Exemples d utilisations de la théorie des représentations.

Exemples d utilisations de la théorie des représentations. Simon C. 1 Sous-groupes distingués et table des caractères. 1.1 Commentaires. Ce développement est issu de [ulm, 2012], 17.3, mais il est aussi en exercice dans [col, 2011] (chapitre I) et dans [h2g, 2015]. Il nécessite comme prérequis : La théorie des représentations. La construction des tables de caractères d un groupe fini. L objectif est de montrer comment la table des caractères d un groupe fini permet de tirer certaines informations sur le groupe. Par exemple, la table des caractères donne directement la liste explicite de tous les sous-groupes distingués d un groupe. 1.2 Les sous-groupes distingués comme noyaux de caractères. Dans toute la suite, G est un groupe fini d ordre n. PROPOSITION 1.1. Soit V une représentation de G de morphisme structurel ρ et de caractère χ. Alors, g G, on a χ(g ) χ(e) = n. De plus, χ(g ) = χ(e) si et seulement si g ker(ρ). Démonstration. Par définition du caractère, on a χ(g ) = Tr ( ρ(g ) ). Or, ρ(g ) est diagonalisable sur C et ses valeurs propres sont des racines de l unité. Notons-les λ 1,...,λ n. Alors, χ(g ) = λ 1 +... +λ n λ1 +... + λ n = n = χ(e) Supposons que χ(g ) = n. Alors χ(g ) = n et, par le cas d égalité dans l inégalité triangulaire, il existe a 2,..., a n des nombres réels positifs tels que λ k = a k λ 1. Ainsi, χ(g ) = 1 + a 2 +... + a n =. Comme a k 1, on en déduit que a k = 1 et toutes les valeurs propres sont égales, et nécessairement égales à 1 puisque χ(g ) = n. Donc, ρ(g ) est semblable à la matrice identité : c est la matrice identité, et g ker(ρ). La réciproque est évidente. DÉFINITION 1. Soit G un groupe et χ un caractère de G. On appelle noyau de G l ensemble K χ = {g G : χ(g ) = χ(e)}. 1

REMARQUE 1. La première proposition montre donc que le noyau d un caractère est un sous-groupe distingué en tant que noyau du morphisme structurel. THÉORÈME 1.1. Soit G un groupe fini ayant m classes de conjugaison et χ 1,...,χ m les caractères irréductibles de G. Alors, tout sous-groupe distingué H de G est de la forme H = j J ker(χ j ) avec J P {1,...,m}. Démonstration. Montrons d abord que tout sous-groupe distingué de G est noyau d un caractère (pas forcément irréductible) de G. Montrons ensuite que ker(χ) est une intersection de noyaux de caractères irréductibles. En effet, V se décompose comme somme de représentations irréductibles : V = m i=1 n iv i. Ainsi, χ = m i=1 a iχ i. Or, chaque V i est stable sous l action de G, et en particulier stable par ρ(g ). Donc si g ker(χ) = ker(ρ), alors pour tout v i V i on a ρ(g ) v i = v i, donc ρ i (g ) = id Vi et χ i (g ) = χ i (e). DOnc, g ker(χ i ). La réciproque est évidente. COROLLAIRE 1. Un groupe fini G est simple si et seulement si tout caractère irréductible non trivial de G a un noyau trivial. 1.3 Lecture d une table de caractères. Commutation et ordre. La formule de Burnside permet immédiatement de déterminer l ordre du groupe G : G = m i=1 χ i (e). On lit également le nombre de classes de conjugaison de G, qui est le nombre de caractères irréductibles. On sait ensuite si le groupe est abélien ou pas en regardant s il a des caractères irréductibles de degré supérieur à 1. Si le groupe n est pas abélien, on sait que le nombre de caractères irréductibles de degré 1 est l ordre de l abélianisé de G, ce qui nous donne directement l ordre de D G. Sous-groupes distingués. Pour chaque caractère, on considère ker(χ) : s il est égal à {e}, c est que le morphisme associé à χ est fidèle. Sinon, on dispose d un sous-groupe distingué à travers ker(χ) et on voit tout de suite que le groupe n est pas simple. Pour chaque caractère, le noyau de ce caractère donne un sous-groupe distingué que l on connaît explicitement (c est une réunion de classes de conjugaisons). Le théorème précédent donne alors la liste de tous les sous-groupes distingués : ce sont les intersections des noyaux. En général, cela permet de trouver explicitement le groupe dérivé (on connaît déjà son ordre). REMARQUE 2. Un groupe abélien fini est cyclique si et seulement s il possède un caractère irréductible fidèle ([ulm, 2012], ex.17.5). 2

