3 ème A Contrôle : théorème de Thalès 2009-2010 sujet 1 Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés. Exercice 1 (6 points) T Les points T, O, I sont alignés et les points R, O, E aussi. On donne ET = 2,4 cm ; OT = 6,4 cm ; OR = 7 cm et RI = 3 cm. Calculer, en justifiant, les longueurs OE, OI et ER. E 60 O 60 I R Exercice 2 (5 points) 1) Le triangle ABM est rectangle en A. On donne AB = 3 cm et BM = 5 cm. Démontrer que AM = 4 cm. 2) On donne BC = 4,5 cm et BN = 7,55 cm. Les droites (AM) et (NC) sont-elles parallèles? Exercice 3 (9 points) La figure commencée ci-dessous est à construire sur la copie et à compléter au fur et à mesure des questions. On donne AC = 4,2 cm ; AB = 5,6 cm et BC = 7 cm. D K est le point du segment [BC] tel que CK = 3 cm. La parallèle à la droite (AK) passant par B coupe la droite (AC) en D. 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 2) Calculer CD. 3) Calculer AD ; en déduire que le triangle ADB est un triangle rectangle isocèle. A B 4) Déterminer la mesure de l'angle a DBA. K 5) Démontrer que la mesure de l'angle a KAB est 45. C Que peux-t-on en déduire pour la droite (AK)? 6) La perpendiculaire à (AB) passant par K coupe (AB) en E et la perpendiculaire à (AC) passant par K coupe (AC) en F. Démontrer que le quadrilatère AEKF est un rectangle. 7) Calculer KE et KF. Quelle précision peux-t-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère AEKF?26 1
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 2 Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés. Exercice 1 (6 points) Les points T, L, E sont alignés et les points O, L, I aussi. On donne IE = 1,2 cm ; IL = 3,2 cm ; TL = 3,5 cm et TO = 1,5 cm. Calculer, en justifiant, les longueurs LE, OL et IO. Exercice 2 (9 points) La figure commencée ci-dessous est à construire sur la copie et à compléter au fur et à mesure des questions. On donne AC = 8,75 cm ; AB = 5,25 cm et BC = 7 cm. L est le point du segment [AC] tel que AL = 3,75 cm. La parallèle à la droite (BL) passant par C coupe la droite (AB) en D. 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 2) Calculer AD. 3) Calculer BD ; en déduire que le triangle BCD est un triangle rectangle isocèle. 4) Déterminer la mesure de l'angle a BCD. 5) Démontrer que la mesure de l'angle a LBC est 45. Que peux-t-on en déduire pour la droite (BL)? 6) La perpendiculaire à (BC) passant par L coupe (BC) en E et la perpendiculaire à (AB) passant par L coupe (AB) en F. Démontrer que le quadrilatère BELF est un rectangle. 7) Calculer LE et LF. Quelle précision peux-t-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère BELF?26 Exercice 3 (5 points) 1) Le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 6 cm et BC = 10 cm. Démontrer que AC = 8 cm. 2) On donne CM = 2,56 cm et CN = 3,2 cm. Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles? 2
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 1 Exercice 1 (6 points) T Les points T, O, I sont alignés et les points R, O, E aussi. On donne ET = 2,4 cm ; OT = 6,4 cm ; OR = 7 cm et RI = 3 cm. E 60 O 60 R Calculer, en justifiant, les longueurs OE, OI et ER. I Les angles a ETO et a OIR sont des angles alternes internes de même mesure relatifs aux droites (TE) et (RI) et à la sécante (TI). Les droites (TE) et (RI) sont donc parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles OTE et ORI : OT OI = OE OR = TE RI. Soit : 6,4 OI = OE 7 = 2,4 3 On en déduit d une part : OI 2,4 = 6,4 3 ; soit OI = 6,4 3 2,4 = 8 cm ; et d autre part : OE 3 = 7 2,4 ; soit OE = 7 2,4 3 = 5,6 cm. ER = OE + OR = 5,6 + 7 = 12,6 cm Exercice 2 (5 points) 1) Le triangle ABM est rectangle en A. On donne AB = 3 cm et BM = 5 cm. Démontrer que AM = 4 cm. 2) On donne BC = 4,5 cm et BN = 7,55 cm. Les droites (AM) et (NC) sont-elles parallèles? 1) Le triangle ABM étant rectangle en A, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur AM : BM² = AM² + AB² Soit 5² = AM² + 3² 3
