2 La loi de Hooke 2.1 Expérience préliminaire Etirons un ressort suspendu en appliquant une force à son extrémité inférieure. F 1 ressort à l équilibre F 2 >F 1 F 2 Figure I.2 Forces appliquées à un ressort On constate : Si on augmente l intensité de la force appliquée au ressort, l allongement augmente également. 2.2 Caractéristique x-f d un ressort Pour un ressort donné, mesurons les valeurs de l allongement x en fonction des forces F appliquées. Pour appliquer des forces bien précises, on accroche des masses pour lesquelles on peut facilement calculer le poids (effectivement la masse étire alors le ressort par une force qui est tout simplement égale à son poids). 7
Rappel : Le poids P (une force!) d un corps est, en un endroit donné, proportionnel à sa masse m(quinedépendpasdel endroit),d aprèslaformulep = m g où g est l intensité de la pesanteur (g Terre =9, 81 N/kg). x m P = F Tableau de mesure : m(g) e m(kg) e es F(N) es x(cm) ex(m) e espace gr 8
En comparant les valeurs de F(N) aux valeurs de x(m), on constate : Dans la colonne supplémentaire du tableau, calculons les rapports F/x (N/m) pour chaque couple de valeurs. On constate : Représentons la caractéristique x-f du ressort : c est le graphique sur lequel on représente la force F en fonction de l allongement x. On constate : Aux erreurs expérimentales près, les points de mesure se trouvent sur une droite passant par l origine. 9
Conclusion : Cherchons l équation de la droite de régression : Déterminons le plus précisément possible les coordonnées de 2 points A et B qui se trouvent sur la droite (les points A et B doivent être assez éloignés l un de l autre). Pour le point A(x A,F A ), nous avons : x A = m et F A = N. Donc A( m, N). Pour le point B(x B,F B ), nous avons : x B = m et F B = N. Donc B( m, N). En général, la pente a d une droite dans un graphique y-x se calcule par la formule pente a = y B y A x B x A. Ici, notons la pente k. Onadonc: pente k = F B F A x B x A = espaceplusgrandn espaceplusgrandm = espaceplusn espaceplusm = espacegrandn m. L équation générale d une droite passant par l origine s écrit y = a x (où a est la pente). L équation de notre droite s écrit donc : F = k x En comparant la valeur de la pente trouvée aux quotients F/x dans le tableau (dernière colonne), on constate : RéSigmaé : 1. Dans le tableau de valeurs, si la force est multipliée par n, l allongementestaussimultiplié par n (aux erreurs exp. près). 2. Le quotient F/x est une constante (aux erreurs exp. près). 3. La caractéristique x-f est une droite passant par l origine. 10
Conclusion : L allongement x d un ressort est proportionnel àlaforcefappliquée. 2.3 La loi de Hooke On vient de constater que, dans la caractéristique x-f d un ressort, l équation de la droite de régression s écrit F = k x Cette relation est appelée la «loi de Hooke» 1.Elletraduitlaproportionnalitéentreallongement et force. Elle peut aussi s écrire : ou encore : x = F k k = F x La constante k est appelée la «raideur» du ressort. Son unité SI est le Newton par mètre (N/m). Sa valeur correspond à la force dont on a besoin pour étirer le ressort de 1 mètre. Ainsi,chaque ressort a une raideur bien déterminée. La raideur peut aussi s exprimer en N/cm : 1N/cm =100N/m Pour un ressort de raideur élevée, il faut une force plus grande pour l étirer d une longueur donnée que pour un ressort de raideur moins élevée. Une fois que l on connaît la raideur k d un ressort, la loi de Hooke nous permet donc de calculer la force F nécessaire à un allongement quelconque, resp. de calculer l allongement x qui correspond à une force appliquée F quelconque. La loi de Hooke est valable pour tous les ressorts en acier, aussi longtemps qu on ne dépasse pas leur limite d élasticité (c est-à-dire qu on ne les allonge pas au point qu ils ne reprennent pas leur forme d origine). 1. D après Robert Hooke (1635-1703, Grande-Bretagne), un des plus grands scientifiques expérimentaux du XVII e siècle 11
Le dynamomètre met à profit loi de Hooke. A l intérieur, un ressort s allonge de façon proportionnelle à la force que l on veut mesurer. Au lieu d indiquer, sur l échelle, la valeur de l allongement, on met directement la valeur de la force correspondante (comme le constructeur connaît la raideur du ressort utilisé). 12