Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS Exercice 5 points. n N, u n = n n( n + = n ) n( + = n ) n + n Or par somme, on a lim n = et lim + n =. Ainsi par quotient, lim u n = réponse A. x ] ; + [, f 3x + 6x + 3 (x) = x 3 + 3x + 3x + f (x) = 0 3x + 6x + 3 = 0 et x > 3(x + ) = 0 et x > x = Donc réponse A (réponse C fausse) de plus x >, f (x) 0 donc réponse D (réponse B fausse) 3. g est une fonction polynôme donc g est déie et dérivable sur R et x R, g (x) = 3 (x ) = 6(x ) de plus g (x) = (x ) = 4x 4x = 0 = 6 + 6 = 3 > 0 donc g (x) = admet deux solutions distinctes donc la réponse A est fausse. g (x) = 0 (x ) = 0 x = donc réponse B. x R, g (x) 0 donc réponse D et la réponse C est fausse (pour a < 0). 4. h est une fonction polynôme donc h est déie et dérivable sur R et x R, h (x) = 3 (x 5) = 3(x 5) de plus h (4) = 3, h (5) = 0 et h (6) = 3 donc T 5 et T 6 n ont pas le même coefficient directeur donc réponse B et T 4 et T 6 ont le même coefficient directeur donc réponse A fausse. Les abscisses des points d intersection de (d) et C h vérifient h(x) = 0x 5. En développant, (x 5) 3 = x 3 5x + 75x 5. De plus, x 3 5x + 75x 5 = 0x 5 x 3 5x + 65x = 0 x(x 5x + 65) = 0 x = 0 (car x 5x+65 < 0). Donc il existe un unique point d intersection. Donc réponse D (et réponse C fausse) 5. Réponse B 6. Réponses B et C
Exercice Bilan : Questions 3 4 5 6 Réponses A A et D B et D B et D B B et C 3 points Les points I et J sont dans le plan (ABD) (car I [AB] et J [AD]). Ainsi les droites (IJ) et (BD) sont coplanaires. Comme elles ne sont pas parallèles, elles sont sécantes en un point L. Les points K et L sont dans le plan (BCD) (car L (BD)). Ainsi les droites (KL) et (BC) sont coplanaires. Comme elles ne sont pas parallèles, elles sont sécantes en un point M. De même, les droites (KL) et (CD) sont coplanaires. Comme elles ne sont pas parallèles, elles sont sécantes en un point N. Ainsi il ne reste plus qu à construire la section demandée : [IM] est sur la face [ABC] [MN] est sur la face [BCD] [NJ] est sur la face [ACD] [IJ] est sur la face [ABD] Exercice 3 Comme q > alors il existe un réel a strictement positif tel que q = + a. On a donc, pour tout entier naturel n, q n = ( + a) n. 3 points D après l inégalité de Bernoulli, pour tout entier naturel n, ( + a) n + na donc q n + na. Or, comme a > 0 alors lim ( + na) = + donc, par comparaison, lim qn = +.
Exercice 4 0 points Partie A. Cf annexe On peut conjecturer que la suite (u n ) est décroissante et convergente vers un nombre réel environ égal à, 4 (avec la précision possible du graphique). f est déie et dérivable sur ]0; + [ comme somme de fonctions (polynôme et rationnelle) déies et dérivables sur ]0; + [. Ainsi, pour tout x ]0; + [, f (x) = x = x x. x x x f (x) 0 + 0 + + + 0 + f(x) 3. Montrons par récurrence que pour tout n entier naturel, u n u n+. Pour tout n N, posons la propriété P (n) : «u n u n+». Initialisation u 0 = 3 et u = ( 3 + ) = 3 6. Ainsi u 0 u. Donc P (0) est vraie. Hérédité Soit k N fixé. On suppose que la propriété P (k) est vraie et on veut montrer que P (k + ) est vraie. On a : u k u k+ car P (k) est vraie donc f(u k ) f(u k+ ) f( ) car f est strictement croissante sur [ ; + [ d après Partie A question. d où u k+ u k+. Ainsi P (k + ) est vraie. Conclusion On a donc montré que P (0) est vraie et que la propriété est héréditaire. Ainsi pour tout n entier naturel, P (n) est vraie. Donc pour tout n entier naturel, u n u n+. 4. D après la question précédente, pour tout n entier naturel, u n u n+. Ainsi la suite (u n ) est décroissante. D après la question précédente, pour tout n entier naturel, u n. Ainsi la 3
suite (u n ) est minorée par. La suite (u n ) étant décroissante et minorée, elle est convergente vers un nombre réel l. 5. Par déition de la suite, n N, u n+ = (u n + u n ). Partie B On sait que lim u n = l. En outre, pour tout n entier naturel, u n, donc l. Ainsi l > 0. Par quotient, on obtient Puis par somme on obtient Ainsi, par produit De plus, lim u n+ = l. lim u n = l lim (u n + u n ) = l + l lim (u n + ) = u n (l + l ). Ainsi par unicité de la limite, on obtient l équation l = (l + l ). Or l = (l + l ) l = l l =. Comme l > 0, alors l =. Ainsi lim u n =.. Algorithme permettant de calculer u 6 : variables u : un réel n : un entier début Affecter à u la valeur 3 Affecter à n la valeur 0 tant que n < 6 faire Affecter à u la valeur Affecter à n la valeur n + Afficher la valeur de u Algorithme de calcul de ( u + ) u. Algorithme permettant d afficher tous les termes de u jusqu à u 6 4
variables u : un réel n : un entier début Affecter à u la valeur 3 Affecter à n la valeur 0 tant que n < 6 faire Affecter à u la valeur Affecter à n la valeur n + Afficher la valeur de u Algorithme de calcul de ( u + ) u 3. Exécution de l algorithme à la main jusqu à n = u 3 6 93 3... Partie C n 0... Test 0 < 6 < 6 < 6.... Soit n N, u n+ = (u n+ ) = u n u n + = u n + un Donc n N, u n+ = (u n ) = (u n ). Soit n N, d après la question 3 de la partie A on a : u n c est à dire 0 < car u n > 0 0 (u n ) (u n ) car (u n ) 0 Donc pour tout entier naturel n, u n+ = (u n ) (u n ) 3. Sachant que u 0, en appliquant la question C., on a : Pour n =, u 3 (u ) 0 Pour n = 3, u 4 (u 3 ) 0 4 Pour n = 4, u 5 (u 4 ) 0 8 Pour n = 5, u 6 (u 5 ) 0 6 donc pour n = 6 on a u n 0 5 Remarque : on peut démontrer par récurrence que 5
pour tout n entier naturel, on a : u n 0 n 4. D après la question C 3., à partir du rang n = 6 tous les termes de la suites (u n ) seront égaux à.44356373095 Exercice 5 Bonus. Soit n N, u n u n = n k=n+ k or k [n + ; n] N, k (car la fonction inverse est décroissante sur n ]0; + [) ainsi u n u n = n k=n+ k n k=n+ n = n n =. Supposons par l absurde qu il existe un réel l tel que lim u n = l on a alors lim u n = l et par somme lim u n u n = 0 ce qui est absurde (d après la question.). 3. Remarquons que la suite (u n ) est croissante (en effet soit n N, u n+ u n = n + > 0) Montrons par l absurde que la suite (u n ) n est pas majorée. Supposons qu il existe un réel M tel que la suite (u n ) soit majorée par M. Le suite (u n ) est une suite croissante et majorée donc il existe un réel l tel que lim u n = l ce qui est absurde d après la question. Donc la suite (u n ) n est pas majorée. La suite (u n ) est croissante et non majorée donc lim u n = + 6