Introduction aux Mathématiques Financières. Notes de cours. Ioane Muni Toke

Introduction aux Mathématiques Financières Notes de cours Ioane Muni Toke Ecole Centrale Pékin 28 mars 2011-1er avril 2011 Version du 17 mars 2011

Introduction aux mathématiques financières 2

Table des matières 1 Rappels de probabilités 7 1.1 Espaces, tribus, mesures........................ 7 1.2 Variables aléatoires........................... 8 1.2.1 Définitions............................ 8 1.2.2 Lois, moments.......................... 9 1.3 Indépendance.............................. 9 1.4 Espérance conditionnelle........................ 10 1.4.1 Définitions............................ 10 1.4.2 Propriétés de l espérance conditionnelle............ 10 1.4.3 Espérance conditionnelle dans L 2............... 11 1.5 Suites de variables aléatoires et convergences............. 12 2 Processus stochastiques à temps discret 15 2.1 Processus et filtrations......................... 15 2.2 Mesurabilité des processus....................... 16 2.3 Martingales............................... 16 2.3.1 Définitions............................ 16 2.3.2 Transformées de martingales.................. 18 2.4 Temps d arrêt.............................. 19 2.5 Propriété de Markov.......................... 20 3 Quelques mots sur les options en finance 21 3.1 L exemple du call............................ 21 3.2 Un peu de vocabulaire......................... 22 4 Evaluation par arbitrage en temps discret 25 4.1 Introduction............................... 25 4.2 Un modèle financier à plusieurs périodes............... 26 4.2.1 Actifs financiers......................... 26 4.2.2 Stratégies (de trading)..................... 26 4.2.3 Actif sans risque........................ 26 3

Introduction aux mathématiques financières 4.2.4 Stratégies autofinancées.................... 27 4.3 Opportunités d arbitrage et probabilité martingale.......... 28 4.3.1 Définition d une oppportunité d arbitrage........... 28 4.3.2 Définition d une probabilité martingale............ 28 4.3.3 Théorème fondamental de l évaluation par arbitrage..... 28 4.4 Marché complet............................. 29 4.4.1 Options et stratégie de réplication............. 29 4.4.2 Définition d un marché complet................ 30 4.4.3 Second théorème fondamental de l évaluation par arbitrage. 30 5 Le modèle binomial 31 5.1 Introduction............................... 31 5.2 Construction du modèle binomial................... 31 5.3 Viabilité et complétude......................... 32 5.4 Evaluation des options......................... 32 5.5 Couverture (Hedging).......................... 33 5.6 Vers un modèle à temps continu.................... 33 5.7 Algorithme d évaluation........................ 34 A Sujet de travaux pratiques : implémentation du modèle de Cox, Ross & Rubinstein 39 A.1 Formule de Black & Scholes...................... 39 A.2 Evaluation par arbre.......................... 39 A.3 Couverture............................... 40 A.4 Consignes de rendu........................... 40 4

Introduction Ces quelques notes de cours ont été assemblées en préparation d un bref cours d introduction aux processus stochastiques et aux mathématiques financières, devant être donné à l Ecole Centrale Pékin (Beihang University, Pékin, Chine). Les deux premiers chapitres sont consacrés aux outils mathématiques nécessaires à l exposé des modèles financiers en temps discret. Le chapitre 1 résume quelques résultats fondamentaux normalement exposés dans un cours introductif à la théorie des probabilités, comme celui donné à l Ecole Centrale Paris (Herbin 2009). Le chapitre 2 présente très brièvement la notion de processus stochastiques à temps discret. L accent est mis sur la notion de martingale et sur les résultats directement nécessaires aux modèles simples exposés dans la suite du cours. La notion de temps d arrêt est à peine évoquée. Les problèmes de convergence ne sont pas traités. Le matériel présenté ici est très classique et se retrouve dans de nombreux cours disponibles en ligne ou dans des ouvrages comme celui de Jacod & Protter (2002), Lawler (1995) ou encore Williams (1991). Les trois chapitres suivants correspondent à un cours donné par l auteur en 2ème année d études à l Ecole Centrale Paris (Abergel, Gabet & Muni Toke 2009). Le chapitre 3 rappelle ce qu est une option en finance et précise quelques mots de vocabulaire. Le chapitre 4 présente la théorie d évaluation par arbitrage en temps discret. Finalement, le chapitre 5 est consacré à l exposé du modèle de Cox, Ross & Rubinstein (1979). Ces notes sont très succinctes et lacunaires, et ne sont qu un support pour l exposé en cours. Pour aller plus loin sur ces sujets, on pourra se reporter par exemple aux ouvrages de Lamberton & Lapeyre (1998), Follmer & Schied (2004) ou Shreve (2005). 5

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Chapitre 1 Rappels de probabilités On rappelle ici quelques notations et résultats de base de théorie des probabilités, qui seront utilisées pour construire les modèles financiers probabilistes. 1.1 Espaces, tribus, mesures On note de façon usuelle Ω l espace d états, ensemble contenant les différentes réalisations possibles d un phénomène aléatoire à étudier. Remarque 1.1. Dans le cadre des mathématiques financières, la grandeur aléatoire étudiée sera le plus souvent le prix d un actif financier. Dans les modèles étudiés dans le cadre de ce cours, l espace Ω sera le plus souvent supposé fini. Définition 1.1 (Tribu). On appelle tribu toute famille de parties de Ω telle que : Ω F ; si A F, alors Ω\A F ; si n N,A n F, alors n N A n F. Une tribu est donc une famille non vide, stable par passage au complémentaire et par intersections et unions finies ou dénombrables. Dans la littérature anglophone, une tribu est appelée σ-algebra. Exemple 1.1. {,Ω} est une tribu appelée tribu grossière ou triviale. Si Ω est fini ou dénombrable, alors P(Ω) est une tribu appelée tribu discrète. Le couple (Ω,F) est appelé espace mesurable. Sur cet espace, on peut définir une mesure. Définition 1.2 (Mesure). On appelle mesure de probabilité sur l espace mesurable (Ω,F) toute application P : F [0,1] telle que : P( ) = 0; P(Ω) = 1; 7

