DS de Sciences Industrielles pour l Ingénieur DS2 du 19 novembre 2014 MPSI commun Durée : 2h00 Lycée Thiers Marseille Cinématique plane Recommandations : Vous attacherez la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction (et l orthographe!). Il est obligatoire de souligner ou d encadrer les résultats. Si vous êtes amené à repérer ce qui peut vous sembler être une erreur d énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. Les 3 exercices sont indépendants, vous pourrez les traiter dans l ordre de votre choix. Toutes les réponses se font uniquement sur le document réponses. Exercice 1 : Pompe à palettes Schéma cinématique (paramétrage et rotations planes) : Le principe de fonctionnement de la pompe à palettes est le suivant (voir figure ci-contre) : le rotor repéré 1 est en liaison en A avec le stator repéré 0 fixe et excentré par rapport à ce stator (distance AB). dans le rotor 1 coulissent, dans deux rainures disposées symétriquement à 180, deux palettes repérées 2. Un ressort situé entre les deux palettes oblige celles ci à plaquer leur extrémité respective sur le cylindre intérieur du stator en C et C de façon à garantir l étanchéité de l air. On obtient ainsi des alvéoles à volume variable communiquant alternativement avec l aspiration et le refoulement. On donne : AB = e ; BC = R ; AC = x(t) avec e, R constantes strictement positives. α = α(t) et β = β(t) avec -π/2 < β α < π/2 A,x,y,z lié au R0 0 0 solide 0 on pose z z 0123 1
Q1 a- Colorier, sur le premier schéma, les différents solides et les repères correspondants. b- Colorier, sur le deuxième schéma, de deux couleurs différentes, les deux alvéoles à volume variable depuis l entrée jusqu à la sortie de la pompe. Q2 Faire le graphe de liaisons de cette pompe. Donner le nom de cette chaîne de solides. Calculer μ et Im, interpréter le résultat obtenu de Im. Q3 Ecrire, le plus simplement possible, les vecteurs positions : AB ; AC ; BC en fonction du paramétrage et des vecteurs unitaires respectifs. Q4 Ecrire la fermeture géométrique vectorielle au point A en utilisant les résultats de la question Q3. En déduire, par le calcul, que l on obtient une équation scalaire, en projection sur l axe y 1, de la forme : e sin α R sin (β-α) = 0 (équation 1). Q5 De l équation 1 précédente : a) en déduire l expression de cos (β-α) en utilisant la relation fondamentale de la trigonométrie. b) dériver l équation 1 par rapport au temps. c) en déduire, de ces deux calculs, l expression de R β. Q6 Calculer, par la définition, le vecteur vitesse du point C appartenant à 2 par rapport à 0 soit VC, 2 / 0 en fonction de R et β puis en fonction de R, e, α, α (simplifier au maximum). Q7 Calculer VC, 1/ 0. Q8 Montrer, par le calcul, que VC, 2 / 1 est portée par x 1 l expression de VC, 2 / 1 en fonction de R, e, α, α. Exercice 2 : Echelle pivotante. Déduire, des questions précédentes On s intéresse à une Echelle Pivotante Automatique à Commande Séquentielle. Ce système conçu et commercialisé par la société CAMIVA est monté sur le châssis d un camion de pompiers et permet de déplacer une plate-forme pouvant recevoir deux personnes et un brancard le plus rapidement possible et en toute sécurité. Le déplacement de la plate-forme est réalisé suivant trois axes : Le déploiement du parc échelle (axe 1) : non considéré ici, la plateforme (6) est supposée fixe par rapport au parc échelle + berceau (5). Le pivotement autour de l axe (0, Y 0) (axe 2) : non considéré ici, les tourelles (1) et (2) sont supposées fixes par rapport au châssis (0). La rotation autour de l axe (0, Z 0) (axe 3) : Le berceau + parc échelle (5) peut tourner par rapport à la tourelle (2) autour d un axe horizontal. Pendant la phase de dressage, les tourelles (1) et (2) sont fixes par rapport au châssis (0) du camion ; seul le berceau pivote autour de l axe ( A,Z), entraînant avec lui le parc échelle et la plateforme (6). Ce mouvement est obtenu grâce au vérin hydraulique articulé en B et C avec la tourelle (2) et le berceau (5). est lié au châssis (0). Le repère R0 O0,x0,y0, z0 Le repère R5 A,x5,y5, z0 Le repère R B,x,y, est lié à l ensemble {berceau + parc échelle + plateforme} (5+6) ; 3 3 3 z0 est lié au vérin composé des solides (3) et (4), en mouvement relatif ; avec O0A a y0 et x0,x5 (t) ; AC c x5 ; AD h x5. O0B b x 0 ; BC (t) y3 et x0,x3 (t) 2
PARC ECHELLE C A B BERCEAU (5) CYLINDRE VERIN (4) TIGE VERIN (3) TOURELLE (2) TOURELLE (1) CHASSIS (0) 3
