Classe de ème Mercredi 7 Décembre 2011 CORRECTION DU BREVET BLANC MATHEMATIQUES I- Activités Numériques : ( 12 pts ) Exercice 1 : Dans chaque cas, indiquer les étapes de calcul. 1- Je calcule A et B en donnant le résultat sous la forme d une fraction simplifiée : 1 A = B = 2 4 6 A = + B = 6 A = + B = 2 A = B = 9 9 Je multiplie la première fraction par l inverse de la deuxième Je décompose les nombres pour simplifier le quotient 2- Je calcule C = 12 [ - ( + ( - 6 ) ) + ]. C = 12 [ - ( - 1) + ] C = 12 [ + ] C = 12 8 C = 4 Je calcule les parenthèses les plus intérieures puis je fais le produit, calcule ensuite la partie entre crochets Exercice 2 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiple ( QCM ). Pour chaque ligne du tableau, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte. J indique sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, je recopir la réponse exacte. 1 Quelle est l expression développée de 2x ( 2x ) 2 Quelle est l expression factorisée de x² - 100? Quelles sont les solutions de ( x 4 ) ( 2 x + 7 ) = 0 4 Quelle est la valeur exacte de 4 16? Quelle est la valeur exacte de 12 Réponses proposées 2 x² - 6 x 4 x² - 4 x² - 6 x 10 x² ( x 10 ) ² (x 10) (x + 10) ( x 0 ) ² (x 0) (x + 0) 7 4 et - 2 7 4 et 2 2 4 et - 7 2 4 et 7 10 6 2 4,47 4 12 4 2 1 Question 1 : La réponse est 4x² - 6 x car on a développé le produit est donc : 2x ( 2x ) = 2x 2x 2x Attention 2x 2x = 4 x² et non 2x² Question 2 : x² - 100 = ( x - 10)(x + 10) on reconnaît une différence de deux carrés x² - 10² donc le produit remarquable a² - b² = ( a - b) ( a + b) avec a = x et b = 10
Question : les solution de : ( x 4) ( 2x + 7) = 0 sont 4 et - 2 7 En effet le produit ( x 4) ( 2x + 7) est nul donc Soit ( x 4) = 0 ou soit ( 2x + 7) = 0 x = 4 2x = - 7 x = Question 4 : 4 16 = = = = 2 Question : la valeur exacte de : 12 = = = = 2 Exercice : Dans cet exercice, tout début d explication, de démarche, sera pris en compte. Voici les distances ( en km ) qui séparent le soleil des trois planètes du système solaire : Rappels de cours :Multiplication par une puissance de 10 ex 4 et Règle Soit n un nombre entier positif non nul Multiplier un nombre par 10 n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite (on complète par des zéros si nécessaire). Multiplier un nombre par 10 n revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche (on complète par des zéros si nécessaire). Remarque : Multiplier par 10 n revient à diviser par 10 n. Exemple 1 : Donne l'écriture décimale des nombres 208,641 10 2 et 7,1 10. 208,641 10 2 = 20 864,1 Exemple 2 : Par combien faut-il multiplier 7,2 pour obtenir 7 20? Par combien faut-il multiplier 7 pour obtenir 0,007? Pour passer de 7,2 à 7 20, on décale la virgule de 4 rangs vers la droite donc il faut multiplier 7,2 par 10 4 pour obtenir 7 20. Pour passer de 7 à 0,007, on décale la virgule de rangs vers la gauche donc il faut multiplier 7 par 10 pour obtenir 0,007. Vénus : 10 10 6 ; Mars : 220 10 ; Terre : 1, 10 8. Parmi ces trois planètes, je cherche celle qui est la plus éloignée du soleil? Je justifie. Méthode 1 : J écris les nombres sous formes d entiers Vénus : 10 10 6 = 10 1 000 000 = 10 000 00 Mars : 2 20 10 = 2 20 100 000 = 22 000 000 Terre : 1, = 1, 100 000 000 = 10 000 000 Or 10 000 000 < 10 000 000 < 22 000 000 J en déduis que Mars est la planète la plus éloignée du soleil Méthode 2 : J écris tous les nombres sous forme du produit d un entier et de la même puissance de dix Vénus : 10 10 6 Mars : 22 10 6
