Licence 2-ième année, parcours PC semaines de cours, 0 semaines de TD CH. Fonctions de plusieurs variables (,5 semaines) Une description très sommaire sur le contenu et le but de notre cours: étendre le savoir-faire en matiere d analyse d une variable au cas de plusieurs variables, par exemple 2 (plan) ou 3 (espace); de la notion de proximité (continuïté, dérivabilité) au calcul des masses (intégrale). Notion d une fonction de plusieurs variables: numérique, vectorielle; voisinage d un point dans l espace ou le plan; normes euclidiennes; opérations sur les fonctions: some, produit (?), composantes, composées. Le graphe d une fonction de plusieurs variables: exemple de x 2 y 2. La limite d une fonction en un point et la limite suivant un arc. Exemples: (xy)/ x 2 + y 2, (xy)/(x 2 + y 2 ) à l origine du plan. La définition de la continuité, en un point et dans un domaine. Exemples: f(x, y) = y sin(x/y) si y = 0, f(x, 0) = 0. Des résultats sur la continuité: toute fonction rationnelle est continue sur sont domaine de définition; la continuité d une fonction à valeurs vectorielles et celle de ses fonctions composantes; thm de la composée de deux fonctions continues. CH 2. Calcul differentiel (4,5 semaines) Rappel de la notion de fonction derivée dans le cas d une variable: la notation f(t 0 + δ) f(t 0 ) + f (t 0 )δ, la pente du graphe. Dérivées partielles de premier ordre, dans le cas de deux variables, avec les exemples: x + 3xy 2 au point (0, ), y sin(x/y) au point (0, 0) où la fonction est supposée nulle. Dérivée directionnelle: j ai donne la relation D v f(x 0, y 0 ) = α f x (x 0, y 0 )+β f y (x 0, y 0 ) pour v = (α, β) (je suppose que tout vecteur directeur est unitaire), mais prudence: cette relation exige une condition très forte... Matrice de Jacobi et composée de deux fonctions. () F (t) = f(x(t), y(t)) au cas particulier: x et y sont affines en t. (2) F (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) au cas particulier: coord. polaires (r, θ) > (x, y). Le changement de coord.: définition et exemples (polaire, sphérique, cylindrique, et leur réciproque, leur matrice jacobienne) La différentiabilité par analogie avec la dérivée en cas d une seule variable: le plan tangent remplace alors la droite tangente, dessin avec x 2 + y 2 +. Des proprietes concernant la somme, le produit de fonctions différentiables, la différentielle d une application linéaire ou affine, etc, La différentiabilité et la continuité, la dérivabilité partielle ; la relation df = f x dx + f y dy (en cas de deux variable, à valeurs numeriques); la condition C.
Le plan tangent Z f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )(X x 0 )+f y (x 0, y 0 )(Y y 0 ); deux interprétations sur dx, dy: infinitésimale, projection linéaire sur R. TAF (Thm Accroisements Finis) pour le cas de 2 variables et à valeurs numeriques, à l aide de la version d une variable et de la relation df/dt = f x h + f y k où F (t) = f(x 0 + th, y 0 + tk). Ainsi I(négalités)AF pour estimer la varaition, avec l exemple de calcul de l erreur eventuellement commise dans la mesure de l aire d un rectangle. D.P. d ordre deux, avec le thm de Schwarz: Si f xy et f yx sont continues alors elles sont égales. Opérateurs classiques sur R 3 : gradient, divergence, Laplacien, rotationnel, etc.... CH 3. Intǵrales multiples (2,5 semaines) Rappel sur le calcul integral d une variable: mesure de l aire du domaine sous le graphe d une fonction, construction à la Riemann, lien avec les primitives. Intégrale double: mesure du volume d un cylindre