Mouly El Mehdi Flloul Ue itroductio à l recherche opértioelle et u mgemet des projets
Itroductio L Recherche opértioelle (RO) est ue disciplie qui trite de l pplictio des méthodes d lyse vcées pour ider à predre de meilleures décisios. Employt des techiques des scieces mthémtiques, tels que l modélistio mthémtique, l lyse sttistique, et l optimistio mthémtique, l recherche opértioelle cherche des solutios optimles ou qusi optimle à des problèmes complexes de prise de décisio. L Recherche opértioelle (RO) eglobe u lrge évetil de problèmes techiques et des méthodes ppliquées ds l poursuite de l méliortio du processus décisioel et d efficcité, tels que l simultio, l optimistio mthémtique, l théorie des files d ttete et les processus stochstiques, les chies de Mrkov, les méthodes écoométriques, l lyse des doées, les réseux de euroes, les systèmes experts, l lyse décisioelle et le processus de hiérrchie lytique. L qusi-totlité de ces techiques impliquet l costructio de modèles mthémtiques qui tetet de décrire le système. Les priciples sous-disciplies modere de l recherche opértioelle, tels que défiis ds l revue recherche opértioelle, sot etre utres : les techologies de l iformtique et de l iformtio, l écoomie et l fice ppliquée, le géie idustriel, le mgemet des projets, l gestio de l chîe d pprovisioemet, l simultio, le trsport et l logistique. L Gestio de projet est le processus et l ctivité de plifictio, d orgistio, de motivtio, et de cotrôle des ressources, des procédures et des protocoles pour tteidre des objectifs spécifiques ds les
problèmes scietifiques ou quotidiees. U projet est u effort temporire coçu pour produire u produit ou u mrché (costructio d u bâtimet, coceptio d u logiciel, etc) qui est géérlemet de durée limitée, et souvet limité pr le ficemet suivt u chier de chrge spécifique. L gestio de projets utilise très souvet les techiques de l recherche opértioelle ds les différets stdes des projets. Cet ouvrge, costitut ue itroductio ux disciplies de l recherche opértioelle et du mgemet des projets, se divise e trois chpitres, le premier chpitre est coscré l progrmmtio liéire et les chies de Mrkov, le deuxième chpitre porte sur les techiques usuels de mgemet des projets, et le troisième chpitre est coscré à l théorie des grphes. 4
Chpitre I L optimistio liéire I. Ue itroductio à l optimistio liéire L progrmmtio liéire est u outil très importt de l recherche opértioelle. C est u outil géérique qui peut résoudre u grd ombre de problème de l igéierie de gestio. E effet, ue fois u problème modélisé sous l forme d équtios liéires, des méthodes ssuret l résolutio du problème de mière excte. Les doées et iformtios écessires à l résolutio du problème sot supposées et coues d ue mière certie. Ce qui plce l progrmmtio liéire ds l fmille d ide à l décisio e eviroemet certi. Les méthodes d optimistio mthémtiques sot ujourd hui courmmet utilisées ds le domie des techiques idustrielles et de l igéierie de gestio. Ces méthodes se crctériset pr le fit qu elles permettet de teir compte de cotrites doées sous l forme d iéglités. Géérlemet, o ppelle progrmmtio mthémtique, l recherche de l optimum d ue foctio de plusieurs vribles liées etre elles pr des cotrites liées etre elles pr des cotrites sous forme d églités ou d iéglités.. LES BASES MATHEMATIQUES DE LA PROGRAMMATION LINEAIRE L Progrmmtio liéire se préoccupe de résoudre u problème mthémtique, à svoir mximiser ou miimiser ue foctio liéire de vribles (ppelés l foctio objective) Avec m cotrites liéires, qui est : 5
6 mx imiser ou mi imiser z = c x + c x + c x + LL + c x Sous cotrites,x +, x +, x + LL +, x > b,x +, x +, x + L L +, x > b,x +, x +,x + L L +, x > b > > m, x + m, x + m,x + LL + m, x > Et les cotrites triviles x 0, x 0, x 0,. 0. x E termes mtricielles, u modèle de progrmmtio liéire est : mx imiser ou mi imiser z = c x Tel que Ax r r < b x v 0 Où A est ue mtrice m, A =, m,,,, m,,,, m, T r x c b x c b r b = b x, x r c = et c r = b m x c Les coefficietsc, c, c,, c sot ppelés coefficiets de coût. L progrmmtio liéire est ue techique mthémtique lrgemet utilisée, coçue pour ider les gestioires et les igéieurs ds l plifictio et l prise de décisios reltives à l ffecttio des ressources. L progrmmtio liéire est si importte, prce que tt de problèmes différets ds de ombreux domies diversifiés sot modélisé mthémtiquemet pr le problème mthémtique de progrmmtio liéire, à svoir : T r mx imiser ou mi imiser z = c x Tel que : Ax r r v < b x 0. b m
