Mathématiques Positionnements niveau Lycée NOM : Prénom : Matériel nécessaire : feuille quadrillée, règle et calculatrice scientifique. L'usage de la calculatrice est autorisé pour tout le positionnement mais tous les calculs devront être détaillés avec soin. Lors des activités géométriques, les démonstrations sont attendues ainsi que le nom des théorèmes utilisés.
Exercices de niveau fin de Troisième Activités numériques Exercice 1 : 1) Calculer A et donner le résultat sous forme d une fraction irréductible. A = a) Donner la valeur arrondie au centième de B. b) Ecrire B sous la forme où a est un entier. Exercice 2 : 1) Résoudre l équation suivante : Résoudre l inéquation suivante : Exercice 3 : 1) Calculer par la méthode de votre choix le PGCD de 170 et 238. En déduire la forme irréductible de la fraction. Activités géométriques Le triangle isocèle OAB représente un escabeau. H est le pied de la hauteur issue de O. On donne les longueurs : HB = 0,51m et OB = 1,5m. O 1) Calculer la hauteur OH entre le sol et le sommet de l'escabeau, arrondie au centimètre près. N M Calculer la mesure de l anglehob, arrondie au degré près. A H B 3) Calculer la largeur AB entre les jambes de l'escabeau. 4) Afin que l'escabeau ne s'écarte pas trop, une ficelle est attachée entre deux points M et N des segments [OB] et [OA], de manière que BM = 50 cm et (MN)//(AB). Calculer la longueur MN de la ficelle.
Exercices de niveau fin de Seconde Activités numériques Exercice 1 La courbe ci-contre est la représentation graphique d une fonction f définie sur [-2 ; 3]. 1) Construire sur ce graphique, sans expliquer la construction, la droite d équation y x 1 Compléter cette fiche : f ( 1) = f ( = l image de 3 par f est.. les antécédents de -2 par f sont l ensemble des solutions de l équation f( x) 2 est. l ensemble des solutions de l inéquation f( x) 2 est. l ensemble des solutions de l inéquation f ( x) x 1 est.. 8 7 6 5 4 3 2 1 0-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 3) Déterminer sur votre copie le signe de f( x ) (les intervalles utilisés seront donnés avec des valeurs approchées). -4 4) Représenter le tableau des variations de f. Exercice 2 2 On considère la fonction f définie pour tout réel x par f ( x) 2x 7x 3. (C) est la courbe représentative de f dans un repère (O ; i ; j ). Le tracé de cette courbe n est pas demandé. 1) Calculer f (0) et f ( 1). Vérifier que f ( x) (2x 1)( x 3) 3) Déterminer, à l aide d un tableau de signes, le signe de f( x ).
7 25 4) a) Vérifier que f ( x) 2 x 4 8 7 b) Calculer avec l expression précédente f 4. 25 c) Montrer que est le minimum de f. 8 2 Activités géométriques A, B, C sont les 3 points représentés ci-contre. M et N sont les points définis par les égalités : = 1) Construire sur cette fiche les points M et N en étant le plus précis possible. A.. C B. Démontrer que. 3) Montrer que et sont colinéaires. Que peut-on en déduire?
Exercices de niveau fin de Première Activités numériques Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R { 1} par On appelle C sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal 1) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) = Calculer les limites de f (x) aux bornes de l'ensemble de définition. En déduire l'existence d'éventuelles asymptotes horizontales ou verticales. 3) Montrer que la droite d équation y= est une asymptote oblique à la courbe C au voisinage de et. Etudier ensuite la position relative de C et de. 4) Calculer f '(x), puis étudier le signe de f '(x). 5) Construire le tableau de variation de f. 6) Tracer la courbe C ainsi que ses asymptotes. 7) La courbe C semble admettre un centre de symétrie. Quelles sont ses coordonnées? Exercice 2 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = et u n+1 = 1) Calculer u 1 et u 2. La suite (u n ) est-elle arithmétique? géométrique? On définit la suite (v n ) par v n = 3) Calculer v 0, v 1 et v 2. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite (v n )? 4) Montrer que v n+1 - v n est une constante. En déduire une expression de v n en fonction de n. 5) Calculer u 50.
