Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne la courbe représentative de f rapportée dans un repère orthonormé. 1 Voisinages, fonctions définies au voisinage d un point Définition 1.0.1 Soit f : R R une fonction de domaine de définition D f et x 0 R. On dit que est définie au voisinage de x 0 si il existe un intervalle I non réduit à un point, contenant x 0 tel que I {x 0 } D f. Exemple. Les fonctions x e x, x x + 1, x sin x définies respectivement que R, x ],1] et R sont définies au voisinage de x 0. Par contre x ln x et x x ne sont pas définies au voisinage de 0. Définition 1.0.2 On appelle voisinage de x 0 tout intervalle ouvert contenant x 0. On dit que x 0 est adhérent à l intervalle I si c est un point de I ou l une de ces bornes. Une propriété P(x) est vraie au voisinage de x 0 si elle est vraie pour tout x d un voisinage quelconque de x 0. Ces propriétés sont appelées propriétés locales. Remarque. Ces définitions de voisinage et de points adhérent peuvent se généraliser à d autres parties de R que les intervalles, mais nous n en ferons pas usage. Exemple. Les notions étudiées dans ce chapitre : limite et continuité en un point x 0 sont des propriétés locales : elles ne dépendent pas du comportement de la fonction en des points «éloignés» de x 0. En vue du cours sur les fonctions de R 2 dans R donnons quelques définitions supplémentaires. Définition 1.0.3 Une partie A de R est dite ouverte lorsque x A, ε > 0, ]x ε,x + ε[ A Une partie F de R est dite fermée lorsque son complémentaire dans R est ouvert. Exemple. Les intervalles ouverts sont ouverts, les intervalles fermés sont fermés. J. Gärtner. 1

2 Limite et continuité en un point 2.1 Limite en un point Définition 2.1.1 Soit f une fonction définie sur I à valeurs réelles et x 0 un point de I ou une extrémité de I. Soit L R. Alors on dit que f admet la limite L lorsque x tend vers x 0 si et seulement si ε > 0, α > 0, x I ]x 0 α,x 0 + α[, f(x) L < ε Autrement dit «plus x est proche de x 0, plus f(x) se rapproche de L». On note lim f(x) = L ou lim f = L pour dire que le limite existe et vaut L. Exemple. En général on utilise cette définition que dans les exercices théoriques. Donnons quand même un exemple. lim x 0 x = 0. Soit ε > 0. On cherche à majorer 0 x par ε. Posons α = ε 2 > 0. Alors si α x α, on a 0 x ε 2 = ε car ε > 0. Ce qu il fallait montrer. Exercice. Montrer, en utilisant la définition de limite, que lim x 1 x 2 = 1. Remarque. Dans la définition de limite, ε et strictement positif. Si on autorisait ε = 0, on obtiendrait des fonction constantes (donc «plates») au voisinage de x 0. Cas où f est définie sur I {x 0 } elle n est pas définie : Définition 2.1.2 Une fonction peut avoir une limite en un point où Soit f une fonction définie au voisinage de x 0 (c est-à-dire définie sur I {x 0 } et x 0 est adhérent à I) et L R. Alors on dit que f a pour limite L en x 0 si ε > 0, α > 0, x D f, ( x x 0 < α f(x) L < ε) 2.2 Propriétés Proposition 2.2.1 (Unicité de la limite) Si f admet pour limite L et L en x 0, alors L = L. Démonstration: Supposons que L L. Dans la définition de limite, prenons ε = L L > 2 0. Il existe alors α > 0 tel que si x I et x x 0 α on ait f(x) L < ε et 0 < α < α tel que si x I et x x 0 α on ait f(x) L < ε. Soit x I avec x x 0 < α. On a L L f(x) L + f(x) L < L L ce qui est impossible si L L. D où le 2 résultat. Proposition 2.2.2 (Développement limité) On a l équivalence L = lim f(x) x I, f(x) = L + ε(x) avec lim ε(x) = 0 J. Gärtner. 2

