Fonctions numériques d une variable réelle Dans la suite, f est une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté D f. On note alors : D f = { R ; f() eiste} On note C f sa courbe représentative. I. Limites : Si D f, on admet que pour les fonctions rencontrées, on a lim( ) f() = f( ). Prononcer : la limite de f de quand tend vers est f de En général, on recerce les limites au bornes ouvertes de D f. 1. Limites usuelles : Une fonction polynôme a la même limite en ± que son terme de plus aut degré. Eemple : lim( - ) (2 3 -²+1) = lim( - ) 2 3 = - Une fonction rationnelle a la même limite en ± que le quotient de ses termes de plus aut degré. Eemple : lim( + ) 2² + 3 = lim( + ) 2 ² = lim( + ) 2 = + Remarque : Limite en 3 de f() = 2² + 3 lim ( -3) (2²-1) = 17 lim ( -3) (+3) = Donc 2² + 3 tend vers + ou -. Or : lim ( -3 + ) (+3) = + donc lim( -3 + ) 2² = + + 3 ttp://www.bacdefrancais.net Page 1 sur 12
lim ( -3 + ) veut dire que se rapproce de la valeur -3, mais en lui restant supérieure (eemples : -2,95 ou -2,999 ) donc la limite de +3 se rapprocera de, mais sera une valeur positive (-2,999+3=,1>) notée +. Donc la limite est +. et lim ( -3 - ) (+3) = - donc lim( -3-2² ) = - + 3 Ici, lim ( -3 - ) veut dire que se rapproce de la valeur -3, mais en lui restant inférieure (eemples : -3,5 ou -3,1 ) donc la limite de + 3 se rapprocera de mais sera une valeur négative. 2. Téorèmes de comparaison : Si, pour suffisamment proce de, on a f ( ) u() avec lim( ) u() =, alors : lim( ) f() = Eemple d application : Trouver : lim( ).sin 1 Si, on a -1 sin 1 1 (cf. propriétés de la fonction sinus) Donc si >, on a alors : -.sin 1 et si <, on a alors :.sin 1 - (inversion du sens de l inégalité lorsqu on multiplie par une valeur négative) Donc, dans tous les cas :.sin 1 Comme lim( ) =, grâce au téorème eposé ci-dessus, on peut conclure que : lim( ).sin 1 =. Si, pour suffisamment grand, on a f ( ) m u() avec lim( + ) u() =, alors : lim( + ) f ( ) = m ttp://www.bacdefrancais.net Page 2 sur 12
Eemple d application : f ( ) = 4sin + 3 Trouver lim( + ) f(). f ( ) 3 = Or : -1 sin 1-1 4.sin + 3 7 4sin + 3-3 = Pour > 1, on a -1 >, donc : 4sin + 3-3 3 = 4sin + 3 4sin + 3 7 f ( ) 3 7 Comme 7 < pour > 1, on a : f ( ) 3 7 Comme Or lim( + ) conclure que : 7 =, grâce au téorème eposé ci-dessus, on peut lim( + ) f() = 3 3. Limites d une fonction composée : Si lim( ) g() = y et lim(y y ) (y) = z Remarque : (og)() est équivalent à (g()). alors lim( ) (og)() = z On suppose que D f ou que est une borne ouverte de D f et que y D g ou que y est une borne ouverte de D g. Eemple 1 : f() = ² + 1 Trouver lim( + ) f(). ttp://www.bacdefrancais.net Page 3 sur 12
On peut décomposer f comme suit : ²+1 ² + 1 On pose donc une fonction telle que ( ) = Et une fonction g telle que g() = ²+1 On a : f ( ) = ( g( )) = ( g)( ) Or lim( + ) (²+1) = lim( + ) g() = + et lim(y + ) y == lim(y + ) (y) = + donc lim( + ) (g()) = lim( + ) ² + 1 = + Eemple 2 : f ( ) = sin 3 Trouver lim( ) f ( ) sin 3 On peut décomposer f comme suit : 3 On pose donc une fonction telle que ( ) = Et une fonction g telle que g( ) = 3 sin 1 3 y y = sin y 3. y On a donc : f ( ) = ( g( )) = ( g)( ) lim( ) g( ) = lim( ) 3 = lim(y ) () = lim(y ) sin y 3. = 3 y Donc lim( ) sin 3 = 3 ttp://www.bacdefrancais.net Page 4 sur 12