2.1- Etude géométrique Sur la figure du document réponse, l angle de dressage est maximum. Q9 Mettre en couleur le schéma cinématique du système de dressage (une couleur par solide, représenter avec soin les limites des différents solides et indiquer le numéro des solides sur la figure). Donner le numéro et le nom de chaque solide mis en évidence dans le cadre réponse. Q10 Ecrire la fermeture de chaine appliquée au mécanisme, par exemple ( AA 0). Par projection dans la base du repère R 0, en déduire les deux équations scalaires de position entre les différents paramètres b c.cos géométriques. Puis montrer que l on peut obtenir la relation suivante : tan. a c.sin Q11 Dessiner proprement le système dans la position de dressage minimum : lorsque ( t) (x0,x5) 0 (position horizontale de l échelle). Vous laissez apparent tous les traits de construction. Q12 En déduire numériquement la course du vérin lors du mouvement de dressage ( max min ) (respecter l échelle du dessin précisée sur la figure). Q13 A partir des équations trouvées précédemment, déterminer ( ). Puis vérifier la valeur de la course du vérin, on prendra les valeurs numériques suivantes : a = 540 mm, b = 735 mm, c = 660 mm, max = 63. Comparer les résultats obtenus par calcul et par lecture graphique. 2.2 - Etude cinématique L'objectif est de déterminer la vitesse de sortie de la tige du vérin {3+4} en fonction des paramètres géométriques fixes et des variables cinématiques de pilotage. Q14 Exprimer les vecteurs vitesse de rotation 5 / 0 et 3 / 0. Q15 Exprimer le vecteur vitesse V D,5 / 0 géométriques. en fonction de la vitesse angulaire et des paramètres Q16 Exprimer le vecteur vitesse V C,4 / 3, qui caractérise la vitesse de sortie de la tige du vérin. Q17 Justifier, par calcul, l égalité des vecteurs vitesse V C,4 / 0 VC,5 / 0, puis exprimer simplement V C,4 / 0 et V C,3 / 0 en fonction de la vitesse angulaire et des paramètres géométriques. On justifiera le raisonnement. Exercice 3 : Commande de trappe On considère le mécanisme (schéma cinématique page suivante) constitué de quatre pièces. La roulette 2 tourne autour du point A, son rayon est R 2, elle est en contact avec le plateau 3 au point I. Un système (ressort), non représenté sur le schéma, assure le maintien permanent du contact en I. En I, le contact est un point, ce qui permet de définir la liaison entre les solides 2 et 3. 4
Données géométriques : OB L 0 x 0 ; OA L 1 x1 ; IC x(t) x3 ; BC y(t) y3 ; zi z0123. Q18 Quelle est la fonction principale de la pièce 2 (à quoi sert-elle)? Pour répondre à cette question imaginez que l on ôte cette pièce 2 et que l on pose directement la pièce 1 munie en bout au point A d une sphère sur le plateau 3, que se passerait-il physiquement? Q19 Etablir les trois figures planes de calcul (rotations planes et translation plane) relatives aux bases suivantes (utiliser une couleur par base) : base B 1 / B 0 ; B 2 / B 1 et B 3 / B 0. Faire figurer les paramètres qui dépendent du temps. Q20 Calculer littéralement les vecteurs vitesses suivants : 1/ 0 ; 2 / 1 ; 2 / 0 ; 3 / 0. Justifier succinctement à droite du calcul. Q21 Calculer littéralement le vecteur vitesse V A,1/ 0. Calculer V C,3 / 0. Q22 Comparer V C,3 / 0 et V I,3 / 0, justifier succinctement. Calculer V I,2 / 1. Q23 Calculer la vitesse de glissement V I,3 / 2 par composition avec les solides 0 et 1 puis en utilisant Varignon si nécessaire. Ecrire ce vecteur dans la base B 0. Q24 On fait l hypothèse qu il y a roulement sans glissement au point I entre 2 et 3. Que cela impose-t-il sur la vitesse V I,3 / 2? En déduire deux équations scalaires en projection dans la base B 0. Q25 En déduire une relation entre y (t), (t), (t) et les paramètres géométriques. Les conditions initiales sont les suivantes : à t = 0, α(t) = 0 et y(t) = - R 2, en déduire une relation simple entre y(t), α(t) et les paramètres géométriques. --------- fin de l énoncé --------- 5
Document réponses Nom : Exercice 1 Q1 a- b- Q2 graphe texte et calculs Q3 Q4 6
Q5 a- b- c- Q6 VC, 2 / 0 = Q7 VC,1/ 0 = 7
Q8 VC, 2 / 1 = Q9 Exercice 2 : Echelle pivotante Numéro et nom des solides Q10 Suite du cadre réponse page suivante 8
Suite Q10 Q11 et Q12 répondre page suivante Q13 Q14 Q15 9
Q11 et Q12 Remarque : Echelle non respectée pour la distance CD. Q12 10
Q16 Q17 égalité VC, 4 / 0 = VC, 3 / 0 = Exercice 3 : Commande de trappe Q18 Q19 B1/B0 B2/B1 B3/B0 11
Q20 1/ 0 = 2 / 0 = = 2 /1 = 3 / 0 Q21 V A,1/ 0 = V C,3 / 0 = Q22 V C,3 / 0 = V I,2 /1 = Q23 V I,3 / 2 = Suite page suivante 12
Suite Q23 VI,3 / 2 dans B 0 Q24 Q25 13
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