delimité verticalement par deux surfaces au dessus d un compact (domaine fermé et borné: une abstraction de la finitude...); compacts élémentaires par rapport à x ou y; théorème de Fibini. Coordonnées polaires et changement de variables : K fdxdy = Ω f Φdet(JacΦ)dudv pour φ : (u, v) (x, y), K = Φ(Ω). Exemple de calcul : l integrale de x y /2 sur le premier quart d un ellipse modifié d équation x /2 + y /4 < Intégrale triple: définition, fubini, coordonnées sphériques et cylindriques. Exemples d applications en physique: pression d un barrage; densité de masse et inertie; centre de gravité; champ d attraction.... CH 4. Théorèmes de Green, Stokes, Gauss... (2,5 semaines) Forme différentielle de degré un et son intégrabilité: s il existe F avec df = w : les fonctions coefficients de dx, dy, dz vérifient des edp du premier ordre. Intégrales curvilignes de première espèce et de seconde espèce, problème de la dépendance du chemin ou les points d extremité. Exemples de calculs Formule de Green. Application au problème de l intégrabilité: si une forme est intégralble et le domaine est simplement connexe, alors la primitive existe et peut etre calculée par intégration (curviligne). Contre exemple: (xdy ydx)/(x2 + y2) le long le cercle unité. Intégrales sur les surfaces sans orientation: éléments de l aire pour une surface paramétrée, indépendance du paramétrage; Exemples. Intégrales sur les surfaces munies d une orientation (seconde espèce): vecteur normal à une surface, flux à traverse une surface. Exemples. Formule de Stokes et Gauss. 2
Ch. Fonctions de plusieurs variables : Limites et continuité.) Généralités sur R n a) Introduction (Repères, les coordonnées d un point; sousensembles de R 2 ou R 3 : droite, disque, sphère, plan...). b) Exemples de fonctions de plusieurs variables: représentation de z = f(x, y) := x 2 + y 2, z = f(x, y) := x 2 y 2 et de leurs courbes de niveau. c) Norme et distance euclidiennes, produit scalaire; définition d une norme de R n..2) Limite d une application en un point a) Voisinage d un point, approximité de deux points, boules de R n. b) limite d une application en un point: définition, en terme de suites, exemples de calcul. c) propriétés (convergence par composantes, opérations élémentaires, unicité, sous-limites )..3) Continuité a) Définition et exemples. b) Propriétés (continuité par composantes, opérations élémentaires, composée de deux fonctions continues, toute application rationnelle est continue dans son domaine de définition, etc...). Exercice Tracer le domaine de définition pour chacune des fonctions suivantes. a. f(x, y) = x + y. b. f(x, y) = 2x + y 2. c. f(x, y) = x + y. d. f(x, y) = log(x + 5y). e. f(x, y) = x sin y. f. f(x, y, z) = g. f(x, y, z) = 4 x 2 y 2 z 2. x + y + z. Exercice 2 Illustrer par un dessin dans R 3 la surface définie par z = xy et indiquer les courbes de niveau correspondant respectivement à z = et z =. Exercice 3 Pour tout v = (x, y) R 2, on pose v = x + y, v 2 = x 2 + y 2 ; on rappelle que v 2 est la norme euclidienne de v. a. Vérifier que est une norme sur R 2. b. Représenter dans R 2 les ensembles suivants : c. Vérifier que { v R 2 : v < }, { v R 2 : v }, { v R 2 : v = }. { v R 2 : v 2 < 2/2} { v R 2 : v < } { v R 2 : v 2 < }. Exercice 4 Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (x, y) = (0, 0) et donner sa valeur si elle existe. a. x2 y 2 x 2 + y 2. b. x2 2xy + y 2 x 2 + y 2. 3
