MECA3 Mécaniqe des Flides et Transferts I: partie sr les écolements trblents Grégoire Winckelmans et Vincent Legat September 30, 009
Table des matières Ecolements trblents 5. Transition vers la trblence.......................... 5. Caractéristiqes générales de la trblence.................. 6.3 Approche statistiqe de Reynolds....................... 7.4 Eqations moyennées de Reynolds....................... 8.5 Modèles de fermetre de type viscosité effective de trblence.......6 Ecolements trblents en condite o en canal............... 3.6. Généralités por les écolements trblents établis en condite o en canal................................. 3.6. Modélisation de la viscosité effective de trblence por la zone proche de la paroi............................ 6.6.3 Profil niversel de vitesse por la zone proche de la paroi: condite o canal avec paroi hydraliqement lisse............... 7.6.4 Profil niversel de vitesse por tote la zone trblente....... 7.6.5 Profil de vitesse simplifié en exposant por tote la zone trblente 30.6.6 Formle générale de Prandtl por les pertes de charge en condite hydraliqement lisse.......................... 33.6.7 Condites hydraliqement lisses et condites hydraliqement rgeses 35.6.8 Formle générale des pertes de charge en condite hydraliqement rgese................................. 39.6.9 Formle générale des pertes de charge en condite.......... 40.7 Coches limites trblentes.......................... 45.7. Profils niversel de vitesse....................... 45.7. Profil de vitesse simplifié en exposant por tote la zone trblente 5.7.3 Formles générales d coefficient de frottement por la coche limite hydraliqement lisse.......................... 53.7.4 Formle générale d coefficient de frottement por la coche limite hydraliqement rgese....................... 55.8 Profils de températre et transfert de chaler................ 59.8. Coche limite avec Pr =....................... 59.8. Coche limite hydraliqement lisse et avec dissipation négligeable: cas Pr général.............................. 6.8.3 Coche limite hydraliqement rgese et avec dissipation négligeable: cas Pr général.............................. 65.8.4 Condite hydraliqement lisse et avec dissipation négligeable: cas Pr général................................ 65 3
4.8.5 Condite hydraliqement rgese et avec dissipation négligeable: cas Pr général.............................. 67
Chapitre Ecolements trblents. Transition vers la trblence La plpart des écolements laminaires deviennent instables à partir d ne certaine valer d paramètre adimensionnel qi les caractérise. Par exemple, la coche limite laminaire avec vitesse externe, e, constante devient instable à certaines pertbations de faible amplitde à partir d n certaine valer (dite critiqe ) d nombre de Reynolds local, Re δ = e δ /ν = 400. On se rappelle assi la relation entre Re δ et le nombre de Reynolds global, Re x : Re δ = e δ ν =.7 e x ν / e x ν =.7 Re x Re x = 0.338 (Re δ ). (.) La distance x le long de la plaqe à partir de laqelle la coche limite devient instable correspond donc à Re x 54, 000. L instabilité apparaît comme ne onde qi se propage en x et qi grandit exponentiellement en x: ce sont les ondes de Tollmien-Schlichting (o ondes T-S) car ce sont Tollmien (93) et Schlichting (933) qi les ont étdiées en premier. Si on considère pltôt n écolement de Poiseille plan (écolement laminaire et établi entre dex plaqes séparées par ne distance d), on obtient, par analyse linéaire de stabilité, q il devient instable à partir de Re d = d/ν 7, 690. A nombre de Reynolds critiqe, le nombre d onde, k = π/λ, d mode T-S instable est k d =.04; la longer d onde correspondante est donc grande en comparaison avec la distance entre les plaqes: λ = 3.08 d. On pet assi considérer l instabilité fondamentale des écolements cisaillés à grand nombre de Reynolds, appellée l instabilité de Kelvin-Helmholtz (K-H). C est l instabilité d ne coche séparant dex écolements à vitesse relative différente, avec sat de vitesse U. On pet également appliqer l analyse linéaire de stabilité. Par exemple, si on prend n modèle de profil de vitesse de la forme tanh(y/δ), on obtient, dans le cas nonvisqex, qe tos les modes dans la plage 0 kδ sont instables. Le mode le pls instable (i.e., celi avec tax de croissance maximm) correspond à kδ 0.44; sa longer d onde est donc grande comparée à l épaisser caractéristiqe de la coche de cisaillement: λ = 4.3 δ. Si on inclt la contribtion de la viscosité dans l analyse de stabilité, on obtient alors qe la contribtion visqese est stabilisante : la plage des modes instables se rédit à mesre qe le nombre de Reynolds, U δ/ν, dimine. La 5
6 valer kδ d mode le pls instable varie assi en fonction d nombre de Reynolds, et son tax de croissance dimine. En dessos d n certain nombre de Reynolds, tos les modes sont stables. La stabilité linéaire des écolements permet de déterminer le débt de l instabilité d n écolement: elle ne permet pas de déterminer le développement sbséqent de l écolement vers n écolement trblent. Après l amplification, initiallement exponentielle, des petites pertrbations, l écolement passe par ne séqence fort complexe de changements. Le résltat final est n écolement instationnaire, désordonné et persistant appelé trblence. La transition vers la trblence est n sjet fort complexe qi dépasse largement ce cors et qi fait encore l objet de recherches intensives.. Caractéristiqes générales de la trblence La trblence pet être caractérisée par les points sivants: Flctations temporelles et spatiales de grande amplitde de totes les granders physiqes (composantes de vitesse, pression, etc.). Strctres torbillonnaires de tailles caractéristiqes fort différentes, imbriqés les ns dans les atres, et interagissant entre ex. La taille des torbillons constite n spectre contin: cela va de grands torbillons, d ne taille comparable à la grander caractéristiqe globale de l écolement (e.g. l épaisser de la coche limite), à des petits torbillons, de taille correspondant à la longer de Kolmogorov, η = (ν 3 /ǫ) /4 (où ǫ est le tax de dissipation de l énergie cinétiqe de la trblence), et qi dissipent l énergie mécaniqe en chaler, par effets visqex. Il n existe donc pas de torbillons beacop pls petits qe η. Par exemple, en simlation nmériqe directe d écolements trblents (i.e., des simlations où on captre correctement totes les échelles, de la pls grande à la pls petite), on doit typiqement tiliser n maillage nmériqe de taille h η (on pet tiliser h η dans le cas des méthodes de très grande précision, telles les méthodes spectrales ). Chaqe grander physiqe a n spectre d énergie (i.e., spectre d carré de la flctation) qi est contin et qi tend vers zéro ax grands nombres d ondes (i.e., ax pls petites échelles spatiales). Persistance de la trblence. Une fois amorcé, n écolement trblent à tendance à se maintenir: il contine à prodire des torbillons por remplacer cex dissipés. C est particlièrement vrai por les écolements trblents avec paroi et por les coches de cisaillement. Cette persistance n est en rien reliée ax mécanismes d instabilité des ondes T-S en écolement laminaire. Mélange: le mélange en écolement trblent est beacop pls efficace qe le mélange en écolement laminaire (i.e., par diffsion moléclaire). Les torbillons trblents 3-D sont d excellents promoters de mélange: ils casent donc des transferts rapides et efficaces de masse, de qantité de movement et d énergie entres les différentes zones de l écolement trblent. En conséqence, les transferts de chaler et de masse sont assi grandement agmentés par la trblence, ce qi,