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 1 AM² = 25 9 = 16 AM = 4 cm 2) BC AB = 4,5 BN = 1,5 cm et = 7,55/5 = 1,51 cm 3 BM Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ainsi que les points M, B N, BC AB BN, donc selon BM la contraposée du théorème de Thalès les droites (AM) et (NC) ne sont pas parallèles. Exercice 3 (9 points) La figure commencée ci-dessous est à construire sur la copie et à compléter au fur et à mesure des questions. On donne AC = 4,2 cm ; AB = 5,6 cm et BC = 7 cm. K est le point du segment [BC] tel que CK = 3 cm. La parallèle à la droite (AK) passant par B coupe la droite (AC) en D. 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. D 2) Calculer CD. 3) Calculer AD ; en déduire que le triangle ADB est un triangle rectangle isocèle. A B 4) Déterminer la mesure de l angle a DBA. K 5) Démontrer que la mesure de l'angle a KAB est 45. C Que peux-t-on en déduire pour la droite (AK)? 6) La perpendiculaire à (AB) passant par K coupe (AB) en E et la perpendiculaire à (AC) passant par K coupe (AC) en F. Démontrer que le quadrilatère AEKF est un rectangle. 7) Calculer KE et KF. Quelle précision peux-t-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère AEKF? 1) BC² = 7² = 49 AC² + AB² = 4,2² + 5,6² = 17,64 + 31,36 = 49 On a AC² + AB² = BC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A. 2) Les droites (AK) et (BD) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CAK et CDB : 4
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 1 CA CD = CK CB = AK DB. Soit 4,2 CD = 3 7 D où : CD 3 = 4,2 7 Soit : CD = 9,8 cm 3) AD = CD CA = 9,8 4,2 = 5,6 cm. Le triangle ADB est rectangle en A car a DAB = 180 - a CAB = 90. De plus AD = AB = 5,6 cm. Donc le triangle ADB est rectangle isocèle en A. 4) a DBA = 45 puisque le triangle ADB est rectangle isocèle en A. (Ses angles de base sont de même mesure ; soit : (180-90)/2 = 45 ) 5) Les droites (AK) et (BD) étant parallèles, les angles alternes internes a DBA et a KAB sont donc de même mesure. Donc a KAB = 45 On a a CAK = a KAB = 45. La droite (AK) est donc la bissectrice issue de A dans le triangle ABC. 6) Par construction le quadrilatère AEKF a ses côtés opposés parallèles deux à deux. (On peut utiliser la propriété suivante : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles). Donc AEKF est un parallélogramme avec un angle droit (en A). C est donc un rectangle. 5
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 1 7) Calcul de KF : Les droites (FK) et (AB) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CFK et CAB : CF CA = CK CB = KF AB Soit : 3 7 = KF 5,6 D où KF = 2,4 cm Calcul de KE Les angles a KAB et a FKA sont alternes internes et de même mesure. Donc a KAE = a FKA = a AKE = 45 Le triangle AEK est donc isocèle rectangle en E. Donc KE = KF = 2,4 cm. Remarque : Pour calculer KE, on aurait pu également appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BEK et BAC. 6