Introduction aux mathématiques financières pourtoutesuitedénombrable (A n ) n N d éléments def deuxàdeuxdisjoints, P ( n N A ) n = n N P(A n). Cette dernière propriété est appelée σ-additivité. Le triplet (Ω, F, P) est appelé espace mesuré, ou encore espace de probabilité. Remarque 1.2. Dans le cas d un espace d états fini, une mesure P est entièrement déterminée par sa valeur sur les singletons ω Ω. Remarque 1.3. Toute la modélisation financière probabiliste se fonde sur la construction d un espace Ω groupant l ensemble des scénarios d évolutions possibles des prix d un actif, et la détermination d une bonne mesure P permettant d évaluer les gains/pertes pour chacun de ces scénarios. Définition 1.3 (Parties négligeables). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Une partie N de Ω est dite négligeable si il existe un élément A F tel que N A et P(A) = 0. Définition 1.4 (Mesures équivalentes). Soit espace mesurable(ω, F). Deux mesures de probabilité P et Q sont dites équivalentes si A F,P(A) = 0 Q(A) = 0. Remarque 1.4. Dans les modèles financiers, on se placera souvent sur un espace de probabilité (Ω,F,P) fini, tel que ω Ω,P(ω) > 0. Dans ces conditions, une mesure Q équivalente à P est telle que ω Ω,Q(ω) > 0. 1.2 Variables aléatoires 1.2.1 Définitions Définition 1.5. Soient (Ω,F,P) un espace de probabilité et (E,E) un espace mesurable. On appelle variable aléatoire à valeurs dans E toute application mesurable de Ω dans E. Autrement dit, une variable aléatoire X sur (Ω,F,P) et à valeur dans E est telle que A E,X 1 (A) F. Définition 1.6. Soient (Ω,F,P) un espace de probabilité et X une variable aléatoire à valeurs dans un espace (E,E). On appelle tribu engendrée par X la sous-tribu X 1 (E) = {X 1 (A) A E}. La tribu engendrée est la plus petite tribu de Ω rendant X mesurable. De façon usuelle, la tribu engendrée par une variable aléatoire X est notée σ (X). 8

Ioane Muni Toke 1.2.2 Lois, moments Définition 1.7. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un espace (E,E). On appelle loi de X ou distribution de X la mesure image de P par X, i.e. l application P X : E [0,1] telle que A E,P X (A) = P({ω Ω X(ω) A}) = P(X 1 (A)) (1.1) Une variable aléatoire X, en tant qu application mesurable, peut être intégrée par rapport à la mesure P 1. De façon usuelle, on note L 1 (Ω,F,P) l ensemble des variables aléatoires intégrables par rapport à P : L 1 (Ω,F,P) = { X : Ω E mesurable Ω } X(ω) P(dω) <. (1.2) Définition 1.8. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Soit X une variable aléatoire de L 1 (Ω,F,P) à valeurs dans un espace (E,E). On appelle moment d ordre 1 ou espérance la quantité X(ω)P(dω), notée E[X]. Ω Remarque 1.5. Dans le cas d un espace d états Ω fini, on a pour une variable aléatoire X intégrable : E[X] = ω ΩX(ω)P(ω). (1.3) Définition 1.9. Soient (Ω,F,P) un espace de probabilité et X une variable aléatoire. On dit que X admet un moment d ordre 2, et on note X L 2 (Ω,F,P), si Ω X(ω) 2 P(dω) <. Pour une telle variable aléatoire, on peut définir la variance par : Var[X] = E[(X E[X]) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2. (1.4) 1.3 Indépendance Définition 1.10 (Indépendance de sous-tribus). Soient (Ω, F, P) un espace de probabilité et (F i ) i I une famille de sous-tribus de F. Les sous-tribus (F i ) i I sont dites indépendantes si pour tout sous-ensemble fini J de I et toute famille (A j ) j J d éléments tels que j,a j F j, on a : ( ) P A j = j ) (1.5) j JP(A j J 1. Voir le cours d Analyse/Intégrale de Lebesgue. 9

Introduction aux mathématiques financières Définition 1.11 (Indépendance de variables aléatoires). Soient (Ω, F, P) un espace de probabilité et (X i ) i I une famille de variables aléatoires à valeurs dans des espaces (E i,e i ). Les variables aléatoires (X i ) i I sont dites indépendantes si les sous-tribus engendrées ( X 1 i (E i ) ) sont indépendantes. i I Remarque 1.6. Dans la suite, on dira souvent la variable aléatoire X est indépendante de la tribu G, ce qui se comprend comme la tribu engendrée par X est indépendante de la tribu G. 1.4 Espérance conditionnelle 1.4.1 Définitions Définition 1.12 (Espérance conditionnelle par rapport à une sous-tribu). Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Soit X une variable aléatoire de L 1 (Ω,F,P) à valeurs dans un espace (E,E). Soit G une sous-tribu de F. On appelle espérance conditionnelle de X sachant G et on note E[X G] la variable aléatoire Y telle que : Y L 1 (Ω,G,P); A G, A X(ω)P(dω) = A Y(ω)P(dω). Remarque 1.7. Cette définition s écrit également : A G,E[1 A X] = E[1 A Y]. Remarque 1.8. Deux cas particuliers seront souvent rencontrés en modélisation financière : si X L 1 (Ω,G,P), i.e. si X est G-mesurable, alors E[X G] = X; si X est indépendant de G, alors E[X G] = E[X]. Cette dernière propriété implique en particulier pour la tribu grossière: E[X {, Ω}] = E[X]. Définition 1.13 (Espérance conditionnelle par rapport à une variable aléatoire). Soit(Ω,F,P)unespacedeprobabilité.SoitX unevariablealéatoiredel 1 (Ω,F,P) à valeurs dans un espace (E,E). Soit Y une variable aléatoire et F Y sa tribu engendrée. On appelle espérance conditionnelle de X sachant Y et on note E[X Y] l espérance conditionnelle par rapport à la sous-tribu F Y. 1.4.2 Propriétés de l espérance conditionnelle Proposition 1.1 (Conditionnement). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit X et Y deux variables aléatoires de L 1 (Ω,F,P) à valeurs dans un espace (E,E). Soit G une sous-tribu de F. Alors linéarité : E[X +Y G] = E[X G]+E[Y G]; positivité : si X 0 p.s., alors E[X G] 0 p.s.; 10

Ioane Muni Toke conditionnement itéré (i) : E[E[X G]] = E[X]; conditionnement itéré (ii) : E[E[X G] H] = E[X H] pour toute sous-tribu H G F ; terme mesurable d un produit : si XY L 1 (Ω,F,P) et si X est G-mesurable, alors E[XY G] = XE[Y G]. Les propriétés liées à la mesurabilité et l indépendance énoncées à la remarque 1.8 donnent lieu au résultat suivant, qui généralise la dernière propriété de la proposition précédente 1.1, et qui sera très souvent utilisée en modélisation financière. Théorème 1.1 (Calcul d espérances conditionnelles). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit G une sous-tribu de F. Soient X une variable aléatoire G- mesurable à valeurs dans un espace (E, E) et Y une variable aléatoire indépendante de G à valeurs dans un espace (E,E ). Pour toute fonction Φ borélienne positive (ou bornée) sur (E E,E E ), la fonction ϕ : E R définie par est borélienne sur (E,E) et on a : x E,ϕ(x) = E[Φ(x,Y)] (1.6) E[Φ(X,Y) G] = ϕ(x) p.s. (1.7) Démonstration. Lamberton & Lapeyre (1998, Proposition 2.5 p.166). Autrement dit, pour X G-mesurable et Y indépendante de G, le calcul de E[Φ(X,Y) G] se fait comme si X était constante, et par suite en ignorant le conditionnement par G. Finalement, le théorème suivant nous sera utile lors de l évaluation de produits financiers dont les flux sont convexes par rapport à un prix de référence. Théorème 1.2 (Inégalité de Jensen). Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Soit X une variable aléatoire de L 1 (Ω,F,P) à valeurs dans un espace (E,E). Soit G une sous-tribu de F. Soit φ : R R une application convexe. Si φ(x) est dans L 1 (Ω,F,P), alors φ(e[x G]) E(φ(X) G). (1.8) 1.4.3 Espérance conditionnelle dans L 2 L 2 (Ω,F,P)muniduproduitscalaire(X,Y) E[XY]estunespacedeHilbert. Pour toutesous-tribu G, une variable aléatoirex decet espace admet donc unprojeté orthogonal sur le sous-espace L 2 (Ω,G,P). Ce projeté orthogonal X vérifie : Z L 2 (Ω,G,P),E[(X X )Z] = 0, (1.9) 11

