Mathématique ECS 0 Sept. 06 Devoir surveillé. Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de points pour les copies mal rédigées. La durée de l épreuve est de 4 heures. Aucune sortie avant la fin de l épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées. Si, au cours de l épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés à prendre. Ce sujet comporte quatre exercices indépendants. Exercice. On considère le nombre complexe z = + +i. () Donner la forme algébrique de z. On a ( z = + +i ) = (+ ) ( )+i = +i () En déduire la forme trigonométrique de z. z = 4 ( ) + i = 4e iπ 6 () Déterminer alors la forme trigonométrique de z. On justifiera soigneusement cette détermination. On peut remarquer que : 4e iπ 6 = (e i π ) donc puis par factorisation, on a impliquant alors z = (e i π ) ou encore z (e i π ) = 0 (z e i π )(z +e i π ) = 0 z = e i π ou z = e i π. Puisque la partie réelle de z est strictement positive, la bonne égalité est ce qui est la forme trigonométrique de z. (4) En déduire le sinus et le cosinus de π. z = e i π Puisque z = e i π, on obtient par identification des parties réelles et imaginaires : Re(z) = + ( π = cos et Im(z) = ) ( π = sin ) donnant ensuite ( π + cos = ) ( π et sin = 4 ) 4 Exercice. Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun sujets. On dispose donc de vingt sujets que l on place dans 0 enveloppes identiques. Deux candidats se présentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième. On note A l événement : «les deux sujets obtenus par le premier candidat proviennent du même examinateur» et A l événement : «les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur». On note A l événement contraire de l événement A. On rappelle que la notation P A (B) désigne la probabilité que l événement B soit réalisé sachant que l événement A l est.
() Montrer que la probabilité de l événement A est égale à 9. Pour le premier candidat, il y a 0 sujets possibles au premier tirage et 9 sujets possibles au second tirage, ce qui fait 0 9 cas possibles. Parmi tous ces cas, il y a 0 cas favorables où les deux sujets proviennent du même examinateur. On a donc P(A ) = 0 0 9 = 9. () (a) Calculer directement la probabilité conditionnelle P A (A ) que A soit réalisé sachant que A l est. Puisque A est supposé réalisé, il reste pour le second candidat, 8 sujets possibles pour son premier tirage et 7 pour son second tirage, ce qui lui fait en tout 8 7 cas possibles. Comme le premier candidat a obtenu deux sujets du même examinateur (on sait que A est réalisé), il ne reste plus que 8 cas favorables à A donc P A (A ) = 8 8 7 = 7. (b) Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets provenant d un même examinateur est égale à. Il s agit de calculer ici la probabilité de A A. Or, on dispose de la formule (des probabilités conditionnelles) : P(A A ) = P(A ) P A (A ) qui fournit donc P(A A ) = 9 7 =. () (a) Calculer la probabilité P A (A ). Pour le calcul de cette probabilité, on suppose donc que A n est pas réalisé. Il y a donc pour le second candidat, 8 7 cas possibles et parmi ces cas, il reste 6 cas favorables à A où les deux sujets proviennent du même examinateur. On a donc P A (A ) = 6 8 7. (b) En remarquant que A = (A A ) ( A A ), calculer la probabilité P (A ) puis en déduire que P (A A ) =. D une part, A = (A A ) ( A A ), et d autre part, les événements A A et A A sont incompatibles donc P(A ) = P(A A )+P(A A ) et avec la formule des probabilités conditionnelles, on obtient Par suite, P(A ) = +P(A )P A (A ) = + 8 9 6 8 7 = 7 = 9. P(A A ) = P(A )+P(A ) P(A A ) = 9 =. (4) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi chacun deux sujets provenant d un même examinateur. La variable aléatoire X prend donc les valeurs 0, ou. (a) Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire X. P(X = 0) = P(A A ) = P(A A ) = = 90 P(X = ) = P(A A )+P(A A ) = 9 + 6 = P(X = ) = P(A A ) = (b) Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. On trouve E(X) = 0 P(X = 0)+ P(X = )+ P(X = ) = 4 = 9
Exercice. La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : j 0 O - - f(x) = x + x. 0 ı C - -4 () (a) Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f (x) est du signe de N(x) = [ ( x x ) +. ] La fonction f est dérivable sur ]0,+ [ comme somme et quotient défini de fonctions dérivables. On trouve, pour tout x > 0, f x x x x x (x) = = x = x x x x x. x Puisque x > 0, le signe de f (x) dépend donc de celui de x x = ((x x )+) = N(x). (b) Calculer N() et déterminer le signe de N(x) en distinguant les cas 0 < x < et x >. Clairement N() = 0. Pour x >, on a x > et x > donc x x >. La croissance stricte de la fonction logarithme implique > ln() = 0 donc (x x )+ > 0 et par conséquent N(x) < 0. Pour 0 < x <, on a 0 < x < donc 0 < x x <. La croissance stricte de la fonction logarithme implique < ln() = 0 donc (x x )+ < 0 et par conséquent N(x) > 0. (c) En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; + [ et les coordonnées du point de C d ordonnée maximale. 0 + x f (x) f + 0 () On note A() l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où désigne un réel de ]0 ; [. (a) Soit g la fonction définie sur ]0,+ [ par g(x) = x. Calculer g (x) et en déduire une primitive sur ]0,+ [ de la fonction x. x 0 La fonction g est bien sûr dérivable sur ]0,+ [ comme produit de fonctions dérivables et g (x) = x x + x = + x x qui donne ( = g (x) ) = ( g(x) x ) = ( x( )). x x Une primitive de la fonction x x est donc la fonction x x( ).