c. xy + y 2 x 2 + 4xy + y 2. d. x y x 2 2xy + y 2. e. e x y x 2 2xy+y 2. f. x y. g. x /y. h. sin x cos y chx. i. x2 + y 2 x 4 + y 4. j. x3 y 3 x 2 + y 2. Exercice 5 Etudier la continuité des fonctions suivantes. (x + 2y) 3 a. f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0), 0 sinon. b. f(x, y) = x c. f(x, y) = sin(xy) y sinon. si y 0, { e x2 y si y 0, 0 sinon. e xy d. f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0), 0 sinon. Exercice 6 a. Vérifier que la fonction définie pour (x, y) (0, 0) par f(x, y) = la propriété suivante : les limites itérées x 2 y 2 x 2 y 2 + (x y) 2 possède lim lim f(x, y), lim x 0 y 0 lim f(x, y) y 0 x 0 existent et sont égales mais f n a pas de limite en (0, 0). b. Vérifier que la fonction définie pour xy 0 par f(x, y) = (x + y) sin x sin y propriété suivante : aucune des limites itérées possède la lim lim f(x, y), lim x 0 y 0 lim f(x, y) y 0 x 0 n existe mais f a bien la limite nulle en (0, 0). 4
Ch. 2 Calcul différentiel dans R n 2.) Dérivées partielles de premier ordre et dérivées directionnelles a) Définition, notations, représentation graphique. b) Exemples de calcul. c) Lien avec la continuité (si les d.p. de er ordre existent et sont bornées alors la fonction est continue.) d) Dérivées directionnelles : Définition, expression en termes des dérivées partielles. 2.2) Différentielle et matrice Jacobienne a) Interprétation géométrique de la différentiabilité, plan tangent. b) La différentielle en un point, lien avec la continuité. c) La différentielle exprimée en termes de dérivées partielles, matrice Jacobienne. d) C et la différentiabilité. e) La différentielle totale, inégalité des accroissements finis, et application au calcul des erreurs. 2.3) Changements de coordonnées a) Dérivées partielles de fonctions composées. b) Changement de coordonnées, définition et exemples (cas lináires ou affine: coord. cartésiennes). c) Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. d) (Compléments) Dérivées du secondre. 2.4) Opérateurs classiques sur R 3 a) Grandient d un champs scalaire: définition, exemple, linéarité; produit; champ de gradients. b) Divergence d un champ vectoriel: item (exple: V = r/r)... c) Rotationnel d un champ vectoriel: item, champ de rotationnels. d) Laplacien, Opérateur Nabla, avec des produits vectoriels. Exercice Calculer, en chaque point de leur domaine de définition, les dérivées partielles de premier ordre pour les fonctions suivantes. a. 3 x/y. b. cos(x 2 + y). c. arctan y x 2. d. + x + y2 + z 2. e. y sin(xz). f. tan(arctan x + arctan y). Exercice 2 Etudier la continuité, ainsi que l existence et la continuité des dérivées partielles, des fonctions définies par : a. f(x, y) = x y, si (x, y) 0, f(0, 0) = 0. x2 + y2 b. f(x, y) = y 2 sin x, si y 0, f(x, 0) = 0. y Exercice 3 Calculer pour chacune des fonctions suivantes la dérivées directionnelle dans la direction donnée. a. sin x + cos y en (0, 0) dans la direction dirigée par (cos θ, sin θ) avec θ = 0, π/6 ou π/3. b. z 2 x 2 y 2 en (, 0, ) dans la direction dirigée par (4, 3, 0). c. xyz xy yz zx + x + y + z en (2, 2, ) dans la direction de (2, 2, 0). 5
d. xz 2 + y 2 + z 3 en (, 0, ) dans la direction de (2,, 0). Exercice 4 Vérifier que la fonction f(x, y) = (xy) /3 est continue, que ses dérivées partielles x f, y f existent à l origine mais que la dérivée directionnelle n existe dans aucune autre direction. Exercice 5 Vérifier que xy n est pas différentiable en (0, 0). Exercice 6 Trouver l équation du plan tangent à la surface définie par z = f(x, y) au point P = (x 0, y 0 ) dans chacun des cas suivants. a. f(x, y) = 3x 2 + 4y 2, P = (0, ). b. f(x, y) = 2 cos(x y) + 3 sin x, P = (π, π/2). c. f(x, y) = x 