OURS 3 EME RINES RREES PGE 1/1 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES alculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a. Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités : ( a)²=a, a²=a. La touche de la calculatrice, qui a déjà été utilisée en classe de quatrième, fournit une valeur approchée d une racine carrée. Le travail mentionné sur les identités remarquables permet d écrire des égalités comme : ( 2-1)( 2+1) = 1, (1+ 2)² =3+2 2. Produit et quotient de deux radicaux Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités : a a ab = a. b, = b b es résultats, que l on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d un nombre positif, permettent d écrire des égalités telles que : 45=3 5, 4 3 = 2, 1 = 5 3 5 5. On habituera ainsi les élèves à écrire un nombre sous la forme la mieux adaptée au problème posé. I. RINE RREE D UN NOMRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a. s appelle le radical et a se lit «racine carrée de a» ou «racine de a». a n a pas de sens si a est un nombre négatif. 1) 144 = 12 car 12 est positif et 12²=144. 2) 0 = 0 car 0² = 0. 3) -4 n a pas de sens car 4 est un nombre négatif. Pour tout nombre positif a, on a ( a)²=a et a²=a. ( 144)² = 12² = 144et 12² = 144 =12 On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier. 1) 16 est un carré parfait car 16 = 4², et 16 = 4. 2) 40 000 est un carré parfait car 40 000 = 200², et 40 000 = 200 II. REGLES DE LULS SUR LES RDIUX : Pour tous les nombres positifs a et b, on a : a b = a b Pour tous les nombres positifs a et b, avec b 0, on a : 1) 7 847= 7 847= 5 929=77 2) 12 3= 12 3= 36= 6 ; 64 49= 64 49= 8 7 = 56 3) 60 15 = 60 15 = 4 = 2 4) 49 81 = 49 81 = 7 9. ttention : Il n y a aucune règle générale pour la somme et la différence de radicaux! 1) 16 + 9 = 4 + 3 = 7 mais 16 + 9 = 25 = 5 2) 25-9 = 5 3 = 2 mais 25-9 = 16 = 4 3) 64-100 = 8 10 = -2 mais l écriture 64-100 n a pas de sens car 64 100 = -36. a b = a b
OURS 3 EME NOMRES ENTIERS ET RTIONNELS PGE 1/2 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES Nombres entiers et rationnels ette partie d arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves. Diviseur commun à deux entiers Fractions irréductibles Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. Savoir qu une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l habitude de simplifier des écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non. On remarque que la somme et la différence de deux multiples d un nombre entier sont eux-même multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d Euclide ou un autre, qui, donnant le PGD de deux nombres entier, permet de répondre à la question dans tous les cas. Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et les logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit. côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme π et 2. On pourra éventuellement démontrer l irrationnalité de 2. Une telle étude peut être mise à profit pour bien distinguer le calcul exacte et le calcul approché I. PLUS GRND OMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMRES. LGORITHME D EULIDE : a et k étant deux entiers naturels tels que k 0. Lorsque a est un entier naturel, on dit que k est un diviseur de a. k (On dit aussi que a est un multiple de k, ou encore que a est divisible par k) 18 2 0 9 26 4 2 6 2 est un diviseur de 18. On peut aussi écrire 18 2 = 9 9 est un autre diviseur de 18. 4 n est pas un diviseur de 26. Le reste de la division de 26 par 4 n est pas nul. si a et b désignent deux nombres entiers relatifs, on note PGD(a ; b) le plus grand des diviseurs positifs communs à a et b. Pour le déterminer, on peut appliquer l algorithme d Euclide. Exemple : Pour déterminer PGD(252 ; 360) : Effectuer la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit : 3 6 0 2 5 2-2 5 2 1 1 0 8 Effectuer la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu à ce que le reste de la division soit égal à 0. 2 5 2 1 0 8-2 1 6 2 PGD(360 3 6 ; 252) 1 0 8 3 6-1 0 8 3 0