Lorsqu une fonction vérifie le deuxième membre de cette équivalence, on dit que f admet un développement limité à l ordre 0 en x 0. Démonstration: Si lim f = L, alors la fonction x f(x) L est définie sur I et admet pour limite 0 en x 0. C est donc notre fonction ε. Si f admet un développement limité à l ordre 0 en x 0, on utilise le fait que ε tend vers 0 en x 0 : pour ε > 0, il existe α > 0 tel que ε(x) < ε pour x I ]x 0 α, x 0 + α[. Sur ce même intervalle on a donc f(x) L ε. Remarque. Par nature, on sait que ε est une fonction définie au voisinage de x 0, mais on ne la connaît que par sa limite en x 0. 2.3 Continuité en un point Proposition 2.3.1 Soit f une fonction définie sur I. Si f est définie en x 0 (i.e. x 0 I) et si L = lim f existe, alors L = f(x 0 ). On dit dans ce cas que f est continue en x 0. Démonstration: Dans la définition du fait que f ait pour limite L en x 0, on peut, puisque f est définie en x 0 choisir x = x 0. Soit ε > 0 quelconque et α tel que pour x I ]x 0 α, x 0 +α[, f(x) L ε. Prenons x = x 0. On a bien x x 0 = x 0 x 0 = 0 α, donc f(x 0 ) L ε et ce, pour tout ε > 0. Ainsi f(x 0 ) = L. Remarque. La encore, on a affaire à une propriété locale : seul compte le comportement de f sur un voisinage de x 0. Exemple. La fonction x x est continue en tout point de R + : soit x 0 R + (le cas x 0 = 0 a déjà été montré plus haut!) et ε > 0. On a x x 0 = x x 0 x + x x 0 Posons α = x 0 ε. Alors on a bien, pour x x 0 α, x x 0 ε. Exercice. A l aide de la définition de limite, montrer que la fonction valeur absolue est continue sur R. Proposition 2.3.2 Si f n est pas définie en x 0, mais possède la limite L en x 0, posons g la fonction définie sur I {x 0 } par g(x) = f(x) si x I et g(x 0 ) = L. Alors la fonction g est continue en x 0. On appelle cette fonction prolongement par continuité de f en x 0. Démonstration: Soit ε > 0 et α > 0 tel que si x I ]x 0 α, x 0 + α[ on ait f(x) L ε. Alors si x x 0 I {x 0 } ]x 0 α, x 0 + α[ on a bien g(x) L = f(x) L ε et si x = x 0 I {x 0 } ]x 0 α, x 0 + α[ on a encore g(x) L = L L ε. Donc lim g(x) existe et vaut L. Exemple. La fonction x xln x est définie sur ]0,+ [. On sait (et on le redémontrera un peu plus loin da ce chapitre) que lim xln x = 0. On peut donc prolonger cette fonction x 0 par 0 en 0. On obtient une fonction continue en tout point de R +. J. Gärtner. 3

Exemple. La fonction f définie sur R par x sinx x posant f(0) = 1). 2.4 Limite à droite, limite à gauche Définition 2.4.1 se prolonge par continuité en 0 (en Soit f une fonction définie sur I. On dit que f admet L d pour limite à droite en x 0 si ε > 0, α > 0, x I ]x 0,x 0 + α[, f(x) L d ε On dit que f admet L g pour limite à gauche en x 0 si ε > 0, α > 0, x I ]x 0 α,x 0 [, f(x) L g ε On note alors en cas d éxistence L d = lim + lim x<x 0 f(x). Proposition 2.4.1 f(x) = lim f(x) et L x x g = lim f(x) = 0 x>x 0 Si f admet une limite à droite (resp. à gauche) en x 0, celle ci est unique. Démonstration: Exercice. Proposition 2.4.2 Soit f : D f R et x 0 tel qu il existe α > 0 avec ]x 0 α,x 0 [ ]x 0,x 0 + α[ D f. Alors Si x 0 / D f, on a lim f = L lim f = lim f = L x 0 Si x 0 D f, on a x + 0 f continue en x 0 lim f = f(x 0 ) lim f = lim f = f(x 0 ) x 0 x + 0 Démonstration: Supposons que x 0 / D f. Le sens direct est clair : on se restreint à des intervalles plus petits. Pour la réciproque, supposons que lim f = L. Soit ε > 0. Alors il existe α d > 0 x + 0 f = lim x 0 tel que pour x ]x 0, x 0 + α d [ on ait f(x) L ε et α g > 0 tel que si x ]x 0 α g, x 0 [ alors f(x) L ε. On pose α = min(α g, α d ) > 0 pour obtenir le résultat. Si x 0 D f, alors f a une limite en x 0 seulement si c est f(x 0 ). Le sens direct est donc clair. Pour la réciproque, raisonnons par l absurde. Supposons que f n ait pas pour limite f(x 0 ) en x 0 mais que limite à droite et limite à gauche existent et valent f(x 0 ). Alors il existe ε > 0 tel que α > 0, x α ]x 0 α, x 0 [ ]x 0, x 0 + α[, f(x) f(x 0 ) > ε (on a exclu x 0 pour des raisons évidentes...) Pour ce ε > 0, on a (avec les notation du début de cette preuve) l existence de η = min(α g, α d ) > 0 tel que si x ]x 0 η, x 0 [ ]x 0, x 0 + η[, alors f(x) f(x 0 ) < ε. Posons α = η et considérons x η ]x 0 η, x 0 [ ]x 0, x 0 + η[ tel que f(x η ) f(x 0 ) > ε. On peut J. Gärtner. 4

