GIN FA 4 0 0 INSTRUMENTATION P Breul OBJECTIFS : coatre les bases des statstques de la mesure af de pouvor d ue part compredre les spécfcatos d u composat et d autre part évaluer avec rgueur les performaces d ue chae de mesure. Etre capable de compredre le suv des solutos d strumetato (étaloage, vérfcato du foctoemet, ). Compredre le foctoemet d ue chaîe d acqusto de mesure, les dfférets sgau ms e œuvre et les prcpales opératos de tratemet de sgau assocés. Compredre les otos d échatlloage et de quatfcato et leur fluece sur la mesure, compredre les formatos du domae fréquetel. Etrecapabledechosrdescapteursetdesupervserleurmseeœuvree focto de l formato souhatée(type, précso, ), de l evroemet, et du système de tratemet de l formato Pour cela, coaître les prcpes physques et les prcpales techologes utlsés das les capteurs GIN FA 4 0 0 INSTRUMENTATION P Breul. Statstques de la mesure. La chaîe d acqusto de mesure et sgau assocés 3. Les capteurs Total : 4 heures Autoome Cours TD TP 4 8 >
Caledrer Mer 0//04 am cours La mesure Jeu ou Ve ou //04 m ou am TP Mesure Ecel Mar 7/0/05 am cours Sgal, acqusto Lu /0/05 am cours capteurs Jeu 5/0/05 m ou am TP* TP sgal, capteurs X Mars 05 ENSMSE, 58 cours Faurel ½ jourée TP* sgal * évalué Cotact & le: Ressources du cours d strumetato: http://campus.emse.fr/course/vew.php?d60 (accès aoyme: GINFA03) pbreul@emse.fr
Evaluato TPs(coef /4) Evaluato sur les «redus» e f de séace d u TP, dépôt sur «Campus» Evaluato Rapport (coef 3/4) Etude d ue soluto d strumetato, s possble das l etreprse., Mse e œuvre des élémets du cours. Objectf, caher des charges tal, Moyes ms e œuvre (capteurs, chaes de mesure et d acqusto), Justfcato métrologque, spécfcatos attedues justfées, Aspect coût Vous devrez proposer u sujet (pour évetuelle valdato ou ajustemet) au plus tard lors de la derère séace de TPs (5-4 mars 05), mas s possble avat Rapport ~0 pages + aees (format électroque) Evetuellemet fcher ecel(calculs, smulatos etc ) Date lmte: 3 ma 05, dépôt sur «Campus» 3
Statstques de la Mesure Mesure Measuremet Icerttude ucertaty Etaloage Calbrato Phlppe Breul, décembre 04 La Mesure Mesure?? Istrumet de mesure, uté de mesure, méthode de mesure Mesurage acto de mesurer (measuremet) «L'objectf d'u mesurage cosste à détermer la valeur du mesurade (measurad), c'est-à-dre la valeur de la gradeur partculère à mesurer» (GUM* 008) «E gééral, le résultat d'u mesurage est seulemet ue appromato ou estmato de la valeur du mesurade et, de ce fat, est seulemet complet lorsqu'l est accompagé par ue epresso de l'certtude de cette estmato» (GUM 008) *Gude to the epresso of Ucertaty Measuremet 4
Métrologe Métrologe scece de la mesure Aspect physque et mathématque Statstques de la mesure: - calcul des certtudes -Etaloage Moyes de mesure: Capteurs Aspect légal Oblgatos lors d ue trasacto commercale Oblgatos lors de la publcato d ue mesure Aspect écoomque Traçablté et fablté Optmsato de la qualté Mesure d ue gradeur: Le mesurage se fat à l'ade d'u strumet de mesure: Par comparaso: e, mètre, rapporteur Plus gééralemet, l strumet de mesure va servr à trasformer u phéomèe physque e u autre plus faclemet mesurable par l termédare d u capteur -- phmètre: gradeur chmque -> gradeur électrque --boussole: gradeur magétque -> gradeur géométrque (agle) Cf cours suvat 5
Métrologe, chae de mesure NIST (US), PTB (D), NPL (UK) CGPM: tous les 4 as Etalos Laboratore Natoal d Essas Comte Fraças d accrédtato Utés de Mesure: Système Iteratoal Système Iteratoal (SI): basé sur 7 gradeurs étalo 6