Introduction aux mathématiques financières i.e. Z L 2 (Ω,G,P),E[XZ] = E[X Z]. (1.10) C est l espérance conditionnelle de X sachant G. Exercice 1.1 (Variance conditionnelle). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. SoitX unevariablealéatoiredel 2 (Ω,F,P).SoitG unesous-tribudef.ondéfinit la variance conditionnelle par Var[X G] = E [ (X E[X G]) 2]. (1.11) Montrer que Var[X] = Var[X G] + Var[E[X G]]. (1.12) 1.5 Suites de variables aléatoires et convergences On rappelle ici les définitions des principaux modes de convergence de suites de variables aléatoires, ainsi que la version classique du théorème central limite. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Définition 1.14 (Convergence presque sûre). On dit qu une suite de variables aléatoires (X n ) n N converge presque sûrement vers une variable aléatoire X si ({ }) P ω Ω lim X n(ω) = X(ω) = 1. (1.13) n + Définition 1.15 (Convergence en probabilité). On dit qu une suite de variables aléatoires (X n ) n N converge en probabilité vers une variable aléatoire X si ({ }) ǫ > 0, lim P ω Ω X n (ω) X(ω) > ǫ = 0. (1.14) n + Définition 1.16 (Convergence en loi). On dit qu une suite de variables aléatoires réelles (X n ) n N converge en loi vers une variable aléatoire X si la distribution P Xn converge faiblement vers la distribution P X, i.e. si pour toute application f borélienne bornée lim f(x)p Xn (dx) = f(x)p X (dx) (1.15) n + R R Remarque 1.9. Dans le cas de variables aléatoires discrètes, comme ce sera souvent le cas dans les modèles financiers dont l exposé suit, la convergence en loi d une suite de variables aléatoires à valeurs dans un espace (E, E) s écrit simplement sous la forme x E, lim P(X n = x) = P(X = x) (1.16) n + 12

Ioane Muni Toke Théorème 1.3 (Théorème central limite). Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de L 2 (Ω,F,P), de moyenne n µ et variance σ 2 i=1 finies. La variables aléatoire X i nµ σ converge en loi vers n une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. Remarque 1.10. Lorsque l on étudiera la convergence du modèle de l arbre binomial vers celui de Black & Scholes (cf. chapitre 5), on travaillera avec des suites de variables aléatoires qui ne sont pas définies sur un même espace d états Ω. On utilisera donc une version un peu différente de ce théorème, que l on donne maintenant. Théorème 1.4 (Théorème central limite, version 2). Soit, pour tout N N, un espace de probabilité (Ω (N),F (N),P (N) ) sur lequel sont définies N variables aléatoires X1 N,...,XN N. Si les quatre conditions suivantes sont vérifiées : N N, les variables aléatoires X (N) 1,...,XN N sont indépendantes; N N, il existe γ N constante telle que lim N + lim N + N k=1 N k=1 k, X (N) k γ N P N p.s. et lim N + γ N = 0; E P N [X (N) k ] = µ; Var P N [X (N) k ] = σ 2 ; alors la variable aléatoire N k=1 X(N) k converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale de moyenne µ et de variance σ 2. Démonstration. Follmer & Schied (2004, Théorème A.36, p.419). 13

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Chapitre 2 Processus stochastiques à temps discret 2.1 Processus et filtrations Définition 2.1 (Processus stochastique). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. On appelle processus stochastique à temps discret toute famille de variables aléatoires (X t ) t N de (Ω,F,P) à valeurs dans un même espace (E,E). Remarque 2.1. Si l indice t est à valeur dans R ou R +, on parle de processus stochastique à temps continu. Le processus stochastique peut être vu en terme de réalisation, i.e. pour un évènement aléatoire donné. Définition 2.2 (Trajectoire ou réalisation). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit (X t ) t N un processus stochastique. Pour ω Ω fixé, on appelle trajectoire ω du processus X la suite (X t (ω)) t N. Définition 2.3 (Filtration). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. On appelle filtration toute suite croissante de sous-tribus de F, i.e. toute famille (F t ) t N telle que n N,F n F n+1 F. (2.1) Définition 2.4 (Filtration naturelle). Soit(Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit (X t ) t N un processus stochastique. Pour tout t N on considère la tribu engendrée F X t = σ (X 0,...,X t ). (F X t ) t N est une filtration appelée filtration naturelle de X. 15

Introduction aux mathématiques financières 2.2 Mesurabilité des processus Définition 2.5 (Processus adapté). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Soit (X t ) t N un processus stochastique. Le processus X est dit adapté à la filtration F t, ou F t -adapté, si t N, X t est F t -mesurable. Remarque 2.2. D après la définition 2.4, X est évidemment adapté à sa filtration naturelle (F X t ) t N. La filtration naturelle est la plus petite filtration rendant le processus adapté. Définition 2.6 (Processus prévisible). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Soit (X t ) t N un processus stochastique. Le processus X est dit prévisible pour la filtration F t, ou F t -prévisible, si t N, X t est F t 1 - mesurable. Remarque 2.3. Un processus prévisible est donc nécessairement adapté 1. 2.3 Martingales 2.3.1 Définitions Définition 2.7 (Martingales). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Soit (X t ) t N un processus stochastique à valeur dans R. Le processus X est appelé martingale s il vérifie les trois conditions suivantes : X est F t -adapté; t N,X t L 1 (Ω,F,P); t N, s N tel que s t,x s = E[X t F s ] p.s. 2. Remarque 2.4. Si on remplace la troisième propriété par t N, s N tel que s t,x s E[X t F s ] p.s., (2.2) alors X est dit sous-martingale. Dans le cas où t N, s N tel que s t,x s E[X t F s ] p.s., (2.3) X est dit sur-martingale. Une martingale est donc un processus à la fois surmartingale et sous-martingale. Remarque 2.5. Lanotiondemartingaledépenddoncdelafiltrationetdelamesure. Si nécessaire, on précisera des dépendances en écrivant par exemple : X est une F t -martingale sous la mesure Q. 1. Attention en 0. 2. ou de façon équivalente, t N,X t = E[X t+1 F t ]. 16