OURS 3 EME NOMRES ENTIERS ET RTIONNELS PGE 2/2 Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul dans la succession de divisions euclidiennes de l algorithme d Euclide. On peut aussi schématiser l algorithme ainsi : 360 = 252 1 + 108 252 = 108 2 + 36 PGD(360 ; 252) 108 = 36 3 II. NOMRES PREMIERS ENTRE EUX. FRTIONS IRREDUTILES : a. nombres premiers entre eux : On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1. 1) 10 et 7 sont premiers entre eux ; en effet : les diviseurs positifs de 10 sont 1, 2, 5 et 10, les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7, donc PGD(10 ; 7) = 1 et 10 et 7 sont premiers entre eux. 2) 221 et 69 sont premiers entre eux ; en effet : en appliquant l algorithme d Euclide, 221 = 69 3 + 14 69 = 14 4 + 13 14 = 13 1 + 1 13 = 1 13 donc PGD(221 ; 13) = 1. b. fraction irréductible : On dit qu une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. 1) PGD(10 ; 7) = 1 donc 10 7 est une fraction est irréductible. 2) PGD(221 ; 69) = 1 donc 221 69 est une fraction est irréductible. Lorsque l on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible. On sait que PGD(252 ; 360) = 36. 360 252 = 360:36 252:36 = 10 7 et 10 est une fraction est irréductible. 7
OURS 3 EME LUL LITTERL PGE 1/2 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES Ecritures littérales ; identités remarquables Factoriser des expressions telle que : (x+1)(x+2)-5(x+2) ; (2x+1)²+(2x+1)(x+3) onnaître les égalités : (a+b)(a-b)=a²-b² ; (a+b)²=a²+2ab+b²; (a-b)²=a² -2ab+b² Et les utiliser sur des expressions numériques ou littérales simples telles que : 101²=(100+1)²=100²+200+1, (x+5)²-4=(x+5)²-2²=(x+5+2)(x+5-2). La reconnaissance de la forme d une expression algébrique faisant intervenir une identité remarquable peut représenter une difficulté qui doit être prise en compte. Les travaux s articuleront sur deux axes : - Utilisation d expressions littérales pour des calculs numériques ; - Utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes. Les activités viseront à assurer la maîtrise du développement d expressions simples ; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l autonomie des élèves que dans des situations très simples? On consolidera les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment les puissances de 10. I. RPPELS : écriture littérale : On appelle écriture littérale une écriture dans laquelle certains nombres sont remplacés par des lettres. =3a+2b-5 ; E=(x+3)(2x-5) ; II. DEVELOPPER ET FTORISER : Développer un produit, c est le transformer en une somme algébrique. Pour tous les nombres a, b, c, d, k : k(a + b)= ka + kb (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd k(a - b) = ka kb (a + b)(c - d) = ac ad + bc - bd 2(x+1) = 2x + 2 (x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2 3(x 2) = 3x - 6 (x + 1)(x - 2) = x² - 2x + x - 2 = x² - x - 2 Factoriser une somme algébrique, c est la transformer en un produit. 1) 2x + x² = 2x + x x x est un facteur commun à 2x et à x², donc : 2x + x²= 2x + x x =x(2 + x). 2) 4 + 8x = 4 + 4 2x 4 est un facteur commun à 4 et à 8x, donc : 4 + 8x = 4 + 4 2x =4(1 + 2x). 3) (x 1) est un facteur commun à (x 1)(x + 3) et à (x 1)(2x + 1), donc : (x 1)(x + 3) + (x 1)(2x + 1) = (x +1)[ (x + 3) + (2x + 1) ] = (x + 1)(x + 3 + 2x + 1) = (x + 1)(3x + 4) III. IDENTITE REMRQULES : a et b sont deux nombres quelconques. a. carré d une somme : Développement (+b) h 2 (a + b)² = a² + 2ab + b² factorisation
OURS 3 EME LUL LITTERL PGE 2/2 1) (2x + 3)² = (2x)² + 2 2x 3 + 3² = 4x² + 12x + 9 ; 11² = (10 + 1)² =10² + 2 10 1 + 1² =100 + 20 + 1 = 121. 2) 16x² + 8x + 1 = (4x + 1)² ; 25x² + 20x + 4 = (5x + 2)². b. arré d une différence : Développement (a - b)² = a² - 2ab + b² factorisation 1) (2x - 3)² = (2x)² - 2 2x 3 + 3² = 4x² - 12x + 9 ; 99² = (100-1)² =100² - 2 100 1 + 1² =10 000-200 + 1 = 9 801. 2) 16x² - 8x + 1 = (4x - 1)² ; 25x² - 20x + 4 = (5x - 2)². c. Différence de deux carrés : Développement (a + b)(a b) = a² - b² factorisation 1) (2x + 3)(2x 3) = (2x)² - 3² = 4x² - 9 ; 99 101 = (100 + 1)(100 1) =100² - 1² =10 000-1 = 9 999. 2) 16x² - 9 = (4x + 3)(4x 3) ; 25x² - 4 = (5x + 2)(5x 2).