Utés de Mesure: Système Iteratoal Système Iteratoal (SI): 960, basé sur le système métrque (CGS pus MKSA) Utés de Mesure Autres utés autorsées: -Composées à partr des utés prmares: joule (J)kg.m.s- -Autorsées car sgfcato physque uverselle: C, heure, ev -Multples pussaces de 0 0-8 atto a 7
Vocabulare () Le vocabulare est ormalsé par le BIPM: VIM: Vocabulare Iteratoal de Métrologe Erreur absolue: dfférece etre la valeur réelle et la mesure Erreur relatve: erreur / mesure Erreur systématque: erreur de valeur moyee o ulle Erreur aléatore: erreur o prévsble, de valeur moyee ulle. Eacttude de mesure: Etrotesse de l accord etre UNE valeur mesurée et la valeur vrae 5 Vocabulare () Justesse de mesure: Etrotesse de l accord etre la moyee d u grad ombre de valeurs mesurées et la valeur vrae Sesblté d u SDM*: dy/d pour doé (mesurade, yvaleur foure par le SDS) E, capteur de presso: mv/hpa Résoluto d u SDM*: plus pette varato du mesurade détectable. Icerttude: «Paramètre o égatf qu caractérse la dsperso des valeurs attrbuées à u mesurade à partr des formatos utlsées» Icerttude relatve: certtude/ mesure 6 * Système de mesure 8
Vocabulare (3) No léarté: dévato mamale par rapport à la drote appromat la répose Offset d u SDM*: valeur du sgal de sorte quad le mesurade est à 0 «Slew rate»: vtesse mamale de varato du sgal de sorte sas dstorso Temps de répose: «à X%»: Temps ou bout duquel, e répose à u «échelo» de gradeur à mesurer, le sgal a attedx% de sa valeur asymptotque (typquemet 95%) Hysteress d u SDM*: apttude d u SDM dot le sgal de sorte à l état statoare e déped pas que du mesurade mas auss de l hstore des sgau atéreurs 7 * Système de mesure Vocabulare (4) Dérve: Lete varato du sgal de sorte e focto du temps ou de la température, à etrée costate Lmte de détecto d u SDM*: plus pette valeur o ulle mesurable pour ue certae probablté d erreur sur le fat que la valeur vrae est ulle ou o MTBF: Mea Tme Betwee Falure Répétablté: Etrotesse de l accord etre les valeurs obteues par des mesurages répétés das les mêmes codtos. Reproductblté: Etrotesse de l accord etre les valeurs obteues par des mesurages répétés e fasat varer certaes codtos de mesure. * Système de mesure 8 9
Quelques rappels sur l'erreur et l'certtude Mesure d ue varable de valeur réelle R : Erreur: varable ε R - R R E() (espérace de ) Epectato + ε + ε B A Erreur systématque: ε B Systematc error Erreur accdetelle ou aléatore: ε A Radom or accdetal error 9 Erreur systématque ou aléatore? Par défto, l'erreur aléatore est mprévsble (et doc o corrgeable) et de valeur moyee ulle Le caractère systématque ou aléatore de l'erreur peut dépedre du cotete 0 0
Erreur systématque ou aléatore? E: mesure d'ue masse à l'ade d'ue balace umérque: Erreur: ε ε a +ε T +ε o +ε u +ε s ε a : Erreur aléatore o eplquée ε T : Dérve e température ε o : Erreur "opérateur" ε u : Erreur propre à l'apparel ε s : Erreur systématque de la sére (!) Codtos des epéreces ε a ε T ε o ε u ε s opérateur le même jour, apparel Idem + étalé sur pluseurs jours Idem + pluseurs opérateurs Idem + tests sur u lot d'apparels Caractérsato de la mesure (et de l erreur aléatore): Moyee estmée de mesures d'ue même valeur R Estmated mea lm( ) R E( R valeur réelle (lo des grads ombres) Law of large umbers (S erreur aléatore) ) (espérace de ) Epectato
