10050 USD ; Vente du GBP au spot à 1.7024USD /GBP en février 2010 : Payoff = +1.7024 250000 = +425600 USD ; Payoff total = +425600-10050 = + 415550 USD soit un prix reçu de 415550/250000 = 1.6622 USD par GBP soit 1.6553 + base, base = (1.7024 1.6955) = 0.0069 USD par GBP ; Tout se passe comme si cette entreprise avait vendu ses 250000 GBP à recevoir en février 2010 à terme à 1.6622 USD/GBP dès le 22 octobre 2009 : c est un cas de couverture qui n est pas parfaite. 11) Une entreprise américaine va devoir payer 1.5 million EUR le 15 mai 2010. Le 21 octobre 2009 le trésorier de cette entreprise note un taux de change spot de 1.4979 USD par EUR et un cours de 1.4945 USD par EUR pour le future EUR/USD échéance juin 2010 coté sur le CME. Le future EUR/USD échéance juin 2010 est le contrat dont l échéance est la plus proche postérieure à mai 2010. La taille de ce contrat future est de 125000 EUR. - quel est le profil de risque de l entreprise? 1 + 1 Raisonnement par rapport à l évolution du prix de l euro EUR. - quelle couverture peut-on construire? La couverture sera-t-elle parfaite? Pourquoi? Il est possible de prendre une position longue sur 12 contrats future EUR/USD échéance juin 2010 mais la couverture ne sera pas parfaite car les échéances de la couverture et du contrat 9

sont différentes. On reste exposé au risque de base c est-à-dire à la différence entre le prix du future et le prix du spot en mai 2010. - le 15 mai 2010, le taux de change spot EUR/USD est 1.3545 USD par EUR et le contrat future EUR/USD juin 2010 cote 1.3654 ; quel est le bilan de cette opération? Bilan de l opération sur contrats futures en mai 2010 : payoff = (1.3654 1.4945) 125000 12 = -193650 USD ; Achat de EUR au spot à 1.3545USD/EUR en mai 2010 : payoff = -1.3545 1500000 = -2031750 USD ; Payoff total = -2031750 + (-193650) = -2225400 USD soit un prix payé de 2225400/1500000 = 1.4836 USD par EUR soit 1.4945 + base, base = (1.3545 1.3654) = -0.0109 USD par EUR ; Tout se passe comme si cette entreprise avait acheté ses 1500000 EUR à payer en mai 2010 à terme à 1.4836$/EUR dès le 21 octobre 2009 : c est un cas de couverture qui n est pas parfaite. - même question si le taux de change spot EUR/USD est 1.6036 et le contrat future EUR/USD juin 2010 cote 1.6025, le 15 mai 2010. Bilan de l opération sur contrats futures en mai 2010 : payoff = (1.6025 1.4945) 125000 12 = +162000 USD ; Achat de EUR au spot à 1.6036USD/EUR en mai 2010 : payoff = -1.6036 1500000 = -2405400 USD ; Payoff total = -2405400 + 162000 = -2243400 USD soit un prix payé de 2243400/1500000 = 1.4956 USD par EUR soit 1.4945 + base, base = (1.6036 1.6025) = 0.0011 USD par EUR ; Tout se passe comme si cette entreprise avait acheté ses 1500000 EUR à payer en mai 2010 à terme à 1.4956USD/EUR dès le 21 octobre 2009 : c est un cas de couverture qui n est pas parfaite. 12) Questions diverses A) «Si le ratio de couverture de variance minimum est égal à 1, la couverture doit être parfaite». Cette affirmation est-elle correcte? Cette affirmation n est pas correcte. Le ratio de couverture de variance minimum peut être égal à 1 alors même que le coefficient de corrélation entre les variations de prix du future et celles du support est inférieure à 1. Si la corrélation entre les variations de prix du future et celles du support n est pas parfaite, la couverture est imparfaite (risque de base). B) Un manager de compagnie aérienne affirme «Il n y a aucun intérêt pour nous à utiliser les futures sur le pétrole. Il y a autant de chances que le prix spot du pétrole soit au dessus du prix futures que de chances qu il soit en dessous». Que penser de ce point de vue? Ce manager n a pas saisi le principe de la couverture qui permet de réduire ou d éliminer l exposition à un risque. Dans ce cas il s agit du risque lié à l évolution du prix du kérosène (qui est corrélé au prix du baril de pétrole) et qui pèse sur les coûts d approvisionnements. 13) Supposons que l écart-type des variations trimestrielles du prix d une marchandise soit de 0,65 et que l écart-type des variations du prix du contrat futures sur cette marchandise soit de 0,81, alors que la corrélation de ces variations est 0,8. Quel est le ratio de couverture optimal pour un contrat à trois mois? 10