2 + y 2, P = (, 2). Exercice 7 Vérifier que le plan tangent à la surface quadratique ax 2 + by 2 + cz 2 = au point (x 0, y 0, z 0 ) admet pour équation ax 0 X + by 0 Y + cz 0 Z =. Exercice 8 Considérons la fonction f définie sur R 2 x 2 y 2 par f(x, y) = (x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0), f(0, 0) = ) α 0, où α est un nombre réel. Pour quelles valeurs de α, la fonction f est-elle continue sur R 2 différentiable sur R 2? de classe C sur R 2? Exercice 9 Etudier la différentiabilité en (0, 0) de la fonction définie par f(x, y) = (0, 0), f(0, 0) = 0. Exercice 0 Considérons la fonction f définie sur R 2 par f(x, y) = x3 y 3 a. Etudier la continuité de f sur R 2. x3 y x 4 + y 2 si (x, y) x 2, si (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0. + y2 b. Déterminer les dérivées partielles premières de f sur R 2. La fonction f est-elle différentiable sur R 2? c. La fonction φ : R R est définie par φ(t) = (u(t), v(t)), où u(t) = t et v(t) = t. Posons F = f φ. Calculer F (0) et A = f x (0, 0)u (0) + f y (0, 0)v (0). Exercice Considérons la fonction f définie sur E = {(x, y) R 2 : x > 0, y > 0} par f(x, y) = ( x2 2y, y2 2x ). a. Montrer que f est différentiable sur E. b. Ecrire la matrice jacobienne de f sur E. 6
c. Montrer que f est une bijection de E sur E. d. On pose g = f. Déterminer g et vérifier que g est différentiable sur E. e. Ecrire la matrice jacobienne de g sur E. Exercice 2 Calculer, en chaque point de leur domaine de définition, les dérivées partielles de second ordre des fonctions suivantes. a. x y. b. y ln x. x + y c. e x2 +y 2 4z. d. x2 + y 2 + z 2. Exercice 3 Soit φ : R 2 R 2 l application définie par φ(x, y) = (x + y, x + my), où m R est un paramètre. a. A quelle condition la matrice jacobienne de φ est-elle injective? b. A quelle condition φ est-il un changement de variables? Exercice 4 a. Vérifier que f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) satisfait l équation de Laplace 2 f x 2 + 2 f y 2 = 0. b. Montrer que si g(x, y) est solution de l équation de Laplace, alors la fonction composée x G(x, y) = g( x 2 + y 2, y x 2 ) l est aussi. + y2 Exercice 5 L expression df = f x dx + f y dy permet d estimer la variation de f lorsque les variables varient de x à x + dx et de y à y + dy avec dx, dy suffisamment petits. a. Donner une valeur approximative à la variation de (x + y)/(x y) lorsque x varie de x = 2 à x = 2, 5 et y de 4 à 4, 5. b. Donner une valeur approchée de ln((, 02) /4 + (0, 96) /6 ) et de e 0,2 /0, 9. c. Les longueurs x et y des deux côtés de l angle droit d un triangle rectangle sont connues avec une précision inférieure ou égale respectivement à h et k. Encadrer l erreur avec laquelle sera calculée l aire du triangle. Exercice 6 La période T d un pendule, exprimée en secondes, est donnée par la formule T = 2π l/g où l est sa longueur exprimée en mètres et g l accélération de la pesanteur en mètres pas seconde au carré. a. Calculer T pour l = 2m, g = 9, 8m/s 2 et π = 3, 4. b. Estimer l incertitude sur T sachant que π = 0 2, l = 0 3 m et g = 0 2 m/s 2. 7
Exercice 7 Deux résistances R et R 2, respectivement de 30Ω et 40Ω sont connues à 0, 5%. a. Le montage en séries des résistances R et R 2 fournit une résistance équivalente R = R + R 2. Calculer R et estimer la précision du résultat. b. Reprendre la question précédente, lorsque les résistances sont montées en parallèle, sachant qu alors /R = /R + /R 2. Exercice 8 Calculer grad r, grad r 2, grad /r, grad f(r), avec f : R R et r = (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2. Exercice 9 Calculer div r où r = x i + y j + z k. Exercice 20 Calculer div ( r c) où r = x i + y j + z k et où c est un vecteur constant. Exercice 2 Exprimer rot (φ A) en termes de rot A. 8