Ecart-type de l'erreur aléatore: Varace (de l erreur aléatore) : Varace (of radom error) Stadard devato of radom error V E ( ) ) R Ecart-type de l'erreur aléatore σ V σ ( ) ) ( R R ) Valeur réelle, À pror coue Ecart-type estmé de l'erreur aléatore s ( ) E(s) σ Ecart type relatf : σ σ r 3 Dstrbutos d erreurs Dstrbutos of errors Courbe de probablté de l'erreur P(ε) ε Gaussee ou ormale*, Uforme, Possoee, Etc 0 4 * La plus répadue, grâce au Théorème cetral lmte Gaussa or ormal*, Uform, Possoa,
La dstrbuto Gaussee (ou ormale) 0.5 0.4 0.3 3σ: 99.7% des valeurs σ: 95.5% des valeurs σ: 68.3% des valeurs F( ) σ π e σ 0. 0. 0 3σ σ σ 0 σ σ 3σ Ecart à la mo yee - σ écart-type [ X X t.σ ] P proba < R -LOI.STUDENT(t;N;) N b échatllos utlsés pour le calcul de s Tableau des coeffcets «t» de Studet P N5 N0 N0 N> 00 50% 0,73 σ 0,70 σ 0,69 σ 0,67 σ 68% σ 70%,6 σ,09 σ,06 σ,04 σ 87%,5 σ 90%,0 σ,8 σ,73 σ,65 σ 95%,57 σ,3 σ,09 σ,96 σ 99% 4,03 σ 3,7 σ,85 σ,56 σ 99,7% 3 σ 99,9% 6,87 σ 4,59 σ 3,85 σ 3,8 σ 99,999 9998% 6 σ 5 Théorème cetral lmte Cetral Lmt Theorem S ue varable est la résultate d'u grad ombre de causes, pettes, à effet addtf, cette varable ted vers ue lo ormale. C'est à cause de cette terprétato que la lo ormale est très souvet employée comme modèle (malheureusemet pas toujours à raso). Demo 6 3
Dstrbuto d erreur uforme Erreur équprobable sur tout u tervalle Peu courat, sauf erreur de dscrétsato: 5δ 6δ 7δ σ d δ δ δ d δ 3 0.9δ 7 Dstrbuto de Posso E: comptage d évèemets o smultaés (déstégrato radoactve, queue ) Moyee: µ Varace: µ demo 8 4
Les tests d hypothèse Sgfcace tests Tests d ue hypothèse («ullhypothess», e: échatllos ot même moyee) à partr d u ombre f d échatllos, etachés d erreur aléatore. Le résultat du test est pas absolu mas est ue probablté qu est ue ade à la valdato ou o de l hypothèse tale, l e costtue doc jamas ue preuve. -sample T-test Tests paramétrques (hypothèse sur dstrbuto + ou écessare) Comp. Échatllo à valeur de référece, tervalle de coface -samples T-test Comparaso de échatllos F-Test ANOVA Ch-Square test Grubbs test Comparaso de la varace de échatllos Aalyse de varace: aalyse des varaces de K échatllos, comparaso des moyees Utlsato otammet pour vérfer ue hypothèse de dstrbuto Détecto des valeurs aberrates («outlers») Tests o paramétrques (pas d hypothèse sur dstrbuto) Test Wlcoo.M.W Comparaso de échatllos, méthode de rag 9 E rouge: tests décrts + lo, so vor bblo ou google oe-sample T-test «smplfé» Comparasode la mesure Md u échatllo à ue valeur de référece R, o suppose que la dstrbuto est ormale. Hypothèses: «M est dfféret de R»? «M est probablemet dfféret de R»? «la dfférece etre la valeur de la mesure M et ue valeur de référece R est pas due qu au erreurs aléatores» Cette hypothèse de dfférece H est reteue s sa probablté est supéreure à 95% (par eemple) (ou s la probablté d égalté est féreure à 5% (H) mesure: M, écart-type estmé de la mesure cou: s, dstr. gaussee Μ R Hypothèse reteue s: M R t. s (tcoef de Studet) 95% -4s -3s -s s 0 s s 3s 4s H: 95% (ou H: 5%) s s est calculable «précsémet»: H: 99% (ou H: %) t.96.56 3.8 H: 99.9% (ou H: 0.%) 30 5