Démonstration. S il un tel groupe est cyclique d ordre n, il est clairement isomorphe à U n. Réciproquement, s il y a un caractère fidèle, alors G s injecte dans U et son image est un sous-groupe fini de U, c est-à-dire un U n (les sous-groupes de U sont cycliques et finis ou denses et infinis). 1.3.1 Premier exemple : un groupe d ordre 36. Donner en exemple la table du neuvième groupe d ordre 36, donné dans [ulm, 2012], page 159. REMARQUE 3. Un groupe d ordre 36 n est jamais simple. Démonstration. Supposons que G est simple. Alors, n 3 {1,4} donc n 3 = 4 et G agit (fidèlement car il a été supposé simple) sur Syl 3 (G), ce qui fournit une injection G S 4, ce qui est absurde pour des raisons de cardinalité. La même démonstration permet de montrer qu il n y a pas de groupe simple d ordre 24. 1.3.2 Deuxième exemple : S 4. Voici la table des caractères de S 4. Classe C {Id} Double-transp. 3-cycles transp. 4-cycles 1 1 1 1 1 1 ε 1 1 1-1 -1 χ 2 2-1 0 0 V X 3-1 0 1-1 V X ε 3-1 0-1 1 Le noyau de la signature est donné par l union de l identité, des double transpositions et des 3-cycles : il s agit bien de A 4. Le noyau de χ est le sous-groupe formé de l identité et des double-transpositions, il est isomorphe au groupe de Klein. On obtient ainsi tous les sous-groupes distingués de S 4. On notera également que les deux dernières représentations ont un noyau trivial, donc fournissent des injections S 4 GL(V X ) où V X est de dimension 3. 2 Caractères des groupes abéliens finis. Dans cette section, on montre le théorème de Kronecker (de classification des groupes abéliens finis) en utilisant la théorie des caractères. C est directement inspiré de [col, 2011], chapitre I, 5. On suppose cependant que la théorie des caractères est connue. En particulier, on suppose vérifiés : Le lemme de Schur et le théorème de Mashke. Le théorème de Frobenius (les caractères irréductibles forment une base orthonormale des fonctions centrales). PROPOSITION 2.1. Un groupe fini G est abélien si et seulement si tous ses caractères irréductibles sont de degré 1. 3

Démonstration. S il est abélien, tous ses caractères sont de degré 1 par codiagonalisation. Si tous ses caractères irréductibles sont de degré 1, par la formule de Burnside G = nχ 2 χ Car(G) on voit qu il y n caractères irréductibles, donc n classes de conjugaison, donc elles sont réduites à un seul élément et G est abélien. En fait, plus il y a de caractères de degré 1, plus le groupe est abélien : en effet, les caractères de degré différent de 1 correspondent aux caractères de l abélianisé G / Z(G). 2.1 Caractères des groupes abéliens finis. Dorénavant, G est un groupe abélien fini. THÉORÈME 2.1. Toute fonction de G dans C est combinaison linéaire de caractères. Démonstration. Tout caractère est irréductible et F cent (G,C) = F (G,C) puisque les classes de conjugaison de G sont les singletons. Il suffit donc d appliquer le théorème de Frobenius. DÉFINITION 2. Soit f F (G,C). La transformée de Fourier de f, notée f ˆ, est la fonction Ĝ C définie par f ˆ(χ) = χ, f THÉORÈME 2.2 (Inversion de Fourier). Soit f F (G, C). Alors, g G, f (g ) = χ Ĝ χ(g ) ˆ f (χ) EXEMPLE 1. Soit f = 1 a pour un certain a G. Alors, f (g ) = δ a,g = χ Ĝ f ˆ(χ)χ(g ) = 1 G χ(a)χ(g ) DÉFINITION 3. Soit D un entier. Un caractère de (Z/DZ) est appelé caractère de Dirichlet modulo D. PROPOSITION 2.2. Si a D = 1, alors vaut 1 si n a (mod D) et 0 sinon. 1 φ(d) χ Dir(D) χ(a)χ(n) χ Ĝ 4