OURS 3 EME PROPORTIONNLITE PGE 1/4 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES Proportionnalité et traitements usuels sur les grandeurs pplications de la proportionnalité Grandeurs composées hangement d unités Dans des situations mettant en jeu des grandeurs, l une des grandeurs étant fonction de l autre, - représenter graphiquement la situation d une façon exacte si cela est possible, sinon d une façon approximative, - lire et interpréter une telle représentation. En classe de troisième il s agit de compléter l étude de la proportionnalité commencée de fait dès l école. De nombreuses occasions sont données de conjecturer ou de reconnaître, pui d utiliser la proportionnalité de valeurs ou d accroissement dans les différents domaines et sections du programme. Les situations mettant en jeu des valeurs restent privilégiées pour mettre en place et organiser des calculs faisant intervenir la proportionnalité, en particulier les pourcentages. Par exemple, au delà des compétences exigibles, on pourra étudier des problèmes de mélange. Les grandeurs produits sont, après les grandeurs quotients déjà rencontrées en classe de quatrième, les gradeurs composées les plus simples. On pourra remarquer que les aires et les volumes sont des grandeurs produits. D autres produits et grandeurs dérivées pourront être utilisées : passagers kilomètres, kwh, francs/kwh laissant progressivement la place à euros/kwh, En liaison avec les autres disciplines (physique, chimie, éducation civique ), on attachera de l importance à l écriture correcte des symboles et à la signification des résultats numériques obtenus. I. REPRESENTTION GRPHIQUE D UNE SITUTION DE PROPORTIONNLITE ; Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors elles sont représentées graphiquement dans un repère par des points alignés avec l origine du repère. Exemple : 0,5 x 2 3 4 6 y 1 1,5 2 3 Tous les points sont situés sur la droite passant par le point O et le point (6 ; 3) Si deux grandeurs sont représentées graphiquement dans un repère par des point alignés avec l origine du repère, alors elles sont proportionnelles. Exemple : Dans une usine, on a relevé toutes les heures le nombres de pièces fabriquées par une même machine. On a obtenu les valeurs suivantes : Heure 1 2 3 4 5 6 7
OURS 3 EME PROPORTIONNLITE PGE 2/4 Nombre de pièces fabriquées 12 24 36 48 60 72 84 Faire un graphique (nombre de pièces en ordonnée) : pièces 84 Nombre de pièces en fonction de la durée 72 60 48 36 24 12 0 1 2 3 4 5 6 7 0 durée => Les points sont alignés avec l origine du repère, donc le nombre de pièces produites est proportionnel à la durée de fonctionnement de la machine. Lecture et interprétation d une représentation graphique : - à 5 en abscisse, correspond 60 en ordonnée ; donc en 5 heures, la machine produit 60 pièces. - à 24 en ordonnée, correspond 2 en abscisse ; donc pour produire 24 pièces, la machine met 2 heures. - mais si l on veut savoir en combien de temps la machine fabrique 45 pièces, une lecture graphique ne donne qu une valeur approchée de la durée. Pour connaître la valeur exacte, il faut reprendre les calculs en utilisant le coefficient de proportionnalité. II. POURENTGES D UGMENTTION ET DE DIMINUTION : t ugmenter un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par 1+ 100 t Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par 1-100 1) Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est : m = 400 1+ 25 100 = 400 1,25 c est à dire m = 500 g. 2) En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances. Le nouvel effectif est : N = 750 000 1-4 100 = 750 000 0,96 c est à dire N = 720 000. III. EXEMPLES DE GRNDEURS OMPOSEES : a. Grandeurs quotients : Le prix par litre d un liquide est le quotient du prix P (en F) du liquide par son volume V (en L) : p = P V en francs par litre (F/L).
