TRAVAUX DIRIGÉS NUMÉRO 4

Université Paris 7 - M Modélisation Aléatoire - Calcul Stochastique TRAVAUX DIRIGÉS NUMÉRO 4 INTÉGRALE DE WIENER ET D ITÔ 1. Retour feuille 3 : Martingales du mouvement brownien. Temps d atteinte Exercice 1. Étant donné un mouvement brownien réel (B t t, on définit pour tout a R la quantité suivante : T a = inf{t, B t = a}. I.: Dans cette partie on cherche la loi de T a. Sans perte de généralité, on va supposer dans cette partie que a >. (cf T =, et par un argument immédiat de symmétrie on aura T a loi = T a. (1 Montrer que T a est un temps d arrêt. ( Étant donné θ R, montrer que pour tout n N : E [ exp ( θb Ta n (θ /(T a n = 1. Retrouver en particulier que P(T a < = 1. (3 Etablir que : λ >, E(exp( λt a = exp ( a(λ 1/. On pourra utiliser un résultat de la feuille précédente. Remarque : La transformée de Laplace inverse de l expression précédente est connue, et on peut en déduire que la loi de T a admet pour densité la fonction : x R a(π 1/ 1,+ [ (xx 3/ exp ( (1/a x 1. (4 Déduire de la question précédente que E(T a = +. (5 Expliquer pourquoi les questions précédentes permettent de retrouver la propriété de récurrence du mouvement brownien. II.: On s intéresse désormais, pour a >, b >, au premier temps τ a,b de sortie de l intervalle [ a, b. (1 Vérifier que τ a,b = T a T b, et calculer P[B τ = a, P[B τ = b. ( On note α = λ, β = λ. Vérifier que M t = (exp(βb exp( βa exp(αb t λt + (exp( αa exp(αb exp(βb t λt, t est une martingale, et en déduire E[exp( λτ a,b pour λ >. Simplifier l expression obtenue lorsque a = b. III.: Le but de cette partie est de reprendre la méthode utilisée dans les questions précédentes pour calculer la loi des temps d atteinte d un mouvement brownien avec dérive c R : (X t = B t + ct, t. 1

(1 Vérifier que si γ > est fixé (exp(θx t λt, t est une martingale pourvu que λ = θc + θ /, ce qui se produit pour deux valeurs distinctes de θ, notées α et β, avec α < < β. En déduire la transformée de Laplace de T a := inf{t, X t = a}. Que vaut P(T a <? ( Montrer que M t = (exp(βb exp( βa exp(αx t λt + (exp( αa exp(αb exp(βx t λt, t est une martingale et utiliser le théorème d arrêt optionnel pour exprimer la transformée de Laplace de τ a,b = T a T b. Remarque : Pour le calcul de la transformée de Laplace de τ a,b, l introduction de (M t, t n a rien de mystérieux : on l a cherchée sous la forme f(x t exp( γt en choisissant f de sorte que f(a = f(b (évidemment dans le but de pouvoir exprimer facilement E(M τa,b. Exercice. (D après Examen 7-8. On considre un F-mouvement brownien réel W sur l espace filtré (Ω, A, F, P et on pose τ := inf{t > : W (t ( A, B }, avec A et B >. (1 Montrer que pour tout θ R le processus X θ défini par ( ( ( ( 1 B A X θ (t := exp θ t cos θ W (t, t, est une martingale. ( τ est-il un temps d arrêt? Montrer que ( 1 X θ (τ = exp θ τ cos (( A + B θ. (3 Montrer que si θ [, π/(a + B (on fera cette hypothèse pour la suite de l exercice alors X τ θ (avec Xτ θ (t := X θ(t τ est une martingale positive. (4 Déduire de (3 que [ ( 1 E exp θ τ cos ((A Bθ/ cos ((A + Bθ/. (5 Montrer alors que E sup t Xθ τ (t < et conclure que [ ( 1 cos ((A Bθ/ E exp θ τ = cos ((A + Bθ/.. Intégrale de Wiener Exercice 3. Définition : Un espace gaussien (centré est un sous-espace fermé de L (Ω, A, P formé de variables aléatoires gaussiennes centrées. On munit un tel espace de la norme L (P, X = E[X. (1 Montrer que si (X 1,..., X d est un vecteur gaussien centré, alors Vect(X 1,.., X d est un espace gaussien. ( Soit {X t, t T } un processus gaussien (centré. Montrer que Vect(X t, t T est un espace gaussien. (3 Soit (E, E un espace mesurable et µ une mesure σ-finie sur E. Montrer qu il existe un espace gaussien G et une isométrie G de L (E, E, µ dans (G,..