Terre : 1, = 10 10 6 Or 10 < 10 < 22 J en déduis que Mars est la planète la plus éloignée du soleil Méthode : On écrit les nombres sous forme scientifique Rappel de cours : Tout nombre décimal non nul peut être écrit en notation scientifique, c'est-à-dire sous la forme a 10 n, où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule et où n est un nombre entier relatif. a est appelé mantisse du nombre. Vénus : 1,0 Mars : 2,2 Terre : 1, Or 1,0 < 1, < 2,2 J en déduis que Mars est la planète la plus éloignée du soleil II. Activités Géométriques : ( 12 pts ) (les 2 exercices sont indépendants). Exercice 1 : L unité est le cm. On considère le cercle ( C 1 ) de diamètre [ BC ] et le cercle ( C 2 ) de diamètre [ BD ]. A est un point de ( C 1 ) et la droite ( AB ) coupe le cercle ( C 2 ) au point E. On donne BA = 4 ; BC = et BD = 9. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. 1- Les triangles ABC et EBD sont rectangles. Parmi les propriétés suivantes, j indique la propriété qui permet de démontrer ce résultat, dans cet exercice. Si le carré de la longueur d un côté d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Les bissectrices d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. Données : J ai deux cercles et leurs diamètres. Les points A et E sont situés respectivement sur le cercle (C1) de diamètre [BC] et sur le cercle (C2) de diamètre [BD] Donc j utilise la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.
2- Dans le triangle ABC rectangle en A, je calcule AC. Revoir les propriétés à la fin de votre livre pour le calcul de la longueur d un segment livre p 20 et 21 propriétés p 6 à p 0 Le triangle BAC est rectangle en A et AB = 4 cm et BC = cm D après la propriété de Pythagore : BC² = AB² + AC² Donc AC² = BC² - BA² AC² = ² - 4² AC² = 2 16 AC² = 16 donc AC = 4 cm - En vous aidant du résultat donné à la question 1,je montre que les droites ( AC ) et ( ED ) sont parallèles. Revoir les propriétés à la fin de votre livre pour démontrer que des droites sont parallèles livre p 246 et 247 propriétés p7 à p 14 D après la question 1, les triangles ABC et BED sont respectivement rectangles en A et E Donc : (AB) est perpendiculaires à (AC) (AE) est perpendiculaires à (ED) Et les points B, A et E sont alignés Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles Donc les droites (AC) et (ED) sont parallèles. 4- Je montre que BE = 7,2. Revoir les propriétés à la fin de votre livre pour le calcul de la longueur d un segment Dans les données : on a deux droites(ae) et (CD) sécantes en B deux droites parallèles (AC) et (ED) BA = 4 cm ; BC = cm ; BD = 9 cm et on a calculé AC = 4 cm D après la propriété de Thalès on a : BA BE BC BD AC ED D où : BA BE BC BD ou encore 4 BE 9 Par conséquent BE = 9 4 donc BE = 7,2 cm
Exercice 2 : La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. Voici le pentagone régulier ABCDE. Le point I est le milieu de [AB ]. OA = OB = OC = OD = OE =,7 cm. 1- a) Je cherche la nature du triangle AOB. Le triangle AOB a deux côtés égaux ( OA = OB) d après le codage donc c est un triangle isocèle en O. b) Je montre que la mesure de l angle AO ˆ B est de 72. Revoir les propriétés à la fin de votre livre pour le calcul de la mesure d un angle livre p 22 et 2 propriétés p 1 à p 64 Deux méthodes : On utilise la somme des angles d un triangle