Calculs d'aires au Collège

Sommaire Calculs d'aires au Collège Partage de parallélogrammes. Aire d'une couronne, d'une lunule, d'un pentagone : figures avec GéoPlan.. Aire du parallélogramme, du trapèze 2. Aire du triangle 3. Aire et médiane 4. La propriété des proportions, théorème du chevron 5. Partage en deux d'un triangle 6. Aire d'un pentagone 7. Partage d'un parallélogramme en quatre 8. Partage d'un parallélogramme en quatre triangles 9. Théorème du papillon 0. Couronne. Lunule 2. Une figure qui manque d'aires Extrait du programme de géométrie de 5 e et de 6 e Faire des maths avec GéoPlan: http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/index.html Ce document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/aire_college.doc Document PDF : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/pdf/aire_college.pdf Document HTML : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire_college_classique.html Page n 68, réalisée le 30/5/2004, modifiée le 5//2008 Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l application d un déplacement ou d un anti-déplacement et ces deux types d applications du plan dans le plan conservent les aires. Avec les élèves on peut considérer que l on a démontré si l on vérifie qu il y a bien «recollement». MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page /7 Calculs d aire au collège

. Aire du parallélogramme A(ABCD) = AB DF = a h où a = AB = CD et h = DF = CE. L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB). Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques. Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire. En effet les deux triangles sont symétriques par rapport au milieu de la diagonale. Cette propriété est utilisée pour calculer l'aire d'un parallélogramme avec GéoPlan en doublant l'aire du triangle. Aire du trapèze On peut calculer l'aire, par décomposition en triangles et rectangle, à l aide de hauteurs issues de deux sommets. Comme pour tout quadrilatère convexe, l'aire se calcule avec GéoPlan en le partageant, par une diagonale, en deux triangles. Calculs Classe de cinquième L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur. Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB). I et J les milieux des côtés [BC] et [AD]. D'après la propriété de Thalès IJ est égal à la moyenne des bases. E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD). Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD car les triangles rectangles IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 2/7 Calculs d aire au collège

Autre démonstration : parallélogramme formé par deux trapèzes Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB). I le milieu des côtés [BC]. La symétrie de centre I transforme A en A et D en D. Les points A, B et C' sont alignés comme les points D, C et A. (BD') est parallèle à (A C). BD'A C est un trapèze de même aire que ABCD et on a : b = AB = A C, b = CD = A C, h = CH. (AD) est parallèle à (A D'). AD'A D est un parallélogramme de base AD' = b + b. A(AD'A D) = AD' CH = (b + b ) h. Or A(AD'A D) = A(ABCD) + A(BD'A C) = 2 A(ABCD), soit 2 A(ABCD) = (b + b ) h. On retrouve A(ABCD) = b+ b' h. 2 2. Aire du triangle L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté. Le rectangle BCED a une aire double de celle du triangle ABC Aire(ABC) = 2 Aire(BCED) = 2 BC AH = 2 base hauteur. La propriété du trapèze Deux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales. En effet les aires sont égales à 2 base hauteur. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 3/7 Calculs d aire au collège

3. Aire et médiane Classe de cinquième Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales. Si (AA') est une médiane de ABC, les triangles ABA' et ACA' ont des bases de même longueur et même hauteur. Leurs aires sont égales. Réciproquement si A' est un point du côté [BC], (AA') est médiane du triangle ABC si les triangles ABA' et ACA' ont même aire. 4. La propriété des proportions Si A' est un point du côté [BC] d'un triangle ABC, le rapport BA' des aires des triangles ABA' et ACA' est égal au rapport A' C de leurs bases. Théorème du chevron Chevron et médiane Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC, les triangles ABM et ACM ont même aire si et seulement si M est sur la médiane issue de A. Chevron et parallélogramme Si M est un point de diagonale [BD] d'un parallélogramme ABCD, les triangles ABM et BCM ont même aire. En effet M est un point de la médiane (BO) du triangle ABC. Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A' le point d'intersection de (AM) et de (BC), alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est BA' égal au rapport. A' C Ce résultat se démontre par un calcul de proportions en appliquant deux fois la propriété des proportions! Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 4/7 Calculs d aire au collège