(4 Soient (E, E mesurable, µ une mesure σ-finie sur E, G un espace gaussien et G : L (E, E, µ G une isométrie. Avec un léger abus de notation on définit G(A := G(1 A. (a Soient A 1,..., A n des éléments de E disjoints tels que µ(a i < 1 i n. Montrer que (G(A 1,..., G(A n est un vecteur gaussien dont la matrice de covariance est diagonale. (b Soit A E tel que µ(a <, {A i, i 1} une partition de A. Montrer que G(A = i 1 G(A i, où la série converge dans L (P. (5 Soient (E, E mesurable, µ une mesure σ-finie sur E, G un espace gaussien, G : L (E, E, µ G une isométrie, et A E tel que µ(a <. On suppose qu il existe une suite de partitions ({A n i, 1 i k n} n N de A vérifiant Montrer que, dans L (P, lim n lim sup µ(a n n i =. i k n [ kn G(A n i = µ(a. i=1 (6 Application : Soit G une isométrie de L (R +, B(R +, λ dans un espace gaussien G. (a Montrer que (B t := G(1 [,t t définit le pré-mouvement brownien, et trouver, pour t fixé [ n lim n i=1 (B(ti/n B(t(i 1/n Généraliser le résultat précédente à une suite quelconque de subdivisions de l intervalle [s, t (où s < t dont le pas tend vers. (b Quelle est l image par G d une fonction f en escalier sur [, T? Soit T R +. Quelle est l image par G d une fonction f quelconque de L ([, T, B(R +, λ? Que peut-on en déduire sur la loi de T f(sdb s? Et sur celle de. ( T f 1(sdB s,..., T f p(sdb s? Exercice 4. Étant donnés un mouvement brownien réel (B t t, une v.a. Z indépendante de (B t t et une fonction mesurable et de carré intégrable f : R + R, montrer que sont deux v.a. indépendantes. Z et + f s db s Exercice 5. Étant donné un mouvement brownien réel (B t t, on définit le processus (X t t par : t, X t = 1/ Montrer que ce processus est un mouvement brownien. (s 1/ db s. Exercice 6. Étant donnés un mouvement brownien réel (B t t et V une v.a.r. indépendante de B, on définit le processus (V t t (dit d Ornstein-Uhlenbeck par : t, V t = exp( tv + exp[ (t sdb s. (1 Montrer que (V t t converge en loi vers une loi gaussienne N (, 1/. 3

( On suppose dans la suite de l exercice que V N (, 1/, et que V est indépendante de B. Montrer que V est un processus gaussien de loi stationnaire (i.e. la loi de V t est indépendante de t. (3 Que dire des fonctions de moyenne et de covariance de V? (4 Montrer que le processus (W t = (t 1/ V log(t/ t 1 admet les mêmes lois fini-dimensionnelles que le mouvement brownien (B t t. Exercice 7. Étant donné un mouvement brownien réel (B t t, on désigne par H l espace gaussien associé à (B t t 1, c est-à-dire : (1 Montrer l égalité suivante : { 1 H = H = Vect{B t, t 1} L (Ω,A,P. } f s db s, f L ([, 1. ( Étant donnés X H et f L ([, 1, montrer l équivalence entre les deux propriétés suivantes : a. P p.s., X = 1 f s db s b. t [, 1, E(XB t = f s ds. [ 1 (3 Pour t [, 1, que vaut E f(sdb s F t? (4 Étant donnée une fonction f : [, 1 R + de classe C 1, démontrer (cette première formule d intégration par parties : P p.s., 1 f s db s = f 1 B 1 1 f sb s ds. Exercice 8. Etant donnés un mouvement brownien réel (B t t et une fonction f L loc (R +, on note ( M t = f s db s (1 Montrer que M est un processus gaussien dont on calculera la covariance. En déduire que M est à accroissements indépendants. ( Rappelons que M est p.s. continue. Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que M soit un mouvement brownien. (3 Étant donnée une fonction g L loc (R +, on pose pour tout t : ( N t = g s db s. Montrer que les processus M et N sont indépendants si et seulement si : f t g t = p.p.. 4 t t

