1. Le point. C'est l élément élémentaire de la géométrie. Une infinité de points constitue une droite. Sur le dessin, la droite (D) passe par une infinité de points : on dit que ces points sont alignés. (Ils forment une ligne) 1 Conséquence : Deux points suffisent à déterminer une droite. Ainsi, sur le dessin la droite (D) pourrait aussi s'appeler la droite (AB). Propriété : L'intersection de deux droites est un point. Sur le dessin, l'intersection des droites (D) et (D') est le point A. 2. Axiome d'euclide (III ème IV ème siècle av J.C.) Ce qu'a dit Euclide : Par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à cette droite. Conséquences : 1. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. 2. Par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite. 3. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles. 4. Deux droites parallèles et ayant un point commun sont confondues. 3. Parties d'une droite. Demi-droite : On appelle demi-droite, une partie de droite limitée par un point. On écrira demi-droite [Ox). 1 En géométrie le terme ligne ne désigne pas forcément une droite, mais une succession de points qui déterminent une figure. Ainsi une ligne peut très bien être un cercle. Le point. 1
Segment : On appelle segment, une partie de droite limitée par deux points. On écrira segment [AB]. 4. Médiatrice d'un segment. Définition. La médiatrice d'un segment, c'est la perpendiculaire qui passe par le milieu du segment. On a (D) perpendiculaire au segment [AB] et N milieu du segment [AB]. Propriétés. Tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Ainsi sur cette figure, on peut affirmer que MA = MB. Si deux points sont équidistants des extrémités d'un segment, alors la droite qui passe par ces deux points est la médiatrice du segment. Sur la figure, si on sait que MA = MB et que PA = PB alors on peut affirmer que la droite (PM) est la médiatrice du segment [AB]. Utilisation. Construction d'un triangle ABC, isocèle en A. Pour réaliser cette construction, il faut : 1. Tracer le segment [BC] 2. Tracer la médiatrice de [BC] 3. Placer le point A sur cette médiatrice, et joindre [AB] et [AC]. EXERCICE 1 A rédiger. Soit ABC un triangle quelconque. Tracer la hauteur (AH). Construire la droite d, médiatrice du côté [BC]. Que peut-on dire des droites d et (AH) 2 /Médiatrice d'un segment. www.mathslearning.fr
5. Le cercle. Un cercle est un ensemble de points équidistants d'un point appelé centre. L'ensemble des points M tels que OM = r est le cercle de centre O et de rayon r. Conséquence : Le point de concours des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. En effet, selon la propriété de la médiatrice d'un segment : OA = OB = OC Cela signifie que les points A, B et C étant à égale distance du point O, sont sur le cercle de centre O. Cas particulier : Si le triangle est rectangle en A, le point de concours des médiatrices est le milieu du segment [BC]. D'où la propriété : Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l'hypoténuse. Application : Construction d'un triangle BAC, rectangle en A. 1. On a tracé l'hypoténuse [BC]. 2. Tracer un arc de cercle de diamètre [BC]. 3. Sur cet arc de cercle placer le point A, puis joindre [AC] et [AB]. Le cercle. 3
EXERCICE 2 A rédiger. Soient I et J deux points quelconques. Tracer le cercle ( C ) de centre I passant par J Soit K un autre point du cercle ( C ) 1. Démontrer que IJ = IK 2. En déduire que la médiatrice (d) du segment [KJ] passe par I. 6. Symétries. Symétrie centrale. Le symétrique du point A dans la symétrie de centre I, est le point B tel que I soit le milieu du segment [AB]. Propriétés : Le symétrique d'un segment est un segment parallèle et de même longueur. Ici, [A'B'] est le symétrique du segment [AB] par rapport à I, donc (AB) // (A'B') et AB = A'B' Une droite et son image sont parallèles. Symétrie axiale. L'image du point A dans la symétrie par rapport à (d) est le point B tel que (d) soit la médiatrice du segment [AB] Propriétés : 1. Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur 4 Symétries. www.maths-learning.fr
2. Une droite et son image ne sont pas parallèles en général dans une symétrie axiale. Sur ce schéma, le segment [A'B'] est le symétrique du segment [AB] par rapport à (d). On peut constater que AB = A'B', et que les droites (AB) et (A'B') ne sont pas parallèles. Propriété des symétries en général : Une symétrie centrale ou axiale conserve les longueurs et les angles. EXERCICE 3 A rédiger. On considère un triangle ABC quelconque. Soit le point O à l extérieur du triangle. Construire à la règle et au compas le symétrique A1BC 1 1 du triangle ABC dans la symétrie de centre O. Soit la droite (d) Construire à la règle et au compas le symétrique A2BC 2 2 du triangle ABC dans la symétrie d axe (d) 7. Parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Propriétés : 1. Les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu. I est milieu de [AC] et de [BD] Parallélogramme 5
2. Les côtés opposés ont la même longueur. AB = DC et AD = BC 3. Les angles opposés sont égaux Réciproques : 1. Si un quadrilatère possède deux côtés égaux et parallèles, alors c'est un parallélogramme. 2. Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. EXERCICE 4 A rédiger. A, B et C sont trois points quelconques non alignés. Construire le point D tel qu ABCD soit un parallélogramme. 8. Rectangle. Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit. Propriété : Les diagonales d'un rectangle sont égales. Réciproque : Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu et sont égales, alors c'est un rectangle. 5. Sur la figure : I est le milieu des diagonales [AC] et [BD] et AC = BD Conséquence : ABCD est un rectangle. Conséquence : les quatre angles sont droits. 6 Rectangle. www.maths-learning.fr
EXERCICE 5 A rédiger. Soit [DF] un segment quelconque. On désire placer les points E, G, H et I tels que : DEFG soit un rectangle et DHFI soit un rectangle. 1. Qu est-ce que le segment [DF] pour chacun de ces rectangles? 2. Quelle propriété du triangle rectangle allons-nous utiliser pour placer le point E? 3. Quelle propriété du parallélogramme allons-nous utiliser pour placer le point G? 4. Refaire le même raisonnement avec les points H et I et placer ces points. 9. Losange. Un losange est un parallélogramme ayant quatre côtés égaux. Propriété : Les diagonales d'un losange ont le même milieu et sont perpendiculaires. Elles sont donc médiatrices l une de l autre. Réciproque : Si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires, alors c'est un losange. Sur la figure : I est le milieu des diagonales [AC] et [BD] et [AC] perpendiculaire à [BD] Conséquence : ABCD est un losange. Parallélogramme 7
EXERCICE 6 A chercher. A et B sont deux points quelconques. Construire les points C et D tels que : ABCD soit un losange et l angle BAD = 60 10. Carré. Un carré est un parallélogramme ayant quatre côtés égaux et quatre angles droits. C est donc à la fois un rectangle et un losange. Propriété : Les diagonales d'un carré ont le même milieu, sont égales et sont perpendiculaires. Réciproque : Si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu, sont égales et sont perpendiculaires, alors c'est un carré. 8 /Carré. www.maths-learning.fr
EXERCICE 7 A chercher. Construction. 1. Tracer un segment [AB] de 5 cm de longueur. 2. a) Tracer le cercle C 1 de centre A et de rayon 3 cm. b) Tracer le cercle C 2 de centre B et de rayon 3 cm. Les cercles C 1 et C 2 se coupent en deux points E et F. 3. a) Que peut-on dire du quadrilatère AEBF? Pourquoi? b) Que représente la droite (EF) pour le segment [AB]? Pourquoi?. Parallélogramme 9