Activités numériques [1 Points] EXERCICE 1 On considère les trois nombres A, B et C : A = 5 6 + 5 6 7 ; B = 1 9 5 : 1 7 + 1 ; C = 1. Calculer A et B et donner le résultat sous la forme de fraction irréductible. A = 5 6 + 5 6 7 9 A = 5 6 + 5 7 6 9 A = 5 6 + 5 A = 5 9 6 9 + 5 A = 45 + 5 45 + 5 A = A = 80 A = 40 7 A = 40 7 A = 40 7. Calculer C et donner l écriture scientifique. 1014 C = 5 10 6 C = 5 1014 10 6 C = 7 10 0 C =, 7 10 10 0 C =, 7 10 1 B = 1 5 : 1 7 + 1 B = 1 5 7 1 + 1 B = 1 5 5 7 1 1 + 1 B = 1 5 1 + 1 B = 1 60 + 1 B = 1 60 + 4 60 B = 5 60 B = 5 1 60 1 B = 1 1 1014 5 10 6 EXERCICE On considère l expression E = (x + ) (x + )(x + 7). 1. Développer et réduire E. E = (x + ) (x + )(x + 7) E = 9x + 1x + 4 (x + 1x + x + 14) E = 9x + 1x + 4 x x 14 E = 6x 11x 10. Factoriser E. E = (x + ) (x + )(x + 7) E = (x + )(x + ) (x + )(x + 7) E = (x + ) [(x + ) (x + 7)] E = (x + )(x + x 7) E = (x + )(x 5) COLLÈGE JULES MICHELET Page 1/7 ANGOULÊME
. Calculer E lorsque x = 1. E = 6x( ) 11x 10 1 E = 6 11 1 10 E = 6 1 4 11 10 E = 6 5, 5 10 4 E = 1, 5, 5 E = 14 4. Résoudre l équation (x + )(x 5) = 0. Proprit Un produit de facteurs est nul si l un au moins des facteurs est nul. Soit x + = 0 x = x = Soit x 5 = 0 x = 5 x = 5 x =, 5 Les solutions de l équation sont : et,5. EXERCICE 1. Un confiseur reçoit une commande de caramels d un montant de 10,40 euros. Pour fidéliser son client, il décide d accorder une remise de 0 %. Calculer le montant de la facture après remise. 10, 40 (1 0, ) = 10, 40 0, 8 = 96, e.. Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 01 caramels et 17 chocolats dans des sachets identiques, sachant qu on utilise tous les caramels et tous les chocolats. (a) Calculer le nombre maximal de sachets réalisables. Il faut prendre le pgcd de 01 et 17. pgcd(01 ;17)=4 (b) Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet. 01 4 = 7 17 4 = 4 Dans un sachet, il y aura 7 caramels et 4 chocolats. Pensez à remercier vos enseignants de Mathématiques, pour cette correction de Brevet, en utilisant l exercice... COLLÈGE JULES MICHELET Page /7 ANGOULÊME
e BREVET BLANC : CORRECTION 009-010 EXERCICE 1 Activités géométriques [1 Points] SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On donne SA = cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm. S H G E F A B D C 1. Calculer le volume V 1 de la pyramide SABCD. On pourra utiliser le formulaire suivant : Figure : Volume : h π r h Il faut utiliser la troisième formule : V 1 = B h AB BC SA = =. Démontrer que SB = 17 cm. Le triangle SAB est rectangle en A. D après le théorème de Pythagore : SB = AS + AB SB = + 8 = 5 + 64 = 89 SB = 89 = 17 cm 8 11 B h = 440 cm B h. On note E le point de [SA] tel que SE = 1 cm et F le point de [SB] tel que SF = 1, 6 cm. Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles. Dans le triangle SAB : E [SA] et F [SB]. D une part : SE SA = 1. D autre part : SF 1 1 17 = 04. 1, 6 = 04. Donc SE SA = SE SA.? = 1, 6 17. SB = 1, 6 17. De plus, les points S, E, A et S, F, B sont alignés dans le même ordre. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF ) et (AB) sont parallèles. COLLÈGE JULES MICHELET Page /7 ANGOULÊME