supposer par exemple que x η ]x 0, x 0 + η[. Alors par construction de x η, et d après la définition de limite à droite, on a Contradiction! f(x η ) f(x 0 ) ε < f(x η ) f(x 0 ) Exemple. Soit f : x [x] la fonction partie entière. Soit x 0 R. Si x 0 / Z, alors f est constante au voisinage de x 0 donc continue en x 0. Si x 0 Z, on a lim f = x 0 1 (puisque la fonction f est constante, égale à x 0 1 sur ]x 0 1 2,x 0[) et lim f = x 0 (pour les mêmes x + 0 raisons). Donc f n est pas continue en x 0. Attention, dans les notions de limite à gauche et à droite, on exclue le point considéré x 0. Une fonction peut avoir une limite à droite et une limite à gauche égales en x 0, mais ne pas avoir de limite en x 0. Exemple. Soit f la fonction indicatrice du singleton {0}. Alors en 0, cette fonction a pour limite à gauche et pour limite à droite 0, mais n admet pas de limite. En effet, pour tout α > 0 et x 0 ] α,α[ on a f(x) f(0) = 1. Cette quantité ne peut pas tendre vers 0. Par contre, si on considère la fonction nulle, définie sur R, on a bien lim 0 f qui existe et vaut 0... Exercice. La fonction x { e x 1 si x ]0,1] x 1 si x ] 1,0[ admet-elle une limite en 0? 2.5 Limite en l infini Définition 2.5.1 Soit I un intervalle non majoré, f une fonction définie sur I et L R. On dit que f admet pour limite L en + si ε > 0, A R, x I [A,+ [, f(x) L ε et on note lim + f = L. Si I est non minorée, on dit que f admet pour limite L en si et on note lim f = L. Proposition 2.5.1 ε > 0, A R, x R (x B f(x) L ε) Si f a une limite en ±, celle-ci est unique. Démonstration: Exercice. On peut étendre la notion de voisinage à tout point de R. Définition 2.5.2 (Voisinage dans R) Un voisinage de + est un intervalle non majoré (i.e. du type [A,+ [ ou ]A,+ [). Un voisinage de est un intervalle non minoré. Une propriété P(x) est vrai au voisinage J. Gärtner. 5

