DIPLOME NATIONAL DU BREVET JANVIER 2014 Exercice 1 : /3 On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD] pour l armature métallique et le segment [CD] pour l assise en toile. On CG = DG = 30 cm, AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm. Pour des raisons de confort, l assise [CD] est parallèle au sol représenté par la droite (AB). Déterminer la longueur CD de l assise. Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si le travail n est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation. On reconnait une configuration de Thalès : dans les triangles GDC et GAB on sait que : Les points G, C, B sont alignés, les points A, G, D sont alignés et les droites (CD) et (AB) sont parallèles donc on peut écrire : Donc En faisant un produit en croix, on obtient : CD = 34. L assise du tabouret mesure 34 cm Exercice 2 : /4 Léa observe à midi, au microscope, une cellule de bambou. Au bout d une heure, la cellule s est divisée en deux. On a alors deux cellules. Au bout de deux heures, ces cellules se sont divisées en deux. Léa note toutes les heures les résultats de son observation. A quelle heure notera-t-elle, pour la première fois, plus de 200cellules? Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si le travail n est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.
0h : 1 cellule 1h : 2 cellules 2h : 2x2 = 4 cellules 3h : 2x2x2 = 8 cellules 4 h : 2x2x2x2= 16 cellules. 7h : 2 128 8h : 2 256 Au bout de 8h, on pourra observer plus de 200 cellules, il sera alors 20h. Exercice 3 : VRAI ou FAUX? /4 Quatre affirmations sont données ci-dessous. 1 Affirmation 1 : est un nombre décimal. Vrai car c est aussi 0,125 8 Affirmation 2 : 72 a exactement cinq diviseurs. Faux les diviseurs de 72 sont : 1-2-3-4-6-8-9-12-18-24-36-72 ce qui fait plus de cinq diviseurs Affirmation 3 : Si n est un entier, (n 1)(n+1) + 1 est toujours égal au carré d un entier. Vrai pour n importe quel nombre entier, en effet : 1+1 ² Affirmation 4 : Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux. Faux, par exemple 15 et 25 sont impairs mais ils ont comme diviseurs communs 1 et 5 Pour chacune, indiquez si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse.
Exercice 4 /4.5 La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. Il n est pas demandé de la reproduire. (C ) est un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm. M est un point du cercle tel que BM = 4,8 cm. 1. Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M./1 2. Calculer la longueur AM./1.5 3. Calculer la mesure de l angle ABM (arrondir au degré près.)/2 1. On sait que M est un point du cercle de diamètre [AB] donc AMB est rectangle en M 2. Puisque le triangle AMB est rectangle en M, on peut appliquer le théorème de Pythagore : + 6 +4,8 36= +23,04 AM² = 36 23.04=12.96 = 12.96=3.6 La longueur AM est égale à 3.6 cm. 3. Dans ce triangle, cos ABM = =. =0.6 donc ABM 53 Exercice 5 : /5 Voici la figure à main levée d un quadrilatère. 1. Reproduire en vraie grandeur ce quadrilatère. /2 2. Pourquoi peut-on affirmer que OELM est un losange? /1 3. Marie soutient que OELM est un carré, mais Charlotte est sûre que ce n est pas vrai. Qui a raison? /2 Pourquoi? L 1. La construction se fait avec le compas (on construit deux triangles isocèles) 2. OELM est un losange car les quatre côtés de ce quadrilatère ont la même longueur. 3. Il suffit de vérifier s il y a un angle droit : + =4 +4 =16+16=32 =5.6 =31.36 Donc l égalité de Pythagore n est pas vérifiée donc le triangle n est pas rectangle donc OELM n est pas un carré
Exercice 6 : /4.5 Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,40 m et la hauteur sous plafond est 2,80 m. Il comporte une porte de 2m de haut sur 0,80m de large et trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large. Les murs et le plafond doivent être peints. L étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture choisie. 1. Calculer l aire du plafond. /1 2. Combien de litre de peinture faut-il pour peindre le plafond?/0.5 3. Prouver que la surface de mur à peindre est d environ 54m²./1.5 4. Combien de litre de peinture faut-il pour peindre les murs?/0,5 5. De combien de pots de peinture l entreprise doit-elle disposer pour ce chantier?/1 1. =6.40 5.20=33.28 l aire du plafond est de 33.28 m² 2. 33.28 4=8.32 Il faut 8.32 L pour peindre le plafond 3. aire des murs aire des surfaces vitrées aire porte = 2 6.4 2.8+5.2 2.8 2 0.8 3 2 1.6=53.76 Donc cette aire est proche de 54 m² 4. 53.76 : 4 = 13.44. Il faut 13.44 L pour peindre les murs 5. (13.44 + 8.32) : 4 = 21.76 : 4 = 4.352 Il faudra 5 pots de peinture
Exercice 7 : /4 1. Déterminer le plus grand diviseur commun à 640 et 520. /2 dividende diviseur reste 640 520 120 520 120 40 120 40 0 Donc le pgcd est 40 2. On veut poser du carrelage dans une pièce rectangulaire de dimension 6,40m 5,20m. Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension. L entreprise a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm ou 45 cm. a. Parmi ces dimensions, lesquelles peut-on choisir pour que les dalles puissent être posées sans découpe? b. Dans chacun des cas trouvés combien faut-il utiliser de dalles? On ne veut pas faire de découpe, donc il faut trouver un diviseur commun à 640 et 520 : On peut choisir des dalles de 40 cm, on en met 16 sur la longueur et 13 sur la largeur donc 16 x 13 = 208 dalles On peut choisir des dalles 2 fois plus petites, 20 cm, on en mettra 4 fois plus : 832 Exercice 8 : QCM /7 Questions à choix multiples : Une seule réponse est correcte Indiquez sur votre copie le numéro de la question et sans justifier, recopiez la réponse exacte. Question Réponse A Réponse B Réponse C 1 (3x + 5 ) ² égale 9x² + 30x + 25 3x² + 25 9x² + 25 2 On a développé et réduit l expression : ( 3x 5) 2 + ( 3x 5)( 5x + 3) On a obtenu : 24 x² - 46 x Le terme manquant est - 40 10-5 3 6 4(x 2) est égal à 2x 4 14 4x 2 4x 4 32 est égale à 2 4 8 2 4 2 5 La valeur exacte de est 48 2 3,4641 24 2 3 6 Quelle est la fraction irréductible? 2 590 3 885 74 111 1 601 1 621
7 Le cosinus d un angle aigu est nombre : Inférieur à 1 Egal à 1 Supérieur à 1