Comme le ratio de courverture optimal est donné par 0.8 0.65/0.81=64.20%. σ S ρ σ F on a ici un ratio de 14) Le 1 er juillet, un investisseur détient 50 000 actions d une entreprise du CAC 40. A cette date l action cote 30. Il décide de couvrir pour un mois les variations de prix dues aux mouvements du marché par l intermédiaire du contrat futures sur le CAC 40 d échéance septembre. L indice est à 4 500 et un point de l indice est valorisé à 10. Le bêta de l action est de 1,3. Quelle est la stratégie à suivre? Il s agit de prendre une position courte sur un nombre de contrats égal à 1.3 (50000 30)/(4500 10) = 43.33. On prendra une position courte sur 44 contrats sur le CAC40 échéance septembre. 15) L écart-type des variations de prix mensuelles du bétail vivant (en cents par livre) est de 1,2. L écart-type des variations mensuelles du prix futures du contrat à échéance la plus courte (en cents par livre) est 1,4. La corrélation entre les variations de ces deux prix est de 0,7. Nous sommes le 15 octobre et un producteur de viande doit acheter 200 000 livres de bétail vivant le 15 novembre. Il souhaite couvrir sa position avec les contrats futures échéance décembre, chaque contrat portant sur 40 000 livres de bétail. Quelle stratégie doit-il suivre? le ratio de couverture optimal est 0.7 1.2/1.4 = 0.6 ; le producteur de viande prendra une position longue sur 0.6 200000/40000 = 3 contrats sur le bétail échéance décembre ; il dénouera sa position le 15 novembre en prenant une position courte sur 3 contrats sur le bétail échéance décembre ; ce n est pas une couverture parfaite (risque de base). 16) Une entreprise possède un portefeuille de 20 millions d euros qui a un bêta de 1,2. Elle souhaite couvrir cette position avec des contrats futures sur le CAC 40. L indice vaut à cette date 3240 et chaque contrat correspond à 10 fois la valeur de l indice. Quel type de couverture minimise le risque? Cette entreprise pourrait prendre une position courte sur 1.2 20000000/32400 = 740.74 soit 741 contrats sur le CAC40. Que devrait faire cette entreprise si elle souhaite diviser par deux le bêta du portefeuille? elle souhaite réduire le beta de 1.2 à 0.6 elle peut le faire en prenant une position courte sur 0.6 20000000/32400 = 370.37 soit 371 contrats CAC40. 17) Un gérant de fonds a un portefeuille de 50 millions EUR avec un beta de 0.87. Il est inquiet quant à la performance du marché dans les deux mois à venir et pense utiliser, pour se couvrir, un contrat sur le CAC 40 à 3 mois. L indice est actuellement à 3750 et un contrat porte sur 10 fois l indice. Le taux sans risque est de 6% par an et le rendement en dividende de l indice est de 3%. - Quel est le prix théorique du contrat future de maturité 3 mois? Fthéorique = 3750 (1 + 6% 3/12 3% 3/12) = 3778.125 - Quelle couverture construire? On prendra une position courte sur 0.87 50000000/37500 = 1160 contrats CAC40 échéance 3 mois. - Calculer l impact de la stratégie de couverture sur la valeur de la position si l indice après deux mois vaut 3000, 3300, 3600, 3900 ou 4200. Cas indice CAC passe de 3750 à 3000 en deux mois : 11