bien sûr, a des implications et tilisations majeres en ingénierie. Finalement, le flide d ne zone laminaire de l écolement est assi entraîné efficacement par la zone trblente (e.g., entraînement d flide en dehors de la coche limite trblente par celle-ci; entraînement d flide en dehors de la coche de cisaillement trblente par celle-ci). 7.3 Approche statistiqe de Reynolds Por la site, nos considérons l approche statistiqe de Reynolds por la compréhension et modélisation des effets moyens de la trblence. Considérons ne grander physiqe φ(x, y, z, t) en écolement trblent complètement développé (e.g., ne composante de vitesse, la pression, etc). Plaçons nos en n point fixe de l espace: (x, y, z) fixé. Mesrons la grander, φ, en ce point. Le signal de mesre sera alors ne fonction d temps, φ(t), avec des flctations rapides et de large amplitde, des à la trblence, voir Fig... Figre.: Mesres, a fil chad, d ne composante de vitesse en n point d n écolement trblent (figre tirée de F. M. White, Viscos Flid Flow, second ed., MacGraw-Hill). On sppose qe la méthode de mesre est de qalité. On pet, bien sûr, faire la moyenne temporelle d signal sr n temps, T, beacop pls long qe le temps caractéristiqe, T f, des flctations trblentes significatives. Comme les flctations trblentes n ont pas n sel temps caractéristiqe mais pltôt n spectre contin, on prendra, por T f, le temps caractéristiqe correspondant ax flctations trblentes les pls lentes. On tilisera alors, por définir la moyenne: φ def = T t0 +T/ t 0 T/ φ(t) dt T T f. (.) Por des écolements statistiqement stationnaires, cette procédre fornira la même valer de φ qel qe soit le temps t 0 tilisé: c est por cela qe nos avons écrit φ et non φ(t 0 ). Bien sûr, strictement parlant, il fadrait n temps T infini por définir exactement la moyenne, i.e.: φ def t0 +T/ = lim φ(t) dt. (.3) T T t 0 T/ Dans la pratiqe, il est clair qe T T f sffit amplement (par exemple T de l ordre de 00 fois T f ).
8 On définit assi la flctation, φ, de tote grander physiqe comme la différence entre sa valer instantanée et sa valer moyenne: Finalement, on définit la variance par: φ def = φ φ φ def = φ + φ. (.4) φ def = T et l écart-type moyen par sa racine: t0 +T/ t 0 T/ On définit assi la covariance de dex fonctions φ et ψ: φ ψ def = T t0 +T/ t 0 T/ Les règles sivantes décolent alors des définitions: (φ (t)) dt T T f, (.5) φ def rms = φ. (.6) φ (t) ψ (t) dt T T f, (.7) φ = 0, φ = φ, φψ = φψ, φ ψ = 0, φ + ψ = φ + ψ, φ ψ = φψ + φ ψ. (.8) L avantage de la définition Eq. (.) est q elle permet assi de considérer des écolements trblents dont la moyenne temporelle dépend lentement d temp: des écolements qi ne sont pas statistiqement stationnaires. Pls spécifiqement, soit n écolement trblent avec des flctations trblentes de temps caractéristiqe T f et des variations beacop pls lentes, de temps caractéristiqe T v. On sppose assi qe ces échelles de temps sont très différentes: T f T v. Si on tilise alors, comme temps de moyenne, T f T T v, on porra définir, comme valer moyenne, φ(t) def = T t+t/ t T/ φ(τ) dτ T v T T f, (.9) moyenne qi varie lentement dans le temps, avec n temps caractéristiqe T v. Ce concept sera tilisé dans la site, lorsqe nos présenterons les éqations tilisées en trblence..4 Eqations moyennées de Reynolds Un écolement trblent d n flide visqex newtonien satisfait, bien sûr, les éqations de Navier-Stokes. Por la site, on considère niqement (assi por simplifier) le cas
des écolements incompressibles. Les éqations de conservation sont alors, en notation indicielle: ρ Dv i Dt ρ DU Dt = ρ c DT Dt avec, por le tenser des contraintes visqeses: et donc, por la fonction de dissipation, Por le flx de chaler, on a: v j x j = 0, (.0) = p x i + ρ g i + τ ij x j, (.) = Φ q j x j, (.) τ ij = µ d ij, (.3) Φ def = τ ij d ij = µ d ij d ij. (.4) q j = k T x j. (.5) Considérons, de pls, qe le flide a des propriétés physiqes constantes (o qe les variations de températre sont telles q on pet négliger la variation des propriétés d flide). Por tote grander physiqe φ, on pet assi écrire, d fait de l incompressibilité, Dφ Dt def = φ t + v j φ = φ x j t + (φ v j ). (.6) x j Appliqons alors l opérater de moyenne temporelle ax éqations de conservation. Clairement, les opératers de moyenne et de dérivation spatiale commtent: φ = φ. (.7) x i x i Por des écolements avec moyenne variant lentement dans le temps, on sppose qe les opératers de moyenne et de dérivation temporelle commtent assi: φ t = φ t. (.8) On obtient alors les éqations de conservation por la moyenne des granders physiqes: v j = 0, (.9) x j [ vi ρ t + ( ) ] vi v j + v i v j = p + ρ g i + τ ij, (.0) x j x i x j [ T ρ c t + ( ) ] T vj + T x v j = Φ q j, (.) j x j 9
0 avec τ ij = µ d ij, (.) Φ = τ ij d ij = µ d ij d ij = µ ( d ij d ij + d ijd ij), (.3) q j = k T x j. (.4) L écolement moyen est donc, li assi, incompressible. Si on définit la dérivée matérielle moyenne (i.e., celle en se déplacant à la vitesse moyenne) par: Dφ Dt def = φ t + v j φ = φ x j t + ( ) φvj, (.5) x j on obtient qe l éqation de qantité de movement se rédit à: ρ Dv i Dt = p + ρ g i + ( ) τ ij + σ t ij, (.6) x i x j avec n tenser de contraintes effectives additionnelles des à la trblence: σ t ij def = ρ v i v j. (.7) C est le tenser de Reynolds. L éqation de qantité de movement por l écolement moyen est donc ne éqation classiqe, mais avec n terme additionnel de contraintes des à la trblence. La trace d tenser de Reynolds est liée à l énergie cinétiqe des flctations de trblence, k, (o, de manière éqivalente, à la vitesse caractéristiqe des flctations de trblence, q): On a donc tojors: k def = q def = v k v k = σt kk ρ σ t ij 3 σt kk δ ij = σ t ij + 3 ρ k δ ij Por l éqation de l énergie, on obtient: = σ t kk = ρ k. (.8) def = τ t ij (.9) ρ c DT Dt = Φ ( ) qj + q t j, (.30) x j avec n flx de chaler effectif additionnel dû à la trblence: q t j def = ρ c T v j. (.3) L éqation de températre por l écolement moyen est donc assi ne éqation classiqe, mais avec n terme additionnel de flx de chaler dû à la trblence, et avec la complexité additionnelle qe la dissipation effective est en fait la somme de dex termes: Φ = µ d ij d ij = µ ( d ij d ij + d ijd ij). (.3) Les contraintes additionnelles et le flx de chaler additionnel, ainsi qe la dissipation, dûs à la trblence sont des termes q il fat modéliser. C est là le grand problème de la fermetre des éqations en trblence. Les modèles les pls simples consistent en ne fermetre de type viscosité effective de trblence : ce sont cex là qe nos allons considérer.