oe-sample T-test «offcel» Comparaso de la moyeed u échatllo à ue valeur de référece R, o suppose que la dstrbuto est ormale*. Hypothèse: «la dfférece etre la moyeede mesures et ue valeur de référece est pas due qu au erreurs aléatores» Cette hypothèse est reteue s sa probablté est supéreure à 95% (par eemple) mesures: moyee µ, écart-type estmé de chaque mesure: s O motre (+ lo ) que l écart-type estmé de la moyee est: s ' s 95% µ R -4s -3s -s s 0 s s 3s 4s H: 95% (ou H: 5%) Hypothèse reteue s: µ R t s s est calculable «précsémet»: H: 99% (ou H: %) t.96.56 3.8 s (tcoefde Studet) H: 99.9% (ou H: 0.%) 3 Hypothèse: «la dfférece etre la moyee de pesages d ue masse étalo et la valeur de cette masse est pas due qu au erreurs aléatores» Il este u «bas»? µ R t. s oe-sample T-test, eemple R t µ s.04946993.97309 Etalo R (kg).0000 3 0.99865798 4.004073 5.465559 6 0.97054733 7.489436 8.08005 moyee µ:.046499 9.03044 Ecart-type s: 0.05367 0 0.980478.0509467 µ R 0.046.0659 3.060840 s 4.049646 t. 0.038937 (t) 5.0348334 (0) 6.0347570 7 0.9830667 8.098738 9 0.97490694 0.0769703.. 0.9 0.8 3 5 7 9 3 5 7 9 6
two-sample T-test Comparaso de moyees de échatllos, o suppose que la dstrbuto est ormale. Hypothèse: «la dfférece etre les moyees est pas due qu au erreurs aléatores» Cette hypothèse est reteue s sa probablté est supéreure à 95% (par eemple) Ech Ech Nb mesures Ecart type estmé s s Comparaso de µ et µ : Peut se rameer à u -sample-test e comparat µ -µ à 0 Moyee estmée µ µ O pred alors, comme écarttype de µ -µ : s s s + (démotré das parte «los de propagato de l erreur») Hypothèse reteue s: µ µ t.s s s µ µ t + Et le ombre de degrés de lberté est e ere appro: + - 33 Hypothèse: «la dfférece etre les moyees de pesages d ue même masse par opérateurs est pas due qu au erreurs aléatores» Il este u «basetre les opérateurs»? s s µ µ t. + two-sample T-test: eemple op op op op 3.5938554 3.49673556 moyee µ 3.54463973 3.5555443 3.588068 3.5048358 écart-type s 0.045007 0.048097 3.5337004 3.47038 3.5760094 3.553306 µ-µ 0.008747 3.448675 3.575954 3.504893 3.557768 3.6088093 3.6969549 s s 3.5397667 3.6648778 s + 0.03936 3.5579746 3.547006 3.555333 3.54598904 : 43 t 3.4979865 3.487403 3.4970699 3.5640940 s.t: 0.07878 3.5677949 3.566487 3.5978434 3.7 3.5456497 3.5403574 3.65 3.5038855 3.57799787 3.6 3.6557703 3.490037 3.55 3.55839436 3.5776739 3.536373 3.66376 3.45 3.579694 3.50544464 3.4 3.5639763 3.35 3.3 3.606554 3.5637678 3.565033 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 3.5838453 3.509035 7
Itervalle de coface L'tervalle de coface à p (95%) d ue mesure est u tervalle de valeurs qu a ue probablté cetrée p (95%) de coter la vrae valeur R du paramètre estmé. [ α, + β ] α et β certtude à p (95%) ( )/ P( < α) P( > + β ) p R R Cofdece terval α β La calcul de α et β e focto de la probablté P (gééralemet 95%) déped de la lo de dstrbuto de l'erreur 0 Dstrbuto symétrque: 0 α β αβ Valeur moyee de la mesure la plus probable Dstrbuto ormale 35 Itervalle de coface, cas de la dstrbuto ormale: L'tervalle de coface à p (95%) d ue mesure est u tervalle de valeurs qu a ue probablté cetrée p (95%) de coter la vrae valeur R du paramètre estmé. [ t. s, + t. s] 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 3σ: 99.7% des mesures σ: 95.5% des mesures [ α, +α ] σ: 68.3% des mesures 3σ σ σ 0 σ σ 3σ Ecart à la mo yee - σ écart-type Coefs de Studet t tervalle de cof. 90.0% 95.0% 98.0% 99.0% 99.9% p 0. 0.05 0.0 0.0 0.00 deg lb 6.3.7 3.8 63.66 636.6.9 4.30 6.96 9.9 3.60 3.35 3.8 4.54 5.84.9 4.3.78 3.75 4.60 8.6 5.0.57 3.36 4.03 6.87 6.94.45 3.4 3.7 5.96 7.89.36 3.00 3.50 5.4 8.86.3.90 3.36 5.04 Nombre de pots - pour le calcul de σ 9.83.6.8 3.5 4.78 0.8.3.76 3.7 4.59.78.8.68 3.05 4.3 4.76.4.6.98 4.4 7.74..57.90 3.97 0.7.09.53.85 3.85 30.70.04.46.75 3.65 40.68.0.4.70 3.55 50.68.0.40.68 3.50 00.66.98.36.63 3.39 00000.64.96.33.58 3.9 36 8
