Polynômes D. CRESSON 15 octobre 2008 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 1 / 8
I fonction polynôme On appelle monôme, une expression du type ax n, où n est un entier naturel, a une constante réelle et x un nombre réel On appellera degré le nombre n et coefficient du monôme le nombre a D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 2 / 8
I fonction polynôme On appelle monôme, une expression du type ax n, où n est un entier naturel, a une constante réelle et x un nombre réel On appellera degré le nombre n et coefficient du monôme le nombre a Remarque Lorsque n = 0 on aura un terme de type a dont le degré sera 0 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 2 / 8
I fonction polynôme On appelle monôme, une expression du type ax n, où n est un entier naturel, a une constante réelle et x un nombre réel On appellera degré le nombre n et coefficient du monôme le nombre a Remarque Lorsque n = 0 on aura un terme de type a dont le degré sera 0 On appelle fonction polynôme, toute fonction dont l expression peut s écrire comme une somme de monômes. On nommera degré du polynôme, le degré le plus haut des différents monômes de coefficient non nul D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 2 / 8
I fonction polynôme On appelle monôme, une expression du type ax n, où n est un entier naturel, a une constante réelle et x un nombre réel On appellera degré le nombre n et coefficient du monôme le nombre a Remarque Lorsque n = 0 on aura un terme de type a dont le degré sera 0 On appelle fonction polynôme, toute fonction dont l expression peut s écrire comme une somme de monômes. On nommera degré du polynôme, le degré le plus haut des différents monômes de coefficient non nul Exemple f (x) = 5x 4 + 4x 2 + 2x 4 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 2 / 8
I fonction polynôme On appelle monôme, une expression du type ax n, où n est un entier naturel, a une constante réelle et x un nombre réel On appellera degré le nombre n et coefficient du monôme le nombre a Remarque Lorsque n = 0 on aura un terme de type a dont le degré sera 0 On appelle fonction polynôme, toute fonction dont l expression peut s écrire comme une somme de monômes. On nommera degré du polynôme, le degré le plus haut des différents monômes de coefficient non nul Exemple f (x) = 5x 4 + 4x 2 + 2x 4 sera une fonction polynôme de degré 4 Le coefficient de son terme de degré 3 est 0, et celui du terme de degré 2 est 4 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 2 / 8
Exercice Soit le polynôme P(x) = 7x 5 + x 4 1 Quel est son degré? 2 5x 2 + 12x 3 2 Quel est le coefficient du terme de degré 2? de degré 1? de degré 4? de degré 3? 3 Quel est le terme constant? D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 3 / 8
Exercice Soit le polynôme P(x) = 7x 5 + x 4 1 Quel est son degré? 2 5x 2 + 12x 3 2 Quel est le coefficient du terme de degré 2? de degré 1? de degré 4? de degré 3? 3 Quel est le terme constant? Exercice Même questions pour le polynôme Q(x) = 6x 4 x 2 + 3x 2 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 3 / 8
II Factorisation par (x a) Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, pour tout x de R P(x) = Q(x) D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 4 / 8
II Factorisation par (x a) Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, pour tout x de R P(x) = Q(x) Propriété Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, le coefficient de leurs termes de même degré sont égaux D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 4 / 8
II Factorisation par (x a) Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, pour tout x de R P(x) = Q(x) Propriété Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, le coefficient de leurs termes de même degré sont égaux Remarque expressions Pour utiliser la propriété précédente, on sera amené à développer les D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 4 / 8
II Factorisation par (x a) Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, pour tout x de R P(x) = Q(x) Propriété Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, le coefficient de leurs termes de même degré sont égaux Remarque expressions Pour utiliser la propriété précédente, on sera amené à développer les On appelle zéro ou racine d un polynôme, toute valeur qui annule celui-ci D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 4 / 8
II Factorisation par (x a) Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, pour tout x de R P(x) = Q(x) Propriété Deux polynômes P et Q sont égaux, si et seulement si, le coefficient de leurs termes de même degré sont égaux Remarque expressions Pour utiliser la propriété précédente, on sera amené à développer les On appelle zéro ou racine d un polynôme, toute valeur qui annule celui-ci Exemple P(x) = x 3 7x 2 13x 45 admet 9 comme racine car on a : P(9) = 9 3 7 9 2 13 9 45 = 729 567 117 45 = 0 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 4 / 8
Propriété Si α est une racine du polynôme P, alors il existe unique polynôme Q, tel que P(x) = (x α)q(x) D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 5 / 8
Propriété Si α est une racine du polynôme P, alors il existe unique polynôme Q, tel que P(x) = (x α)q(x) Cette propriété permettra de factoriser et donc de résoudre des équations polynomiales, et ceci en utilisant l identification des coefficients D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 5 / 8
Propriété Si α est une racine du polynôme P, alors il existe unique polynôme Q, tel que P(x) = (x α)q(x) Cette propriété permettra de factoriser et donc de résoudre des équations polynomiales, et ceci en utilisant l identification des coefficients Exemple Si P(x) = (x α)(ax 2 + bx + c) après développement on obtient une nouvelle écriture de P, où les coefficient sont exprimés en fonction de a, b et c La résolution du système ainsi obtenu nous donne les coefficients de Q D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 5 / 8