Activités géométriques 1) Placer dans un repère les points A(1 ;, B(-3 ; 4) et C(-2 ; 5). Soit G le barycentre des points pondérés (A, 3), (B, et (C, -4). Quelles sont les coordonnées de G? Placer G. 3) La droite (BG) passe-t-elle par l'origine du repère? (Justifier)
Corrigé : Exercices de niveau fin de Troisième Activités numériques Exercice 1 1) A = a) B -5,66 b) Exercice 2 1) OU L équation a deux solutions : S = ( Exercice 3 1) 238 170 170 68 68 34 68 1 34 2 0 2 Le PGCD de 170 et 238 est 34.
Activités géométriques 1) Le triangle OHB est rectangle en H, donc d après le théorème de Pythagore : OH² + HB² = OB² OH² = OB² - HB² OH² = 1,5² - 0,51² OH² = 1,9899 OH = OH On a Remarque : si l élève utilise le cosinus ou la tangente pour un résultat arrondi égal, la réponse est bien évidemment juste. 3) Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est également médiane, donc H est le milieu de [AB]. On a AB = BH 1,02 m 4) (MN)//(AB), donc d après le théorème de Thales : Avec OM = OB OM = 1,50-0,50 = 1 m
Corrigé : Exercices de niveau fin de Seconde Activités numériques Exercice 1 1) Voir graphique f ( 1) = 2 f ( = 7 l image de 3 par f est -2 les antécédents de -2 par f sont 0 et 3 l ensemble des solutions de l équation f( x) 2 est (-1 ; l ensemble des solutions de l inéquation f( x) 2 est [-1 ; 3] l ensemble des solutions de l inéquation f ( x) x 1 est ]-1 ; 1[ 8 7 6 5 4 3 2 1 0-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 -4 3) 4) -2 0 2 3 7 2-2 -2 Exercice 2 1)
3) 0 + + 0 + + + 0 0 3 4) a) b) c) Or, sur, un carré est toujours positif, donc quelque soit. Donc est le minimum de la fonction Activités géométriques 1) = A.. C B. M Sur votre copie : N
3) Les deux vecteurs sont donc colinéaires. On en déduit que (AM)//(AN), donc que les points A, M et N sont alignés.
Corrigé : Exercices de niveau fin de Première Activités numériques Exercice 1 1) f(x) =. 3) Donc la droite d équation y= est une asymptote oblique à la courbe C au voisinage de et. Au voisinage de, on a donc la courbe C est au-dessus de la droite. Au voisinage de, on a donc la courbe C est au-dessous de la droite. 4) Sur, un carré est toujours positif, donc f '(x) est du signe de est une racine évidente du trinôme du second degré. L autre racine est. (Remarque : l élève peut aussi passer par le calcul du ) Un trinôme du second degré est du signe de a à l extérieur des racines, donc on a : 5) 0 0 1
6) 7) Les coordonnées du centre de symétrie S de la courbe sont (-1 ; ) Exercice 2 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = et u n+1 = 1). La suite (u n ) n est ni arithmétique ni géométrique. 3. La suite (v n ) semble être une suite arithmétique de premier terme et de raison. 3). On a ainsi (La suite (v n ) est bien une suite arithmétique). 4) On a donc. 5) ; donc.
Activités géométriques 1) Donc G (5 ; -6). 3) Calcul du coefficient directeur de la droite BG : L équation de la droite (BG) est de la forme. En utilisant le point B, on trouve donc. L équation de la droite est donc ; l ordonnée à l origine est différente de 0, donc la droite (BG) ne passe pas par l origine du repère.