Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

les fonctions LPO de Chirongui

- Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56

- Limite finie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient............................................. On note f (x) = l. x + Remarque : On définit de façon analogue f (x) = l. x

- Limite finie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = l. x + Remarque : On définit de façon analogue f (x) = l. x

- Limite finie à l infini - Graphiquement : FIGURE A gauche ite en + et à droite en Lorsque f a pour ite l en + (resp. en ), on dit que, dans un repère, la droite d d équation y = l est......................................................

- Limite finie à l infini - Graphiquement : FIGURE A gauche ite en + et à droite en Lorsque f a pour ite l en + (resp. en ), on dit que, dans un repère, la droite d d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en + (resp. en ).

- Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

- Limite infinie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en + signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient....................................... On note f (x) = +. x + Remarque : On définit de manière analogue f (x) = +, x x f (x) =, x + f (x) =.

- Limite infinie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en + signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = +. x + Remarque : On définit de manière analogue f (x) = +, x x f (x) =, x + f (x) =.

- Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

- Exercices : Savoir Faire (livre)- ite en ite d un quotient ite de l inverse ite d une fonction polynôme, d une fonction rationnelle Livre Indice BORDAS - Page 47 Exercice 43, 54, 64 et 47 pages 56 à 58

2- Limite infinie - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient................................................... On note f (x) = +. x a Remarque : On définit de façon analogue f (x) =. x a

2- Limite infinie - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a. On note f (x) = +. x a Remarque : On définit de façon analogue f (x) =. x a

2- Limite à droite ou à gauche - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient................................................................................................................................. On note f (x) = + ou (resp. x a x<a x a x>a f (x) = +. x a + f (x) = + ou f (x) = + ). x a Remarque : on définit de façon analogue f (x) =. x a f (x) = et x a +

2- Limite à droite ou à gauche - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. strictement inférieur à a). On note f (x) = + ou (resp. x a x<a x a x>a f (x) = +. x a + f (x) = + ou f (x) = + ). x a Remarque : on définit de façon analogue f (x) =. x a f (x) = et x a +

2- Limite à droite ou à gauche - Graphiquement :

2- Limite à droite ou à gauche - Définition Lorsque f a pour ite + (ou ) en a, (ou à droite en a ou à gauche en a), on dit que la droite d équation x = a est...........................

2- Limite à droite ou à gauche - Définition Lorsque f a pour ite + (ou ) en a, (ou à droite en a ou à gauche en a), on dit que la droite d équation x = a est asymptote verticale à C f

2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

3- Limites et opérations - Les principaux résultats sur les calculs de ites ont été vus avec les suites. On retient qu on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type : " ", "0 ", " 0 0 ", " "

3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

3- Limite d une fonction composée - Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples. x u v u(x) v (u(x)) x v u v (u(x))

3- Limite d une fonction composée - Définition Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit contenue dans J : u(i) J. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la........................ Elle est notée v u, ou parfois v(u). Pour tout réel x de I : v u(x) = v(u(x))

3- Limite d une fonction composée - Définition Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit contenue dans J : u(i) J. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la composée de u par v. Elle est notée v u, ou parfois v(u). Pour tout réel x de I : v u(x) = v(u(x))

3- Limite d une fonction composée - Théorème a, b et c désignent trois réels, ou + ou. Si on a u(x) = b et v(x) = c x a x b alors v u(x) =... x a

3- Limite d une fonction composée - Théorème a, b et c désignent trois réels, ou + ou. Si on a u(x) = b et v(x) = c x a x b alors v u(x) =c. x a

3- Limite d une fonction composée - Exemple : Soit f (x) = ( 2x + ) 2. On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x 2x + ( 2x + ) 2 On a : ( 2x + ) = et X 2 = + x + X et donc par composition : f (x) = + x +

3- Exercices : Savoir Faire (livre)- Fonction composée Livre Indice BORDAS - Page 49 Exercice 77 et 78 page 59

3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) =... x + x + Majoration : si g(x) =, alors f (x) =... x + x +

3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) = + Majoration : si x + x + x + g(x) =, alors x + f (x) =...

3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) = + Majoration : si x + x + x + g(x) =, alors x + f (x) =

3- Limite et comparaisons - Théorème des gendarmes On considère trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x) f (x) h(x). On suppose que g(x) = x + h(x) = l, où l est un x + nombre réel. Alors................................................ Remarque : on obtient des théorèmes analogues en.

3- Limite et comparaisons - Théorème des gendarmes On considère trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x) f (x) h(x). On suppose que g(x) = x + nombre réel. Alors f admet pour ite l en + : h(x) = l, où l est un x + f (x) = l x + Remarque : on obtient des théorèmes analogues en.

3- Exercices : Savoir Faire (livre)- Théorème de comparaison Livre Indice BORDAS - Page 5 Exercice 89, 9 et 92 page 60

4- Notion intuitive de continuité - Une fonction définie sur un intervalle I est continue sur I si sa courbe représentative ne présente aucune rupture (on peut la tracer sans lever le crayon de la feuille). Exemples : FIGURE La fonction carré est continue sur R, la fonction inverse est continue sur ] ; 0[ et sur ]0; + [ mais n est pas continue sur R. f est définie mais pas continue sur [ 3; 2] ; il y a une rupture en x =.

4- Notion intuitive de continuité - Théorème (admis) Une fonction dérivable sur un intervalle I est......... sur I. Attention : ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : Une fonction f est continue en a si sa courbe C f ne présente pas de saut en son point d abscisse a. Une fonction f est dérivable en a si sa courbe C f admet une tangente non verticale en son point d abscisse a.