Écrture d ue mesure (dstrbuto ormale) Le résultat d ue mesure dot comporter 4 élémets : E : C NO 5.3 ppb ±.7 ppb (à 95% ou k) 3 4 : Valeur umérque avec u ombre correct de décmales :Uté 3:Icerttude élarget.σ 4: Le coeffcet d élargssemet t utlsé : Numercal value wth a correct umber of decmals : Ut 3: epaded ucertaty t.s 4: Coverage factor t Probablté e % pour que la mesure sot das l tervalle [ ts, + ts] Lo ormale: 95% 37 Évaluato de l certtude : Évaluato par aalyse statstque de séres de mesures («type A») (gééralemet mesure, mas auss smulato) Évaluato par calcul de l effet sur l certtude fale des dfféretes sources d certtude («type B»: «par tout autre moye»!), elles même évaluées : par ue méthode de type A, par des doées costructeur, d étaloage etc Il est alors écessare de coaître les los de propagato de l erreur 38 9
Évaluato par aalyse statstque de séres de mesures Eemple: évaluato d ue méthode de mesure d ue résstace: E R? V mesuré V R0 E R + R 0 R R 0 E V V Mesure et calcul avec u grad ombre N de résstaces «étalo» (R cou) R 0 Calcul de l écart-type σ (e fat, écart-type estmé s ) Icerttude à 95% t.σ, # σ (s N>5 ) Ne tet pas compte: -De l certtude du Vmètre (V) -Des certtudes sur E, R 0, les résstaces étalo 39 Évaluato par calcul de l effet sur l certtude fale des dfféretes sources d certtude Eemple: évaluato d ue méthode de mesure d ue résstace: E R? R R 0 E V V V mesuré σ(r 0 ), σ(e), σ(v) cous R 0 Lo de propagato des écart-types combed stadard ucertaty R0 R0E 0 ) + σ ( E) + σ ( ) E U σ ( R) σ ( R V U V V Eplcato 40 0
Quelle est la pesée la plus précse? 4
Los de propagato des certtudes des erreurs aléatores dépedates () combed stadard ucertaty for radom & depedat errors Eemple de la somme: sa+b Rappel: les erreurs s ajoutet algébrquemet: e a e s e a +e b e b Et leur écart-type? a b a+b.8.5 4.33 6.00.6.7 4.3 5.00.64.68 4.3 4.00 3.45.0 5.48 3.00 3.3.90 5.3.00.79.08 4.88 3.7.55 4.7.00.70.09 4.79 0.00 3.0.86 4.96 3.40.56 4.95 moyee 3.00.80 4.80 4.80 somme moyees varace 0. 0.05 0.6 0.6 somme varaces ecartype 0.33 0.3 0.39 0.55 somme écart-types e s 3 4 5 6 7 8 9 0 a b a+b Los de propagato des certtudes des erreurs aléatores dépedates () combed stadard ucertaty for radom & depedat errors Eemple de la somme: sa+b Erreur aléatore: σ ( s) σ( a) + σ( b) Les écart-types e s ajoutet pas!! Var ( a + b) Var( a) + Var( b) Les varaces s!! ( σ ( a + b) ) σ ( a) + σ ( b ) ( a+ b) σ( a) σ( b) σ + Les écart-types s ajoutet quadratquemet
Écart type de l'erreur aléatore de la somme de varables Eemple de la somme: sa+b (sute) Varace: ( a) ( a a ) Var( s) b Var Var( b) ( ) b b ( ) ( a a+ b ) ( a a ) + ( b b ) + ( a a )( b b ) Var ( a + b) Var( a) + Var(b) + Cov( a, b) Les varaces s ajoutet, Et les écarts-types? 0 s erreurs dépedates ( a+ b) σ( a) σ( b) σ + Somme quadratque des écart-types 45 Quelle est la pesée la plus précse? 3
4 Rappel: lo de propagato d ue «pette» erreur f y ) (,..),.. ( f y Focto quelcoque: () f y d df f f + +. ) ( ) ( d df y. Cas partculer, produt: / 3.. d a b c y d d c c b b a a y y + + / 3 Lo de propagato de la varace et de l écart-type f y ) (,..),.. ( f y Focto quelcoque: La varace est addtve, doc s les varables sot dépedates: ) ( ) ( V f y V ) ( ) ( f y σ σ Ecart type: V()(σ()) ), ( ) ( ) ( j j j f f f y Cov + + σ σ Cas gééral (varables o dépedates):!