Ioane Muni Toke Proposition 2.1 (Espérance d une martingale). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Soit (X t ) t N une martingale. Alors E[X t ] = E[X 0 ]. Exercice 2.1. 1. Montrer la proposition précédente. 2. Montrer qu une martingale l est par rapport à sa filtration naturelle. 3. Montrer que l espérance d une sur-martingale est décroissante. 4. Montrer que la somme de deux martingales est martingale. 5. Montrer que si X est une martingale, alors X 2 est une sous-martingale. 6. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Soit Y une variable aléatoire intégrable. Montrer que la suite (X t ) t N définie par t N,X t = E[Y F t ] est une martingale. Exercice 2.2 (Marche aléatoire). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées à valeurs dans { 1,1} : n N,P(X n = 1) = P(X n = 1) = 1. On 2 pose M 0 = 0 p.s. et t 1,M t = t n=1 X n. 1. Montrer que M est une martingale. 2. Soit σ > 0 constante. Montrer que e σmt est une sous-martingale. ( ) 3. Montrer que e σmt 2 t est une martingale. e σ +e σ Exercice 2.3 (La fortune du joueur). On modélise un jeu de pari dans lequel à chaque date t N, on lance une pièce de monnaie, et le joueur reçoit 1 euro si le résultat est pile (+1)et perd1euro si lerésultat est face ( 1). Lestiragessont modélisés par des variables aléatoires X 0,X 1,... indépendantes et identiquement distribuées : t,p(x t = +1) = P(X t = 1) = 1 (2.4) 2 On note F t la filtration engendrée par le processus X et W t la fortune du joueur à la date t. 1. Montrer que W est une F t -martingale. 2. On modifie le jeu comme suit : à chaque date t, le joueur peut maintenant choisir la somme A t+1 qui sera mise en jeu au lancer suivant. On suppose que t,e[ A t ] <. Montrer que sa fortune est toujours une F t -martingale. Exercice 2.4 (Urne de Polya). On considère une urne contenant à la date 0 une boule blanche et une boule noire. A chaque date t N, on tire une boule au hasard. Si la boule est blanche, on la remet dans l urne et on y ajoute une nouvelle boule blanche. Si la boule tirée est noire, on la remet dans l urne et on y ajoute une nouvelle boule noire. Soit B t le nombre de boules blanches dans l urne après t tirages, et M t la proportion de boules blanches dans l urne après t tirages. 17

Introduction aux mathématiques financières 1. Calculer E[B t+1 B t ]. 2. Montrer que M est une martingale. Exercice 2.5 (Décomposition de Doob). Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité munid unefiltration(f t ) t N.Soit(X t ) t N unesous-martingale.montrerqu ilexiste un unique processus A prévisible, intégrable, croissant et issu de 0, et une unique martingale M tels que t N,X t = A t +M t. 2.3.2 Transformées de martingales Nous donnons ici deux théorèmes de transformations de martingales qui seront utilisés en modélisation financière. Théorème 2.1 (Transformée de martingales (I)). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Soit M une F t -martingale et θ un processus F t -prévisible. Alors le processus X défini par X 0 = M 0, t (2.5) X t = θ k (M k M k 1 ), k=1 est une martingale pour la filtration F t. X est appelé transformée de la martingale M par le processus θ. Démonstration. X est F t -adapté (exercice). Pour tout t N, d où le résultat. E[X t+1 X t F t ] = E[θ t+1 (M t+1 M t ) F t ], par définition de X (2.6) = θ t+1 E[M t+1 M t F t ], par prévisibilité de θ (2.7) = 0, puisque M est martingale, (2.8) Remarque 2.6. Cette transformée de martingale peut être vue comme une intégrale stochastique discrète du processus θ par la martingale M. Théorème 2.2 (Transformée de martingales (II)). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Un processus M est une martingale si et seulement si pour tout processus prévisible θ et pour tout T N, [ T ] E θ k (M k M k 1 ) = 0. (2.9) k=1 18

Ioane Muni Toke Démonstration. ( ) Soit M une martingale. Soit θ un processus prévisible. Alors, d après le théorème 2.1, X t = t k=1 θ k(m k M k 1 ) est martingale, donc [ T ] T N,E θ k (M k M k 1 ) = E[X T X 0 ] = E[X T ] E[X 0 ] = 0. (2.10) k=1 ( ) Réciproquement, soient T N et t T. Soit A t F t. On pose θ s = { 1At si s = t+1 0 sinon. (2.11) Le processus θ ainsi défini est prévisible, et la condition donnée à l équation (2.9) s écrit ici E[1 At (M t+1 M t )] = 0. Ceci étant vrai pour tout A t F t, il vient E[M t+1 M t F t ] = 0, i.e. E[M t+1 F t ] = M t. Ceci étant vrai pour tout t, le processus M est martingale. 2.4 Temps d arrêt La notion de temps d arrêt est essentielle dans l étude des processus stochastiques. Elle intervient également en modélisation financière, en particulier dans l étude de l évaluation des options dites américaines. Définition 2.8 (Temps d arrêt). Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Une variable aléatoire T : Ω N { } est appelée temps d arrêt si n N,{T = n} F n. (2.12) Remarque 2.7. Il est équivalent en temps discret de définir le temps d arrêt par la propriété (2.12) ou bien par la propriété n N,{T n} F n. C est cette dernière écriture qui se généralise au temps continu. Exercice 2.6 (Exemples de temps d arrêt). p.s. est un temps d arrêt. 1. Soit k N. Montrer que T = k 2. Soit X un processus à valeurs dans (E, E). Soit A E. Montrer que la variable aléatoire T(ω) = inf{t N X t (ω) A} est un temps d arrêt. 3. Montrer que si T et U sont deux temps d arrêt, alors T + U, min(t,u), max(t, U) sont des temps d arrêt. Théorème 2.3. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Si X est un processus F t -adapté et T un temps d arrêt, alors X T est F T -mesurable. 19