.5 Modèles de fermetre de type viscosité effective de trblence Ces modèles tilisent, par analogie avec le modèle d flide visqex newtonien, ne fermetre faisant appel à ne viscosité effective de trblence, µ t (o, ce qi revient a même ν t = µ t /ρ). La partie déviatoire d tenser des contraintes de Reynolds est alors modélisé comme simplement proportionnel a tenser des tax de déformation de l écolement moyen, le coefficient de proportionnalité étant la viscosité effective de à la trblence: mod = µ t d ij. (.33) τ t ij Il s agit donc d n modèle isotrope simple, d même type qe le modèle moléclaire classiqe: τ ij = µ d ij. (.34) La contrainte effective totale est alors écrite comme: σ ij + σ t ij = ( p + 3 ρ k ) δ ij + (µ + µ t ) d ij, (.35) le terme ρ k constitant n terme de pression effective additionnelle à p. 3 On modélise assi la dissipation visqese de à la trblence en tilisant µ t : µd ijd ij = µ t d ij d ij. (.36) Le flx de chaler effectif dû à la trblence, q t j, est assi modélisé simplement, en le prenant proportionnel a gradient de températre de l écolement moyen, le coefficient de proportionnalité étant la condctibilité thermiqe effective de à la trblence, k t : q t j mod = k t T x j. (.37) La condctibilité thermiqe effective, k t, est elle-même liée à la viscosité dynamiqe effective, µ t par n nombre de Prandtl trblent effectif: def Pr t = µ t c. (.38) k t Les modèles qe nos allons considérer dans la site s attachent à modéliser le champ µ t (variation dans l espace et, éventellement, dans le temps) et spposent qe Pr t est ne constante (de l ordre de l nité: on trove, dans la littératre, des valers de Pr t de 0.6 à.0). Il en décole qe le champ de k t est totalement déterminé par le champ de µ t : k t mod = c µ t Pr t = ρ c ν t Pr t = k t mod = ν t. (.39) ρ c Pr t Avec ces modèles de fermetre simple, les éqations moyennées deviennent: v j = 0, (.40) x j Dv i = (P + ) Dt x i 3 k + g i + ( ) (ν + νt )d ij, (.4) x j DT = (ν + ν t) d ij d ij + ( ( ν Dt c x j Pr + ν ) ) t T. (.4) Pr t x j
avec la notation classiqe por la pression rédite, P = p/ρ. Clairement, on pet asi définir ne pression effective de calcl, P = P + k, et se contenter de résodre por 3 la grander P, sans se socier de la décomposer. A noter assi qe le problème de la dynamiqe des flides représenté par les éqations ci-desss (conservation de la masse et de la qantité de movement) est encore décoplé d problème de la thermiqe des flides: on pet s attaqer à le résodre sans résodre le problème thermiqe. L inverse n est bien sûr pas vrai: la thermiqe des flides dépend tojors de la dynamiqe des flides. Reste, bien sûr, le problème épinex de la modélisation de la viscosité effective de trblence (µ t o ν t )!
.6 Ecolements trblents en condite o en canal Le cas des écolements trblents et établis en condite o en canal est certainement fondamental en ingénierie: perte de charge en condite, transfert de chaler. On se sovient de la théorie cinétiqe des gaz: elle permet de déterminer la viscosité moléclaire d n gaz à partir d libre parcors moyen des molécles, λ, et de la vitesse thermiqe d agitation des molécles, v therm (por rappel, la vitesse d son, c, est assi liée à cette vitesse). Le résltat est ν = C v therm λ avec C ne constante. Le modèle de fermetre por ν t doit se baser sr l analyse dimensionnelle et être calclable en termes de granders moyennes. Nos considérons ici l approche proposée par von Karman (930) et Prandtl (933). 3.6. Généralités por les écolements trblents établis en condite o en canal Considérons tot d abord n écolement trblent permanent et établi en condite de section circlaire de diamètre D = R, voir Fig... La distance à la paroi est notée y. On s intéresse a profil de vitesse moyen, (y), avec 0 y R. Le profil est symétriqe par rapport a centre de la condite, donc pas besoin de dépasser la valer y = R por l analyse. On a, bien sûr, qe y = R r et donc r = R y. La sele contrainte de cisaillement additionnelle de à la trblence est τ t xy (y) = ρ v (y) qe nos noterons pls simplement τ t (y): elle est responsable de l échange de qantité de movement moyen entre les coches sccessives de l écolement trblent. τ(y) + τ t (y) D R r y x x + dx Figre.: Ecolement établi en condite de section circlaire: volme de contrôle tilisé por effecter le bilan de qantité de movement. Avant même de s intéresser a modèle de fermetre por τ t (y), considérons, pls simplement, le bilan de qantité de movement sr n volme de contrôle différentiel de longer dx et de rayon r = R y, voir Fig... L écolement étant établi, le flx de qantité de movement entrant en x est le méme qe le flx de qantité de movement sortant en x + dx. Il fat donc qe la somme des forces qi s exercent sr le volme de contrôle soit nlle. La pression effective en x est niforme dans tote la section (car
4 n écolement établi ne pet spporter de gradient de pression transversal). La pression effective en x + dx est assi niforme. La différence est p(x + dx) p(x) = dp (x) dx. dx dp L écolement étant établi, le gradient de pression effective est constant: est le même dx por tos les x. D aillers, lors d expériences, on le détermine en mesrant la différence de pression effective sr ne distance L = x x : dp dx = (p p ) (x x ) = p L > 0. (.43) La contribtion en x des forces de pression agissant sr le volme de contrôle est donc égale à dp dx π (R dx y). La contrainte de cisaillement totale (moleclaire + trblent), τ(y) + τ t (y), agit sr la srface π (R y) dx. La résltante en x est donc (τ(y) + τ t (y)) π (R y) dx. Le bilan de qantité de movement donne donc finalement: ( τ(y) + τ t (y) ) π (R y) dx dp dx dx π (R y) = 0, (.44) ce qi, en simplifiant, donne: ( τ(y) + τ t (y) ) = dp dx (R y). (.45) Cette éqation est fondamentale. Encore pls fondamentale est l éqation obtene por n volme de contrôle englobant tot le flide: ce cas correspond à r = R et donc à y = 0. La contrainte de cisaillement effective est alors la contrainte effective totale à la paroi, τ w (i.e., celle qi détermine les pertes de charges): τ w = dp dx R. (.46) En divisant les dex résltats ci-desss, on obtient assi qe: ( τ(y) + τ t (y) = τ w y ). (.47) R Le profil de la contrainte moyenne totale (moléclaire + trblent) est donc ne ligne droite avec maximm à la paroi et zéro a centre de la condite: assi n résltat fondamental, voir Fig..3. En passant, on fait assi le lien entre le coefficient de frottement pariétal, C f, et le coefficient de perte de charges, λ. On se sovient d abord de ler définition: et dp dx = p def = ρ m λ L D avec m la vitesse de débit. On obtient donc qe: dp dx = p L = τ w = ρ m C f def = τ w ρ m /, (.48) R = τ w τ w ρ m / 4 D 4 D = ρ m (.49) C f 4 D, (.50)