de ± si il existe un voisinage de ± sur lequel est elle vraie. Là encore (te dès qu on parle de voisinage) les notions sont locales. Exemple. Soit f : x x et g : x x 2. Alors f g au voisinage de +. En effet l inégalité est vérifiée sur [1,+ [. Elle est par contre fausse sur R +! Proposition 2.5.2 Soit x 0 R et f une fonction admettant une limite finie L en x 0. Alors f est bornée au voisinage de x 0. De plus, si L 0, f garde le signe de L et ne s annule pas au voisinage de x 0. On peut minorer f par une constante strictement positive au voisinage de x 0. Démonstration: Etudions le cas où x 0 R (les cas infinis sont laissés en exercice). D après la définition de limite, en prenant ε = 1, on obtient l existence de α > 0 tel que sur ]x 0 α, x 0 +α[ on ait f(x) L 1 donc f(x) 1+ L, ce qui prouve le caractère borné. Si L > 0, on pose ε = L 2 ce qui montre que sur un voisinage de x 0, f(x) L L 2. Donc f(x) L L 2 et f(x) L 2. De même f(x) L, ce qui montre la propriété sur le 2 signe. De plus, f(x) L, ce qui permet de conclure. 2 2.6 Limite infinie Définition 2.6.1 Soit x 0 R et f une fonction définie au voisinage I de x 0. On dit que f a pour limite + en x 0 et on note lim f = + lorsque Si x 0 R : A R, α > 0, x I ]x 0 α,x 0 + α[, f(x) A Si x 0 = + : A R, B R, x I ]B,+ [, f(x) A Si x 0 = : A R, B R, x I ],B[, f(x) A Définition 2.6.2 Soit x 0 R et f une fonction définie au voisinage I de x 0. On dit que f a pour limite en x 0 et on note lim f = lorsque Si x 0 R : A R, α > 0, x I ]x 0 α,x 0 + α[, f(x) A Si x 0 = + : A R, B R, x I ]B,+ [, f(x) A Si x 0 = : A R, B R, x I ],B[, f(x) A Exemple. On a lim x ± x2 = +. Remarque. Toutes les définitions de limite que l on a vu peuvent se résumer en une seule : Soit x 0,L R et f une fonction définie au voisinage I de x 0. Alors f admet pour limite L en x 0 si et seulement si Proposition 2.6.1 V voisinage de L, W voisinage de x 0, x I W, f(x) V Soit f : I R une fonction définie au voisinage de x 0 R. Si f a pour limite + en x 0 (resp. ) alors f n est pas majorée au voisinage de x 0 et est strictement positive au voisinage de x 0 (resp. pas minorée et strictement négative). Démonstration: Exercice, adapter la preuve de proposition 2.6.2. J. Gärtner. 6

3 Opérations sur les limites 3.1 Lien avec les suites Théorème 3.1.1 Soit x 0,L R, et f une fonction définie sur I tel que x 0 est adhérent à I admettant une limite L R en x 0. Soit (u n ) une suite d éléments de I tel que lim u n = x 0. n + Alors lim f(u n ) = L. n Démonstration: Supposons que lim f = L. Nous allons traiter par exemple le cas de x 0 = + et L R (les autres cas sont laissés en exercice). Par hypothèse, on a pour tout ε > 0 l existence de A R tel que pour tout x A on ait f(x) L ε. Soit ε > 0 fixé quelconque. On pose pour A le réel dont l existence vient d être prouvée. D autre part, soit (u n ) une suite d éléments de I de limite +. Alors pour le A R associé à ε ci-dessus, il existe un rang N tel que pour n N on ait u n A, donc par hypothèse f(u n ) L ε. Mis bout à bout, on a associé à tout ε > 0 un rang N N tel que si n N, f(u n ) L ε. C est la définition du fait que (f(u n )) converge vers L. Remarque. A l aide des voisinage, il est possible de rédiger une preuve unique pour tous les cas à traiter. Remarque. Il est possible d énoncer une réciproque qui n est plus au programme. Exemple. Dans le sens direct, ce théorème va nous permettre d éviter de remontrer certains résultats sur les limites.il permet de montrer qu une fonction f n a pas de limite. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sin 1 x. Posons pour tout n u 2 n = π + 4nπ 2 et v n = π + 4nπ. Alors (u n) et (v n ) convergent vers 0, mais f(u n ) = 1 et f(v n ) = 1. On en déduit que f n a pas de limite en 0 en raisonnant par l absurde. (En particulier on ne peut pas la prolonger par continuité). On en déduit les deux propositions suivantes, que l on a utilisées pour l étude des suites récurrentes. Proposition 3.1.1 Si x 0 R et f : I R est définie au voisinage de x 0 et si x 0 I, alors f est continue en x 0 si et seulement si pour toute suite (u n ) de I qui converge vers x 0, (f(u n )) converge vers f(x 0 ). Proposition 3.1.2 Soit f : I I et (u n ) définie par u 0 I et pour tout n u n+1 = f(u n ). Si (u n ) converge vers L, et si f est continue en L, alors f(l) = L. Démonstration: En effet, (u n ) converge vers L et f est continue en L donc f(u n ) converge vers L. Mais (u n+1 ) est une suite extraite de (u n ) donc converge vers la même limite L. Le résultat se déduit du passage à la limite dans l égalité valable pour tout n N u n+1 = f(u n ) J. Gärtner. 7