2.2 Le groupe dual. Pour tout groupe G, on a une injection canonique ι : G Ĝ, donnée par où ξ g : χ χ(g ). ι(g ) = ξ g THÉORÈME 2.3. Si G est abélien fini, ι : G Ĝ est un isomorphisme de groupes. Démonstration. ι est clairement un morphisme de groupes. Il nous suffit donc de vérifier qu il est bijectif. D après le lemme XXX, on a G = Ĝ donc G = Ĝ. Il suffit donc de vérifier que ι est une injection. Soient a,b dans G tels que ι(a) = ι(b). Alors, pour tout χ Ĝ, on a ι(a)(χ) = ι(b)(χ), c est-à-dire χ(a) = χ(b) Soit f = 1 a et g = 1 b. Par la formule d inversion de Fourier, on a pour tout x G : Et de même, f (x) = 1 χ(a)χ(x) G χ Ĝ g (x) = 1 χ(b)χ(x) G χ Ĝ Donc f = g et a = b. Le morphisme ι est injectif, donc bijectif par cardinalité, et c est un isomorphisme. 2.3 L exposant d un groupe. DÉFINITION 4. Soit G un groupe. On appelle ordre de G le le maximum des ordres des éléments de G. On le note ω(g). Par extension, on notera aussi ω(x) l ordre d un élément x : il coïncide avec l ordre du groupe x. LEMME 2.1. Soit G un groupe abélien fini et x, y deux éléments de G d ordres respectifs n, m. Si pgcd(m, n) = 1, alors ω(x y) = nm. LEMME 2.2. Soit G un groupe abélien fini et x, y deux éléments de G d ordres respectifs n,m non nuls. Alors, G contient un élément d ordre ppcm(n,m). THÉORÈME 2.4. Soit G un groupe abélien fini. Alors, G contient un élément d ordre ω(g) et on a ω(g) = inf{n N : x n = e, x G} COROLLAIRE 2. Soit k un corps fini de cardinal q. Son groupe multiplicatif k est cyclique d ordre q 1. PROPOSITION 2.3. Un groupe abélien fini et son dual ont le même exposant. Démonstration. Soit χ Ĝ. Soit n = ω(g). Alors, x G, on a χ n (x) = χ(x n ) = χ(e) = 1. Donc ω(ĝ) n. De même, ω(ĝ ω(ĝ) n mais comme G Ĝ, on a ω(ĝ) = n et il y a des égalités partout. 5