et donc qe λ = 4 C f por n écolement en condite de section circlaire. Le même type d analyse qe ci-desss pet être fait por n écolement trblent permanent et établi entre dex plaqes planes séparées par ne distance d = h: le cas d canal plan (i.e., ne condite plane). La distance à la paroi est, comme dans l analyse présente, notée y. On s intéresse de novea a profil de vitesse moyen, (y), avec 0 y h. Le profil étant symétriqe par rapport a milie d canal, on se limite à 0 y h. On obtient alors, par bilan sr n volme de contrôle (exercice): τ(y) + τ t (y) = dp dx τ w 5 (h y), (.5) = dp dx h, (.5) et donc ( τ(y) + τ t (y) = τ w y ). (.53) h Donc, le profil de la contrainte moyenne totale (moléclaire + trblente) est assi ne droite dans le cas d canal plan. Por la relation entre λ et C f, on obtient par contre (exercice) qe λ = C f. y h Figre.3: Mesres d profil de vitesse, c, et de ses flctations en écolement trblent en canal: composantes, v v et τ t /ρ = v ; la vitesse a centre est c = 00 cm/s et est notée U (figre d après Reichart, 938); figre tirée de H. Schlichting, Bondary-Layer Theory, sixth ed., MacGraw-Hill). Conclsion: qe ce soit en condite o en canal, on a obten qe la contrainte totale (moléclaire + trblente) est ne ligne droite. En divisant par ρ, on écrit assi ν d dy v = ν d dy + ν d t dy = τ ( w y ) (.54) ρ R y h
6 por la condite et ν d dy v = ν d dy + ν d t dy = τ w ρ ( y ) h (.55) por le canal. Si on considère, par exemple, des écolements trblents avec parois hydraliqement lisses (n atre concept à préciser pls tard) et qe l on mesre le profil de v, on obtient des résltats tels qe cex présentés à la Fig..3. Le complément entre v et la relation linéaire est nécessairement dû à la contrainte moleclaire, ν d. On constate dy qe l effet de la viscosité moléclaire n est dominant qe dans ne tote petite région proche de la paroi (zone I, appelée sos-coche laminaire dans la site). Il est dominé par l effet de la viscosité effective de trblence dans la partie complètement trblente de l écolement (zone III dans la site). Il y a, bien sûr, ne zone de transition où τ et τ t sont d même ordre de grander (zone II dans la site). Ces concepts seront précisés et qantifiés dans la site. Finalement, on notera q on pet tojors, qe ce soit en condite o en canal, clairement définir le profil de viscosité effective de trblence: ν t def = v d dy. (.56) On pet donc assi l obtenir à partir des mesres expérimentales des profils de et de v. A noter assi qe la viscosité effective de trblence n est pas nlle a centre de la condite o d canal: le nmérater et le dénominater s annlent mais ler rapport reste fini..6. Modélisation de la viscosité effective de trblence por la zone proche de la paroi Jsq à présent, nos n avons tojors pas proposé de modèle por µ t = ρ ν t. Par analogie avec la théorie cinétiqe des gaz, la viscosité cinématiqe de trblence pet être prise comme: ν t l q (.57) avec l ne longer caractéristiqe de mélange trblent et q ne vitesse caractéristiqe locale de la trblence. On se sovient assi de la définition liée à l énergie cinétiqe de la trblence: q def = k; donc, si on a k, on pet l tiliser comme ingrédient por modéliser ν t. Considérons d abord l approche proposée par von Karman et Prandtl dans les années 30, et por la zone trblente proche de la paroi. Elle consiste à assi modéliser q: en tilisant le gradient de vitesse moyenne et, de novea, la longer de mélange l, soit: On obtient alors: q l d dy. (.58) ν t l d dy. (.59)
A noter qe d > 0 partot: on ara donc bien q positif. Le modèle ci-desss por q n est dy clairement pas valable dans la zone loin de la paroi et proche d centre de la condite o d canal: en effet, le gradient de vitesse y est faible, et même s annle a centre, alors qe l énergie cinétiqe de la trblence k (et donc la vitesse de trblence, q) y est clairement significative, et non-nlle! Ce modèle ne porra donc pas être tilisé dans cette zone. Porsivons donc néanmoins avec ce modèle, mais en se limitant à la zone trblente proche de la paroi. A ce stade, on pet assi fixer les choses et écrire, après von Karman et Prandtl, qe mod ν t = l d dy, (.60) tote constante étant absorbée dans la définition de la longer de mélange, l, qi est encore à déterminer/modéliser. Von Karman (930) a proposé le modèle: l mod = κ d dy / ( d dy ) 7. (.6) avec κ ne constante (appelée depis la constante de von Karman ) déterminée à partir des résltats expérimentax. A noter qe d < 0 partot, d où le signe por assrer dy ne longer positive. Ce modèle prodit, por la partie de la zone trblente qi est proche de la paroi (appelée zone III-a dans la site) n profil de vitesse qi correspond bien ax mesres expérimentales. Prandtl (933) a ensite indiqé qe ce profil est assi obten en prenant simplement qe la longer de mélange est proportionnelle à la distance à la paroi: l mod = κ y. (.6) Atrement dit: dans la zone trblente proche de la paroi, les dex modèles sont éqivalents (comme on va le voir ci-dessos)..6.3 Profil niversel de vitesse por la zone proche de la paroi: condite o canal avec paroi hydraliqement lisse Considérons d abord le cas des écolements en condite o en canal, et avec paroi lisse (pls précisemment, avec paroi hydraliqement lisse : n concept à préciser pls tard). L éqation (EDO) por le profil de vitesse est (por n canal, simplement remplacer R par h): ( ) τ + τ t = (ν + ν t ) d ρ dy = τ w ρ ( y ) R. (.63) On constate qe le terme τ w /ρ a les dimensions d carré d ne vitesse. On définit alors la vitesse de frottement par: def τw = ρ. (.64) Les zones proches de la paroi sont les zones I, II et III-a, la fin de la zone III-a étant à y/r 0.. La contrainte totale étant essentiellement égale à la contrainte de paroi, on écrit alors, por la région proche de la paroi: ( ) τ + τ t = (ν + ν t ) d ρ dy =. (.65)
8 + = y + = y τ ν Figre.4: Profil niversel de vitesse, en condite lisse, exprimé en coordonnée interne, y + = y τ : théorie et résltats expérimentax (figre d après les résltats de Lindgren ν (965); figre tirée de F. M. White, Viscos Flid Flow, second ed., MacGraw-Hill). La zone I est la zone à dominance laminaire: celle tote proche de la paroi. On y a τ >> τ t et donc l EDO qi détermine le profil de vitesse est Le profil, obten par intégration, est linéaire: ν d dy = (.66) = y ν τ w ρ. (.67) Ce profil s écrit assi sos la forme niverselle : = y ν. (.68) Le profil de vitesse est donc natrellement normalisé par la vitesse de frottement (i.e., τ par la contrainte de paroi rédite, wρ ). Il en va de même de la coordonnée y: elle est normalisée sos la forme d n nombre de Reynolds faisant intervenir la vitesse de frottement et la viscosité cinématiqe): on dira qe y est ici normalisé en terme de coordonnée adimensionnelle interne (i.e., proche de la paroi). On définit d aillers les notations: + def =, y + def = y. (.69) ν Dans la sos-coche laminaire, l EDO qi détermine le profil niversel de vitesse est donc assi écrite comme d+ = et sa soltion est dy + + = y +. (.70)
