CHAPITRE 6 RACINES CARREES (PARTIE 2 SUR 2) I. LES RACINES CARREES ET LES QUATRE OPERATIONS Essyons de répondre ux questions suivntes : + est-il égl à +? est-il égl à? est-il égl à? est-il égl à? A. RACINES CARREES ET ADDITION QUELQUES ESSAIS : Comprons, à l mchine, 2 + 3 et puis 8 + 2 et 10 Clculs : 2 + 3 3,1 et 2,2 donc 2 + 3 8 + 2 4,2 et 10 3,1 donc 8 + 2 10 CONCLUSION : Ces contre-exemples suffisent à prouver que générl. + n est ps égl à + en «En générl, l somme des rcines crrées de deux nomres n est ps égle à l rcine crrée de l somme de ces deux nomres. C'est-à-dire + +». B. RACINES CARREES ET SOSUTRACTION QUELQUES ESSAIS : Comprons, à l mchine, 13 3 et 10 puis 6 et 14. Clculs : 13 3 1,8 et 10 3,1 donc 13 3 10 6 2 et 14 3,7 donc 6 14 Pge 1 sur 10
CONCLUSION : Ces contre-exemples suffisent à prouver que n est ps égl à en générl. «En générl, l différence des rcines crrées de deux nomres n est ps égle à l rcine crrée de l différence de ces deux nomres. C'est-à-dire». C. RACINES CARREES ET MULTIPLICATION QUELQUES ESSAIS : Comprons, à l mchine, 2 3 et 6 puis 2 et 10. Clculs : 2 3 2,4 et 6 2,4 2 3,1 et 10 3,1 Ces deux exemples permettent de penser qu il y églité. Pr contre, ils ne suffisent ps pour montrer que ç mrche pour tous les nomres. Pour prouver que est toujours égl à il fut procéder utrement et grder les lettres. PREUVE QUE EST TOUJOURS EGAL A et sont des nomres positifs. Pour les comprer, il suffit de comprer leurs crrés (voir le VI du premier chpitre sur les rcines crrées). Clculons donc les crrés de et : ( ) 2 = ( ) 2 ( ) = cr ( x) 2 = x 2 cr (x y)² = x² y² ( ) 2 = cr ( x) 2 = x Les crrés de et sont égux donc est égl à. RETENIR = «Le produit des rcines crrées de deux nomres est égl à l rcine crrée du produit de ces deux nomres». Pge 2 sur 10
APPLICATIONS A = 3 7 = 3 7 = 21 B = 3 7 2 = 3 7 2 = 3 7 2 = 21 2 = 21 10 C = ( + 3) 2 cr ( + )² = ² + 2 + ² = ( ) 2 + 2 3 + ( 3) 2 = + 2 3 + 3 cr = et ( ) 2 = = + 2 1 + 3 = 2 1 + 3 + = 2 1 + 8 On ne peut ps simplifier dvntge! AUTRE EXEMPLE Enoncé : ) Ecrire, sous forme d une seule rcine, le doule de crrée de 6. ) Ecrire, sous forme d une seule rcine, le triple de crrée de 2. Solutions : ) Le doule de 6 = 2 6 = 4 6 cr 2 = 4 = 4 6 cr = = 24 ) Le triple de 2 = 3 2 = 9 2 cr 3 = 9 = 9 2 cr = = 18 L moitié de rcine crrée de est 2 soit. Pge 3 sur 10
D. RACINES CARREES ET DIVISION On démontre, de même, que pour l multipliction, que est toujours égl à. RETENIR = «Le quotient des rcines crrées de deux nomres est égl à l rcine crrée du quotient de ces deux nomres». APPLICATIONS A = 10 = 10 = 2 B = 14 2 = 14 2 = 7 AUTRES EXEMPLES Enoncé : ) Ecrire 0,0 sns utiliser de virgule. ) Ecrire le plus simplement possile l moitié de rcine crrée de. Solutions : ) 0,0 = = = 100 100 10 cr = ) L moitié de = 2 = 4 = 4 = L moitié de rcine crrée de est cr 2 = 4 cr 2 = soit. Pge 4 sur 10
E. EXEMPLES D EXERCICES Enoncé : A = 7 14 B = 22 3 6 11 Ecrire A et B le plus simplement possile. Solutions : A = A = A = 7 14 7 14 7 14 cr = cr = A = 8 cr 7 14 = 4 2 7 7 = 8 B = B = B = B = 4 B = 2 22 3 6 11 22 3 6 11 22 3 6 11 cr = cr = cr 22 3 6 11 = 11 2 3 2 = 4 3 11 II. SIMPLIFICATION DU TYPE ² = A. EXEMPLES 300 = 10² 3 0 = ² 2 = 10² 3 = ² 2 cr = = 10 3 = 2 cr ² = = 10 3 = 2 Pge sur 10