Los de propagato des certtudes des erreurs aléatores () Focto quelcoque: y f (,..,..) Icerttude pour ue dst. ormale: I(y)t.σ(y), gééralemet, t~ I f ( y) I ( ) (rappel: varables dépedates) 49 Los de propagato des certtudes des erreurs aléatores dépedates () Combaso léare: y a σ ( y) ( a σ ( )) E: somme ou dfférece: y a + b c σ σ σ + σ ( y) ( a) + ( b) ( c ) Applcato fodametale e strumetato: La moyee 50 5
Los de propagato des certtudes des erreurs aléatores dépedates (3) Applcato fodametale e strumetato: La moyee Théorème de la moyee: σ ( ) σ ( ) σ ( ) S ue sére de mesures a ue erreur aléatore et dépedate d écart-type σ, alors la moyee de de ces mesures a ue erreur aléatore dot l écarttype est dvsé par race carrée de. Theorem of the mea Lo "des grads ombres" Demo 5 Ec Los de propagato des certtudes des erreurs aléatores (4) Produts et pussaces: Proprété téressate des écart-types relatfs: y A α σ () σ ( y) σ ( ) α y Somme quadratque des écart-types relatfs Eemple: σ( y) y a. b. c y / d σ( a) a 3 σ( b) + b σ( c) + 3 c σ( d) + / d 5 6
Los de propagato des erreurs aléatores: eemple de la drote d étaloage Etaloage Icerttude relatve sur débt D? Débt: Da.V V teso foure par capteur 0 D 0 L/h a0.8 L/h/mV * ±0.0 (t) Ic. Sur V : 0.mV (t) I( D) σ ( D) D D σ ( a) a σ ( V) + V Mesure des fables valeurs peu précse! σ ( a) aσ ( V ) + a D I( a) a ai( V ) + D * a verse de la sesblté 53 Calcul de l certtude par smulato de l erreur aléatore ou de Mote-Carlo E: yf(, ), et ot des erreurs aléatores (pas forcemet dépedates) caractérsées par leur écart-type s et s Smuler u certa ombre d epéreces avec les mêmes valeurs et + erreur aléatore (trages ) yf( +ε, +ε ) N fos Les ε sot calculés à l ade d u géérateur de ombre aléatores à dstrbuto adéquate (gééralemet ormale*) Calcul de l écart type des y 7
Calcul de l certtude par smulato de l erreur aléatore, eemple ε Trage aléatore ormal: L(Rd) *cos( πrd' ) Da.V 0 D 0 L/h a0.8 L/h/mV ±0.0 (t) Ic. Sur V 0.mV (t) moyee des D 5.00 Dma 0.0000 Débt: 5.0000 E Type des D 0.056 a 0.8000 teso V: 6.500 Icerttude 0.05 I(a) 0.000 I(V) 0.000 N trage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V Da.V -0.000 0.053 0.7990 6.753 5.04 0.00-0.058 0.80 6.98 4.9654 3 0.003 0.0436 0.803 6.936 5.055 4-0.0098 0.006 0.790 6.56 4.9407 5 0.00 0.0867 + 0.80 6.3367 5.084 6-0.0064-0.00 0.7936 6.98 4.9437 7 0.007-0.080 0.807 6.680 4.9450 8-0.0065 0.0444 0.7935 6.944 4.9949 9 0.0009 0.0757 0.8009 6.357 5.0663 0-0.0049-0.038 0.795 6.8 4.9439 0.030 0.009 0.830 6.609 5.090 0.0004 0.0084 0.8004 6.584 5.009 3-0.0046 0.003 0.7954 6.53 4.9737 4-0.004 0.049 0.7976 6.749 5.0049 5 0.0047 0.03 0.8047 6.8 5.0543 6-0.00-0.05 0.7979 6.49 4.9668 l certtude due à la dscrétsato : Dscretzato ucertaty La dscrétsato tervet lorsque les valeurs fales costtuet u esemble dscret. Résoluto δ du système d acqusto, à e pas cofodre avec l certtude, ou la sesblté. 0. V Teso affchée 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.0 0.0 0 0 0.05 0. δ Teso réelle 56 8
l certtude due à la dscrétsato : () 5δ 6δ 7δ Erreur ma: δ/ Ecart type de l erreur due à la dscrétsato: σ d δ 3 Ecart type de l erreur totale: ( X ) σ ( ) σ d σ + 57 Le «Dtherg» demo La méthode du moyeage peut rédure auss l erreur de dscrétsato ( quatfcato): Pas de «brut», pas de moyeage Pas de «brut», moyee 50 sgau «brut», pas de moyeage «brut», moyee 50 sgau O peut gager bt de à codto que le sgal avat résoluto chaque fos que umérsato cotee u brut l o multple par 4 la (aléatore et dépedat) de valeur fréquece effcace supéreure à la résoluto d échatlloage tale La présece d erreur aléatore permet c d amélorer la «précso» de la mesure!!! 58 9