si l indice après deux mois est à 3000 : hypothèse de baisse de 20% si l indice après deux mois est à 3000 (S = 3000) quel est le prix théorique du contrat future à ce moment (sachant qu il reste un mois de vie au contrat future) : Fthéorique = 3000 (1 + 6% 1/12 3% 1/12) = 3007.50 ; payoff sur l opération sur futures CAC40 = (3778.125-3007.50) 10 1160 = 8939250 EUR si l indice perd 20% sur 2 mois et que le rendement en dividende de l indice est de 3%/an soit 0.5% sur deux mois la rentabilité de l indice est de -20% + 0.5% = -19.5% ; selon le CAPM avec un taux sans risque de 6%/an soit 1% sur 2 mois on a alors une estimation de la rentabilité du portefeuille sur 2 mois à 1% + 0.87 (-19.5% - 1%) = -16.835% compte tenu de ce résultat on estime la valeur totale du portefeuille dans 2 mois à 50000000 (1-16.835%) + 8939250 = 50521750 EUR. Cas indice CAC passe de 3750 à 3300 en deux mois : si l indice après deux mois est à 3300 : hypothèse de baisse de 12% si l indice après deux mois est à 3300 (S = 3300) quel est le prix théorique du contrat future à ce moment (sachant qu il reste un mois de vie au contrat future) : Fthéorique = 3300 (1 + 6% 1/12 3% 1/12) = 3308.25 ; payoff sur l opération sur futures CAC40 = (3778.125-3308.25) 10 1160 = 5 450 550 EUR si l indice perd 12% sur 2 mois et que le rendement en dividende de l indice est de 3%/an soit 0.5% sur deux mois la rentabilité de l indice est de -12% + 0.5% = -11.5% ; selon le CAPM avec un taux sans risque de 6%/an soit 1% sur 2 mois on a alors une estimation de la rentabilité du portefeuille sur 2 mois à 1% + 0.87 (-11.5% - 1%) = -9.875% compte tenu de ce résultat on estime la valeur totale du portefeuille dans 2 mois à 50000000 (1-9.875%) + 5 450 550 = 50 513 050 EUR. Cas indice CAC passe de 3750 à 3600 en deux mois : si l indice après deux mois est à 3600 : hypothèse de baisse de 4% si l indice après deux mois est à 3600 (S = 3600) quel est le prix théorique du contrat future à ce moment (sachant qu il reste un mois de vie au contrat future) : Fthéorique = 3600 (1 + 6% 1/12 3% 1/12) = 3609 ; payoff sur l opération sur futures CAC40 = (3778.125-3609) 10 1160 = 1 961 850 EUR si l indice perd 4% sur 2 mois et que le rendement en dividende de l indice est de 3%/an soit 0.5% sur deux mois la rentabilité de l indice est de -4% + 0.5% = -3.5% ; selon le CAPM avec un taux sans risque de 6%/an soit 1% sur 2 mois on a alors une estimation de la rentabilité du portefeuille sur 2 mois à 1% + 0.87 (-3.5% - 1%) = -2.915% compte tenu de ce résultat on estime la valeur totale du portefeuille dans 2 mois à 50000000 (1-2.915%) + 1 961 850 = 50 504 350 EUR. Cas indice CAC passe de 3750 à 3900 en deux mois : si l indice après deux mois est à 3900 : hypothèse de hausse de 4% si l indice après deux mois est à 3900 (S = 3900) quel est le prix théorique du contrat future à ce moment (sachant qu il reste un mois de vie au contrat future) : Fthéorique = 3900 (1 + 6% 1/12 3% 1/12) = 3909.75 ; payoff sur l opération sur futures CAC40 = (3778.125-3909.75) 10 1160 = -1 526 850 EUR si l indice gagne 4% sur 2 mois et que le rendement en dividende de l indice est de 3%/an soit 0.5% sur deux mois la rentabilité de l indice est de 4% + 0.5% = +4.5% ; selon le CAPM avec un taux sans risque de 6%/an soit 1% sur 2 mois on a alors une estimation de la rentabilité du portefeuille sur 2 mois à 1% + 0.87 (+4.5% - 1%) = +4.045% 12

compte tenu de ce résultat on estime la valeur totale du portefeuille dans 2 mois à 50000000 (1+4.045%) -1 526 850 = 50 495 650 EUR. Cas indice CAC passe de 3750 à 4200 en deux mois : si l indice après deux mois est à 3900 : hypothèse de hausse de 12% si l indice après deux mois est à 4200 (S = 4200) quel est le prix théorique du contrat future à ce moment (sachant qu il reste un mois de vie au contrat future) : Fthéorique = 4200 (1 + 6% 1/12 3% 1/12) = 4210.50 ; payoff sur l opération sur futures CAC40 = (3778.125-4210.50) 10 1160 = -5 015 550 EUR si l indice gagne 12% sur 2 mois et que le rendement en dividende de l indice est de 3%/an soit 0.5% sur deux mois la rentabilité de l indice est de 12% + 0.5% = +12.5% ; selon le CAPM avec un taux sans risque de 6%/an soit 1% sur 2 mois on a alors une estimation de la rentabilité du portefeuille