2.4 La classification des groupes abéliens finis. THÉORÈME 2.5. Soit G un groupe abélien fini. Il existe r N et des entiers n 1,...,n r tels que n 1 = ω(g). n i+1 n i On a un isomorphisme r G Z / n i Z Démonstration. On raisonne par récurrence sur n = G. Lorsque n = 1, il n y a rien à montrer (pareil lorsque n = 2,3,4,5 en fait). Supposons que le résultat est vérifié pour n. Notons N = n 1 = ω(g). Pour tout x G, on a x N = e. Donc, pour tout x G et pour tout χ Ĝ, le nombre complexe χ(x) est une racine N -ème de l unité. ➊ L ordre de Ĝ est également N, de sorte qu il existe χ 1 Ĝ tel que ω(χ 1 ) = N Montrons par l absurde qu il existe x 1 G tel que χ 1 (x 1 ) est d ordre N. Supposons que pour tout x G, χ(x) est d ordre strictement inférieur à N. L ordre du groupe Im(χ 1 ) serait alors strictement inférieur à N, disons m, et pour tout x G, on aurait χ m 1 (x) = ( χ 1 (x) ) m = 1. Donc on aurait χ m 1 = 1, ce qui est faux car ω(χ) = N. Donc, il existe x 1 G tel que χ 1 (x 1 ) est d ordre N. ➋ En particulier, χ 1 (G) = U N. Mais l ordre de x 1 est également un diviseur de N. Si c était un diviseur strict, là encore χ 1 (x 1 ) ne serait pas d ordre N. Donc ω(x 1 ) = N. FInalement, si l on note H 1 = x 1, alors H 1 Z / NZ. ➌ Posons G 1 = ker(χ 1 ). Nous allons montrer que i=1 G = H 1 G 1 Remarquons déjà que χ 1 : H 1 U N est un isomorphisme de groupes (il est injectif). Notons α : U N H 1 son inverse. Soit x H 1 G 1. Alors, χ 1 (x) = 1 car x G 1, donc x = e, et H 1 G 1 = {e}. Soit maintenant x G. On pose y = ( α(χ 1 (x)) ) 1 x. Il est clair que x = α(χ 1 (x))y et que α(χ 1 (x)) H 1. D autre part, χ 1 (y) = ( χ 1 (x) ) 1 χ 1 (x) = 1, donc y G 1. Ceci montre bien que G = H 1 G 1. ➍ G 1 est un groupe abélien fini dont l ordre divise N, et lui est même strictement inférieur. Appliquons l hypothèse de récurrence : il existe s et n 1,...,n s qui se divisent successivement et tels que n 1 = ω(g 1 ). Or, l ordre d un sous-groupe divise l ordre du groupe, donc n 1 N et le résultat est démontré. THÉORÈME 2.6. Les entiers r et n 1,...,n r du théorème précédent sont uniques. La démonstration qui suit vient de [ulm, 2012], proposition 12.12. Elle se trouve aussi dans [ALG, 2014], exercice 2.20 et n importe où ailleurs. On commence par un lemme qui est intéressant en soi dans l étude des anneaux Z / nz. LEMME 2.3. Le nombre de solutions de l équation qx = 0 dans le groupe est pgcd(q,n 1 )... pgcd(q,n r ). Z / m 1 Z... Z / m l Z 6

Démonstration du lemme. Soit x = (x 1,..., x r ) tel que qx = 0. Alors, pour tout i, on a qx i = 0 dans Z / n i Z. L ensemble des éléments qui vérifient ceci est l ensemble kd, où n d = pgcd(q,n i ) et où k pgcd(q,n i ), d où le résultat. Démonstration du théorème d unicité. Soient G et H deux groupes isomorphes, et soient r,l N et n 1,...,n r,m 1,...,m l tels que n i n i+1 et m j m j +1, et tels que et G Z / n 1 Z... Z / n r Z G Z / m 1 Z... Z / m l Z Nous allons montrer que r = l et que n i = m i pour tout i. Supposons (par exemple) que r s. On va compter le nombre de solutions de l équation n 1 x = 0 dans les deux groupes G et H. Dans le groupe G. On utilise pour cela le lemme. Dans le groupe G, comme n 1 est l ordre du groupe, il est clair qu il y a n1 r solutions. Par le lemme, dans le deuxième groupe, il y a s pgcd(n 1,m i ) i=1 solutions. Mais on se rend vite compte que pgcd(n i,m i ) n 1 et donc, comme r s, on ne peut avoir égalité que si r = s et si pgcd(n i,m i ) = n 1. En faisant le même raisonnement pour m 1, on obtient donc m 1 = n 1. Une récurrence rapide donne le résulat. Références [col, 2011] (2011). Eléments d analyse et d algèbre. Pierre Colmez. [ulm, 2012] (2012). Théorie des groupes. Félix Ulmer. [ALG, 2014] (2014). Exercices de mathématiques : Algèbre 1. Francinou and Gianella and Nicolas. [h2g, 2015] (2015). Histoires hédonistes de groupes et de géométries. Caldero et Germoni. 7