Application : démontrer que les médianes d'un triangle sont concourantes. Démonstration basée sur la transitivité de l'égalité : Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales. Soit G le point d'intersection des médianes [AA'] et [BB'] d'un triangle ABC. G est sur [AA'] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ; de même G est sur [BB'] donc Aire(ABG) = Aire(BCG). On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC'] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle. Corollaire : [GA'] est la médiane de GBC, les triangles GA'B et GA'C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales. 5. Partage en deux d'un triangle Soit ABC un triangle, M le milieu de [BC] et P un point de ce côté. Montrer que la droite qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un pont Q tel que (MQ) est parallèle à (AP). Solution Si comme sur la figure ci-contre le point Q est sur le côté [AC] on a : Aire(ABPQ) = Aire(ABP) + Aire(APQ) = Aire(ABP) + Aire(APM) (APQ et APM ont même aire d'après la propriété du trapèze) = Aire(ABM) = 2 Aire(ABC) (Car la médiane [AM] partage ABC en deux triangles d'aires égales.) Exercices : étudier le cas ou l'aire de QPC est le tiers de l'aire de ABC ; le quart? MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 5/7 Calculs d aire au collège

6. Aire d'un pentagone Soit ABCDE un pentagone (convexe). Les parallèles au diagonales AC et AD coupent la droite (CD) en P et Q. L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ. Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE. Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et même hauteur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire. De même les triangles ADE et ADQ ont même aire. L'aire du pentagone est alors égale à la somme des aires des trois triangles APC, ACD et ADQ : c'est l'aire du triangle APQ. Remarque : dans GéoPlan il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone. On peut trouver a en calculant a = a + a2 +a3 somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE ou utiliser l'aire de APQ 7. Partage d'un parallélogramme en quatre Classe de troisième - assez difficile M est un point variable sur la diagonale [AC] d'un parallélogramme ABCD. Démontrer que les aires des deux parallélogrammes hachurés sont égales. Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un parallélogramme, mais il sait trouver la moitié de cette aire : l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale. Voir dans euclide.doc le cas particulier de rectangles. Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles MG AM AMG et CMH permet d'écrire : =. MH CM (AD) étant parallèle à (BC), la propriété de Thalès dans les triangles ALM et CKM permet d'écrire : AM LM =. CM KM MG LM Par transitivité =. MH KM MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 6/7 Calculs d aire au collège

Le produit des "extrêmes" est égal au produit des "moyens" :KM MG = LM MH. Aire(IBKM) = Aire(LMJD). Deux triangles dans un parallélogramme M est un point libre sur la diagonale [AC] du parallélogramme ABCD. Les aires des deux triangles hachurés sont égales. 8. Partage d'un parallélogramme en quatre triangles Formulation plus classique : M est un point variable à l'intérieur du parallélogramme ABCD. Classe de cinquième Un fermier possède un très grand champ en forme de parallélogramme ABCD à l'intérieur duquel se trouve un puits en un certain point M. Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux champs triangulaires MAB et MCD et tout le reste à son autre fils Jean. Un des frères est-il défavorisé? Défi "Héritage" - Jeune Archimède n 3-990 Démontrer que la somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés. Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de M sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD). (HM) est une hauteur de ABM (MK) est une hauteur de CDM et Aire(ABM) = 2 AB HM. et Aire(CDM) = 2 CD MK. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 7/7 Calculs d aire au collège

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [CD] sont de même longueur. D'où Aire(ABM) + Aire(CDM) = 2 AB HM + 2 AB MK = 2 AB (HM + MK). Aire(ABM) + Aire(CDM) = 2 AB HK = 2 Aire(ABCD). La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme. Celle des deux triangles non hachurés est égale à l'autre moitié. Le partage est équitable. 9. Théorème du papillon ABCD est un trapèze. Les diagonales se coupent en I. Indication : les triangles ABC et ABD ont même aire. Indication : tracer les points H et K projections orthogonales de I sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD). Les triangles ABC et ABD ont même aire égale à la moitié de la base AB multipliée par la hauteur égale à la longueur HK. En enlevant à ces deux triangles la surface du triangle CDI on a bien aire(adi) = aire(bci). a. Les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales. Théorème du papillon : si la droite (AB) est parallèle à la droite (DC) alors aire(adi) = aire(bci). Classe de troisième aire( ABI) AB b. Monter que le rapport est égal au carré du rapport (Thalès...). aire( CDI) CD Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles ABI et CDI permet d'écrire : AB AI = = k. CD CI De même la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AHI et CKI permet d'écrire : HI AI = = k. KI CI Aire(ABI) = 2 AB HI et Aire(CDI) = 2 CD KI d'où : aire( ABI) aire( CDI) AB = CD KI 2 HI æ AB ö = ç è CD ø HI AB = k 2 car = = k. KI CD MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 8/7 Calculs d aire au collège