sur 2 mois à 1% + 0.87 (+12.5% - 1%) = +11.005% compte tenu de ce résultat on estime la valeur totale du portefeuille dans 2 mois à 50000000 (1+11.005%) -5 015 550 = 50 486 950 EUR. 18) Arbitrages sur les contrats sur l or et sur indice A) Le 22 octobre l or cote 1057 $ l once sur le spot. Sur le CME le contrat future sur l or février 2010 cote 1060.8. Le LiborUSD-4 mois est 0.363% l an. Les coûts de stockage et d assurance sont de 63.03cents/once/mois. - Existe-t-il une opportunité d arbitrage? Le prix théorique du contrat sur l or est 1057 (1 + 0.363% 4/12) + 0.6303 4 = 1060.80. Il n y a donc pas d opportunité d arbitrage. B) Le taux sans risque est de 10% et le rendement en dividende d un indice est de 4%. L indice vaut 400 et le prix du future sur indice à 4 mois est de 410. - Existe-t-il une opportunité d arbitrage? Le prix théorique du contrat est Fthéorique = 400 (1 + 10% 4/12 4% 4/12) = 408. F > Fthéorique : il y a donc une opportunité d arbitrage. Celle-ci consiste à emprunter pour «acheter» l indice (un panier de titres équivalent) et à prendre une position courte sur le contrat future sur indice à échéance de 4 mois. - Même question si le prix du future sur indice à 4 mois est de 405. F < Fthéorique : il y a donc une opportunité d arbitrage. Celle-ci est plus délicate que dans le cas précédent. Elle consiste à vendre à découvert l indice (un panier de titres équivalent) et à prendre une position longue sur le contrat future sur indice à échéance de 4 mois. 19) Le taux d intérêt à deux mois sur le franc suisse CHF est de 3% et de 8% sur l euro. Le taux de change spot du franc suisse est de 1,5385 CHF par EUR. Le prix d un contrat futures EUR/CHF à deux mois est 1,5152. - Existe-t-il une opportunité d arbitrage? Le prix théorique du contrat future sur le EUR/CHF (ou taux de change à terme théorique) ( 1+ rchf ) est donné par F = S avec S le prix spot d un EUR en CHF. On a alors dans ce cas : 1+ r ( ) EUR Fthéorique = 1.5385 (1 + 3% 2/12)/(1 + 8% 2/12) = 1.5258 CHF par EUR F < Fthéorique : il y a donc une opportunité d arbitrage. - Mettre en place cet arbitrage. ( 1+ rchf ) Comme F < Fthéorique cela signifie que ( 1+ reur ) < S. L arbitrage consiste alors à : F emprunter un EUR sur 2 mois, acheter sur le spot [S] CHF, et placer cette somme de [S] CHF sur 2 mois 13

vendre à terme la somme de [S (1+r CHF )] CHF (ou prendre, si possible, une position longue sur le contrat future devise EUR/CHF échéance 2 mois, équivalent à acheter à terme l EUR ou vendre à terme le CHF) S ( 1+ rchf ) profit réalisé = (1 + reur ) > 0 pour chaque EUR emprunté F 20) Au 22 octobre 2009 le LiborUSD-5 mois est de 0.48% par an et l Euribor-5 mois est de 0.913% par an. Au 22 octobre le taux de change spot de l EUR/USD est de 1.4979. - Quel est le prix théorique du contrat future EUR/USD mars 2010? Le prix théorique du contrat future sur le EUR/USD (ou taux de change à terme théorique) ( 1+ rusd ) est donné par F = S avec S le prix spot d un EUR en USD. On a alors dans ce cas : 1+ r ( ) EUR Fthéorique = 1.4979 (1 + 0.48% 5/12)/(1 + 0.913% 5/12) = 1.4952 USD par EUR - Sur le CME le contrat future EUR/USD mars 2010 cote 1.4988 le 22 octobre 2009. Existe-til une opportunité d arbitrage? F > Fthéorique : il y a donc une opportunité d arbitrage. F ( 1+ reur ) Comme F > Fthéorique cela signifie que > ( 1+ rusd ). L arbitrage consiste alors à : S emprunter un USD sur 5 mois, acheter sur le spot [1/S] EUR, et placer cette somme de [1/S] EUR sur 5 mois vendre à terme la somme de ( 1 + r ) EUR F ( 1+ reur ) EUR pour recevoir à terme USD (ou si S S possible prendre une position courte sur le contrat future devise EUR/USD échéance 5 mois) F ( 1+ reur ) profit réalisé = (1 + rusd ) > 0 pour chaque USD emprunté. S + sélection d exercices des chapitres 3, 5 et 6 du livre Hull (2007), Options, futures et autres actifs dérivés, Pearson. 14