3.2 Limites et inégalités Théorème 3.2.1 (Passage à la limite dans les inégalités) Soit f,g : I R et x 0 adhérent à I. Si x I, f(x) g(x), et si f et g ont des limites (dans R) en x 0, alors lim f lim g Démonstration: On peut faire une preuve directe. Utilisons pourtant le critère séquentiel. Soit (u n ) une suite quelconque d éléments de I qui admet x 0 pour limite. Alors pour tout n on a f(u n ) g(u n ). Les suites (f(u n )) et (g(u n )) admettent des limites donc d après le théorème de passage à la limite dans les inégalités (théorème du cours sur les suites), on a lim f = lim f(u n ) lim g(u n ) = lim g. n n Attention! il n y a pas conservation des inégalités strictes! La fonction x x est strictement positive sur R + mais sa limite en 0 est nulle! Rappelons que le théorème ci-dessus ne donne pas l existence de la limite au contraire du théorème d encadrement. Théorème 3.2.2 (d encadrement) Soit f,g,h : I R et x 0 adhérent à I. On suppose que x I, f(x) g(x) h(x) et que f et h admettent la même limite finie L en x 0. Alors g admet la limite L en x 0. Démonstration: Soit (u n ) une suite d éléments de I qui admet x 0 pour limite. Alors (f(u n )) et (h(u n )) ont L pour limite, donc d après le théorème sur les suites, (g(u n )) converge vers L. Ceci est valable pour toute suite (u n ) de limite x 0, donc d après le critère séquentiel, g a pour limite L en x 0. Proposition 3.2.1 Si f,g : I R et L R sont tels que pour tout x I f(x) L g(x) et lim g = 0, alors lim f = L. [ ] 1 Exemple. La fonction définie sur R par f(x) = x a pour limite 1 en 0 car f(x) 1 = ( [ x 1 1 x x x]) x. Théorème 3.2.3 Soit f,g : I R Si pour tout x I on a f(x) g(x) et si lim f = + (resp. lim g = ) alors lim g = + (resp. lim f = ). Démonstration: Exercice. 3.3 Opérations algébriques Dans cette section, f et g sont des fonctions définies sur un intervalle I de R, et x 0 R est adhérent à I (i.e. x 0 I ou est l une de ses bornes). J. Gärtner. 8

3.3.1 Cas des limites finies Proposition 3.3.1 Si f tend vers L en x 0, alors f tend vers L en x 0. Démonstration: En effet, x I, f(x) L f(x) L. On conclut avec le théorème d encadrement. Les propositions de cette section sont analogues à celles du cours sur les suites. Nous rappelons les énoncés, les démonstrations étants laissées à titre d exercice (il suffit de reprendre les démonstrations valables pour les suites, ou d utiliser la caractérisation séquentielle de limite). Proposition 3.3.2 Soit L,L R. Si lim f = L et lim g = L, alors 1. lim (f + g) = L + L 2. Si λ R, lim λf = λl 3. lim fg = LL 4. Si L 0, alors g ne s annule pas au voisinage de x 0. 1 g et f g sont définies au voisinage de x 0 et ont pour limite respective 1 L et L L en x 0. Démonstration: Par exemple si (u n ) est une suite quelconque de limite x 0 alors f(u n ) et g(u n ) convergent respectivement vers L et L. Alors la suite (f(u n )g(u n )) converge vers LL. En utilisant la caractérisation séquentielle, on en déduit que lim fg = LL. Proposition 3.3.3 Si lim f = 0 et si g est bornée au voisinage de x 0, alors lim fg = 0. Démonstration: On distingue suivant x 0 R (ou = +, = ). Sur un intervalle du type ]x 0 α, x 0 + α[ on a g M. Sur cet intervalle, on a donc fg M f et no conclut par encadrement. 3.3.2 Cas des limites infinies Proposition 3.3.4 1. Si lim f = ± alors lim f = +. 2. Si lim f = + et λ R, alors lim λf = + si λ > 0 0 si λ = 0 si λ < 0 3. Si lim f = + et si g est minorée par une constante strictement positive, alors lim fg = +. 1 4. Si lim f = + alors lim f = 0. 5. Si lim f = 0 + (i.e. la limite est nulle et f est strictement positive au voisinage de J. Gärtner. 9