Le triangle AOB est isocèle en O donc les angles OÂB et OBA sont égaux à 4 La somme des angles d un triangle est égale à 180 ( Je n ai pas mis de chapeau sur les angles car j ai changé de logiciel ) Donc : AOB = 180 - (OAB + OBA) AOB = 180 ( 4 + 4 ) AOB = 180-108 AOB = 72 Deuxième méthode : On utilise les angles aigus du triangle rectangle OIB Le triangle OIB est rectangle en O Donc ses angles aigus sont complémentaires Or : OBI = 4 donc BOI = 90-4 BOI = 6 Comme le triangle AOB est isocèle en O et que (OI) est sa hauteur donc (OI) est la bissectrice de l angle AOI Donc AOB = 2 BOI AOB = 2 6 AOB = 72 2- Calculer a longueur AB ( arrondir au mm ). Revoir les propriétés à la fin de votre livre pour le calcul de la longueur d un segment livre p 20 et 21 propriétés p 6 à p 0 Le triangle IBO est rectangle en I. On connaît la mesure de l angle OBI = 4 et on connaît OB =,7 cm Donc on va utiliser le cosinus de l angle OBI BI Cos OBI = OB Cos 4 = BI,7 donc BI =,7 cos 4
BI =, Comme le triangle AOB est isocèle en O et que (OI) est sa hauteur donc (OI) est la médiatrice de [AB] Par conséquent I est le milieu de [AB] BA = 2 BI = 2, = 6, BA = 6,7 cm II. Problème: ( 12 pts ) Problème 1 : Achats. Paul se promène en ville au moment des soldes et voit un jeu vidéo au prix de dans le magasin «Faitenvi» et il voit que le jeu était soldé à 0 % et qu il subit sur le prix soldé une baisse de 20 %. Dans le magasin «Toujeu», ce même jeu est au même prix mais est soldé à 0 % et enfin, dans le magasin «Plaitou», ce jeu vaut 8 et est soldé à %. Dans quel magasin Paul va-t-il acheter son jeu s il veut le payer le moins cher possible? Je cherche le prix du jeu dans le magasin «Faitenvi» Montant de la première remise : 0/100 = 0, = 1,9 Prix soldé : 1,9 = 7,1 Montant de la seconde remise : 7,1 20/100 = 7,1 0,2 = 7,42 Prix soldé après la deuxième remise : 7,1 7,42= 29,68 Le jeu coûte 29,68 Je cherche le prix du jeu dans le magasin «Toujeu» Comme le jeu est soldé à 0% il vaut la moitié du prix soit / 2 = 26, Le jeu coûte 26,0 Je cherche le prix du jeu dans le magasin «Plaitou» Montant de la remise : 8 /100 = 8 0, = 1,9 Prix soldé : 8 1,9 = 26,1 Le jeu coûte 26,10 26,10 < 26,0 < 29,68 Le jeu coûte le moins cher dans le magasin «Plaitou» Autre méthode Je cherche le prix du jeu dans le magasin «Faitenvi Comme le jeu est soldé à 0%, je paierait le jeu 70% de son prix donc le pris après la première réduction est 70/100 = 0,7 = 7,10 La réduction est ensuite de 20% donc je paierai 80% du prix
Prix payé après le second rabais : 7,1 80/100 = 7,1 0,8 = 29,68 On peut utiliser cette méthode pour calculer le prix dans le troisième magasin Problème 2 : Géométrie. Dans la figure ci-contre, le dessin n est pas en vraie grandeur. Le triangle ABC est rectangle en A. Le segment [ AB ] a pour longueur 2 cm. Le segment [ AC ] a pour longueur cm. BCDE est un carré. 1- Je trace la figure en vraie grandeur Pour tracer la figure, on utilise ses propriétés. On trace le triangle rectangle ABC puis on construit sur son hypoténuse le carré BCDE sachant qu un carré est un quadrilatère qui a 4 côtés égaux 2- Je calcule l aire de BCDE. L aire du carré est égale à BC² Je calcule BC² dans le triangle ABC rectangle en A sachant que AC = cm et que AB = 2 cm Le triangle ABC est rectangle en A donc d après la propriété de Pythagore on a : AB² + AC² = BC² BC² = 2² + ² BC² = 4 + 9 BC² = 1 L aire du carré BCDE est de 1 cm²