La fin de la zone I se site en y + 5. La zone II est la zone avec τ et τ t d même ordre de grander. C est ne zone de transition entre la zone laminaire (zone I) et la zone trblente (zone III). On y reviendra pls tard. La zone III est la zone à dominance trblente, et donc avec τ << τ t. Elle s étend jsq a centre de la condite. On y a donc: ν t d dy = ( y ) R 9. (.7) La zone III est divisée en dex sos-zones: la partie III-a proche de la paroi et la partie IIIb loin de la paroi. Le débt de la zone III-a se site en y + 70 (i.e., en terme de coordonnée adimensionnelle interne car encore proche de la paroi). Elle s étend jsqe η def = y 0. (i.e., en R terme de coordonnée adimensionnelle externe η faisant intervenir la dimension globale d problème, R). On pet donc écrire, por la zone III-a: ν t d dy =. (.7) On pet en obtenir la soltion en tilisant le modèle de viscosité de trblence de von Karman o de Prandtl: ( ) d l dy = τ, l d dy =, (.73) Considérons d abord l approche de Prandtl (933). On contine alors avec Eq. (.6) comme modèle por l, ce qi donne: et donc, par intégration, κ y ν κ y d =, dy d ( ) d ( ) =, y ν κ y + d+ dy + =, (.74) + = κ log y+ + C. (.75) C est le célèbre profil logarithmiqe de vitesse: il est niversel en ce sens qe tos les résltats expérimentax sr les écolements trblents en condite o en canal (assi en coche limite, voir pls loin) et à grand nombre de Reynolds montrent ne zone proche de la paroi avec n profil de vitesse logarithmiqe, voir par exemple Fig..4. Considérons ensite l approche de von Karman (930). On vérifie qe le profil logarithmiqe, Eq. (.75), donne bien qe Eq. (.6) prodit l = κ y. Les modèles de von Karman et de Prandtl sont donc bien éqivalents en zone III-a.
0 Les coefficients κ et C varient qelqe pe. Les valers en condite calibrées sr les anciens résltats expérimentax de Nikradse donnent: κ = 0.40 et C = 5.5: voir Fig..4. Une analyse par Zanon, Drst et Nagib (004) de résltats expérimentax récents por des profils de vitesse en canal donne pltôt κ = 0.37 et C = 3.7. Une analyse par Winckelmans et Brictex (008) de résltats de simlations nmériqes directes d écolements trblents en canal donne assi κ = 0.37 et C = 3.7, mais avec assi n shift y 0 + 6 dans la loi logarithmiqe: voir pls loin. Il y a donc ne variabilité significative dans la valer acceptée de la constante de von Karman, κ, et donc assi dans le C, et encore beacop d investigations et de discssions sr ce sjet; néanmoins, la valer de κ est clairement pltôt 0.37 qe 0.40! Conclsion: Dans la région proche de la paroi (zones I, II et III-a), le profil de vitesse est exprimable en coordonnée interne, y + = y τ. l EDO por la zone interne s écrit ν donc tojors, en adimensionnel, comme: ( + ν + t ) d + où on a assi introdit ne novelle définition, et sa soltion est donc tojors de la forme: ( ) y τ = f ν C est ce q on appelle la loi de la paroi. On note assi qe, moyennant la définition, on a qe ν + t = ν t ν = l ν et donc qe l EDO en zone III-a, est assi l + ( d + dy + qi, avec l + = κ y +, donne bien, après intégration, le profil ν + t dy + =, (.76) def = ν t ν, (.77), + = f ( y +). (.78) l + def = l ν, (.79) d dy = l d + ν dy = + l+ d + (.80) dy + ν + t d + dy + =, (.8) ) = l + d+ dy + =, (.8) + = κ log y+ + C. (.83) Il est assi très important de remarqer qe l approche avec longer de mélange n est vraiment pas nécessaire! On pet tot assi bien (et même miex!) modéliser directement la viscosité de trblence, sans passer par le concept de longer de mélange.
La zone logarithmiqe (zone III-a) correspond simplement à l hypothèse qe la viscosité de trblence grandit linéairement avec la distance à la paroi. L analyse dimensionnelle donne alors: ν t = κ y ν + t = κ y +. (.84) Si on introdit ce modèle dans l EDO por la zone III-a, on obtient bien le même profil logarithmiqe. On note assi qe ν t + = l + en zone III-a. Il est assi tile d ajoter qe de récentes investigations (Spalart et al. (008), Winckelmans et Brictex (008) sr base des résltats DNS en canal de Moser (999) et de Hoyas, del Alamo et Jimenez (003, 004 et 006), voir pls loin) ont démontré q il fat assi n léger shift dans la loi logarithmiqe de la zone III-a. La loi est pltôt: ce qi correspond a modèle + = κ log(y+ + y + 0 ) + C, (.85) ν t + = l + = κ (y + + y 0 + ). (.86) Donc, dans la zone III-a, la viscosité de trblence (où la longer de mélange) grandit linéairement avec la distance à la paroi mais avec n shift y 0 +! Il n y a effectivement acne raison por q il n y en ait pas! La valer d shift est petite mais elle n est pas négligeable: y 0 + 6 (les valers calibrées étant obtenes dans la forchette 5 à 8). En effet, y 0 + 6 est significatif car on se sovient qe le débt de la zone logarithmiqe est y + 70. De pls, lorsq on prend en compte le shift, Winckelmans et Brictex (008) obtiennent alors assi, comme valer calibrée, qe κ = 0.37 et qe C = 3.7: la présence d shift impliqe donc assi ne valer différente por la calibration de la constante de von Karman, κ, et donc assi de C! Finalement, on pet assi se poser la qestion de savoir si il existe assi ne bonne formle d profil de vitesse qi soit valable por tote la région interne (zones I, II et IIIa)? Il y a la formle de Spalding, qi est ne formle ad hoc. Une meillere approche consiste à se baser sr ne bonne modélisation de la viscosité de trblence por tote la zone proche de la paroi, et à ensite intégrer Eq. (.76). A cet égard, on note l approche de Msker (979): = (σ y + ) + 3 (κ y + ). (.87) ν + t Ce modèle fait varier ν t + de (σ y + ) 3 por y + petit (ce qi est physiqement correct, basé sr des argments théoriqes qe nos ne présentons pas ici; la constante valant environ σ = 0.0) à κ y + por y + 70. Si on met ce modèle dans Eq. (.76), on obtient ne EDO q on pet intégrer nmériqement (et même analytiqement). Malheresement, le modèle de Msker ne prodit pas non pls n bon fit d profil de vitesse. En fait, n modèle qi prodit n bon fit, et assi avec le shift, est obten en tilisant ne modification d modèle de Msker par Winckelmans et Dponcheel (008): ( ν + t ) p ( ) p ( ) p ( ) p = + + (σ y + ) 3 (γ y + ) (κ (y + + y 0 + (.88) )) avec σ = 0.0, γ = 0.0, κ = 0.37, y + 0 = 6 et p = 5 comme valers calibrées.