OURS 3 EME PROPORTIONNLITE PGE 3/4 La densité de population d un pays est le quotient du nombre N de ses habitants par sa superficie S (en km²) : D = N S en habitants par km² (habitants/km²).
OURS 3 EME PROPORTIONNLITE PGE 4/4 b. Grandeurs produits : L aire d un rectangle s exprime en fonction de sa longueur L (en m) et de sa largeur l (en m) par le produit : = L l en mètres carrés (m²). Le volume d un cube de côté c s exprime en fonction de c (en m) par le produit : V = c c c en mètres cubes (m 3 ). L énergie d un appareil électrique s exprime en fonction de sa puissance P (en watts) et de la durée t (en heures) d utilisation par le produit : E = P t en wattheures (Wh). c. Grandeurs dérivées : La puissance p reçue du soleil par unité de surface sur la Terre est le quotient de la puissance P émise par le soleil, par l aire de la Terre qui est assimilée à une sphère de rayon R (en m) : p = P. Or = 4π R², donc est une grandeur produit exprimée en m². insi, p est le quotient d une grandeur par une grandeur produit : p est une grandeur dérivée dont l unité est le watt par mètre carré (W/m²). L énergie e reçue du soleil pendant une durée t sur la terre s exprime en fonction de P (en W), de R P t (en m) et de t (en h) par la formule : e = 4πR² est le quotient de deux grandeurs produits : e est une grandeur dérivée dont l unité est le wattheure par mètre carré (Wh/m²).
OURS 3 EME INEQUTIONS DU PREMIER DEGRE PGE 1/2 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES Equations et inéquations du premier degré Ordre et multiplication Inéquation du premier degré Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l ordre inverse si a est strictement négatif. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses solutions sur une droite graduée. On pourra s appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de test par substitution de valeurs numériques à des lettres. I. ORDRE ET OPERTIONS : a. Ordre et addition : a, b, c désignent des nombres. Les nombres a+c et b+c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b. utrement dit : On ne change pas le sens d une inégalité lorsqu on ajoute (ou lorsqu on retranche) un même nombre aux deux membres de cette inégalité. x et y désignent des nobres. 1) Si x 2 alors x + 3 2 + 3, donc x + 3 5. 2) Si y > 3 alors y 5> 3 5, donc y 5 > -2. b. Ordre et multiplication : a, b, c désignent des nombres. - Lorsque c est strictement positif, les nombres a c et b c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b. - Lorsque c est strictement négatif, les nombres a c et b c sont rangés dans l ordre inverse des nombres a et b. utrement dit : - On ne change pas le sens d une inégalité lorsqu on multiplie (ou lorsqu on divise) par un même nombre strictement positif les deux membres de cette inégalité. - On doit changer le sens d une inégalité lorsqu on multiplie (ou lorsqu on divise) par un même nombre strictement négatif les deux membres de cette inégalité. a et b désignent des nombres. 1) Si a < 5 alors 2a < 2 5, donc 2a < 10. 2) Si a 3 alors -5a -5 3, donc -5a < -15. 3) Si b -4 alors b 2-4 2, donc b 2 < -2. 4) Si b > 3 alors ḇ 2 < 3-2, donc b 2 < -1,5. II. RESOLUTION D UNE INEQUTION : Résoudre une inéquation, c est trouver toutes les valeurs de l inconnue qui rendent vraie l inégalité. es valeurs de l inconnue sont appellées les solutions de l inéquation.
