Cinquième, chapitre n o 5 Les parallélogrammes Le parallélogramme est le quadrilatère fondammental : outre les propriétés de ses côtés et de ses diagonales, il est à l'origine de nombreuses démonstrations en géométrie. c http://maths.schwan.free.fr Références : 531 532 543
I. Notion de parallélogramme
1. Dénition Un quadrilatère ABMN de centre O est un parallélogramme si O est le centre de symétrie du quadrilatère. Le centre de symétrie d'un parallélogramme. Attention : les diagonales ne sont pas des axes de symétrie.
Autrement dit, L'image de A par la symétrie de centre O est..... Donc O est le milieu de..... L'image de B par la symétrie de centre O est..... Donc O est le milieu de..... Conclusion : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
Autrement dit, L'image de A par la symétrie de centre O est M. Donc O est le milieu de..... L'image de B par la symétrie de centre O est..... Donc O est le milieu de..... Conclusion : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
Autrement dit, L'image de A par la symétrie de centre O est M. Donc O est le milieu de [AM]. L'image de B par la symétrie de centre O est..... Donc O est le milieu de..... Conclusion : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
Autrement dit, L'image de A par la symétrie de centre O est M. Donc O est le milieu de [AM]. L'image de B par la symétrie de centre O est N. Donc O est le milieu de..... Conclusion : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
Autrement dit, L'image de A par la symétrie de centre O est M. Donc O est le milieu de [AM]. L'image de B par la symétrie de centre O est N. Donc O est le milieu de [BN]. Conclusion : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
2. Propriété des côtés Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur. Les côtés d'un parallélogramme.
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de (AB) par la symétrie de centre O est..... Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est............. Donc..... L'image de [AB] par la symétrie de centre O est..... Or, l'image d'un segment par une symétrie centrale est............. Donc.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de (AB) par la symétrie de centre O est (MN). Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est............. Donc..... L'image de [AB] par la symétrie de centre O est..... Or, l'image d'un segment par une symétrie centrale est............. Donc.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de (AB) par la symétrie de centre O est (MN). Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Donc..... L'image de [AB] par la symétrie de centre O est..... Or, l'image d'un segment par une symétrie centrale est............. Donc.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de (AB) par la symétrie de centre O est (MN). Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Donc (AB)//(MN). L'image de [AB] par la symétrie de centre O est..... Or, l'image d'un segment par une symétrie centrale est............. Donc.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de (AB) par la symétrie de centre O est (MN). Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Donc (AB)//(MN). L'image de [AB] par la symétrie de centre O est [MN]. Or, l'image d'un segment par une symétrie centrale est............. Donc.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de (AB) par la symétrie de centre O est (MN). Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Donc (AB)//(MN). L'image de [AB] par la symétrie de centre O est [MN]. Or, l'image d'un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur. Donc.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de (AB) par la symétrie de centre O est (MN). Or, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Donc (AB)//(MN). L'image de [AB] par la symétrie de centre O est [MN]. Or, l'image d'un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur. Donc AB = MN.
3. Propriété des angles Les angles opposés d'un parallélogramme ont la même mesure. Les angles d'un parallélogramme.
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de ÂBM par la symétrie de centre O est..... L'image de NAB par la symétrie de centre O est..... Or, l'image d'un angle par une symétrie centrale est.... Donc.... et.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de ÂBM par la symétrie de centre O est MNA. L'image de NAB par la symétrie de centre O est..... Or, l'image d'un angle par une symétrie centrale est.... Donc.... et.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de ÂBM par la symétrie de centre O est MNA. L'image de NAB par la symétrie de centre O est BMN. Or, l'image d'un angle par une symétrie centrale est.... Donc.... et.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de ÂBM par la symétrie de centre O est MNA. L'image de NAB par la symétrie de centre O est BMN. Or, l'image d'un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure. Donc.... et.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de ÂBM par la symétrie de centre O est MNA. L'image de NAB par la symétrie de centre O est BMN. Or, l'image d'un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure. Donc ÂBM = MNA et.....
