Cinématique du point

Notes de Cours PS 91 Cinématique du point La cinématique du point est l étude du mouvement d un point matériel indépendamment des causes de ce mouvement. En pratique l approximation du point matériel peut être utilisée dans 2 cas très importants : (i) si les dimensions du corps matériel sont très petites devant la distance parcourue (Terre autour su Soleil) et (ii) on peut parfois associer le point matériel au centre d inertie (trajectoire d un ballon). I. Description du mouvement Référentiel : Un référentiel d espace est un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres qui occupent l ensemble de l espace. n peut également le voir comme un solide indéformable avec ou sans réalité physique. En mécanique classique, le temps est considéré comme absolu, c est à dire identique dans tous les référentiels. Pour décrire le mouvement d un point, il faut un référentiel R et un repère, c est à dire un point et une base vectorielle de l espace. Le repère le plus classique est le repère cartésien (, e x, e y, e z ). Vecteur position : Etant donné un référentiel R et un repère, la position du point matériel à un instant t est donné par le vecteur position : r(,t) = (t). (Quand il n y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement r(t) ou bien r). En coordonnées cartésiennes, on a r(t) = x(t) e x +y(t) e y +z(t) e z. Les composantes x(t),y(t) et z(t) du point sont des fonctions du temps et constituent les équations horaires du mouvement. Lorsque cela est possible, l équation de la trajectoire s obtient en éliminant le temps t entre les différentes éuations horaires. Vecteur vitesse : on définit le vecteur vitesse instanée par r(t+δt) r(t) v(, t) = lim = d r δt 0 δt dt = d. dt (de même, quand il n y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement v(t) ou bien v). Le vecteur vitesse est ainsi tangent à la trajectoire et on note en général v = v la vitesse du point. En coordonnées cartésiennes, on a v(t) = ẋ(t) e x +ẏ(t) e y +ż(t) e z. Vecteur accélération : on définit le vecteur accélération par a(,t) = d2 r dt 2 = d2 dt 2. (ici encore, on peut utiliser simplement a(t) ou bien a). En coordonnées cartésiennes, on a a(t) = ẍ(t) e x +ÿ(t) e y + z(t) e z. Remarque : on peut avoir une vitesse v constante (mouvement uniforme) et une accélération non nulle. Prenons par exemple le mouvement circulaire dans le plan xy : x(t) = acos(ωt), 1

y(t) = asin(ωt) et z(t) = 0. Le point tourne à la vitesse angulaire ω (en rad/s) sur un cercle de rayon a. n trouve v = aω et a = ω 2 r. L accélération est donc de norme égale à v 2 /a et orientée vers le centre du cercle. Abscisse curviligne : n définit l abscise curviligne, la fonction du temps s(t) qui vérifie : δs = s(t δt) s(t) où δt est un intervalle de temps et δs représente la longueur de la trajectoire décrite par le point entre les instants t et t+δt. En faisant tendre δt vers 0, on trouve que la dérivée de s par rapport au temps est donnée par la vitesse : Par conséquent : s(t) s(t 0 ) = t ṡ = ds dt = v. t 0 v(t )dt = t t 0 ẋ2 +ẏ 2 +ż 2 dt, où t 0 est un instant initial quelconque (souvent on prend t 0 = 0). Base de Frenet : Il est utile d introduire le vecteur unitaire T et tangent à la trajectoire dirigé dans le même sens que le vecteur vitesse. Ainsi, on peut écrire v = v T = ṡ T. Note : on peut voir ce vecteur comme unefonction de l abscissecurviligne, T = T(s(t)). En calculant l accélération on trouve : a = d(v T) dt = v T +v d T dt = v T +v 2d T ds. Comme T est unitaire sa dérivée est forcément perpendiculaire à T. n montre que d T/ds est contenu dans le plan osculateur et dirigé vers le centre de courbure. n introduit ainsi la normale unitaire à la trajectoire N de telle sorte que : où R est le rayon de courbure. En résumé : dt ds = N R, a = v T + v2 R N. n note a T = v la composante tangentielle et a N = v 2 /R la composante normale de l accélération. En pratique, à partir de v et a, on peut calculer a T = v = a T (car T et N sont orthogonaux), puis a N = a 2 a 2 T. La base de Frenet peut être complétée par le vecteur binormal B = T N et on montre que d N/ds = T/R τ B où τ est la torsion. 2

Trajectoire T N e z r = e x e y Figure 1 Trajectoire du point et base de Frenet. II. Description dans divers systèmes de cordonnées Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) Etant donné un point de composantes x,y et z dans le repère cartésien. n introduit ρ = x 2 +y 2 la distance du point à l axe z et θ = arctan(y/x) (voir Figure 2). n définit le vecteur radial unitaire e ρ = cosθ e x +sinθ e y et le vecteur orthoradial unitaire e θ = sinθ e x +cosθ e y. n peut alors poser : r = x e x +y e y +z e z = ρ e ρ +z e z. Pour calculer la vitesse et l accélération en coordonnées cylindriques, il faut réaliser que les vecteurs e ρ et e θ dépendent de la position angulaire du point et sont donc des fonctions du temps et Ainsi, après calcul, on trouve que : d e ρ dt = θ e θ et d e θ dt = θ e ρ. v = d r dt = ρ e ρ +ρ θ e θ +ż e z. De la même façon, a = d v dt = ( ρ ρ θ 2 ) e ρ +(ρ θ +2 ρ θ) e θ + z e z. 3

e z φ r z e y e x θ ρ Figure 2 Définition des coordonnées cylindrique (ρ,θ,z) et sphériques (r,θ,φ). Coordonnées sphériques Etant donné un point de composantes x,y et z dans le repère cartésien. n introduit r = r = x 2 +y 2 +z 2 la distance du point à l origine. n introduit un deuxième angle φ entre le vecteur position r = et l axe z. Le vecteur unitaire e r est définit de telle sorte que : Un simple calcul trigonométrique aboutit à r = x e x +y e y +z e z = r e r. x = rcosθsinφ y = rsinθsinφ z = rcosφ 4