4. Interprétation grapique des limites : Si lim( ) f ( ) = ±, alors C f admet une asymptote d équation =. = = Si lim( ± ) f ( ) = y, alors C f admet une asymptote d équation y = y. lim( + ) f ( ) = y lim( - ) f ( ) = y y = y y = y Si lim( ± ) f ( ) = ±, il est impossible de conclure a priori. Dans ce cas, la droite D d équation y = m + p est une asymptote de C f au voisinage de + si lim( + ) ( f ( ) (m + p)) =. Si cette limite est +, C f est au dessus de la droite D au voisinage de +. Il est parfois utile de connaître la position de C f par rapport à la droite D sur tout l ensemble de définition D f de la fonction f (et pas seulement en + ou - ). Pour cela, il faut étudier le signe de f ( ) (m + p). ttp://www.bacdefrancais.net Page 5 sur 12
Eemple : f ( ) = 3 + 1 Quel est l ensemble de définition de f? Déterminer les limites au bornes ouvertes de D f et les asymptotes (essayer avec une courbe d équation y = ² ) Ensemble de définition : la seule contrainte est que le dénominateur ne doit pas être égal à, donc on a obligatoirement. Donc D f = R* (c est-à-dire tout R, sauf ). Il faudra donc cercer les limites en +, -, + et - (ce sont les 4 bornes ouvertes de l ensemble de définition). Limites en + et - : 3 + 1 3 lim( ± ) = lim( ± ) = lim( ± ) ² Donc lim( + ) f ( ) = lim( - ) f ( ) = + Limites en : lim( + ) = + et lim( + ) 3 +1 = 1 donc lim( + ) f ( ) = + lim( - ) = - et lim( - ) 3 +1 = 1 donc lim( - ) f ( ) = - C f admet une asymptote d équation =. La droite d équation y = ² est-elle une asymptote de C f? 1 lim( ± ) f ( ) ² = lim( ± ) = Donc la droite d équation y = ² est bien une asymptote de C f au voisinage de + et -. II. Bijections : 1. Définition : f est une bijection de I sur J si f est une application de I sur J et que pour tout y J, il eiste un et un seul I tel que f ( ) = y. Différence avec une fonction : pour y J, il peut eister plusieurs tels que f ( ) = y. La fonction carrée f ( ) = ² est une bijection de [ ; + [ sur [ ; + [, mais n est pas une bijection de R sur R. Il est donc important de toujours préciser sur quels intervalles on se place. ttp://www.bacdefrancais.net Page 6 sur 12
Par eemple, pour y = 4, sur R on peut avoir = 2 ou = -2. En revance, sur [ ; + [ une seule valeur de eiste telle que f ( ) = y = ² = 4, à savoir =2. 2. Image d un intervalle : L image d un intervalle par une bijection est un intervalle. De plus, f ([a,b]) = [ f (a), f (b)] ou [ f (b), f (a)] Si a est une borne ouverte, on écrit : ] lim( a + ) f (), f (b)] Eercice d application : Montrer que la fonction f telle que f () = 2² + 1 est une bijection de [ ; + [ sur [1 ; + [. Soit y 1, on résout l équation 2²+1 = y 2² = y 1 ² = y 2 y Si, on a = 2 Pour tout y 1, il eiste un unique tel que y = f ( ). La fonction f est donc une bijection de [ ; + [ sur [1 ; + [. Téorème : Si f est une fonction dérivable et strictement monotone sur l intervalle I, alors f est une bijection de I sur f (I). ttp://www.bacdefrancais.net Page 7 sur 12
Eemple : f () = sin f est dérivable sur R. π 3π De plus f () = 1 cos. Sur l intervalle ] ; [ on a f () > donc f strictement 2 2 π 3π π 3π π 3π monotone, donc f est une bijection de ] ; [ sur ] f ( ); f ( ) [ = ] ; + 1[. 2 2 2 2 2 2 De plus : Si f est une bijection de [a ;b] sur [ f (a) ; f (b) ] et f ( a). f ( b) < alors l équation f ( ) = admet une et une seule solution dans [a ;b]. III. Calculs différentiels : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant et + (avec ). f ( + ) f ( ) Si et seulement si lim( ) eiste et est finie ( ) alors f est dérivable en et la limite obtenue est f '( ). Eemple : f ( ) = Avec =, on a lim( + ) f + ) f ( ) ( = lim( + ) = lim( + ) 1 = + La limite n est pas finie, donc f ( ) = n est pas dérivable en. Eemple : f () = ² si 1 3 si 1 La fonction f est-elle dérivable en 1? > f (1 + ) f (1) (1 + )² = = 2 + et lim( + ) (2+) = 2 < f (1 + ) f (1) (1 + ) = 3 = 3 + 3² + 3 et lim( - 3 ) ( 3 + 3 ² + ) = 3 ttp://www.bacdefrancais.net Page 8 sur 12