Introduction aux mathématiques financières Théorème 2.4 (Théorème d arrêt). Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t N. Soit M une martingale F t -adaptée. Soit T un temps d arrêt. Si T est borné, alors E[X T ] = E[X 0 ]. 2.5 Propriété de Markov Définition 2.9 (Processus de Markov). Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Soit (X t ) t N un processus stochastique à valeur dans (E,E). On note (F X t ) t N sa filtrationnaturelle. OnditqueX est unprocessus de Markov sipourtoutefonction borélienne bornée f, il existe une fonction borélienne g sur N E telle que E[f(X t+1 ) F X t ] = g(t,x t ). (2.13) Autrement dit, l espérance conditionnelle du processus ne dépend que de la valeur actuelle du processus X t, pas du passé X 0,...,X t 1. On peut aussi écrire cette propriété sous la forme : E[f(X t+1 ) F X t ] = E[f(X t+1 ) σ (X t )] (2.14) Exemple 2.1. Dans l exercice 2.4 sur l urne de Polya, on a : E[B t+1 F B t ] = B t + B t t+2 (2.15) ce qui montre que B t est un processus de Markov. Exercice 2.7 (Marche aléatoire (suite)). Soit M le processus défini à l exercice 2.2. On pose C t = t 1 n=0 M n(m n+1 M n ). 1. Montrer que M est un processus de Markov. 2. Montrer que C t = 1 2 M2 t n 2. 3. Montrer que C est un processus de Markov. Remarque 2.8. Une marche aléatoire symétrique est donc un processus à la fois martingale et de Markov. 20

Chapitre 3 Quelques mots sur les options en finance On donne ici quelques éléments-clés pour décrire les produits dérivés financiers au cœur de la modélisation qui sera décrite dans les chapitres suivants. Nous nous intéressons ici aux plus simples d entre eux, et commençons par décrire le principe d une option d achat européenne. Pour plus de détails sur ces sujets, on pourra consulter par exemple (Hull 2010). 3.1 L exemple du call Prenons l exemple (théorique) d une compagnie aérienne. Les revenus d une telle entreprise sont fortement liés au prix du pétrole. L entreprise peut donc chercher à se protéger du risque de pertes lié à l augmentation du cours du pétrole, en achetant une option d achat. Définition 3.1. Une option d achat (call) est un contrat passé à une date t entre deux parties, un acheteur et un vendeur, sur un produit appelé actif sous-jacent (underlying asset). Ce contrat donne à l acheteur de l option le droit (et non l obligation) d acquérir l actif sous-jacent à un prix d exercice K fixé (strike) et à une date T fixée appelée maturité. En contrepartie, l acheteur verse au vendeur à la date d achat t une prime (le prix de l option). Dans notre exemple théorique, si le cours du baril est aujourd hui (t = 0) à S 0 = 100$, la compagnie aérienne peut décider d acheter une option d achat sur le baril de maturité T = 1 an et de prix d exercice K = 120$, contre le versement d une prime C 0. Dans T = 1 an, si le prix du baril S T est supérieur à K = 120$, alorsl entreprisepeutexercersonoption,etgagnerlasomme(s T K),compensant en partie la hausse du coût du pétrole supportée par l entreprise. Si le prix du baril 21

Introduction aux mathématiques financières 100 Prix Black-Scholes Payoff 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200 Figure 3.1 Prix d une option d achat européenne dans le modèle de Black & Scholes. est inférieur à K, l entreprise n exerce pas son option et a seulement perdu la prime C 0. Les flux financiers payés à l échéance sont appelés payoff de l option. Dans le cas de l option décrite en exemple, le payoff s écrit h(s T ) = max(s T K,0). (3.1) La difficulté vient du fait que S T est évidemment inconnu. L objet des modèles de mathématiques financières comme le célèbre modèle de Black & Scholes (1973) est de faire des hypothèses sur le processus aléatoire S t de prix du sous-jacent afin de pouvoir calculer une juste prime C 0. La figure 3.1 montre de façon qualitative cette prime C 0 en fonction de la valeur S 0 du sous-jacent donnée par le modèle de Black & Scholes (1973). On montrera au chapitre 5 et on vérifiera en TP 1 que le modèle en temps discret de Cox et al. (1979) permet de reproduire cette courbe. 3.2 Un peu de vocabulaire L option décrite précédemment est dite européenne : elle ne peut être exercée par son détenteur qu à la maturité T. Une option pouvant être exercée à toute date entre la date d achat et la maturité est appelée américaine. Le prix d une telle option dépend de la meilleure date d exercice possible, et son évaluation repose donc sur la notion de temps d arrêt introduite au chapitre 2. 1. Voir le sujet en annexe A. 22

Ioane Muni Toke Le payoff d une option comme celle décrite en exemple est potentiellement infini. Pour éviter des cas de lourdes pertes, le contrat peut prévoir une valeur limite pour le sous-jacent, au-delà de laquelle l option est annulée. On parle d option à barrière. Dans notre exemple, le vendeur de la protection peut borner l étendue des pertes possibles en ajoutant une clause d annulation de l option lorsque le sousjacent atteint oudépasse uneborneb = 150$.Lepayoff decetteoptionup-and-out s écrit donc : h(s T ) = max(s T K,0)1 { 0 t T,St<B}. (3.2) Enfin, l option de vente (donnant le droit de vendre le sous-jacent à un prix fixé, symétrique de celle décrite en exemple) est appelée put. Le payoff du put s écrit naturellement : h(s T ) = max(k S T K). (3.3) Une détermination du prix de ces options est possible dans le cadre d un modélisation du prix du sous-jacent par un processus stochastique à temps discret. C est l objet des deux chapitres suivants. 23

Introduction aux mathématiques financières 24

Chapitre 4 Evaluation par arbitrage en temps discret 4.1 Introduction Nous présentons ici les principes généraux de la théorie de l évaluation par arbitrage dans le cadre de modèles à temps discret. L utilisation de méthodes probabilistes pour donner un prix à un produit financier remonte au début du siècle avec les travaux de Bachelier, dont la thèse intitulée Théorie de la spéculation (Bachelier 1900) introduit le processus aujourd hui appelé mouvement brownien. Nous présenterons en cours différents types de produits financiers et montrerons comment leur développement s est accompagné de nombreux travaux de modélisation mathématique, dont le célèbre modèle de Black & Scholes (1973). La théorie de l évaluation par arbitrage est une formalisation théorique regroupant les modèles d évaluation de produits dérivés. Elle s appuie sur le principe d absence d opportunité d arbitrage et sur les outils probabilistes de processus stochastiques, martingales et mesures de probabilité. Un article est fondateur pour l exposé de cette théorie en temps discret : (Harrison & Pliska 1981). Pour cette présentation, nous nous appuierons en particulier sur les ouvrages de Lamberton & Lapeyre (1998) et Follmer & Schied (2004). D autres références sont données en bibliographie. Les démonstrations données ne sont pas toujours très détaillées. Elles feront l objet de développements en cours, ou peuvent être consultées dans les ouvrages cités. 25