l certtude due à la dscrétsato : (3) les décmales sgfcatves Ecrture d u ombre avec u ombre de chffres f Erreur de dscrétsato Pour ue mesure, l écart type de l erreur trodute dot être pett devat celu de l erreur de mesure tale Mas les systèmes umérques peuvet doer beaucoup de chffres sgfcatfs E: mesure 438.65987 Écart-type mesure 0.55 (sot 0.5 % e relatf) Dot-o écrre: 438.65987? 438.65? 438? 59 l certtude due à la dscrétsato : (3) les décmales sgfcatves: eemple E: mesure 438.65987 Écart-type mesure σ() 0.55 (sot 0.5 % e relatf) Mesure affchée résoluto 438.65987 0.00000 438.7 0.0 438.3 438 440 0. 0 E.T. erreur dscrétsato σ d δ 3 E.T. erreur fale σ σ + σ ( X ) ( ) d % d erreur due à la dscrétsato.9 0-7 0.55 < 0-3 %.9 0-3 0.550008 0-3 % 0.09 0.5506 0.4 % 0.9 0.6 3 %.89.94 434 % O peut chosr la résoluto mmédatemet plus pette que l écart-type de la mesure. 60 L écart-type (ou l certtude) affché e dot pas avor plus de chffres sgfcatfs. 30
Capablté d u système de mesure Vérfcato de la tolérace: Va dépedre de la tolérace désrée et du coût dela mesure Capablté adéquato etre l certtude de la méthode de mesure et l certtude globale de la mesure désrée Tolérace, capablté d u système de mesure -SL T +SL TTolérace Ucerttude CapabltéT/U Mesure moyee «certaes ormes»: T/U8 Dstrb. des erreurs de fabrcato Noto de rsque: -rsque «clet» (à rejeter mas reteue) -rsque «fabrcat» (à reter mas rejetée) Pèce à reter? T Pèce à rejeter? Val. réelle 3
Lmte de détecto plus pette valeur o ulle mesurable pour ue certae probablté d erreur sur le fat que la valeur vrae est ulle ou o 80 70 60 50 40 30 0 0 sgal théorque sgal réel seul de décso erreur type erreur type 0-0 8-0 36 seul de decso type type >0 b erreurs 9 % boes décsos: 95 écart type brut aalyseur: Nveau sgal -0 0 0 40 60 80 S dstr. Normale et probablté de 95%: LDD3.3σ O pred souvet: LDD3σ Etaloage d u système de mesure Etaloage:«Opérato cosstat à établr ue relato etre les valeurs de la gradeur dquées par u apparel de mesure et les valeurs correspodates de la gradeur réalsées par des étalos» (VIM) C pf 95 90 85 80 75 70 65 60 0 0 40 60 80 00 H% 3
Etaloage: Créato d u modèle de comportemet Calbrato: Creato of a behavor model Varables X mesurées (capteurs) Varables Y mesurées (aalyses ) ETALONNAGE Créato modèle de comportemet modèle ou Prédcteur F YF(X) Varables X mesurées (capteurs) tesos Modèle PREDICTION Calcul de prédcto Estmato des varables Y 65 Étaloage - calbrage teso Étaloage (calbrato!) calcul complet du modèle, écesste u «grad» ombre d epéreces. presso teso presso Calbrage (gaugg) «recalage» du modèle, écesste epérece («zéro»), vore («zéro + ga»). Correcto varatos de fabrcato Correcto dérve Correcto chagemet codtos epérmetales (température, tarage d ue balace ) Etc S le modèle est pas léare, le calbrage e peut corrger que de fables varatos 66 33
Le coût de l étaloage - calbrage Problème de la portablté du modèle E «use»: Performace crossate Étaloage par modèle de coassace Étaloage modèle de coas. + calbrage e. Étaloage e. Étaloage mod. de coas. + calbrage tous Étaloage e + calbrage tous Étaloage tous Coût crossat 67 3:8 Méthode des modres carrés : Les modres carrés The least Squares O veut modélser: Y F(X), e fat, à partr des epéreces, o a: Y F(X) + E où E «résdu» ou erreur ( j j j ) E Y F( X ) y f (,..., ) mmal O utlse gééralemet la dstace Eucldee: «mmale», j ( y j f ) j k (,..., ) 68 34