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 2 Exercice 1 (6 points) Les points T, L, E sont alignés et les points O, L, I aussi. On donne IE = 1,2 cm ; IL = 3,2 cm ; TL = 3,5 cm et TO = 1,5 cm. Calculer, en justifiant, les longueurs LE, OL et IO. Les angles a LIE et a LOTsont des angles alternes internes de même mesure relatifs aux droites (TO) et (IE) et à la sécante (OI). Les droites (TO) et (IE) sont donc parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles LIE et LOT : LE TL = IL OL = IE TO Soit : LE 3,5 = 3,2 OL = 1,2 1,5 On en déduit d une part : LE 1,5 = 3,5 1,2; soit LE = 3,5 1,2 1,5 et d autre part : OL 1,2 = 3,2 1,5 ; soit OL = 3,2 1,5 1,2 = 4 cm. = 2,8 cm ; IO = IL + OL = 3,2 + 4 = 7,2 cm Exercice 2 (9 points) La figure commencée ci-dessous est à construire sur la copie et à compléter au fur et à mesure des questions. On donne AC = 8,75 cm ; AB = 5,25 cm et BC = 7 cm. L est le point du segment [AC] tel que AL = 3,75 cm. La parallèle à la droite (BL) passant par C coupe la droite (AB) en D. 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 2) Calculer AD. 3) Calculer BD ; en déduire que le triangle BCD est un triangle rectangle isocèle. 4) Déterminer la mesure de l'angle a BCD. 7
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 2 5) Démontrer que la mesure de l'angle a LBC est 45. Que peux-t-on en déduire pour la droite (BL)? 6) La perpendiculaire à (AB) passant par L coupe (BC) en E et la perpendiculaire à (BC) passant par L coupe (AB) en F. Démontrer que le quadrilatère BELF est un rectangle. 7) Calculer LE et LF. Quelle précision peux-t-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère BELF?26 1) AC² = 8,75² = 76,5625 AB² + BC² = 5,25² + 7² = 27,5625 + 49 = 76,5625 On a AB² + BC² = AC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B. 2) Les droites (BL) et (DC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles ABL et ADC : AB AD = AL AC =BL CD. Soit 5,25 AD = 3,75 8,75 D où : AD 3,75 = 5,25 8,75 Soit : AD = 12,25 cm 3) BD = AD AB = 12,25 5,25 = 7 cm. Le triangle BCD est rectangle en B car a CBD = 180 - a ABC = 90. De plus BC = BD = 7 cm. Donc le triangle BCD est rectangle isocèle en B. 4) a BCD = 45 puisque le triangle BCD est rectangle isocèle en B. (Ses angles de base sont de même mesure ; soit : (180-90)/2 = 45 ) 5) Les droites (LB) et (CD) étant parallèles, les angles alternes internes a BCD et a LBC sont donc de même mesure. Donc a LBC = 45 On a a LBC = a ABL= 45. La droite (BL) est donc la bissectrice issue de B dans le triangle ABC. 8
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 2 6) Par construction le quadrilatère BELF a ses côtés opposés parallèles deux à deux. (On peut utiliser la propriété suivante : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles). Donc BELF est un parallélogramme avec un angle droit (en B). C est donc un rectangle. 7) Calcul de LE : Les droites (LE) et (AB) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CLE et CAB : CE CB = CL CA = LE AB Soit : 8,75-3,75 8,75 D où LE = = LE 5,25 5 5,25 = 3 cm 8,75 Calcul de LF Les angles a LBE et a FLB sont alternes internes et de même mesure. Donc a LBE = a FLB = a FBL = 45 Le triangle FBL est donc isocèle rectangle en F. Donc LE = LF = 3 cm. Remarque : Pour calculer LF, on aurait pu également appliquer le théorème de Thalès dans les triangles AFL et ABC. 9
3 ème A Contrôle théorème de Thalès 2009-2010 sujet 2 Exercice 3 (5 points) 1) Le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 6 cm et BC = 10 cm. Démontrer que AC = 8 cm. 2) On donne CM = 2,56 cm et CN = 3,2 cm. Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles? 1) Le triangle ABC étant rectangle en A, je peux appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle : BC² = AB² + AC² Soit 10² = 6² + AC² AC² = 100 36 = 64 = 8² Donc AC = 8 cm 2) CA CM = 8 CB = 3,125 et 2,56 CN = 10 3,2 = 3,125 Les points A, C, M sont alignés dans cet ordre ainsi que les points B, C, N et CA CM = CB CN, donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 10