Introduction aux mathématiques financières 4.2 Un modèle financier à plusieurs périodes 4.2.1 Actifs financiers On considère un marché financier sur lequel sont échangés d + 1 actifs financiers (assets). Les échanges peuvent se dérouler aux dates t d un échéancier à T périodes : t {0,1,...,T}. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t=0...t. Le prix des actifs est représenté par (S t ) t=0...t = (S 0 t,...,s d t) t=0...t processus stochastique adapté (adapted stochastic process). 4.2.2 Stratégies (de trading) Définition 4.1. On appelle stratégie (de trading) tout processus stochastique prévisible (predictable) à valeur dans R d+1. La prévisibilité du processus impose aux décisions d investissement d être prises en début de période, au vu des informations disponibles, et sans connaissance des prix futurs. Définition 4.2. Le processus de valeur d une stratégie (φ t ) t=1...t s écrit : V 0 (φ) := φ 1 S 0 = V t (φ) := φ t S t = d φ i 1S0, i (4.1) i=0 d φ i tst, i t = 1...T. (4.2) i=0 Par définition, (V t (φ)) t=0...t est donc le processus de prix d un portefeuille associé à la stratégie (φ t ) t=1...t. Ce processus sera noté (V t ) t=0...t sauf en cas de confusion possible. V 0 est le prix de la stratégie à la date 0. 4.2.3 Actif sans risque Notons S 0 un actif sans risque (riskless asset) dont le prix dépend d un taux d intérêt constant r > 1. Son prix s écrit : S 0 t := (1+r) t, t = 0...T (4.3) Définition 4.3. On appelle processus des prix actualisés (discounted price process) le processus stochastique : S t i := Si t, i = 1...d, t = 0...T. (4.4) St 0 26

Ioane Muni Toke 4.2.4 Stratégies autofinancées Définition 4.4. Une stratégie est dite autofinancée (self-financing) si φ t S t = φ t+1 S t, t = 1...T 1. (4.5) Ainsi, tous les changements de valeur d un portefeuille associé à une stratégie autofinancée sont dûs à des variations des prix S et non à une intervention extérieure. La totalité du portefeuille est réinvestie d une période à l autre. Proposition4.1. Soit(φ t ) t=1...t une stratégie.les conditionssuivantes sontéquivalentes: 1. (φ t ) t=1...t est autofinancée, 2. φ t S t = φ t+1 S t, t = 1...T 1, t 3. Ṽ t = V 0 + φ k ( S k S k 1 ), t = 0,...,T. k=1 Démonstration. (i) est équivalent à (ii) par définition de l autofinancement et actualisation. Pour la deuxième équivalence, on écrit d après (ii) Ṽ k Ṽk 1 = φ k S k φ k 1 S k 1 = φ k ( S k S k 1 ) et on obtient (iii) en sommant. On notera désormais ( S t ) t=1...t := ( S t S t 1 ) t=1...t le processus des accroissements. Définition 4.5. On appelle processus des gains actualisés (discounted gains process) et on note ( G t ) t=0...t le processus défini par : G t := t φ k ( S k S k 1 ) = k=1 t φ k S k (4.6) Proposition 4.2. Soit ( φ t ) t=1...t un processus prévisible à valeur dans R d. Soit V 0 une variable aléatoire mesurable par rapport à F 0. Alors il existe un unique processus stochastique (φ 0 t) t=1...t à valeur dans R tel que le processus k=1 (φ t ) t=1...t = (φ 0 t, φ t ) t=1...t soit une stratégie autofinancée de valeur initiale V 0. Démonstration. L existence et l unicité du processus s obtiennent par une méthode constructive. Si φ 0 est un processus tel que (φ t ) = (φ 0 t, φ t ) soit une stratégie de valeur initiale V 0, alors nécessairement V 0 = φ 1 S 0 et φ 0 1 = V 0 d i=1 φi 1 S 0 i est entièrement déterminé par V 0 et φ. On montre ensuite par récurrence la même propriété pour φ 0 t,t > 1 en écrivant l autofinancement de la stratégie (φ t). Finalement, la prévisibilité du processus obtenu se vérifie également par récurrence. 27

Introduction aux mathématiques financières 4.3 Opportunités d arbitrage et probabilité martingale 4.3.1 Définition d une oppportunité d arbitrage Définition 4.6. Une stratégie autofinancée est dite admissible si son processus de valeur vérifie V t 0 P p.s, t = 0...T. (4.7) Définition 4.7. Une stratégie autofinancée admissible est appelée opportunité d arbitrage (arbitrage opportunity) si son processus de valeur vérifie V 0 = 0, V t 0 P p.s, t = 0...T, E P [V T ] > 0. (4.8) Définition 4.8. Un modèle de marché financier est dit sans arbitrage ou encore viable (arbitrage-free) s il n existe pas d opportunité d arbitrage, i.e. si pour toute stratégie admissible (φ) t=1...t V 0 = 0 V T = 0 P p.s. (4.9) 4.3.2 Définition d une probabilité martingale Définition 4.9. Une mesure de probabilité Q sur l espace mesurable (Ω,F) est appelée probabilité martingale (martingale measure) si le processus des prix actualisés ( S t ) t=0...t est une martigale sous Q, i.e. si E Q [ S i t] < et S i s = E Q [ S i t F s ], i = 1...d, 0 s t T. (4.10) Définition 4.10. Une probabilité martingale Q est appelée probabilité martingale équivalente (equivalent martingale measure) si elle est équivalente à la probabilité originale P. 4.3.3 Théorème fondamental de l évaluation par arbitrage Théorème 4.1. Un modèle de marché financier est viable si et seulement si il existe une probabilité martingale équivalente. Démonstration. Soit Q une probabilité martingale équivalente et (φ t ) t=1,...,t une stratégie admissible autofinancée de processus de valeur V. L autofinancement s écritṽt = Ṽ0+ t k=1 φ k ( S k S k 1 ),donc(ṽt)estmartingalesousqcommetransformée de la martingale ( S t ). Ainsi, si φ est telle que Ṽ0 = 0, il vient E Q [ṼT] = 0 28

Ioane Muni Toke et par conséquent ṼT = 0 puisque le processus de valeur d une stratégie admissible est positif ou nul. Finalement, φ n est pas une opportunité d arbitrage, d où la première implication. La réciproque est plus délicate à montrer. Elle nécessite l utilisation de résultats de convexité dans une caractérisation de l ensemble des stratégies. Le cas d un espace Ω fini sera montré en cours. 4.4 Marché complet 4.4.1 Options et stratégie de réplication Définition 4.11. On appelle actif conditionnel (européen) ((European) contingent claim) une variable aléatoire positive C définie sur l espace de probabilité (Ω,F,P). Définition 4.12. Un actif conditionnel est dit simulable (attainable ou replicable) si il existe une stratégie (autofinancée) admissible (φ t ) t=1...t telle que V T = C P p.s. (4.11) La stratégie (φ t ) t=1...t est alors appelée stratégie de réplication (replicating strategy). Théorème 4.2. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité muni d une filtration (F) t=0...t définissant un modèle de marché financier sans arbitrage. Soit Q une probabilité martingale équivalente. Soit C un actif conditionnel. Pour toute stratégie admissible (φ t ) t=1...t répliquant (i.e. permettant de simuler) l actif conditionnel C, le processus de valeur actualisée du portefeuille associé s écrit : [ ] C Ṽ t = E Q F t, t = 0...T. (4.12) S 0 T En particulier, le processus (Ṽt) t=0...t de la valeur actualisée du portefeuille associé est une martigale positive sous la probabilité Q. Démonstration. Soit φ une stratégie autofinancée simulant l actif conditionnel C. (Ṽt) est martingale sous Q en tant que transformée de la martingale ( S t ) donc pour t = 0,...,T : [ ] ] C Ṽ t = E Q [ṼT F t = E Q F t (4.13) S 0 T On déduit aisément de cette démonstration que dans un marché viable, une stratégie autofinancée simulant un actif conditionnel est nécessairement admissible. 29