OURS 3 EME INEQUTIONS DU PREMIER DEGRE PGE 2/2 Pour trouver ces valeurs, on procède comme pour la résolution d une équation, c est à dire en isolant l inconnue, grâce aux propriétés ci-dessus. Exemple : résoudre l inéquation 3x + 4-2 -3x + 4 4-2 - 4 ( On ajoute -( 4 ) aux deux membres de l inéquation. ) -3x -6 ( On réduit. ) -3x : (-3) -6 : (-3) ( On divise par le coeffcient de x. ) x 2 ( On réduit) Les solutions de l inéquation 3x + 4-2 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 2. Il reste ensuite à représenter l ensemble de ses solutions. ette représentation consiste à tracer un axe gradué et orienté sur lequel on souligne les parties représentant les nombres qui sont solutions. Représentation des solutions de l inéquation 3x + 4-2 -1 0 1 2 ] Tous les nombres inférieurs ou égaux à 2 conviennent, on souligne donc toutes les valeurs plus petites que 2.
OURS 3 EME RESOLUTIONS D EQUTIONS ET DE SYSTEMES PGE 1/3 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES Equations et inéquations du premier degré Résolutions de problèmes du premier degré ou s y ramenant Systèmes de deux équations à deux inconnues Racine carrée d un nombre positif Résoudre une équation mise sous la forme.=0, où et désignent deux expressions du premier degré de la même variable. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une inéquation ou un système de deux équations. Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x²=a, où a désigne un nombre positif. L étude du signe d un produit ou d un quotient de deux expressions du premier degré de la même variable, elle,est hors programme. Les problèmes sont issus des différebtes parties du programme. omme en classe de quatrième, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l équation et interprétation du résultat. Pour l interprétation graphique, on utilisera la représentation des fonctions affines. I. RESOLUTION D EQUTIONS : a. Rappels : Une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, noté par une lettre, s appelle une équation. Résoudre l équation, c est trouver tous les nombres qui rendent cette égalité vraie lorsqu ils sont mis à la place de l inconnue. On utilise les deux propriétés suivantes pour résoudre une équation : - Si a = b alors a + c = b + c - Si a = b alors a c = b c (si c 0) 1) On se donne l égalité 2x + 5 = 9, Si x = 1 alors 2 1 + 5 = 7 et 7 9 donc 1 n est pas solution. Si x = 2 alors 2 2 + 5 = 9 donc 2 est solution. 2) Pour résoudre l équation 3x + 5 = -2 : 3x + 5 5 = -2 5 ( On ajoute 5 aux deux membres de l égalité. ) 3x =-7 ( On réduit. ) 3x 1 3 = -7 1 3 On multiplie par 1 les deux membres. 3 x = - 7 3 ( On réduit. ) - 7 3 est l unique solution de cette équation ( On conclue. ) b. Equation-produit nul : - Si un produit de facteurs est nul, alors l un des facteurs est nul. - Si l un des facteurs d un produit est nul, alors le produit est nul. On peut résumé cette propriété par : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Une équation produit nul de facteurs du premier degré (ou plus simplement une équation produit nul) est une équation dont le premier membre est un produit de facteurs du premier degré et dont le second membre est 0.