B. TECHNIQUE DE SIMPLIFICATION RAPPEL : DIVISEUR D UN ENTIER Un entier d est un diviseur d un entier si le quotient est un entier. d Exemple : 7 est un diviseur de 91 cr 91 est égl à 13 qui est un entier. 7 Cel signifie que 91 est dns l tle de 7 c'est-à-dire que 91 est un multiple de 7. Contre-exemple : n est ps un diviseur de 32 cr 32 est égl à 6,4 qui n est ps un entier. Cel signifie que 32 n est ps dns l tle de. NOTION DE CARRE PARFAIT Un nomre entier est ppelle crré prfit s il est le crré d un nomre entier. Exemple : 36 est un crré prfit cr 36 est le crré de l entier 6. 121 est un crré prfit cr 121 est le crré de l entier 11. Voici les premiers crrés prfits : 1=1² 4 = 2² 9 = 3² 16 = 4² 2 = ² 36 = 6² 49 = 7² 64 = 8² 81 = 9² 100 = 10² 121 = 11² 144 = 12² 169 = 13² 196 = 14² 22² = 1². TECHNIQUE Pour simplifier 32, on cherche à écrire 32 sous l forme ² où et sont des entiers. Pour cel on cherche on essie de trouver, prmi les crrés prfits (c'est-à-dire prmi les nomres de l liste 2² 3² 4² ² 6².) un diviseur de 72 : Pge 6 sur 10
32 = 8 donc 2² est un diviseur de 32. Donc 32 = 2² 8. Donc 32 = 2² 8 = 2² 2² 8 = 2 8 32 3, donc 3² n est ps un diviseur de 32. 3² 32 = 2 donc 4² est un diviseur de 32. Donc 32 = 4² 2. Donc 32 = 4² 2 = 4² 2 4² = 4 2 L meilleure simplifiction (ici l dernière 32 = 4 2) est otenue vec le plus grnd crré prfit qui est un diviseur de 32 (ici 4²). RETENIR : Pour simplifier N où N est un nomre entier, on cherche le plus grnd crré prfit qui est un diviseur de N. Ce diviseur fournir l meilleure simplifiction possile. APPLICATION Enoncé Ecrire 72 sous l forme où et sont des entiers, étnt le plus petit possile. (C est-à-dire chercher l meilleure simplifiction possile). Recherche à l mchine : 72/2² = 18 donc 2² est diviseur de 72. 72/3² = 8 donc 3² est diviseur de 72. 72/4² = 4, donc 4² n est ps diviseur de 72. 72/² = 2,88 donc ² n est ps diviseur de 72. 72/6² = 2 donc 6² est diviseur de 72. Inutile de continuer, le quotient devient de plus en plus petit (cr on divise 72 pr des nomres de plus en pus grnds) : on ne peut ps fire mieux que 2. L meilleure décomposition est 72 = 6² 2. Solution : 72 = 6² 2 = 6² 2 = 6 2 = 6 2 Pge 7 sur 10
III. EXEMPLES D EXERCICES ENONCE 1: ) Simplifier 4 et 80. ) En déduire l simplifiction de : A = 2 4 80 + 3 B = 2 + 80 4 C = 4 80 Solution : ) 4 = 3² = 3² = 3 (en utilisnt l technique vue u II) 80 = 4² = 4² = 4 Vérifiction à l mchine : 4 6,7 et 3 6,7 80 8,9 et 4 8,9 C est juste! ) A = 2 4 80 + 3 A = 2 3 4 + 3 Attention : 2 4 = 2 4= 2 3 = 6 A = 6 4 + 3 c est une multipliction! A = (6 4 + 3) A = Vérifiction à l mchine : 2 4 80 + 3 11,18 11,18 C est juste! B = 2 + 80 4 B = 2 + 4 3 B = 6 3 B = 6 3 B = 2 Cr 6 3 = 6 3 = 6 3 on simplifie le quotient pr. Vérifiction à l mchine : 2 + 80 4 = 2 (penser ux prenthèses utour du numérteur) C est juste! Pge 8 sur 10
C = 4 80 = 3 4 = 3 4 = 3 4 ( ) 2 = 12 = 60 Vérifiction à l mchine : 4 80 = 60 C est juste! ENONCE 2: On donne B = 2 99 176 + 27. ) Montrer que B peut s écrire sous l forme 11 où est un nomre entier. ) En déduire B 2. Solution : )Recherche u rouillon : L énoncé donne ici une indiction forte : le 11 indique que 99, 176 et 27 vont se simplifier en 11. En effet : 99 11 = 9 = 3² 176 11 = 16 = 4² 27 = 2 = ² donc 99 = 3² 11 176 = 4² 11 et 27 = 11 ² 11 Sur l copie : 99 = 3² 11 = 3² 11 = 3 11 176 = 4² 11 = 4² 11 = 4 11 27 = ² 11 = ² 11 = 11 B = 2 99 176 + 27 B = 2 3 11 4 11 + 11 B = 6 11 11 + 11 B = (6 + ) 11 B = 9 11 B est écrit sous l forme 11 vec est égl à -9 (entier). ) «En déduire B²» signifie que l on v utiliser le résultt précédent pour préondre à l question. C'est-à-dire on utilise l forme simplifiée de B pour clculer B². B² = ( 9 11) 2 = (-9) 2 ( 11) 2 = 81 11 = 891 (Attention (-9)² = + 81) Pge 9 sur 10
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