Introduction aux mathématiques financières 4.4.2 Définition d un marché complet Définition 4.13. Un modèle de marché financier viable est appelé complet (complete) si tout actif conditionnel est simulable. 4.4.3 Second théorème fondamental de l évaluation par arbitrage Théorème 4.3. Un modèle de marché financier est complet si et seulement si il existe une unique probabilité martingale équivalente. Démonstration. Supposons le marché viable et complet. Soient Q 1 et Q 2 deux probabilités martingales équivalentes (viabilité). Soit C un actif conditionnel. Soit φ une stratégie simulant C (complétude), de processus de valeur Ṽ. Ṽ est martingale sous Q 1 et Q 2 (transformée de martingale), donc ] ] ] ] = E Q1 [ṼT = Ṽ0 = E Q2 [ṼT E Q1 [ C S 0 T = E Q2 [ C S 0 T Finalement, C étant quelconque, on en déduit que Q 1 et Q 2 sont égales sur F T = F. La réciproque est plus délicate. On la montrera en cours dans le cas Ω fini. 30

Chapitre 5 Le modèle binomial 5.1 Introduction On montrera en cours le résultat suivant : Théorème 5.1. Soit (Ω,F,(F) t=0...t,p) un espace de probabilité définissant un modèle de marché financier viable et complet sur d actifs risqués. Alors le nombre d atomes de l espace de probabilité (Ω,F,P) est majoré par (d+1) T. Ce résultat montre qu un modèle financier viable et complet sur d = 1 actif doit avoir une structure d arbre binaire. Un modèle d arbre binaire recombinant a été proposé en 1979 par Cox, Ross et Rubinstein (Cox et al. 1979), et est connu aujourd hui sous le nom modèle d arbre binomial. Notre présentation de ce modèle suivra la démarche suivante : construction, viabilité, complétude, évaluation d une option, couverture d une option, convergence vers le modèle de Black and Scholes. Les démonstrations seront faites en cours. 5.2 Construction du modèle binomial Le modèle binomial est un modèle de marché financier monodimensionnel, i.e. comportant d = 1 actif risqué évoluant sur T périodes. Leprix del actif sans risque S 0 dépend d un taux d intérêt r > 1 supposé constant : S 0 t := (1+r)t, t = 0...T. (5.1) Le prix de l actif risqué S est le processus (S t ) t=0...t de valeur initiale S 0. Pour toute période de trading, le rendement (return) R t := S t S t 1 S t 1 (5.2) 31

Introduction aux mathématiques financières peut prendre deux valeurs possibles a et b vérifiant 1 < a < b. (5.3) On pose alors Ω = {a,b} T = {ω = y 1,...,y T i,y i {a,b}}, et F = (Ω). On choisit ensuite une filtrationnaturelle F t = σ {S 0,...,S t }. Finalement, onchoisit une probabilité P quelconque avec pour seule condition : ω Ω,P(ω) > 0. 5.3 Viabilité et complétude Théorème 5.2. Un modèle binomial est viable si et seulement si a < r < b. Théorème 5.3. Un modèle binomial viable est nécessairement complet, et la probabilité martingale Q est définie de manière unique par la loi des rendements R 1,...,R T : sous la probabilité Q, les rendements R 1,...,R T sont indépendants et identiquement distribués selon Q(R t = b) = r a b a 5.4 Evaluation des options =: q, t = 1...T. (5.4) Soit C un actif conditionnel définit par la fonction de payoff h(s 0,...,S T ). Proposition 5.1. Dans le modèle binomial, le processus de valeur d une stratégie répliquant C vaut : Ṽ t = ṽ t (S 0,S 1,...,S t ), t = 0...T (5.5) où la fonction ṽ t est définie par : R t R [ ] ṽ t : S 1 S T t (x 0,...,x t ) E Q h(x 0,...,x t,x t,...,x t ) S 0 S 0 (5.6) Proposition 5.2. Soit C = h(s T ) un actif conditionnel dont la fonction payoff h ne dépendque de la valeur terminales T duprix de l actif risqué(c estune option européenne). Dans le modèle binomial, le prix à la date 0 de cet actif conditionnel s écrit : Π h(s T) = 1 (1+r) T T C k T qk (1 q) T k h ( S 0 (1+b) k (1+a) T k) (5.7) k=0 32

Ioane Muni Toke Proposition 5.3. Dans le modèlebinomial,le prix à la date 0 d une option d achat européenne de strike K et de maturité T ( standard call ) s écrit : où Π call = S 0 Φ(k0 ;T,q ) K(1+r) T Φ(k0 ;T,q) (5.8) { } k 0 := min k N S 0 (1+b) k (1+a) T k > K, (5.9) q := 1+b 1+r q = 1+b r a 1+r b a, (5.10) et Φ est la fonction de répartition de la loi binomiale complémentaire. 5.5 Couverture (Hedging) Proposition 5.4. Dans le modèle binomial, la stragégie de réplication d un actif conditionnel C = h(s 0,...,S T ) vérifie pour tout t = 1...T, φ t = v t(s 0,...,S t 1,S t 1 (1+b)) v t (S 0,...,S t 1,S t 1 (1+a)). (5.11) S t 1 (1+b) S t 1 (1+a) 5.6 Vers un modèle à temps continu Dans cette partie, T ne représente plus le nombre de périodes mais une date fixée (la plus grande échéance de notre modèle). Le nombre de périodes de notre échéancier est maintenant noté N, de sorte que l intervalle de temps [0,T] est divisé en N pas de temps équidistants T i = it, i = 1...N. N Pour N quelconque, nous pouvons construire un modèle binomial à N périodes, ) k=0...n et un actif risqué (S (N) k ) k=0...n, de comprenant un actif sans risque (S 0(N) k paramètres a N, b N, et r N, et défini sur un espace de probabilité (Ω N,F (N),P N ) muni d une filtration (F (N) t ) t=0...t. Nous avons montré précédemment que si 1 < a N < r N < b N, le modèle à N périodes ainsi construit est viable et complet, et qu il existe une unique probabilité martingale équivalente que nous noterons Q N. Nous nous intéressons à la limite du modèle binomial lorsque N tend vers l infini. Faisons trois hypothèses : (H1) lim N) N = e rt, N (5.12) (H2) lim N = 0 et lim N = 0, N N (5.13) 1 N [ ] (H3) lim Var QN R (N) k = σ 2, N T (5.14) k=1 33