En classe de seconde on dira que les triangles ABI et CDI ayant leurs trois angles respectivement égaux sont semblables avec un coefficient d'agrandissement k. Cette démonstration montre que le rapport de leur aire est k 2. 0. Couronne Niveau 4 e - 3 e Dans la figure ci-contre on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c ) et (c 2 ) de centre O. On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c ). On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c ) et (c 2 ). Indications : La tangente (AB) au cercle (c ) en M est perpendiculaire au rayon [OM]. Le triangle AMO est rectangle en M et la propriété de Pythagore permet d'exprimer l'aire s de la couronne en fonction de a. AB Cas particulier : Si AB est égal au diamètre du cercle (c ), r =, alors R = r 2. L'aire du cercle 2 (c 2 ) est double de celle de (c ), l'aire de la couronne est alors égale à l'aire du cercle intérieur. Voir : Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique Martin Gardner - Pour la science - Belin 979 MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 9/7 Calculs d aire au collège

. Lunule AB est un quart de cercle de rayon et de centre O ; OC un demi-cercle de centre A et de même rayon. Soit I le point d'intersection du quart de cercle et du demi-cercle. a. Calculer l'aire de la lunule déterminée par la corde IA sur le cercle de centre O. b. Calculer l'aire de la surface hachurée. Indication : a. les trois côtés de OIA sont des rayons des cercles : 3 3 OA = OI = IA = r =, OIA est équilatéral, son aire est r 2 =. 4 4 Le cercle de centre O a une aire égale à πr 2 = π. Le secteur angulaire, d'angle 60, compris entre l'arc de ce cercle et les rayons [OA] et [OI] correspond à 6 du cercle, son aire est 6 p. L'aire de la lunule déterminée par la corde IA est 6 p - 43 0,09. b. Le secteur angulaire, d'angle 20, compris entre l'arc du cercle de centre A et les rayons [AI] et p [AC] correspond à du cercle, son aire est. 3 3 La surface hachurée, formée de ce secteur auquel on enlève la lunule, a pour aire : p p 3 p 3 - ( - ) = + 0,96. 3 6 4 6 4 c. Méthode des aires En introduisant le point D, milieu de l'arc, on 3 obtient un triangle équilatéral ADI d'aire et 4 un secteur angulaire, d'angle 60, compris entre l'arc du cercle de centre A et les rayons [AD] et [AC] correspondant à 6 du cercle, son aire est p. 6 Les lunules déterminée par la corde IA sur le cercle de centre O et celle déterminée par la corde ID sur le cercle de centre A ont même aire car les cordes ont même longueur et les cercles même rayon. En enlevant au triangle équilatéral la lunule déterminée par la corde IA et en ajoutant celle déterminée par la corde ID on obtient, avec le secteur angulaire DAC, la surface hachurée d'aire : 3 p +. 4 6 MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 0/7 Calculs d aire au collège

2. Une figure qui manque d'aires Affaire de logique n 469 Le Monde 2-28 février 2006 Cette figure formée par deux parallélogrammes enchevêtrés et de leurs diagonales, comporte huit zones. Seule l'aire du quadrilatère DOGI est donnée. Quelle est la valeur des sept aires inconnues? Les aires de chaque zone se calculent en utilisant les résultats suivants : - le rapport dans lequel une droite issue d'un sommet partage l'aire d'un triangle est aussi celui dans lequel elle partage le côté opposé ; - les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux et en conséquence, elles partagent le parallélogramme en quatre zones d'aires égales ; - le centre de gravité G du triangle ABD est situé aux deux tiers des médianes [AI] et [BO] en partant des sommets. Note technique : à partir d'une figure quelconque, il facile avec GéoPlan de déplacer les sommets pour obtenir une aire de la zone grisée sensiblement égale à 2. Pour ces parallélogrammes de 2 unités d'aires, il a été choisi dans cette figure de tracer de côtés horizontaux de longueur 4, avec 3 comme hauteur des parallélogrammes. Technique GéoPlan : ne pouvant calculer l'aire d'un quadrilatère, l'aire de DOGI a été décomposée en deux triangles. Pour afficher l'aire des triangles, choisir un point à l'intérieur du triangle et placer à la fin du texte de la figure une instruction "A la place de..., afficher :" : A3 centre de gravité du triangle DEO a3 aire du triangle DEO (unité de longueur Uoxy) A la place de A3, afficher: \val(a3,)\ MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page /7 Calculs d aire au collège

3. Information minimale Affaire de logique n 554 Le Monde 6-23 octobre 2007 Ce triangle d'aire 00 cm 2 est découpé par ces deux segments en quatre zones, trois de forme triangulaire, la quatrième étant un quadrilatère. On ne sait qu'une chose : trois des zones ont même aire. Quelle est cette aire commune? N.B. - On arrondira si besoin à une décimale. - La figure n'est pas forcement juste. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 2/7 Calculs d aire au collège