1 x 0 ) alors lim f = +. Remarque. Exercice : énoncer et démontrer la proposition analogue pour la limite. 3.3.3 Formes indéterminées Tous les cas non traités par les propositions ci-dessus sont des formes indéterminées : pour calculer les limites, il faut lever l indétermination. Exemple. Les deux exemples ci-dessous sont des formes indéterminées du type «+». ) lim x 2 + x + 1 2x = lim ( 1 x + 1x + 1x2 2 = x + x + Cette méthode ne marche pas pour la limite suivante (elle mène à la forme indéterminée «0») 1 lim x 2 x + 1 1 + + x + 1 x = lim x + x 2 + x + 1 + x = lim x 1 1 + 1x + 1x = 2 + 1 2. 3.4 Composition Donnons enfin le théorème qui permet de faire des changements de variables dans les calculs de limite. Théorème 3.4.1 Soit f une fonction définie au voisinage de x 0 et g une fonction dont le domaine de définition contient f(d f ). Si f a une limite L R en x 0, et si g a pour limite L R en L, alors g f a pour limite L en x 0. Démonstration: La fonction g f est définie sur D f donc au voisinage de x 0. Nous allons par exemple traiter le cas où x 0, L R et L =. Soit ε > 0. Il existe par hypothèse B R tel que y D g ], B], g(y) L ε Il existe aussi α > 0 tel que x D f ]x 0 α, x 0 + α[, f(x) B Soit x D f ]x 0 α, x 0 + α[. Alors f(x) D g ], B] et en prenant y = f(x) on a g(f(x)) L ε. On a bien montré que ε > 0, α > 0, x D f ]x 0 α, x 0 + α[, g f(x) L ε Proposition 3.4.1 Si f,g sont deux fonctions telles que f(d f ) D g. Soit x 0 D f. Si f est continue en x 0 et g continue en f(x 0 ), alors g f est continue en x 0. Démonstration: Exercice. J. Gärtner. 10

Exemple. On a lim x 0 1 cos x x 2 de limites. = lim x 0 2sin 2 x/2 x 2 = 1 2 lim x 0 La proposition suivante est souvent utilisée en pratique : Proposition 3.4.2 (Retour en 0) sin x 2 x 2 2 = 1 2 par composition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a R adhérent à I. Alors f a pour limite L R en a si et seulement si la fonction h f(a + h) a pour limite L en 0. Démonstration: Exercice. 4 Théorème de la limite monotone L existence de limite peut être montrée à l aide de propriétés globales (c.f. chapitre prochain) comme par exemple la monotonie. Définition 4.0.1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est majorée sur I, l ensemble {f(x), x I} est non vide et majoré dans R. Il admet une borne supérieure que l on note sup I f. On définie de même inf I f si f est minorée. Théorème 4.0.2 Soit f une fonction définie et croissante sur un intervalle ouvert I =]a,b[ R. Alors 1. f possède une limite en b. Cette limite est sup I f si f est majorée, + sinon. 2. f possède une limite en a. Cette limite est inf I f si f est minorée, sinon. Démonstration: Supposons que f soit majorée et posons α = sup I f. Soit ε > 0. Alors en utilisant la définition de borne supérieure, il existe c I tel que f(x) > α ε. Puisque f est croissante, on a pour tout x [c, b[ donc lim b f = α. α ε f(c) f(x) α α + ε Si f n est pas majorée, soit A R quelconque. Alors il existe c I tel que f(c) A. Alors par monotonie de f, on a f A sur [c, b[. On en déduit que lim b f = +. La limite en a s étudie de manière analogue. Proposition 4.0.3 Si f est définie et décroissante sur un intervalle ouvert I =]a,b[, alors f a une limite dans R en a et en b. Théorème 4.0.3 (Théorème de la limite monotone) Soit f une fonction définie et monotone sur I =]a,b[ R. Alors pour tout x 0 I, f admet une limite à droite et une limite à gauche en x 0. Démonstration: Supposons par exemple que f est croissante et intéressons nous à le limite à gauche en x 0. La restriction de f à ]a, x 0 [ est majorée par f(x 0 ) donc possède une limite par le théorème ci-dessus. Cette limite est lim f = sup ]a,[ f f(x 0 ). x 0 J. Gärtner. 11