La régresso léare Lear regresso Moovarable (yf()) + hypothèse léare (ya+b) cas: Y Régresso de y/: y a + b + ε y X Y Mmsatos des erreurs sur Y Régresso de /y: ˆ a' y + b' + ε yˆ b' a' a' Mmsato des erreurs sur X X Atteto, ue régresso de y/ avec des erreurs sur (ou l verse), etraîe ue erreur systématque sur la pete 69 La régresso léare: y/ ou /y? Atteto, ue régresso de y/ avec des erreurs sur (ou l verse), etraîe ue erreur systématque sur la pete Régresso Y/X Régresso X/Y y.0036-0.0354 y 0.6669 +.644 0 0 8 8 6 6 4 4 0-0 4 6 8 0-0 - 0 4 6 8 0 - Dfférece églgeable das ue majorté de cas 70 35
Caractérstques de la régresso y/: Estmatos de a et b: ( )(y y) Cov(, y) a ( ) Var( ) b y a Y Mmsatos des erreurs sur Y y ˆ a + b Ecart type de la pete: s a ( ) s y / avec Ecart type de l ordoée à l orge: s y/ (y ŷ ) sb s y / ( ) 7 Mesure de la qualté d'ajustemet d'ue régresso léare: Var(Y) Var( ax+b) + Var(ε) formato totale formato modélsée + formato résduelle Y Coef. De détermato: R d Var(fo modélsée) Var(fo totale) Coef. de corrélato: R d R c R c Cov( X, Y ) σ ( X ) σ ( Y ) 7 36
Le coef. de corrélato, utlsato: 35 30 5 0 5 0 R0.75 R0.8 5 0 0 4 6 8 0 5 0 5 R0.8 R0.75 0 5 0 0 4 6 8 0 Le cœffcet de corrélato e sert à quatfer que les relatos léares etre X et Yvarables 600 500 400 300 00 00 0-00 R0.8 R0.75 0 5 0 5 73 Régresso léare: eame des résdus resduals teso (mv) teso (mv) 900 Valeurs mesurées 800 700 600 y 0.7063-39.57 500 400 300 00 00 0-00 0 00 400 600 800 000 00 400 courat (ma) Graphe des résdus: mesure - droteregr. 80 60 40 0 0-0 0 00 400 600 800 000 00 400-40 -60-80 -00 courat (ma) Résdu formato o modélsée, déalemet erreur aléatore R y -(a. +b) Détecto pots aberrats (outlers) A élmer après vérfcato et avec précautos Vérfcato léarté A corrger évetuellemet avec régresso o léare 74 37
Autres méthodes de modélsato comportemetale: Multvarables: Multvarable léare Regresso multvarable, aalyse composates prcpales Modres carrés partels (PLS) Moovarable o léare Polyomal, lo pussace, focto quelcoque 75 Régresso o léare: régresso polyomale Permet de modélser la plupart des problèmes peu o léares E: courbe de tedace d'ecel: 0 8 6 4 0 0 3 4 5 76 38
Bblo & les utles Bouqus: "Statstcs for aalytcal Chemstry" 3 rd ed. J.C. Mller ad J.N. Mller Joh Wley & Sos, 998. "Multvarate Statstcal Methods, A Prmer" B.F.J. Moley, Chapma & Hall 986. "Modélsato et estmato des erreurs de mesure", M Neully, CETAMA, Lavoser, Pars 993. Stes WWW: http://www.emse.fr/%7epbreul/capmes/de.html:eercces sous Ecel (TP du 0/) http://physcs.st.gov/cuu/ucertaty/de.html: ecellet ste smple et succct mas de référece sur la calcul des certtudes, ce documet s'e est beaucoup spré. U cours plus complet de statstques est dspoble à : http://www.tl.st.gov/dv898/hadbook/ http://erc.uv-lyo.fr/~rcco/cours/supports_data_mg.html: Cours très complet e Fraças, avec eemples et logcels http://www.agro-motpeller.fr/cam-lr/statet/cours.htm: Cours e Fraças sur les techques de la statstque http://fr.freestatstcs.fo/de.php: Collecto de les et surtout de Freewares sur les stats http://my.eecpc.com/~helberg/statstcs.html: même chose http://www.math-fo.uv-pars5.fr/smel/smulatos/cadre_smulatos.html: cours, artcles eemples et surtout "applets" sur les stats :http://www.deltamucosel.fr/publcatos/publcatos-metrologe-geerale.asp#: Deltamu PME de métrologe offrat de ombreuses ressources http://www.asqualab.com/documets/qualte/metrologe/9-utes_pfometrques.pdf: Norme pfométrque 77 La orme AFNOR la plus utlsée: 78/6 http://www.asqualab.com/documets/qualte/metrologe/9-utes_pfometrques.pdf PDF 39