Propriété Si α est une racine du polynôme P, alors il existe unique polynôme Q, tel que P(x) = (x α)q(x) Cette propriété permettra de factoriser et donc de résoudre des équations polynomiales, et ceci en utilisant l identification des coefficients Exemple Si P(x) = (x α)(ax 2 + bx + c) après développement on obtient une nouvelle écriture de P, où les coefficient sont exprimés en fonction de a, b et c La résolution du système ainsi obtenu nous donne les coefficients de Q Exercice Factoriser P(x) = x 3 7x 2 13x 45 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 5 / 8
III Résolution d équations polynomiales Pour résoudre une équation polynomiale de degré supérieur à 2, on essaie de se rapprocher du cas du trinôme du second degré, en mettant en évidence des racines évidentes, par lesquelles on factorise l expression, et en appliquant ensuite les méthodes de résolutions de produits nuls. D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 6 / 8
III Résolution d équations polynomiales Pour résoudre une équation polynomiale de degré supérieur à 2, on essaie de se rapprocher du cas du trinôme du second degré, en mettant en évidence des racines évidentes, par lesquelles on factorise l expression, et en appliquant ensuite les méthodes de résolutions de produits nuls. Exemple Résoudre P(x) = 2x 3 9x 2 38x + 21 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 6 / 8
III Résolution d équations polynomiales Pour résoudre une équation polynomiale de degré supérieur à 2, on essaie de se rapprocher du cas du trinôme du second degré, en mettant en évidence des racines évidentes, par lesquelles on factorise l expression, et en appliquant ensuite les méthodes de résolutions de produits nuls. Exemple Résoudre P(x) = 2x 3 9x 2 38x + 21 On remarque que P( 3) = 0 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 6 / 8
III Résolution d équations polynomiales Pour résoudre une équation polynomiale de degré supérieur à 2, on essaie de se rapprocher du cas du trinôme du second degré, en mettant en évidence des racines évidentes, par lesquelles on factorise l expression, et en appliquant ensuite les méthodes de résolutions de produits nuls. Exemple Résoudre P(x) = 2x 3 9x 2 38x + 21 On remarque que P( 3) = 0 On peut donc factoriser par (x ( 3)) D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 6 / 8
III Résolution d équations polynomiales Pour résoudre une équation polynomiale de degré supérieur à 2, on essaie de se rapprocher du cas du trinôme du second degré, en mettant en évidence des racines évidentes, par lesquelles on factorise l expression, et en appliquant ensuite les méthodes de résolutions de produits nuls. Exemple Résoudre P(x) = 2x 3 9x 2 38x + 21 On remarque que P( 3) = 0 On peut donc factoriser par (x ( 3)) On développe P(x) = (x + 3)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b + 3a)x 2 + (c + 3b)x + 3c On identifie les coefficients, et on résout le système a = 2 b + 3a = 9 c + 3b = 38 3c = 21 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 6 / 8
III Résolution d équations polynomiales Pour résoudre une équation polynomiale de degré supérieur à 2, on essaie de se rapprocher du cas du trinôme du second degré, en mettant en évidence des racines évidentes, par lesquelles on factorise l expression, et en appliquant ensuite les méthodes de résolutions de produits nuls. Exemple Résoudre P(x) = 2x 3 9x 2 38x + 21 On remarque que P( 3) = 0 On peut donc factoriser par (x ( 3)) On développe P(x) = (x + 3)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b + 3a)x 2 + (c + 3b)x + 3c On identifie les coefficients, et on résout le système On a donc P(x) = (x + 3)(2x 2 15x + 7) Soit donc x + 3 = 0 ou 2x 2 15x + 7 = 0 a = 2 b + 3a = 9 c + 3b = 38 3c = 21 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 6 / 8
III Résolution d équations polynomiales Pour résoudre une équation polynomiale de degré supérieur à 2, on essaie de se rapprocher du cas du trinôme du second degré, en mettant en évidence des racines évidentes, par lesquelles on factorise l expression, et en appliquant ensuite les méthodes de résolutions de produits nuls. Exemple Résoudre P(x) = 2x 3 9x 2 38x + 21 On remarque que P( 3) = 0 On peut donc factoriser par (x ( 3)) On développe P(x) = (x + 3)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b + 3a)x 2 + (c + 3b)x + 3c On identifie les coefficients, et on résout le système On a donc P(x) = (x + 3)(2x 2 15x + 7) Soit donc x + 3 = 0 ou 2x 2 15x + 7 = 0 Après résolution S = { 3; 12 } ; 7 a = 2 b + 3a = 9 c + 3b = 38 3c = 21 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 6 / 8
Exercice Résoudre les équations suivantes ( en utilisant la racine α) : 4x 3 + 16x 2 + 13x + 3 avec α = 3 x 4 + 2x 3 10x 2 15x avec α = 3 D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 7 / 8
Exercice Résoudre les équations suivantes ( en utilisant la racine α) : 4x 3 + 16x 2 + 13x + 3 avec α = 3 x 4 + 2x 3 10x 2 15x avec α = 3 Remarque En utilisant une méthode similaire, on pourra aussi résoudre les inéquations polynomiales Pour cela, on factorise puis on utilise un tableau de signes pour donner le signe du produit D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 7 / 8
Exercice Résoudre les équations suivantes ( en utilisant la racine α) : 4x 3 + 16x 2 + 13x + 3 avec α = 3 x 4 + 2x 3 10x 2 15x avec α = 3 Remarque En utilisant une méthode similaire, on pourra aussi résoudre les inéquations polynomiales Pour cela, on factorise puis on utilise un tableau de signes pour donner le signe du produit Exercice Étudier le signe des expressions de l exercice précédent D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 7 / 8
Plan 1 fonction polynôme 2 Factorisation par (x a) 3 Résolution d équations polynomiales D. CRESSON () Cours Première STL 15 octobre 2008 8 / 8