On procède de même pour les autres cas. 5 Allure de la courbe L allure de la courbe au voisinage de l infini doit être cohérente avec le calcul de limites. L étude des branches paraboliques est à la limite du programme, mais l étude des asymptotes est essentiel! 5.1 Branches infinies L étude des limites d une fonction permet de préciser l allure de sa courbe. Définition 5.1.1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et J = f(i). Soit x 0 un point adhérent à I. On dit que la courbe C f admet une branche infinie si on est dans l une des situations suivantes : 1. I n est pas majoré. 2. I n est pas minoré. 3. f admet une limite infinie en x 0. DESSIN 5.2 Asymptotes Définition 5.2.1 1. Si x 0 R est une extrémité de I et x 0 / I, on dit que la droite d équation x = x 0 est asymptote verticale à C f au voisinage de x 0 si et seulement si lim f = ±. 2. Si I n est pas majoré (resp. minoré) on dit que la droite d équation y = ax+b est asymptote à C f au voisinage de + (resp. ) lorsque lim (f(x) (ax+b)) = 0 x + (resp. lim). Si a est nul on parle d asymptote horizontale, sinon d asymptote oblique. Proposition 5.2.1 Si I n est pas majoré, alors la droite d équation y = ax + b est asymptote oblique à C f au voisinage de + si et seulement si f(x) lim = a et lim (f(x) ax) = b x + x x + Exemple. La droite d équation y = 3x 8 est asymptote oblique au voisinage e + à la courbe représentative de la fonction x 3x2 + x 1. x + 3 5.3 Branches paraboliques Définition 5.3.1 Si I est non majoré on dit que C f admet J. Gärtner. 12

Une branche parabolique verticale au voisinage de + si et seulement si f(x) lim x + x = ± une branche parabolique horizontale au voisinage de + si et seulement si f(x) lim = 0 et lim f(x) = ± x + x x + une branche parabolique de direction parallèle à la droite d équation y = ax au voisinage de + si et seulement si f(x) lim = a et lim (f(x) ax) = ± x + x x + Exemple. La courbe représentative de la fonction x 3x ln x admet au voisinage de + une branche parabolique de direction parallèle à la droite d équation y = 3x. 6 Résumé c.f. chapitre 2! 6.1 Taux d accroissement, croissance comparée Donnons pour finir les limites classiques que vous connaissez déjà ln x e x 1 = 1 et lim = 1. x 1 x 0 x lim x 1 Si a > 1, b > 0 et c > 0 alors lim x + 6.2 Opérations 1. lim (f(x) + g(x)) 2. lim (f(x)g(x)) a x = +, lim xb x + x b ln c = + et lim x x + lim g(x) lim f(x) l R + F.I. l R l + l + + F.I. + + a x ln c x = +. lim g(x) lim f(x) l < 0 0 l > 0 + + + F.I. l < 0 l l > 0 0 l l < 0 0 0 0 F.I. l > 0 l l > 0 + + + J. Gärtner. 13

1 3. lim g(x) f(x) 4. lim g(x) lim g(x) 0 0 0 + l R + lim 1/g(x) F.I. + 1/l 0 0 + lim g(x) lim f(x) l < 0 0 0 0 + l > 0 + F.I. + + F.I. F.I. l < 0 0 + l/l > 0 + F.I. l/l < 0 0 0 0 0 F.I. F.I. F.I. 0 0 0 + 0 0 F.I. F.I. F.I. 0 + 0 + l > 0 0 l/l < 0 F.I. + l/l > 0 0 + + F.I. F.I. + + F.I. J. Gärtner. 14