Les trois triangles ont même aire Si les triangles AB'I et ABI ont même aire, AI est une médiane de ABB et I est le milieu de [BB']. De même si les triangles ABI et A BI ont même aire, BI est une médiane de ABB et I est le milieu de [AA ]. Les diagonales de ABA B se coupent en leur milieu, ABA B serait un parallélogramme ce qui est exclu car dans le triangle ABC, les côtés (AC) et (BC) ne sont pas parallèles. On exclut de même le cas limite où les triangles ont une aire nulle lorsque A et B sont confondus avec les sommets B et C. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 3/7 Calculs d aire au collège

Les deux triangles opposés par le sommet ont même aire que le quadrilatère L'aire commune est d'environ 6,7 cm 2. A et B sont situés aux tiers des côtés [CB] et [CA], à partir de C. Le point I est le milieu de la médiane de ABC, issue de C. En effet si x est l'aire commune, les triangles ABA et ABB ont même base [AB] et la même aire égale à x + A(ABI) ; ils ont même hauteur et la droite (A B ) est parallèle à (AB). La droite (CI) passe par les milieux de [A B ] et de [AB]. C'est une médiane de ABC et d'après le théorème du chevron les triangles AIC et BIC ont même aire. L'aire des triangles A IC et B IC est donc 2 x D'après la propriété des proportions, le rapport 2 des aires des triangles CIA et BIA est égal au rapport [CA] CA ' de leurs bases. A est situé au tiers du côté [CB]. De même B est situé au tiers du côté BA' I est le barycentre des points pondérés (A, ); (B, ); (C, 2). C'est le milieu de la médiane, l'aire de AIB est alors de 50 cm 2, le complément 3x est aussi égal à 50 et x = 50. 3 MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 4/7 Calculs d aire au collège

Deux triangles adjacents ont même aire que le quadrilatère Si les triangles AB I et ABI ont même aire x, AI est une médiane de ABB et I est le milieu de [BB ]. L'aire du quadrilatère, divisée par la sécante (CI), avec a = A(CB I) et b = A(CA I). Si c = A(A IB) on est confronté aux équations suivantes : a + b = x 3x + c = 00. (CI) est une médiane de AB B donc a = b + c. D'après la propriété des proportions, le rapport des aires des triangles CIA et CIA est égal au rapport IA' de leurs bases. IA De même le rapport des aires des triangles BIA et BIA est égal au rapport IA' de leurs bases. IA Le rapport de ces aires est a+ b x = c. x Des trois premières équations, on tire a, b, c en fonction de x, et on remplace dans la dernière pour parvenir finalement à l'équation du second degré : x 2 + 50 x -2500 = 0 dont la seule solution positive est x = 325-25. L'aire commune est d'environ 30,9 cm 2. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 5/7 Calculs d aire au collège

Extrait du programme de géométrie de 5 e (2006) Contenus Compétences Exemples d'activités, commentaires 4.3 Aires Parallélogramme, triangle, disque. - Calculer l aire d un parallélogramme. - Calculer l aire d un triangle connaissant un côté et la hauteur associée. - Calculer l aire d un disque de rayon donné. - Calculer l aire d une surface plane ou celle d un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables. La formule de l aire du parallélogramme est déduite de celle de l'aire du rectangle. La formule de l aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle. Le fait que chaque médiane d un triangle le partage en deux triangles de même aire est démontré. Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l'aire du disque. Les élèves peuvent calculer l aire latérale d un prisme droit ou d un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 6/7 Calculs d aire au collège

Extrait du programme de géométrie de 6 e Contenu 4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d'aires Compétences exigibles - Comparer des aires. - Déterminer l'aire d'une surface à partir d'un pavage simple. - Différencier périmètre et aire. - Connaître et utiliser la formule donnant l'aire d'un rectangle. - Calculer l'aire d'un triangle rectangle. - Effectuer pour les aires des changements d'unités de mesure. Commentaires Poursuivant le travail effectué à l'école élémentaire, les élèves sont confrontés à des problèmes dans lesquels il faut : - comparer des aires à l'aide de reports, de décompositions, de découpages et de recompositions, sans perte ni chevauchement ; - déterminer des aires à l'aide de quadrillage et d'encadrements. Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que leurs sens de variation ne sont pas toujours similaires. Au cycle 3 de l école élémentaire, les élèves ont calculé l'aire d'un rectangle dont l'un des côtés au moins était de dimension entière. En sixième, le résultat est généralisé au cas de rectangles dont les dimensions sont des décimaux. Des manipulations permettent aux élèves de comprendre le passage du rectangle au triangle rectangle. A partir de là, ils peuvent être confrontés au calcul d'aires de figures décomposables en rectangles et triangles rectangles. Comme pour les longueurs, l'utilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d'un tableau de conversion. MIAM : faire des mathématiques avec GéoPlan Page 7/7 Calculs d aire au collège