III. Composition des vitesses - Changement de référentiel n considère deux référentiels R et R dotés des repères respectifs (, e x, e y, e z ) et (, e x, e y, e z ). Considérons la trajectoire d un point dans l espace. Sa position dans le repère R s écrit : et dans R : = x e x +y e y +z e z. = x e x +y e y +z e z. Pour calculer la vitesse du point, il faut préciser dans quel référentiel on se place. Ainsi, la vitesse dans R s écrit v /R = d = ẋ e x +ẏ e y +ż e z. Dans R, la vitesse s écrit v /R = d = ẋ e x +ẏ e y +ż e z. Loi de composition des vitesses Pour simplifier la présentation, on peut interprèter le référentiel R comme fixe et R en mouvement par rapport à R. Ainsi, on note simplement v a = v /R (a pour vitesse absolue) et v r = v /R (r pour vitesse relative). La loi de composition des vitesses consiste à écrire la relation entre v a et v r. Pour cela on utilise la relation de Chasles : = + et on doit considérer l origine et les vecteurs e x, e y et e z comme dépendant du temps. Au cours du mouvement de R, les vecteurs unitaires e x, e y et e z sont en rotation autour d un axe (celui-ci peut aussi varier avec le temps). n montre que d e x = Ω e e x, d e y = Ω e e y, d e z = Ω e e z. n trouve ainsi, En résumé : v a = d + d = d + Ω e + d v a = v e + v r où v e = d + Ω e. La vitesse v e est appelée vitesse d entraînement composée d une translation (vitesse de ) et d une rotation (vecteur rotation Ω e ). Vecteur rotation dans le cas d une rotation autour de l axe z Dans le cas d une rotation autour de l axe z, il suffit de projeter les vecteurs de la base tournante e x et e y dans le repère fixe e x et e y. n a (voir Figure 3) : Après dérivation on trouve, e x = cosφ e x +sinφ e y e y = sinφ e x +cosφ e y d e x = φ e y = φ e z e x et 5 d e y = φ e x = φ e z e y.

e y e x φ(t) e y e x Figure 3 Cas d une translation dans le plan xy et d une rotation autour de l axe z. Dans ce cas, on trouve que Ωe = φ e z. Ainsi, le vecteur rotation est le produit de la vitesse de rotation φ par le vecteur unitaire de l axe de rotation z. Loi de composition des vitesses entre deux points d un solide rigide Ceci est une conséquence importante de la loi de composition des vitesses. En effet, on peut voir le référentiel R comme un solide rigide en translation et en rotation dans R. Prenons deux points du solide et (c est à dire deux points fixes dans R ). Leur vitesse relative est donc nulle. Ainsi, la loi de composition pour chacun des points s écrit : Par conséquent : v a () = d + Ω e et v a ( ) = d v a () = v a ( )+ Ω e. + Ω e. Ainsi, si on connaît la vitesse en un seul point du solide, on peut calculer sa vitesse en tout point. Lorsqu il existe un point (apppelons-le I) dont la vitesse est nulle (roulement sans glissement par exemple, Fig. 4), alors on a simplement : v a () = Ω e I. I Figure 4 Cylindre roulant sans glisser. 6

IV. Eléments de cinétique Notion de masse La masse d un corps est une grandeur scalaire, positive et conservative qui ne dépend ni de l état du système, ni du référentiel. Elle caractérise la quantité de matière d un système [unité : kg]. Système discret : N corps assimilables à des points matériels. La masse totale m système, s obtient en sommant : N m = m j. j=1 n peut définir le centre d inertie (ou de masse) G tel que : m N G = m j j. j=1 1 2 4 3 r Figure 5 Système discret (gauche) et continu (droite). Système continu : n décompose le système en petits éléments de volume δv( r) (le vecteur r est là pour spécifier la position de l élément de volume) et de masse δm( r). Lorsqu on fait tendre l élément de volume vers 0, on définit la masse volumique : La masse totale vaut δm( r) ρ( r) = lim δv 0 δv( r) m = système dm = volume ρ( r)dv. Le centre d inertie se calcule à partir de : m G = dm = système volume ρ( r) dv. 7

Quantité de mouvement La quantité de mouvement est le produit de la masse par le vecteur vitesse d un corps supposé ponctuel. Il s agit d une grandeur vectorielle, définie par p = m v, [unité :kg.m.s 1 ]. Notons que p dépend du référentiel d étude. Par addidivité, il est possible de définir la quantité de mouvement d un système matériel. Dans le cas d un système discret on a : p = N m j v j. En utilisant, la définition du centre de d inertie G d un système, on trouve simplement : j=1 p = m v G, où v G est la vitesse du point G. La relation reste vraie pour un système continu. oment cinétique Le moment cinétique d un point matériel est le moment de la quantité de mouvement p par rapport à un point. n note L = p, [unité :kg.m 2.s 1 ]. n peut étendre la définition dans le cas d un système discret ou continu. 8