Des résltats de simlations nmériqes directes (DNS, Direct Nmerical Simlations) récentes d écolements trblent en canal sont assi présentés en Fig..5. Les corbes présentées correspondent à des cas avec nombre de Reynolds de pls en pls grand: voir Table. por les valers de Re τ = h + = h τ et de Re ν d = d m. Ce sont ces profils ν qi ont été tilisé dans l analyse par Winckelmans et Brictex (008). En particlier, le dernier profil est a sffisamment grand nombre de Reynolds q on y distinge clairement ne zone III-a de type logarithmiqe. h + Re d 80 5600 395 3800 590 000 950 37500 000 8700 Table.: Nombres de Reynolds correspondants ax profils montrés por les DNS en canal de Moser et al à h + = 80, 395 et 590 (999), et de Hoyas, del Alamo et Jimenez à h + = 550 (003, non tilisés ici)), 950 (004) et 000 (006). 5 0 + 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 3 Figre.5: Canal trblent avec paroi hydraliqement lisse: profil niversel de vitesse, en fonction de y + ; résltats de simlation nmériqe directe (DNS) à h + = 80, 395, 590, 950 et 000. Figre prodite à partir de résltats obtens par Moser et al à h + = 80, 395 et 590 (999), et par Hoyas, del Alamo et Jimenez à h + = 950 (004) et 000 (006). Les profils de contrainte effective de trblence, v νt d/dy =, sont présentés à la Fig..6 en variable globale, η, et le zoom en variable de paroi, y +, est présenté à la y +
3 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 η Figre.6: DNS de canal avec paroi hydraliqement lisse à h + = 80, 590, 950 et 000: profils de contrainte effective de trblence, v νt d/dy τ = τ, (solid) et de contrainte moléclaire, ν d/dy τ, (dash) en fonction de η = y. h Fig..7. On voit bien qe le maximm se déplace vers la paroi à mesre qe le nombre de Reynolds agmente. On note assi, en passant, qe le cas expérimental de la Fig..3 est clairement n cas à nombre de Reynolds relativement modeste: il compare bien avec le cas de la DNS à h + = 590 (qi correspond à Re d = 000). On vérifie assi qe le cas de la DNS à h + = 000 (qi correspond à Re d = 8700) est clairement n cas à sffisamment grand nombre de Reynolds qe por avoir ne zone logarithmiqe bien définie. On vérifie assi qe le cas de la DNS facile à h + = 80 (qi correspond à Re d = 5600) est n cas à faible nombre de Reynolds et pe trblent. Por information complémentaire, les profils des flctations de trblence, rms, v rms sont présentés ax Figs..8 et.9, et les profils de l énergie cinétiqe de trblence, et w rms k, ax Figs..0 et.. Nos ne les commenterons pas ici, saf de soligner qe la trblence est effectivement très anisotrope dans la zone proche de la paroi et est presqe isotrope (mais néanmoins pas tot à fait) dans la zone proche d centre d canal. Finalement, on présente assi, à la Fig.., les profil de vitesse, c, qi ne sont pas niversels: on obtient effectivement n profil différent por chaqe nombre de Reynolds!.
4 0.8 v 0.6 0.4 0. 0 0 0 40 60 80 00 Figre.7: DNS de canal avec paroi hydraliqement lisse à h + = 80, 590, 950 et 000: profils de contrainte effective de trblence, v νt d/dy τ = τ, en fonction de y + et dans la région proche de la paroi. 3 y +.5 i,rms.5 0.5 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 η Figre.8: DNS de canal avec paroi hydraliqement lisse à h + = 80, 590, 950 et 000.: profils des flctations de trblence, fonction de η. rms (dash-dot), v rms (dash) et w rms (solid), en
5 3.5 i,rms.5 0.5 0 0 0 40 60 80 00 Figre.9: DNS de canal avec paroi hydraliqement lisse à h + = 80, 590, 950 et 000.: rms profils des flctations de trblence, (dash-dot), fonction de y + et dans la région proche de la paroi. 6 y + v rms (dash) et w rms (solid), en 5 4 k 3 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 η Figre.0: DNS de canal avec paroi hydraliqement lisse à h + = 80, 590, 950 et 000.: profils de l énergie cinétiqe de trblence, k, en fonction de η.
6 6 5 4 k 3 0 0 0 40 60 80 00 Figre.: DNS de canal avec paroi hydraliqement lisse à h + = 80, 590, 950 et k 000.: profils de l énergie cinétiqe de trblence,, en fonction de y + et dans la région proche de la paroi. y + 0.8 c 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 η Figre.: DNS de canal avec paroi hydraliqement lisse à h + = 80, 395, 590, 950 et 000: profils de vitesse, c, en fonction de η.