E effet l solutio des problèmes de progrmmtio liéire ds l idustrie, gouveremets et étblissemets uiversitires prtout ds le mode représete l u de l plus grde qutité de temps de clcul e clcul scietifique (pr oppositio u tritemet des doées). Voici quelques-us des pricipux domies où l progrmmtio liéire été lrgemet et vec succès ppliqué : () Optimistio d ue rffierie de pétrole. () Réprtitio de l productio. (4) Problèmes de distributio. (5) Plifictio ficière et écoomique. Vue d esemble Progrmmtio qudrtique Mx f Mi L = + +L ( x x) x x, x Foctio objective liéire Mx f ( x Mi Progrmmtio liéire Lx) = cx + cx foctio objective o liéire + L+ c x Sous réserve de m cotrit liéires sous réserve de m cotrites liéire,x +, x + L +, x = b,x +, x + L +, x = b, x +, x + L +, x = b,x +, x + L +, x = b ------------------------------------------ -------------------------------------- x x + + x = b m, + m, L m, m Progrmmtio géométrique Mx f ( x, x, x, LL, x ) foctio objective o liéire Mi Sous réserve de m cotrites o liéire { g( x, x, x, LL, x ) = 0 { g ( x, x, x, LL, x ) = 0 ------------------------------ ------------------------------ { gm ( x, x, x, LL, x ) = 0 { g ( x, x, x, LL, x ) = 0 m 7
Progrmmtio mthémtique ou No liéire Trouver le vecteur t r tel que : Mi foctio g ( r ) 0 t Tel que t > 0, t > 0, L, t > 0 et g( t r ), g( t r ) ---------- k j r r Gi, j et g k ( t ) = Pj ( t ) et Pj ( t r ) = c j ti. j= i=. QUELQUES DEFINITIONS IMPORTANTES L forme géérle d u modèle de progrmmtio liéire se compose de : (i) u objectif à mximiser ou miimiser certis z qutité, ppelée l foctio objective, qui s exprime comme ue combiiso liéire des vribles. (ii) des cotrites o égligebles sur les vribles qui sot des iéglités ou équtio mettt e cuse des combiisos liéires des vribles. (iii) des cotrites de positivité sur les vribles pour s ssurer que chcu d eux est positive ou ulle. Il peut être exprimé mthémtiquemet comme suit : Optimiser z = c x + c x + c x + LL + c x Sous c/t c j,x +, x +, x + L L +, x b = /,x +, x +,x + L L +, x b = / / b / b M M M x + x + x + L + x b / = / b i, i, i, L M M M x + x + x + L + x b / = / b.,,, L i, Tel que x i, =, 0, i =,,, L,, ( j =,,L, ) (ppelés les coefficiets de coût) ( i =,, L, m, j =,, L, ) et ( i =,, L, m) sot les prmètres i, j du modèle. b i i i 8
Nous devrios iclure les coûts d exploittio c (qui sot cesés pour être costt, bie qu il soit souvet commode de les omettre) ds l foctio objective. Cepedt que ous chgeos effectivemet l foctio objective du bééfice z z = c j= j x j = z c Où c représete le totl de l vleur de l costte. Pr coséquet, il est importt, lors de l résolutio des problèmes de progrmmtio liéires de e ps oubliez ps d jouter de l vleur de tous les termes costts omises ds l foctio objective à l vleur mximle (ou miimle) de z fi de détermier l vleur correcte du profit mximum (ou coût miimum). Mitet, il est très importt que ous sommes e mesure de covertir l forme géérle d u problème de progrmmtio liéire e ue forme stdrd, cr si ous vos u problème de progrmmtio liéire sous forme stdrd, ous pouvos obteir quelques résultts théoriques très puissts.. THEOREME DE DUALITE U modèle de progrmmtio liéire est de forme clssique, si elle est exprimée sous l forme : T Mximiser z = c x sous Ax r r r b, x 0. Aucue restrictio sur le sige de b r. Pour covertir u modèle de progrmmtio liéire sous forme stdrd, ous procédos comme suit : () Supprimer tout terme c costt de l foctio objectif e remplçt : rt r r z = c x + c pr z c T r = x tel que z = z c. () Si le problème est u problème de miimistio : r Miimiser z c T r = x, r Le réécrire comme mximiser z c T r = x Tel que : z = z et c = c. 9