Ces deu valeurs n étant pas égales, f n est pas dérivable en 1. En revance, on dit que f est dérivable à droite en 1 et f ' (1) = 2. f est également dérivable à gauce en 1 et f ' (1) = 3. g d Téorème : Une fonction est dérivable en un point si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauce de ce point et que ces deu dérivées sont égales. On peut également dire que : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et I tel que ne soit pas une borne. f est dérivable en s il est possible d écrire : Pour tout R : f + ) = f ( ) + f '( ) + ε ( ) avec lim( ) ε ( ) = ( Dérivées successives : Si f est dérivable, on note f ' sa fonction dérivée. Si appelée dérivée seconde de f. f ' est dérivable, on note f '' sa dérivée, (n) f (avec n N*) est la dérivée d ordre n de f. Par eemple, on se sert parfois de f '' pour déterminer les variations et le signe de f ', puis déterminer les variations et le signe de f. ² Eemple : f ( ) = + cos Déterminer les variations de f sur R. 2 f '( ) = sin Pour déterminer le signe de f ', on étudie f ''. f ''( ) = 1 cos donc on a f ''( ) sur R f ' est croissante sur R, et on a f '() = sin = f ' sur ]- ;] donc f décroissante. f ' sur [;+ [ donc f croissante. Remarque : notation différentielle df La fonction f ' peut également être notée. d n (n) d f De même f est notée avec n N*. n d Cette notation est très utilisée en pysique-cimie. ttp://www.bacdefrancais.net Page 9 sur 12
IV. Inégalité des accroissements finis : 1. Enoncé : Soit f une fonction dérivable sur l intervalle I telle que m f ' M sur I (avec m et M R). Pour tout couple (a,b) I² tel que a b, on a m( b a) f ( b) f ( a) M ( b a) Et si f ' k sur I, alors pour tout couple (a,b) I² on a : si f ( b) f ( a) k b a Démonstration : Soit g une fonction de I sur R telle que sur I et f ' M sur I (avec m et M R). g( ) = f ( ) M avec f dérivable g est dérivable sur I et : g' ( ) = f '( ) M Or f ' M, donc f ' - M sur I. Donc g '( ) sur I. La fonction g est donc décroissante sur I. Soit (a,b) I² tel que a b, on a : g( a) g( b) f ( a) M. a f ( b) M. b M. b M. a f ( b) M ( b a) f ( b) f ( a) f ( a) On démontre de même que m( b a) f ( b) f ( a) avec une fonction g( ) = f ( ) m. Eemple : f ( ) = sin f est dérivable sur R et f '( ) = cos Pour tout R, -1 f '( ) 1 donc f '( ) 1 D après l I.A.F. (Inégalité des Accroissements Finis), pour tout couple (, ) R², on a : f ( ) f ( ) - sin sin - En coisissant =, on obtient : sin pour tout R, soit - sin ttp://www.bacdefrancais.net Page 1 sur 12
y = y = sin y = 2. Interprétation grapique : On a pour tout couple (, ) I² tel que : m( ) f ( ) f ( ) M ( ) f ( ) + m( ) f ( ) f ( ) + M ( ) droite (d) droite (D) Et pour tout couple (, ) I² tel que : m( ) f ( ) f ( ) M ( ) f ( ) + m( ) f ( ) f ( ) + M ( ) f ( ) M ( ) f ( ) f ( ) m( ) droite (D) droite (d) ttp://www.bacdefrancais.net Page 11 sur 12
La courbe C f est située dans la partie acurée en bleu droite (D) f( ) droite (d) I V. Equation différentielle y + ω² y = : Résoudre l équation différentielle y + ω² y = revient à cercer les fonctions f dérivables deu fois sur R et telles que pour tout de R, on ait : f ''( ) + ω² f ( ) = La démonstration étant compliquée, on admet que les fonctions cercées sont les fonctions : f ( ) = Acosω + Bsinω où (A,B) R² On peut vérifier que les fonctions de ce type sont bien des solutions de l équation : f ( ) = Acosω + Bsinω f '( ) = Aω sinω + Bω cosω f ''( ) = Aω ² cos ω Bω ²sinω On a bien f ''( ) + ω² f ( ) = Aω ² cos ω Bω ²sin ω + ω²( Acosω + B sin ω) = A et B peuvent être déterminés par les conditions initiales. Par eemple, si f () = et f ''() = 1 on a : f () = Acos + Bsin = A donc A = et f ''() = Aω ² cos Bω ²sin = Aω ² donc Aω ² = 1donc 1 A = ω² ttp://www.bacdefrancais.net Page 12 sur 12