Ch. 3 Intégrales multiples 3.) Intégrale double a) Revisiter b a F x(x)dx = F (b) F (a) et b a f φ φ dt = φ(b) φ(a) fdx; somme de Riemann et aire d un domaine dans le plan. b) Intégrale double vue comme volume; construction analytique générale (somme de Riemann en 2D). c) Ordre d intégration ; Fubini. d) En coordonnées polaires. 3.2) Intégrale triple a) Définition ; exemples de calculs. b) Coordonnées sphériques et cylindriques. 3.3) Applications en géométrie et en physique le volume, la masse, le moment d inertie, le champ d attraction... Exercice Calculer (x 2 + y 2 )dx dy, où D est le triangle de sommets A(0, 0), B(, 0) et C(, ). D Exercice 2 Calculer Exercice 3 On pose D xy 2 dx dy, où D est le losange de sommets A(0, 0), B(, ), C(0, 2) et D(, ). D = {(x, y) 0 x, x + y 4}, f(x, y) = (x + y)(x 2 + ). a. Dessiner le domaine D. b. Donner les deux écritures du théorème de Fubini pour I = c. Calculer I. Exercice 4 Calculer l intégrale double D f(x, y)dx dy. a. f(x, y) = (x 2 +)(y 2 +), D = {(x, y) 0 x, 0 y x}. b. f(x, y) = cos(xy), D = {(x, y) x 2, 0 y π 2x }. c. f(x, y) = e y2, D = {(x, y) 0 x y }. d. f(x, y) = (x+y)2 x 2 +y 2 +, D = {(x, y) x2 + y 2 }. D f(x, y)dx dy. e. f(x, y) = x y x 2 +y 2, D = {(x, y) y 0, x 2 + y 2 x 0, x 2 + y 2 2x 0}. Exercice 5 Calculer le volume de la partie de 3 délimitée par les surfaces définies par les équations y 2 = 4 3x, y 2 = x, z = et z = 2. 9
Exercice 6 Soit E la partie de 3 délimitée supérieurement par la sphère x 2 +y 2 +z 2 = a 2 et inférieurement par le cône d équation x 2 + y 2 = z 2 tan α, avec 0 α π et z 0. Calculer le volume de E. Exercice 7 Soit D = {(x, y, z) x 0, y 0, z 0, x 2 + y 2 + z 2 }. a. Calculer I = (x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz. D En déduire la valeur de I 2 = x 2 dx dy dz. D b. Soit D 2 = {(x, y, z) x 0, y 0, z 0, x2 a 2 y 2 + z 2 )dx dy dz. + y2 b 2 + z2 c 2 }. Calculer I 3 = (x 2 + D 2 Exercice 8 Soit Γ = {(0, z 2 +, z) z 2} une courbe contenue dans le plan Oyz, et soit D la solide de révolution obtenue en faisant tourner Γ autour de l axe Oz. Calculer le volume de D. Exercice 9 Soient a > 0, R > 0 et soit D le disque de centre (0, a, 0) et de rayon R dans le plan Oyz. Calculer le volume du tore plein T obtenu en faisant tourner D autour de l axe Oz. Exercice 0 Calculer le moment d inertie d un solide homogène compris entre les cylindres x 2 + y 2 = R et x 2 + y 2 = R (R > R ) et les plans z = h et z = h, par rapport à a. l axe Oz, b. l axe Ox. Exercice Déterminer la masse et le moment d inertie relatif à un diamètre d une sphère dont la densité croît linéairement avec la distance au centre, partant de la valeur µ 0 au centre jusqu à la valeur µ à la surface. Exercice 2 Supposons que la terre est une sphère de rayon R pour laquelle la densité à une distance r du centre est de la forme ρ = A Br 2 et la densité à la surface est 2 2 fois la densité de l eau, la densité moyenne étant 5 2 fois celle de l eau. Montrer que l attraction à un point intérieur est égale à g r r2 R (20 9 R ), où g est la valeur de la gravité à la surface. 2 Exercice 3 Déterminer le centre de gravité du huitième de la sphère, supposée homogène : x 2 +y 2 +z 2 et limité par : x 0; y 0; z 0. 0