Démonstration On considère un parallélogramme ABMN de centre O. L'image de ÂBM par la symétrie de centre O est MNA. L'image de NAB par la symétrie de centre O est BMN. Or, l'image d'un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure. Donc ÂBM = MNA et NAB = BMN.
II. Méthodes de construction
1. Construction par parallélisme Méthode : on complète la gure en traçant les droites parallèles aux côtés donnés par l'énoncé. Cette construction n'utilise pas le centre du parallélogramme, donc pas de symétrie. Exemple ABC est un triangle. Comment placer M pour que ABCM soit un parallélogramme?
1. On trace la parallèle à (AB) passant par C.
1. On trace la parallèle à (AB) passant par C. 2. On trace la parallèle à (BC) passant par A.
1. On trace la parallèle à (AB) passant par C. 2. On trace la parallèle à (BC) passant par A. 3. On place le point M à leur intersection. Attention : l'ordre des points est important, car il y a plusieurs constructions possibles.
2. Construction par symétrie Méthode : on complète la gure en traçant le symétrique du côté donné par l'énoncé. Cette construction peut se faire en traçant deux cercles et deux demi-droites. Exemple ABO est un triangle. Comment placer M et N pour que ABMN soit un parallélogramme de centre O?
1. On trace la demi-droite [AO).
1. On trace la demi-droite [AO). On trace le cercle de centre O passant par A.
1. On trace la demi-droite [AO). On trace le cercle de centre O passant par A. On place M à leur intersection.
1. On trace la demi-droite [AO). On trace le cercle de centre O passant par A. On place M à leur intersection. 2. On trace la demi-droite [BO).
1. On trace la demi-droite [AO). On trace le cercle de centre O passant par A. On place M à leur intersection. 2. On trace la demi-droite [BO). On trace le cercle de centre O passant par B.
1. On trace la demi-droite [AO). On trace le cercle de centre O passant par A. On place M à leur intersection. 2. On trace la demi-droite [BO). On trace le cercle de centre O passant par B. On place N à leur intersection.
III. Les parallélogrammes particuliers
1. Le rectangle Côtés d'un rectangle. Diagonales d'un rectangle.
1. Le rectangle Côtés d'un rectangle. Diagonales d'un rectangle. Un parallélogramme est un rectangle si l'une des conditions suivantes est vériée : Deux côtés consécutifs sont perpendiculaires. Les diagonales ont la même longueur.
2. Le losange Côtés d'un losange. Diagonales d'un losange.
2. Le losange Côtés d'un losange. Diagonales d'un losange. Un parallélogramme est un losange si l'une des conditions suivantes est vériée : Deux côtés consécutifs ont la même longueur. Les diagonales sont perpendiculaires.
3. Le carré Côtés d'un carré. Diagonales d'un carré. Longueurs d'un carré. Perpendiculaires d'un carré. Un parallélogramme est un carré s'il est à la fois un losange et un rectangle.
Un parallélogramme est un carré si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires (propriété du rectangle) et de même longueur (propriété du losange).
Un parallélogramme est un carré si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires (propriété du rectangle) et de même longueur (propriété du losange). Un parallélogramme est un carré si ses diagonales sont de même longueur (propriété du rectangle) et perpendiculaires (propriété du losange).
Un parallélogramme est un carré si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires (propriété du rectangle) et de même longueur (propriété du losange). Un parallélogramme est un carré si ses diagonales sont de même longueur (propriété du rectangle) et perpendiculaires (propriété du losange). Un parallélogramme est un carré si ses diagonales sont de même longueur (propriété du rectangle) et deux côtés consécutifs sont de même longueur (propriété du losange).
Un parallélogramme est un carré si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires (propriété du rectangle) et de même longueur (propriété du losange). Un parallélogramme est un carré si ses diagonales sont de même longueur (propriété du rectangle) et perpendiculaires (propriété du losange). Un parallélogramme est un carré si ses diagonales sont de même longueur (propriété du rectangle) et deux côtés consécutifs sont de même longueur (propriété du losange). Un parallélogramme est un carré si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires (propriété du rectangle) et ses diagonales sont perpendiculaires (propriété du losange).