OURS 3 EME RESOLUTIONS D EQUTIONS ET DE SYSTEMES PGE 2/3 Grâce aux propriétés énoncées ci-dessus, résoudre une équation produit nul revient à résoudre des équations du premier degré. Exemples: (2x + 3)(5 x) = 0 2x + 3 = 0 ou 5 x = 0 x = - 3 ou x = 5 2 donc l équation a deux solutions : -1,5 et 5. -2x(x + 4) = 0-2x = 0 ou x + 4 = 0 x = 0 ou x = -4 donc l équation a deux solutions : -4 et 0. c. Equations du type x²=a où a est un nombre positif : a étant un nombre positif donné, l équation x² = a admet deux solutions : - a, la racine carrée de a, - et - a, l opposé de la racine carrée de a. Remarques : 1) 0 est l unique solution de l équation x² = 0. 2) a étant un nombre strictement négatif donné, l équation x² = a n admet aucune solution (le carré d aucun nombre n est négatif). 1) L équation x² = 9 a pour solutions 9 = 3 et - 9 = -3 (on a bien 3²=9 et (-3)²=9). 2) L équation x² = 5 a pour solutions 5 et - 5. 3) L équation t² = 3 4 a pour solutions 3 4 = 3 2 et 3 4 =- 3 2. 4) L équation x² = -1 n admet pas de solution. II. SYSTEMES DE DEUX EQUTIONS DEUX INONNUES : Un système est composé de deux équations qui contiennent chacune les deux même inconnues. On écrit ces deux équations l une sous l autre en les associant à l aide d une accolade. Exemple : 3x + y = 45 6x + 5y = 126 Résoudre le système, c est trouver toutes les solutions communes aux deux équations, c est à dire trouver tous les couples (x ;y) pour lesquels les deux égalités sont vraies simultanément. Le principe de résolution consiste à éliminer une inconnue pour se «ramener» à la résolution d une équation du premier degré à une inconnue que l on sait résoudre. a. Par substitution : On exprime une des deux inconnues en fonction de l autre dans une des deux équations, et l on reporte (ou substitue) le résultat obtenu dans la deuxième équation. 3x + y = 45 Exemple : Résoudre le système 6x + 5y = 126 y = 45 3x 6x + 5y = 126 y = 45 3x 6x + 5(45 3x) = 126 y = 45 3x 6x + 225 15x = 126 y = 45 3x x = 11 On exprime y en fonction de x dans la première équation On reporte le résultat dans la deuxième équation On développe, réduit et résout la deuxième équation
OURS 3 EME RESOLUTIONS D EQUTIONS ET DE SYSTEMES PGE 3/3 y = 45 3 11 x = 11 On reporte la valeur de x trouvée dans la première équation y = 12 x = 11 On termine par une phrase : La solution du système est le couple (11 ;12). Important : Il faut ensuite vérifier en reportant dans les deux équations les valeurs trouvées. 3 11 + 12 = 45 6 11+ 5 12 = 126 ici, les deux égalités sont bien vérifiée avec le couple (11 ; 12) b. Par combinaison : Dans cette méthode, il faut multiplier une ou les deux équations par un nombre relatif bien choisi de façon à ce que l une des deux équations disparaisse par addition membre à membre. Exemple : Résoudre le système 3x + y = 45 6x + 5y = 126 6x + 2y = 90 6x + 5y = 126 6x + 2y = 90 6x 6x + 5y 2y = 126 90 6x + 2y = 90 3y = 36 6x + 2y = 90 y = 12 2 la première équation pour avoir le même coefficient de x dans les deux. on additionne les deux équations pour éliminer les x, puis on résout l équation du premier degré à une inconnue obtenue. On termine ensuite comme dans la méthode précédente.
OURS 3 EME FONTIONS LINEIRE ET FFINE PGE 1/4 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES Fonction linéaire et fonction affine Fonction linéaire onnaître la notation x a ax, pour une valeur numérique de a fixée. La définition d une fonction linéaire, de coefficient a, s appuie sur l étude des situations de proportionnalité rencontrées dans les classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspondance est «je multiplie par a». Pour des pourcentage d augmentation ou de diminition, une mise en évidence similaire peut être faite ; par exemple, augmenter de 5% c est mulitiplier par 1,05 et diminuer de 5% c est multiplier par 0,95. Fonction affine. Fonction affine et fonction linéaire associée Systèmes de deux équations à deux inconnues Déterminer l expression algébrique d une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre non nul et de son image Représenter graphiquement une fonction linéaire. Lire sur la représentation graphique d une fonction linéaire l image d un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. onnaître la notation x a ax + b pour des valeurs numérique de a et b fixées. Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images. Représenter graphiquement une fonction affine. Lire sur la représentation graphique d une fonction affine l image d un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. L étude de la fonction linéaire est aussi l occasion d utiliser la notion d image. On introduira la notation x a ax pour la fonction. propos de la notation des images f(2),f(-0,25)..., on remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu en calcul algébrique. L énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine ; cette droite a une équation de la forme x a ax. On interprétera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de la droite. est une occasion de prendre conscience de l existence de fonctiond dont la représentation graphique n est pas une droite (par exemple en examinant comment varie l aire d un carré quand la longueur de son côté varie de 1 à 3). Pour des valeurs de a et b numériquement fixées, le processus de correspondance sera aussi explicité sous la forme «je multiplie par a puis j ajoute b». La représentation graphique de la fonction affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire associée. est une droite, qui a une équation de la forme y a ax + b. In interpretera graphiquement le coeffivient directeur a et l ordonnée à l origine b ; on remarquera la proportionnalité des accroissement de x et de y. Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de deux points pris sur la droite et à exploiter la représentation graphique. On fera remarquer qu une fonction linéaire est une fonction affine. Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de fonctions non affines peuvent sevir de support à la construction de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularité d une fonction : coordonnées de points, sens de vartiation sur un intervalle donné, maximum, mimimum. ucune connaissance spécifique n est éxigible sur ce sujet. Pour l interprétation graphique, on utilisera la représentation des fonctions affines. I. FONTION LINEIRE : Etant donné un nombre a, on définit une fonction linéaire f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre ax. Le nombre a est le coefficient de linéarité de f. Le nombre ax est l image de x par f. On note : f : x a ax la fonction de coefficient a ; f(x) l image de x par la fonction f, et on écrit f(x) = ax. Exemple : La fonction f : x a -3x est la fonction linéaire de coefficient 3. x -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 f(x) 12 9 6 3 0-3 -6-9 -12 e tableau de valeurs est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité, -3, est le coefficient de linéarité de f.
OURS 3 EME FONTIONS LINEIRE ET FFINE PGE 2/4 Etant donné un nombre a, la représentation graphique de la fonction linéaire f : x a ax est une droite D qui passe par l origine O du repère. Une équation de cette droite D est y = ax. D passe par le point (1 ; a), et le coefficient de linéarité a de la fonction linéaire f est le coefficient directeur de la droite D. 1. La représentation graphique de la fonction linéaire g :x a 0,5x est la droite D 1 d équation y = 0,5x. 2. La représentation graphique de la fonction linéaire f :x a - 3 2 x est la droite D 2 d équation y = - 3 2 x. On lit sur la représentation graphique que : l image de 1 par f est 3 et que le nombre dont l image 2 par f est 3 vaut 2. Toute droite passant par l origine O du repère et non confondue avec l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction linéaire. Elle a une équation de la forme y = ax. Exemple : La droite D passe par O et par (3 ; -1). D est la représentation graphique de la fonction linéaire f :x a - 1 3 x ; elle a pour équation y = - 1 3 x. II. FONTION FFINE : Etant donné deux nombres a et b, on définit une fonction affine f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre ax + b. Les nombres a et b sont les coefficients de f. Le nombre ax + b est l image de x par f. On note : f : x a ax+b la fonction de coefficients a et b ; f(x) l image de x par la fonction f, et on écrit f(x) = ax+b. Etant donné deux nombres a et b, la représentation graphique de la fonction linéaire f :x a ax+b est une droite D parallèle à la représentation graphique de la fonction linéaire g :x a ax. Une équation de cette droite D est y = ax+b. D passe par le point (0 ; b), et b est appelé l ordonnée à l origine de f. Le coefficient de linéarité a de la fonction affine f est le coefficient directeur de la droite D. On dit que g est la fonction linéaire associée à f.
OURS 3 EME FONTIONS LINEIRE ET FFINE PGE 3/4 Remarque : Une fonction linéaire est une fonction affine particulière car f : x a ax peut aussi s écrire f : x a ax+0. Lorsque a = 0,la fonction affine f est définie par f(x) = b ; c est une fonction constante dont la représentation graphique est une droite parallèle à l axe des abscisses. 1. La représentation graphique de la fonction affine f :x a x+1 est la droite D 1 d équation y=x+1. On lit sur la représentation graphique que : - l image de 1 par f est 2 - et que le nombre dont l image par f est 4 est 3. 2. La représentation graphique de la fonction affine g :x a -2 est la droite D 2 d équation y=-2. Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. Elle a une équation de la forme y = ax+b. Exemple : D est la représentation graphique de la fonction affine f :x a - 4 3 x+4 ; elle a pour équation y=- 4 3 x+4. III. RESOLUTION GRPHIQUE D UN SYSTEME DE DEUX EQUTIONS DEUX INONNUES : x + y = 5 On veut résoudre le système de deux équations à deux inconnues : 2x y = 1 En exprimant y en fonction de x dans les deux équations, on obtient un nouveau système qui a les mêmes solutions que le système de départ : y = x + 5 y = 2x 1 Résoudre le système revient donc à déterminer le point d intersection des droites : - D 1 d équation y=-x+5 - et D 1 d équation y=2x-1..