Introduction aux mathématiques financières où les R (N) k, k = 1,...,N sont les rendements de l actif risqué S (N) du modèle à N périodes. Théorème 5.4. Sous les hypothèses (H1)-(H3), la distribution de S (N) N sous Q N converge en loi vers une variable aléatoire S T suivant une loi log-normale de paramètres lns 0 +rt σ2t et σ T. 2 Démonstration. Par un développement de Taylor on peut écrire [ N lns (N) N = lns 0 + k=1 R (N) k ] (R(N) k ) 2 +ρ(r (N) k )(R (N) k ) 2 2 (5.15) avecρtendantvers0en0.onmontredirectement quelederniertermedelasomme converge en probabilité vers 0. La démonstration repose alors sur l application d un théorème central limite (plus général que celui vu en cours de première année) à la somme de variables aléatoires N k=1 [ R (N) k (R(N) k ) 2 2 Corollaire 5.1. Sous les hypothèses (H1)-(H3), le prix Π (N) call d un call européen dans le modèle binomial à N périodes tend lorsque N croît vers le prix Π BS call du call européen dans le modèle classique à temps continu dit de Black & Scholes, i.e. avec lim N Π(N) call = ΠBS call := S 0 N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (5.16) d 1 = ln S 0 K d 2 = ln S 0 K σ2 +(r + )T 2 σ T σ2 +(r )T 2 σ T ]. (5.17) = d 1 σ T (5.18) où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. 5.7 Algorithme d évaluation ConsidéronsuneoptioneuropéennedematuritéT etdefonction payoff h(s T ) sur un actif risqué S de volatilité σ. On peut évaluer cette option dans un modèle binomial à N périodes. Choisissons les paramètres suivants : 1+r N = e rt N (5.19) 1+a N = e σ T N (5.20) 1+b N = e σ T N (5.21) 34

Ioane Muni Toke Ces paramètres vérifient les conditions (H1)-(H3). Posons q N = r N a N b N a N. D après les résultats précédents, le prix V 0 (S 0 ) de cette option est solution de la récurrence suivante : V T (S 0,...,S T ) = h(s T ) V t (S 0,...,S t ) = q N V t+1 (S 0,...,S t,s t (1+b N )) +(1 q N )V t+1 (S 0,...,S t,s t (1+a N )) Tout actif conditionnel peut être évalué par cet algorithme. (5.22) 35

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Bibliographie Abergel, F., Gabet, L. & Muni Toke, I. (2009), Introduction aux Mathématiques Financières, Cours électif de 2ème année, Ecole Centrale Paris. Bachelier, L. (1900), Théorie de la spéculation; Théorie mathématique du jeu, Jacques Gabay, Paris. Reproduction(2000) en fac-simile de l édition originale. Black, F. & Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy 81(3), 637 654. Cox, J. C., Ross, S. A. & Rubinstein, M. (1979), Option pricing : A simplified approach, Journal of financial Economics 7(3), 229 263. Follmer, H. & Schied, A. (2004), Stochastic Finance : An Introduction In Discrete Time, 2nd revised edn, Walter de Gruyter & Co, Berlin. Harrison, J. M. & Pliska, S. R. (1981), Martingales and stochastic integrals in the theory of stochastic trading, Stochastic Processes and Their Application 11, 215 260. Herbin, E. (2009), Probabilités, Cours de 1ère année, Ecole Centrale Paris. Hull, J. C. (2010), Options, Futures, and Other Derivatives, 7th edn, Pearson Education. Jacod, J. & Protter, P. (2002), Probability Essentials, 2nd revised edn, Springer- Verlag Berlin and Heidelberg. Lamberton, D. & Lapeyre, B. (1998), Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, 2nd edn, Ellipses, Paris. Lawler, G. F. (1995), Introduction to Stochastic Processes, Chapman & Hall/CRC. Shreve, S. E. (2005), Stochastic Calculus for Finance I : The Binomial Asset Pricing Model, Springer-Verlag, New York. Williams, D. (1991), Probability With Martingales, Cambridge University Press. 37

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Annexe A Sujet de travaux pratiques : implémentation du modèle de Cox, Ross & Rubinstein L objectif de cette séance de travaux pratiques est d implémenter la méthode d évaluation de produits dérivés par arbre binomial. On cherche en particulier à étudier la convergence de cette méthode d évaluation vers la formule de Black & Scholes. Ce TP peut être réalisé intégralement à l aide d un logiciel tableur de type Microsoft Excel ou OpenOffice Spreadsheet. A.1 Formule de Black & Scholes On choisit de modéliser un actif de valeur S 0 = 100 à la date 0. Sa volatilité est σ = 0.20. Le taux d intérêt continu de l actif sans risque est r = 5%. 1. Implémenter la formule de Black & Scholes (5.16)-(5.18). 2. Calculer le prix Π BS d une option d achat européenne de strike K = 100 et de maturité T = 1 donné par cette formule. 3. Tracer ce prix en fonction de S 0. Etudiez l influence des paramètres σ et T sur le prix de l option européenne. A.2 Evaluation par arbre Dans cette section on implémente l algorithme d évaluation donné à la section 5.7. 39

Introduction aux mathématiques financières 1. Calculer des valeurs de paramètres de l arbre cohérents avec les paramètres de Black & Scholes donnés à la section précédente. 2. Dessiner un arbre de profondeur 20 et donner le prix Π (20) d une option d achat européenne de strike K = 100 et de maturité T = 1 obtenu par cette méthode. 3. Implémenter l algorithme à l aide d un langage de programmation (VBA ou Python). 4. Etudier la convergence de Π (N) vers Π BS lorsque N croît. 5. Idem dans le cas d un option de vente. 6. Idem dans le cas d une option d achat américaine. 7. Idem dans le cas d un option de vente américaine. A.3 Couverture Le vendeur d une option d achat se protège en constituant un portefeuille de couverture (voir la section 5.5). Dans le modèle de Black & Scholes, la quantité d actif à détenir en portefeuille pour couvrir une option d achat s écrit à la date 0 : 0 = ΠBS = N(d 1 ), (A.1) S 0 où on réutilise les notations des équations (5.16)-(5.18). 1. Calculer l approximation 0 (N) 0 = Π(N) (S 0 +δ) Π (N) (S 0 δ) 2δ pour δ = 1. 2. Etudier les influences de δ et N sur cette approximation. 3. Comment calculer (N) 0 avec un seul arbre? A.4 Consignes de rendu Doivent être rendus : un rapport au format pdf, comprenant l intégralité des résultats numériques et des graphiques demandés, assortis de commentaires; les codes nécessaires à l obtention de ces résultats numériques : fichier tableur au format.xls ou.ods, et codes Python si nécessaire. 40