3. Intégrale d Itô Exercice 9. I. Sur un espace filtré (Ω, F, {F n }, P on considère deux martingales (M n, n, (N n, n telles que pour tout n, E[M n <, E[N n <. (1 Pour k 1, on note N k := N k N k 1, M k = M k M k 1. Montrer que n M n N n M N = (M k 1 N k + N k 1 M k + M k N k. ( En déduire que est une {F n }-martingale. k=1 U n := M n N n M N n M k N k, n II. On considère un mouvement brownien (B t, t et (π n : = t n < tn 1 <... < tn p n = T une suite de subdivisions de [, T dont le pas tend vers. Enfin on note Q πn la variation quadratique de B le long de π n. Montrer que B T = p n k=1 k=1 B t n k 1 (B t n k B t n k 1 + Q πn. Quelle est la limite de chacun de ces termes lorsque n? En déduire la valeur de B sdb s. Par une méthode similaire, établir, pour tout t, la relation suivante : B s db s = 1 3 B3 t B s ds. Que dire, pour n, de Bn s db s? de f(b sdb s, pour f C (R, R? Exercice 1. Soient φ, ψ M, montrer que { M t := φ(sdb s ψ(sdb s est une martingale. } φ(sψ(sds, t Exercice 11. Dans tout l exercice, (B t t désigne un mouvement brownien relativement à une filtration (F t t. Par ailleurs, (H t t désigne un processus progressivement mesurable relativement à la filtration (F t t tel que [ t, E Hs ds < +. Pour tout t, nous posons ( M t = exp H s db s 1 Hs ds. L objectif de l exercice est de démontrer que sous la condition [ ( ( ε > : t. E exp (1 + ε Hs ds < +. le processus (M t t est une martingale relativement à la filtration (F t t. Dans le cas H = λ R, il vient en particulier que le processus ( exp(λbt λ t t, 5

est une martingale relativement à (F t t. Remarque. La condition ( n est pas optimale. Le résultat est en fait encore vrai sous la condition dite de Novikov [ ( 1 t E exp Hs ds < +. (1 On suppose qu il existe une constante K telle que pour tout t, P{ H t K} = 1. Démontrer, pour tout t, l inégalité [ ( E exp H s db s exp( 1 K t. On pensera à approcher H par une suite de processus simples. ( Pour s, on considère une v.a. Z F s mesurable et intégrable. Montrer, sous l hypothèse de la question précédente, que pour t > s [ ( E Z exp H r db r 1 Hr dr = E(Z. s En déduire que (M t t est une martingale relativement à la filtration (F t t. (3 Sous l hypothèse de la question (1, montrer que pour tout p >, [ ( E exp (1 + p H s db s 1 + p Hs ds [ [ ( ( + p(1 + p p/(1+p E exp Hs ds. Indication. On pourra poser λ = (p + p(1 + p et utiliser la décomposition ( exp (1 + p H s db s 1 + p Hs ds ( (1 + t ( p3 λ t = exp (1 + p H s db s Hs ds exp Hs ds, afin d appliquer l inégalité de Hölder avec exposants 1 + p et (1 + p/p. (4 Conclure sous la condition (. On pourra approcher H par des processus vérifiant l hypothèse de la première question et appliquer un argument d uniforme intégrabilité. Exercice 1. Cet exercice fait suite au précédent. Il s agit de démontrer le résultat sous la condition [ ( 1 + ε t ( ε >, t E exp Hs ds < +, très proche de la condition de Novikov. (1 Montrer que l équation (1 + p (1 + ε 1 + ε admet une solution p >. s = 1 (1 + p4, ( Sous les hypothèses de la condition (, on pose pour tout n 1, t, H n t = Φ n (H t, 6

où Φ n (x vaut x pour x n et nsgn(x pour x > n. Montrer que le p > précédent [ ( E exp (1 + p Hs n db s (1 + p + ε ( 1 + ε t (Hs n ds exp (Hs n ds [ [ ( 1 + ε t p/(1+p E exp Hs ds. On pourra appliquer l inégalité de Hölder avec les exposants 1 + p et (1 + p/p, sous une mesure bien choisie. (3 Déduire de la question précédente que la suite ( exp Hs n db s 1 est uniformément intégrable sous P. (4 Conclure. (Hs n ds, Exercice 13. Étant donnés un mouvement brownien réel (B t t et une fonction f C (R, R, on suppose que : [ t, E f (B s ds < +, de sorte que le processus donné par : t, M t = f (B s db s est une martingale relativement à la filtration naturelle de B. On suppose également que : t, E f (B s ds < +. (1 Montrer que : ( En déduire, pour n 1, l égalité : t, E [ f(b t = f( + 1 E [ t, E [ B (n+1 t = n(n + 1 (3 Retrouver l égalité E(Bs n = s n [(n!/[ n n!. f (B s ds. E [ Bs n ds. 7