4. On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la base de la pyramide. La pyramide SEFGH ainsi obtenue, est une réduction de la pyramide SABCD. (a) Quel est le coefficient de la réduction? SA SE = 1 = 4 = 0, 8. 5 Donc la réduction est de coefficient 0,8. (b) En déduire le volume V de la pyramide SEFGH en fonction de V 1 et le calculer. Proprit Lorsqu une figure est obtenue à partir d une autre par une réduction de coefficient k, alors les longueurs sont multipliées par k, les aires par k et les volumes par k. Donc V = V 1 0, 8 = 440 0, 51 = 5, 8 cm EXERCICE L unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB = 9 ; AC = ; BC = 1. 1. (a) Démontrer que ABC est rectangle en B. D une part :AC = = 5. D autre part : AB + BC = 9 + 1 = 81 + 144 = 5. Donc :AB + BC = AC. Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B. (b) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.. E est le point du segment [AB] tel que AE =. F est le point du segment [BC] tel que (EF) et (AC) sont parallèles. (a) Placer les points E et F sur la copie. (b) Calculer BF. Dans le triangle ABC : E [AB] F [BC] (EF)//(AC) Donc d après le théorème de Thalès, on a : BE BA = BF BC = EF AC. 6 EF 9 = BF 1 =. Donc BF 9 = 1 6 BF = 7 9 = 8 cm.. Calculer l aire du triangle AEF. Conseil :Tracer [AF], et prendre comme base :[AE] et comme hauteur :[BF] A = b h = 8 = 1 cm COLLÈGE JULES MICHELET Page 4/7 ANGOULÊME
Problème [1 Points] L unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l échelle 1. Ne pas reproduire la figure. T (C ) S R H M Partie A Soit (C ) un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10. Soit T un point de (C ) tel que RT = 6. 1. Démontrer que RMT est un triangle rectangle. Proprit Si un triangle est inscrit dans un cercle, et si de plus l un des côtés du cercle est un diamètre alors ce triangle est rectangle. R, M et T sont sur le cercle (C ). [RM] est un diamètre du cercle (C ). Donc RMT est rectangle en T.. Démontrer que TM = 8. Dans le triangle RMT, rectangle en T. D après le théorème de Pythagore : RM = RT + TM 10 = 6 + TM 100 = 6 + TM TM = 100 6 = 64 TM = 64 = 8 cm Partie B Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH)//(TM). On pose RS = x. 1. Quelles sont les valeurs possibles de x? x est compris entre 0 et 6.. Démontrer que RH = 5 x et SH = 4 x. Dans le triangle RTM : COLLÈGE JULES MICHELET Page 5/7 ANGOULÊME
S [RT] H [RM] (SH)//(TM) Donc d après le théorème de Thalès, on a : RS RT = RH RM = SH TM. x 6 = RH 10 = SH 8. En utilisant : x 6 = RH, on obtient : 10 6 RH = 10 x. Donc RH = 10 x = 10 5 x = 5x 6 6 = 5 x En utilisant : x 6 = SH 8 6 SH = 8 x. Donc SH = 8 x 6, on obtient : = 8 4 x 6 = 4x = 4 x. Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle RSH. P RSH = RS + SH + HR = x + 4 x + 5 x = x + 4 x + 5 x = 1x = 4x 4. Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : 4 4 x. P STMH = ST + TM + MH + SH = 6 x + 8 + 10 5 x + 4 x = 4 x 5 x + 4 x = 4 4 x Partie C On considère les fonctions f et g telles que : 1. Calculer f(0), f(6), g(0) et g(6). f : x 4x et g : x 4 4 x. f(0) = 4 0 = 0 f(6) = 4 6 = 4 g(0) = 4 4 0 = 4 g(6) = 4 4 6 = 4 8 = 16.. Sur la feuille de papier millimétré fournie, représenter graphiquement la fonction f.. (a) Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle f(x) = g(x). Pour que :f(x) = g(x), il faut que : 4x = 4 4 x 4x + 4 x = 4 16 x = 4 x = 4 16 = 4, 5 (b) Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires. 4. Que représente la solution de l équation f(x) = g(x) pour la partie B de ce problème? La fonction f correspond à la fonction qui traduit le périmètre du triangle RSH. La fonction g correspond à la fonction qui traduit le périmètre du trapèze STMH. Donc la solution de l équation f(x) = g(x) correspond à la position de S sur [RT] pour que le triangle RSH et le trapèze STMH aient le même périmètre. COLLÈGE JULES MICHELET Page 6/7 ANGOULÊME
D f : x 4x D g : x 4 4 x O 1 COLLÈGE JULES MICHELET Page 7/7 ANGOULÊME