(b) Exprimer alors A() en fonction de. D après le calcul intégral A() = = f(x)dx x dx+ ( x)dx = [ x( ) ] + [ x x ] = 7 + ln() 4 + (c) Calculer la limite de A() lorsque tend vers 0. Donner une interprétation graphique de cette limite. Le théorème des croissances comparées donne lim 0 ln() = 0 et par suite lim 0 A() = 7. Cette limite est l aire algébrique (en unité d aire) de la région délimitée par la courbe de f, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x =. Exercice 4. On considère l algorithme suivant : Saisir un réel strictement positif non nul a Entrée Saisir un réel strictement positif non nul b(b > a) Saisir un entier naturel non nul N Affecter à u la valeur a Initialisation Affecter à v la valeur b Affecter à n la valeur 0 TANT QUE n < N Affecter à n la valeur n+ Affecter à u la valeur a+b a +b Traitement Affecter à v la valeur Affecter à a la valeur u Affecter à b la valeur v Sortie Afficher u, afficher v () Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4, b = 9 et N =. n a b u v 0 4 9 n a b u v 0 4 9 4 9 + 97 97 6 8 + 97 Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0 < a < b. On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : u 0 = a,v 0 = b et, pour tout entier naturel n : 97 6 8 u n+ = u n +v n et v n+ = u n +v n () (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u n > 0 et v n > 0. Pour tout n N, notons P n la propriété : «u n > 0 et v n > 0.» Pour n = 0, on a u 0 = a > 0 et v 0 = b > 0. 4
Soit n N tel que P n est vraie. Montrons que P n+ est vraie. Puisque, par hypothèse de récurrence, u n > 0 et v n > 0, on a u n +v n de récurrence implique u n +vn > 0 donc v n+ > 0. Ainsi, la propriété P n+ est donc vraie dès que P n est vraie. D après le principe de récurrence sur N, pour tout n N,u n > 0 et v n > 0. ( ) (b) Démontrer que, pour tout entier naturel n : vn+ u un v n n+ =. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a u n v n. Pour tout n N, > 0 donc u n+ > 0. De même, l hypothèse v n+ u n+ = u n +v n ( ) un +v n = u n +vn u n v n 4 ( ) un v n =. Puisqu un carré est positif, on a pour tout entier naturel n, v n+ u n+. Par ailleurs les suites (u n ) et (v n ) sont strictement positives et on sait que des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. Par conséquent, pour tout entier naturel n, v n+ u n+ et puisque cela est vrai aussi pour u 0 et v 0, la conclusion est acquise. () (a) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. Pour tout entier naturel n, donc la suite (u n ) est croissante. u n+ u n = u n +v n u n = v n u n (b) Comparer v n+ et v n. En déduire le sens de variation de la suite (v n). Pour tout entier naturel n, v n+ v n = u n +v n v n = u n v n donc v n+ v n. La suite (v n) étant positive, on a v n+ v n. La suite (v n ) est donc décroissante. (4) Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes. D après les questions précédentes, on peut affirmer, pour tout entier naturel n, u 0 = a u n v n v 0 = b. La suite (u n ) est croissante et majorée par b donc elle converge. La suite (v n ) est décroissante et minorée par a donc elle converge. 0 0 5