.6.4 Profil niversel de vitesse por tote la zone trblente Considérons ensite le profil de vitesse valable por tote la zone trblente (zone III), et exprimé en terme de variable externe (i.e., globale): η def. On a alors: = y R 7 ( ) c y = F = F(η) (.89) R avec c la vitesse a centre de la condite. A noter q n tel profil est assi valable dans la zone III-a: il est valable por tote la zone trblente. La zone III-a est en fait la zone qi est à la fois interne et externe: c est ne zone tampon ( bffer zone ). Dans cette zone, le profil de vitesse pet être exprimé en coordonée interne o en coordonnée externe: = f ( y +) et c = F (η). (.90) Porqoi doit on assi tiliser por adimensionaliser le profil de vitesse externe? Parce qe la contrainte de paroi est assi ne grander globale (e.g.: elle gère les pertes de charges globales, λ, etc.): l externe et l interne sont donc liés. On note assi, en passant, qe le terme τ m est lié a coefficient de pertes de charge. En effet: m = τ w ρ m = C f = λ 8. (.9) Por n écolement trblent en canal, on ara assi le profil niversel exprimé en variable interne por les zones I, II et III-a, et exprimé en variable externe por les zones III-a et III-b: ( ) c y = F = F(η). (.9) h Le terme τ m est alors m = τ w ρ m = C f = λ 4. (.93) La fonction F en canal n est cependant pas la même qe celle en condite. A noter assi qe la définition de viscosité effective de trblence est tojors possible. On a en effet: ν d dy v def = (ν + ν t ) d ( dy = y ). (.94) R On pet donc tojors déterminer, sr base de résltats expérimentax o de simlation nmériqe, le profil réel de viscosité de trblence. On obtient alors effectivement, por les écolements à grand nombre de Reynolds, ne zone III-a avec n profil linéaire: ν t = κ (y + y 0 ), ν t = κ (y + y 0) R R κ η. (.95) Effectivement, la contribtion d shift, y 0 /R, n est pratiqement pas visible lorsq on examine les résltats en variable externe, η. En effet, y 0 R = y+ 0 R + = 6 R /ν. (.96)
8 Le profil de ν t /(R ) en fonction de η s applatit ensite et il tend même vers n platea approximatif dans la région proche d centre de la condite. Sr base des résltats expérimentax de Nikradse, von Karman a assi proposé ne loi de profil de vitesse valable por la zone proche d centre de la condite. C est la loi d milie de von Karman: c = 7. ( η). (.97) On vérifie (exercice) qe cela correspond effectivement a profil obten proche d centre, et avec comme valer platea de la viscosité effective: ν t /(R ) = /4.4 = 0.069. Finalement, il y a également le modèle composite de profil niversel de vitesse de type Coles (voir pls loin, les coches limites). Ici appliqé ax condites, le profil en zone trblente s écrit alors = f(y + ) + G(η) = [ κ log ( yτ ν ) ] + C + Π ( κ sin α π ) y R, (.98) avec κ = 0.40, C = 5.5, Π = 0.0 et α =.35 comme valers calibrées en condite, sans le shift. Evalé a centre de la condite, cela donne [ ( ) ] c = κ log Rτ + C + Π ( ν κ sin α π ). (.99) On obtient bien alors par différence, et car ( ( ) ( y R y log log = log a) a R) (.00) qel qe soit a, n profil exprimé niqement en variable externe: c = κ log η + Π [ ( κ sin α π ) sin (α π )] η = F (η). (.0) C est effectivement n relativement bon modèle por tote la zone III. Por la partie proche paroi (zone III-a), il prodit le profil logarithmiqe en condite exprimé en variable externe: c =.5 log η + 0.73. (.0) A noter qe la fonction sin ( π s) n a rien de magiqe: c est simplement ne fonction commode en forme de S (avec valer nlle et pente nlle en s = 0, valer nitaire et pente nlle en s = ). D atres aters tilisent d aillers pltôt la fonction 3s s 3 qi a les mêmes propriétés. En canal (donc η = y/h), n bon profil composite de type Coles, ici avec le shift y 0 + en pls, est = [ κ log ( ) ] y + + y 0 + + C + Π κ ( 3(αη) (αη) 3) (.03) avec κ = 0.37, C = 3.75, Π = 0.07 (donc très faible) et α = α(π) =.5 calclé tel qe est maximm (pente nlle) en η =, selon la calibration par Winckelmans et Brictex (008) sr base des résltats de DNS. On obtient alors assi: c = [ κ log ( ) ] R + + y 0 + + C + Π κ ( 3α α 3) (.04)
9 De pls, et pisqe y + 0 /h +, on a assi qe y + + y + 0 h + + y + 0 = y + + y + 0 h + ( + y + 0 /h + ) y+ + y + 0 h + y+ h + = y h = η. (.05) On obtient donc, par différence, qe le profil de vitesse exprimé en variable externe est: c = κ log η + Π κ [( 3α α 3) ( 3(αη) (αη) 3)] = F(η). (.06) Finalement, Winckelmans et Brictex (008) ont assi proposé, sr base des mêmes résltats de DNS, n profil pls simple et encore meiller: = [ κ log ( ) ] y + + y 0 + + C η κ + Π κ ( 3η η 3), (.07) avec κ = 0.37, C = 3.9 et Π = 0.47 comme bonnes valers calibrées en canal. On remarqe qe mltiplie ici dex termes: le terme logarithmiqe mais assi n terme κ en η! Ce profil a ne pente nlle en η = sans besoin d facter α. On obtient assi facilement le profil de vitesse exprimé en variable externe: c = κ [log η + ( η)] + Π κ [ ( 3η η 3)] = F(η). (.08) Ce modèle de profil de vitesse correspond en fait à l intégrale exacte de l EDO valable por tote la zone III (III-a et III-b), avec, comme modèle, ν t d dy = ( η), (.09) ν t h = κ η ( + Π η ) (.0) qi li même constitte n excellent fit d profil exact de la viscosité effective de trblence obten à partir des résltats de DNS! Ce profil a assi l avantage q il reste valable por des écolements trblents à relativement faible nombre de Reynolds (e.g., Re d = 0 4 et même moins!), ce qi n est pas le cas des atres profils présentés ci-desss. A noter assi qe le formalisme proposé pet assi s appliqer ax écolements en condite.