OURS 3 EME FONTIONS LINEIRE ET FFINE PGE 4/4 La fonction x a -x+5 a pour représentation graphique la droite D 1 d équation y=-x+5 La fonction x a 2x-1 a pour représentation graphique la droite D 2 d équation y=2x-1 La lecture graphique fournit les coordonnées de ce point : M(2 ; 3) On peut vérifier par le calcul que le couple (2 ; 3) est la solution du système. Remarque : ette méthode de résolution ne doit pas être utilisée dans un exercice que si cela est explicitement demandé dans les consignes. En effet, elle nécessite des tracés très précis et n est pas toujours applicable.
OURS 3 EME TRINGLE RETNGLE PGE 1/2 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES Triangle rectangle : Relations trigonométriques Distance de deux points dans un repère orthonormé du plan. onnaître et utiliser dans le triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle. Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées : - Du sinus, du cosinus et de la tangente d un angle aigu donné, - De l angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente. Le plan étant muni d un repère orthonormé, calculer la distance de deux points dont on donne les coordonnées. La définition du cosinus a été vue en quatrième. Le sinus et la tangente d un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l aide du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules : cos²x + sin²x = 1 et tanx = sinx cosx On n utilisera pas d autres unité que le degré décimal. Le calcul de la distance de deux points se fera en référence au théorème de Pythagore, de façon à visualiser ce que représentent différence des abscisses et différence des ordonnées. I. OSINUS, SINUS ET TNGENTE D UN NGLE IGU : a. Définitions : O et O sont deux triangles rectangles en et ayant un angle aigu commun O. Ç La valeur commune des rapports O et O O O La valeur commune des rapports O La valeur commune des rapports O et O est appelée le cosinus de l angle Ç O, noté cos Ç O. est appelée le sinus de l angle Ç O, noté sin Ç O. et O est appelée la tangente de l angle Ç O, noté tan Ç O. cos Ç O= O O = O O sin Ç O= O = O tano= Ç O = O b. Dans un triangle rectangle : étant un triangle rectangle en, Hypothénuse ôté adjacent à Ç ôté opposé à Ç cos= Ç ( longueur du côté adjacent à Ç) ( longueur de l hypothénuse) sin= Ç ( longueur du côté opposé à Ç) ( longueur de l hypothénuse) tan Ç = ( longueur du côté opposé à Ç ) ( longueur du côté adjacent à Ç ) Remarque : le cosinus et le sinus d un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1
OURS 3 EME TRINGLE RETNGLE PGE 2/2 Exemple : cos Ç = donc cos Ç = 3 5 sin Ç = donc sin Ç = 4 5 tan Ç = donc tan Ç = 4 3 3 4 5 c. Relations trigonométriques : x désignant un angle aigu quelconque : Exemple : cos 60 = 1 2 ; sin 60 = 3 2 cos² 60 + sin² 60 = 1 4 + 3 4 cos²x+sin²x = 1 et ; tan 60 = 3. On a : =1 et sin60 cos60 = 3 2 1 2 = tanx = sinx cosx 3 2 2 1 = 3 II. DISTNE DNS UN REPERE ORTHONORME DU PLN : Un repère du plan est orthonormé lorsque ses deux axes sont perpendiculaires et munis de la même unité. Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, la distance des deux points (x ; y ) et (x ; y ) est : = (x x )² + (y y )² Exemple : = (-2-2)² + (2-(-1))² = (-4)² + (3)² = 16+9 = 25 = 5. 2 J -2-1 O I 2-1