Ch. 4 Théorèmes de Green, Gauss, Stokes 3.) Intégrale curviligne a) Calculs symboliques sur dx, dy, dz; différentielle totale et -forme. b) Intégrale curviligne ω d une -forme ω le long un chemin Γ; exemples de Γ calculs. c) Intégrale curviligne de seconde espèce; exemples. d) D une intégrale curviligne à une intégrale double dans le plan: formule de Green. 3.2) Intégrale sur une surface a) Elément unité de l aire d une surface paramétrisée. b) Intégrale sur une surface sans orientation. c) Vecteur normal, le flux d un champs et intégrale sur une surface orientée. d) D une intégrale double à une intégrale triple : Formule de Gauss. e) D une intégrale curviligne à une intégrale double sur une surface : Formule de Stokes. Exercice Evaluer l intégrale curviligne I = long de a. la droite y = x (paramétrée par y = x = t, t [0, ]), b. la parabole y 2 = x (paramétrée par x = t 2, y = t, t [0, ]), c. le segment (0, ) de l axe des x et la droite x =. Exercice 2 Calculer l intégrale curviligne I = x 2 dx xydy prise entre l origine et le point (, ) le ÂB d abscisses 0 et sur la courbe y = (x ) ln(x + ). xdy [ x ln(x + )]dx, A et B étant les points Exercice 3 Soit Γ = {x 2 + y 2 + z 2 = } {x 2 + y 2 = x, z 0} qui est, vu du point (/2, 0, 0), oriené dans le sens des aiguilles d une montre. Calculer le travail effectué par le champ de force F = (y 2, z 2, x 2 ) suivant Γ. Exercice 4 Appliquer la formule de Green à l intégrale curviligne C Adu + Bdv pour les fonctions suivantes, chaque chemin C étant pris dans le sens positif le long le domaine D donné (C = + D). a. A = au + bv, B = 0; D : u 0, v 0, α 2 u + β 2 v. b. A = u 2 v 2, B = 2uv; D : u, v. c. A = v n, B = u n ; D : u 2 + v 2 r 2. Exercice 5 Etablir la formule de Green en coordonnées polaires : + D f(r, θ)dr + g(r, θ)dθ = R r (g r f θ )ds,
où ds reste à préciser. Exercice 6 Calculer l aire de la partie de la sphère unité x 2 + y 2 + z 2 = qui est à l intérieure du cylindre d équation x 2 + y 2 = x ( < z < ). Exercice 7 Calculer l aire de la surface paramétrisée par x = r cos θ, y = r sin θ, z = hθ, où r ]0, R[, θ [0, 2π] et où h est une constante > 0. Exercice 8 Soit Σ(t) la partie du plan x+y+z = t obtenue par intersection avec la sphère x 2 +y 2 +z 2. Soit F (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ). Calculer F (x, y, z)dσ en fonction de t. Exercice 9 Déterminer le champ newtonnien engendré par la présence uniforme d une matière de masse totale m sur une sphère de rayon R. Exercice 0 Calculer x 4 dydz+y 4 dzdx+z 4 dxdy, où Σ est le cotê intérieur de la sphère x 2 +y 2 +z 2 = R 2. Σ Exercice Soit F = (y, z, x) et soit Σ la surface, fermée, du cylindre x 2 +y 2 =, z = 0, z =. Calculer le flux de F à travers Σ vers l extérieur. Exercice 2 Utiliser la formule de Gauss pour calculer les intégrales suivantes. a. x 2 dydz +y 2 dzdx+z 2 dxdy, où Σ est la sphère x 2 +y 2 +z 2 = R 2 dirigée vers l extérieur. b. Σ Σ Σ(t) xydydz + yzdzdx + zxdxdy, où Σ est la surface fermée, dirigée vers l extérieur, constituée de parties des quatres plans suivants: x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z =. c. x y)dydz + (y z)dzdx + (z x)dxdy, où Σ est la surface fermée, orientée vers Σ l extérieur, obtenue en coupant le parabole z = x 2 + y 2 par le plan z =. Exercice 3 Utiliser la formule de Stokes pour calculer les intégrales suivantes. a. ydx + zdy + xdz, où Γ est le cercle {x 2 + y 2 + z 2 = R 2 } {x + y + z = 0} qui est, vu Γ du point (, 0, 0), dans le sens des aiguilles d une montre. b. (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz, où Γ = {x 2 + y 2 = 2y} {y = z} suit, vu du point Γ (0,, 0) le sens positif des aiguilles d une montre. 2