30.6.5 Profil de vitesse simplifié en exposant por tote la zone trblente Bien qe l approche qi sit n est pas fondée sr ne base solide, elle a son histoire et son tilité: nos nos devons donc de la présenter brièvement. Nikradse a d abord rédit ses résltats expérimentax en tilisant, por la zone trblente (zone III) n simple fit en loi de pissance (i.e., en exposant) de la forme, voir Fig..3: ( ) y n = c R = η n. (.) c Re D Figre.3: Condites lisses: profils de vitesse, c, en fonction de y por différentes R valers d nombre de Reynolds, Re D : théorie avec loi en exposant et résltats expérimentax (figre d après Nikradse (93); figre tirée de H. Schlichting, Bondary- Layer Theory, sixth ed., MacGraw-Hill). Ce profil a qelqes problèmes :. la pente d profil en η = 0 est infinie. Ce n est pas n problème car on l tilise niqement dans la zone trblente (zone III).. la pente d profil en η = n est pas nlle: elle vat /n. Ce n est pas trop grave car n est grand. 3. le paramètre n n est pas niversel: il varie en fonction de Re D. A v des sections précédentes, il est clair q il est difficile d accepter le fit de Nikradse. Même si on l accepte, le moins qe l on pisse dire est qe le paramètre n ne pet pas être niversel: il doit dépendre d coefficient de perte de charge, λ = 4 C f, y R
o, ce qi revient assi a même en condites hydraliqement lisses, d nombre de Reynolds global, Re D = m D (rappel: por les écolements trblents en condites ν lisses, λ = λ (Re D )). Nikradse a en effet déterminé les valers de n en fonction de Re D, voir Fig..4. La plage de variation de n est de 6 à 0. Por les écolements trblent typiqes (i.e., avec Re D 0 5 ), on retient la valer n = 7. 3 Figre.4: Profils de vitesse en exposant: détermination de n en fonction de Re D sr base de résltats expérimentax en condite hydraliqement lisse (figre d après Nikradse (93); figre tirée de H. Schlichting, Bondary-Layer Theory, sixth ed., MacGraw-Hill). Débit et flx de qantité de movement Bien qe le profil a ses problèmes, il demere intégrable et prodit des résltats tiles. Considérons d abord la vitesse moyenne (vitesse de débit) associée à ce type de profil: da m = (.) A avec A = π R. Utilisant da = r dθ dr, on obtient: π da = c dθ 0 0 R = c A η /n ( η) dη = c A ( = c A + ) + = c A n n 0 ( ) R r n r dr = c π R ( s) n s ds R 0 0 η n η n + dη n (n + ) (n + ), (.3) et donc: m n = c (n + ) (n + ), (.4) ce qi donne 0.87 lorsqe n = 7. Por le flx de qantité de movement, on obtient: n da = (n + ) (n + ) c (n + ) (n + ) A = 4 n m A, (.5) (n + )
3 ce qi donne.00 m A lorsqe n = 7. A noter qe le profil simplifié en exposant mène assi à: c = c = ( (n + ) (n + ) n ( ) y n (n + ) (n + ) = R) 8 λ ( m n ( ) y n R) ( ( ) y n R) (.6). (.7) La comparaison avec le profil niversel, c = F( y ), nos montre q il y a n clairement R ne relation entre n et λ. On l obtient en comparant lers intégrales. Si on intègre le profil simplifié, on obtient c da = c m A = m Si on intègre le profil niversel composite de Coles, on obtient La comparaison donne alors la relation Comme 3n ( ) c 8 (3n + ) A = A. (.8) m λ n c da = 4.06 A. (.9) 8 3 λ ( + ) = 4.06. (.0) n 3n (pisqe n 6), cette relation se simplifie encore. On obtient, finalement, n =.05 λ λ. (.) On a donc obten, por les écolements trblent en condite, ne relation très simple, et très tile, entre n et λ. Loi empiriqe de Blasis por les pertes de charges en condite hydraliqement lisse La loi empiriqe de Blasis (93) por les pertes de charges des écolements trblents en condites lisses est: λ = 0.364 Re D /4, λ =.778 Re D /8, (.) por Re D 5 0 4. Cette loi est consistante avec le profil en exposant. En effet, il en décole qe λ = 4 C f = 4 ( ) τ w ρ m / = 8 τ ( ) ν /4 = 0.364, (.3) m m D et donc qe ( τ ) 7/4 ( ν = 0.0336 ) /4. (.4) m R
33 On obtient alors la relation ( ) m R /7 ( ) τ R /7 τ = 6.99 7. (.5) ν ν On voit dèjà apparaître l exposant /n avec n = 7. Comme on a qe m = 0.87 c lorsqe n = 7, on pet assi écrire: ( ) c R /7 τ = 8.56. (.6) ν La formle de Blasis éqivat en fait à ne relation en pissance entre c / et R + = R /ν. On pet la comparer avec ce qe l on obtient si on appliqe le formalisme niversel avec la forme composite de Coles c = κ log R+ + C + 0.73. (.7) Par exemple, à Re D = 5 0 4, la formle empiriqe de Blasis por les pertes de charge donne λ = 0.0. En tilisant alors R + = R = R m = Re D λ ν ν m 8, (.8) on dédit qe R + = 86. La formle Eq. (.6) donne alors c / = 3.8 et celle de Coles donne c / = 4.: les résltats sont donc fort proches; c est cohérent pisqe qe nos sommes dans la zone de validité de la formle de Blasis: Re D = 5 0 4. A noter q il existe assi ne formle empiriqe valable por 5 0 4 Re D 0 6, soit: λ = 0.84 Re D /5, λ =.33 Re D /0. (.9).6.6 Formle générale de Prandtl por les pertes de charge en condite hydraliqement lisse Retornons a profil niversel de vitesse por les écolements trblents en condites lisses. Si on intègre le profil niversel logarithmiqe (zone III-a), = ( ) y κ log τ + C, (.30) ν dans tote la section, on obtiendra ne formle por les pertes de charge. C est ce q a fait Prandtl en 935. L errer qe l on commet est faible car les zones I et II sont fort proches de la paroi et donc ne participent pas beacop à l intégrale de débit. La contribtion de la composante additionnelle de Coles en zone III-b ne sera pas complètement négligeable et pet assi être prise en compte. Rappelons qe son amplitde est assez faible (Π = 0.0). De tote façon, la formlation de Coles n était pas conne en 935. Intégrons donc simplement le profil logarithmiqe sr tote la section, comme l a fait Prandtl: R [ ( ) ] R (R r) π R m = π (r) r dr = π 0 0 κ log τ + C r dr ν
34 R [ ( = πr 0 κ log Rτ ν [ ( ) = πr 0 κ log Rτ ν ( s) [( ( ) = πr 0 κ log Rτ ν [( ( ) = πr κ log Rτ ν ( r )) R ] + C ] ( r r + C R R) d s ds ) + C + ] κ log( s) ) + C s ds + 0 κ 0 s ds ] log( s) s ds. (.3) Les dex intégrales valent respectivement / et 0 log η ( η) dη = 3/4. On obtient donc: ( ( ) ) m = κ log Rτ + C 3 ν κ = ( ) ( κ log Rτ + C 3 ) ν κ Cette expression se tradit en ne formle por les pertes de charge: 8 λ = κ log Re D λ + 8 λ = ( C 3 ) κ. (.3) 8κ log ( Re D λ ) + 8 ( C κ ( 3 + log ( 8 ))). (.33) Avec les valers tilisées par Prandtl (κ = 0.40 et C = 5.5), on obtient: λ = 0.8839 log ( Re D λ ) 0.99 ( ) =.035 log 0 ReD λ 0.99 ( ).8 =.035 log 0 λ. (.34) Re D Un meiller fit des résltats expérimentax sr les pertes de charge en condites lisses a été obten, par Prandtl, en changeant qelqes pe les coefficients, voir Fig..5 (n oblions pas qe Prandtl a négligé ne partie d profil en effectant l intégrale: il pet donc s atoriser à devoir changer qelqe pe le résltat final): ( ).5 =.0 log 0 λ λ Re D. (.35) C est la formle qe l on tilise à ce jor por les pertes de charge en condites hydraliqelent lisses: elle donne de très bon résltats dans ne très large gamme de nombres de Reynolds. Elle a en tot cas été validée expérimentalement jsqe Re D = 3.5 0 6, et il est fort probable q elle reste valable a delà. Elle a le petit désavantage d être ne formle implicite mais ce n est vraiment pas n problème: il sffit d itérer sr le paramètre λ et d tiliser la formle de Blasis por déterminer sa première valer. Il existe assi des approximations explicites; ce ne sont cependant qe des approximations.