4- Notion intuitive de continuité - Théorème (admis) Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Attention : ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : Une fonction f est continue en a si sa courbe C f ne présente pas de saut en son point d abscisse a. Une fonction f est dérivable en a si sa courbe C f admet une tangente non verticale en son point d abscisse a.

4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est...... : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur.................................... Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur....................................

4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur.................................... Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur....................................

4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur....................................

4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

4- Exercices : Savoir Faire (livre)- Notion de continuité Livre Indice BORDAS - Page 5 Exercice 98 et 99 page 60

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Convention dans un tableau de variations : Une flèche dans le tableau de variations d une fonction f indique : la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l intervalle correspondant ; la..........................................

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Convention dans un tableau de variations : Une flèche dans le tableau de variations d une fonction f indique : la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l intervalle correspondant ; la continuité de la fonction sur cet intervalle.

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe......................................................... Autrement dit, f prend, entre a et b, toute.......................................

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k. Autrement dit, f prend, entre a et b, toute.......................................

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k. Autrement dit, f prend, entre a et b, toute valeur intermédiaire entre f (a) et f (b).

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Corollaire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b]. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l équation f (x) = k admet....................................... Remarque : Ce corollaire s étend au cas d intervalles ouverts ou semi-ouverts, bornés ou non bornés en remplaçant si besoin f (a) et f (b) par les ites de f en a et en b.

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Corollaire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b]. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l équation f (x) = k admet une unique solution dans l intervalle [a; b]. Remarque : Ce corollaire s étend au cas d intervalles ouverts ou semi-ouverts, bornés ou non bornés en remplaçant si besoin f (a) et f (b) par les ites de f en a et en b.

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Illustration graphique : Cas où f est strictement croissante Cas où f est strictement décroissante

4- Théorème des valeurs intermédiaires - Tableaux de variations :

4- Exercices : Savoir Faire (livre)- Théorème des valeurs intermédiaires Livre Indice BORDAS - Page 53 Exercice 04 et 05 page 53

5- Dérivée d une composée - Dérivée de x f (ax + b) Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et deux réels a et b fixés. On note J l intervalle formé des réels x tels que (ax + b) I, et la fonction g : x f (ax + b). Alors la fonction g est dérivable sur J et, pour tout x de J : g (x) =............

5- Dérivée d une composée - Dérivée de x f (ax + b) Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et deux réels a et b fixés. On note J l intervalle formé des réels x tels que (ax + b) I, et la fonction g : x f (ax + b). Alors la fonction g est dérivable sur J et, pour tout x de J : g (x) = a f (ax + b)

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : g (x) =......... On retient : ( u ) =.........

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : On retient : ( u ) =......... g (x) = u (x) 2 u(x)

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : On retient : ( u ) = u 2 u g (x) = u (x) 2 u(x)

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) =......... Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) =......... que l on note aussi : (u n ) =......... u n

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) =......... que l on note aussi : (u n ) =......... u n

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) u n = n u u n+ que l on note aussi : (u n ) =.........

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) u n = n u u n+ que l on note aussi : (u n ) = nu u n.

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Remarque : ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d une fonction composée On admettra le résultat général : x v(u(x)) (v u) (x) = (v(u(x))) =..................

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Remarque : ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d une fonction composée On admettra le résultat général : x v(u(x)) (v u) (x) = (v(u(x))) = u (x) v (u(x)).

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Preuve de la propriété 2 (premier point) Démontrons par récurrence que la propriété P n : "u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n " est vraie pour tout n. Initialisation : pour n =, la fonction u = u est dérivable sur I. Sa dérivée est : (u ) = u =.u.u 0, donc la propriété est vraie au rang.

5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

5- Exercices : Savoir Faire (livre)- Dérivées des fonctions composées Livre Indice BORDAS - Page 8 Exercice 48, 49, 53 et 62 page 86

Algorithmes et fonctions

6- Exercices : Savoir Faire (livre)- L analyse mathématique, faite au préalable, permet grâce au théorème des valeurs intermédiaires d affirmer : si f est continue croissante sur [a; b] et si k [f (a); f (b)], ou si f est continue décroissante sur [a; b] et si k [f (b); f (a)], alors l équation f (x) = k admet une solution unique α dans [a; b].

6- Méthode par dichotomie- Cette méthode permet de déterminer un encadrement de la solution α. A chaque étape l amplitude de l intervalle contenant la solution est divisé par deux. En dix étapes, on gagne environ trois décimales puisque 2 0 000. Exemple d algorithme :

6- Méthode par "balayage"- Encadrement de la solution de l équation f (x) = k dans le cas d une fonction strictement croissante avec f (a) k f (b) : Exemple d algorithme :

6- Méthode par "balayage"- Exemple On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 + x. Démontrer que l équation f (x) = 0 admet une solution unique notée α sur R. Utilisation de la calculatrice : en utilisant l algorithme de dichotomie, écrire un programme et déterminer un encadrement de α à 0 3 près. Écrire un deuxième programme utilisant la méthode par balayage. Commenter les affichages de chaque programme. Compléter les programmes en ajoutant une variable nommée "cpt" initialisée à 0 et incrémentée à chaque passage dans la boucle. Combien de fois est parcourue la boucle Tant que dans chaque programme?

7- Algorithme : déterministe à pas constant-

7- Algorithme 2 : tabulation «aléatoire» d une fonction-

8- Test de la monotonie- Attention, cet algorithme peut permettre de montrer que la fonction n est pas monotone ou que la fonction peut être monotone mais dans ce cas il se peut qu elle ait des variations de sens contraires sur certains intervalles très courts. Algorithme :