Instruments anciens : quelques activités mathématiques

APMEP Ile-de-France 04/10/06 1 Instruments anciens : quelques activités mathématiques ACTIVITE MATHEMATIQUE 1 : repérage sur la sphère Compléter les bulles Liste des mots : Ecliptique, Equateur, Horizon, Lune, Méridien, Soleil, Terre, Tropique.

APMEP Ile-de-France 04/10/06 La latitude est égale à la hauteur du pôle audessus de l horizon Le résultat annoncé dans le titre est très utile pour trouver sa latitude la nuit (dans l hémisphère Nord). Si un navigateur mesure, à l astrolabe, que l étoile polaire est à 3 au-dessus de l horizon, il sait qu il est à la latitude de 3 Nord. Pourquoi? C est évident en considérant la sphère armillaire. A quel angle, sur la figure, correspond «la hauteur du pôle au dessus de l horizon»?.. A quel angle, sur la figure, correspond la latitude?.. Que vaut l angle HO ˆ Z?.. Que vaut l angle EO ˆ N?.. Que peut-on dire des arcs de méridien HZ et EN correspondant à ces angles? E Z O N H Si l on retire aux deux arcs précédents la partie ZN qui leur est commune, qu en déduit-on? Comme le dit Jean de Sacrobosco, astronome du Moyen Age : «si des quantités égales on ôte parties égales ou une partie à icelles commune, ce qui reste desdites quantités sera égal». C est clair La hauteur du Soleil à midi est égale à la colatitude + la déclinaison Le résultat annoncé dans le titre est très utile pour trouver sa latitude à midi. Sur la sphère armillaire ci-contre, O est la position de l observateur,. N est... Z est... S est la position du Soleil à midi (sur le. méridien), E est... H est.... On note δ la déclinaison du Soleil, c est à dire l angle que fait le Soleil par rapport à l équateur (correspondant à l arc de méridien ES ). Indiquer sur la figure les arcs de méridien correspondant à : θ la latitude, 90 θ la colatitude (complémentaire de la latitude), h m la hauteur méridienne (hauteur du Soleil à midi au-dessus de l horizon. Compléter la formule : h m =.. A Créteil, le 1 juin (δ = 3,5 ), le Soleil monte jusqu à 64,5 dans le ciel. Quelle est la latitude de Créteil?

APMEP Ile-de-France 04/10/06 3 Les réponses... Exercice 1 : A quel angle, sur la figure, correspond «la hauteur du pôle au dessus de l horizon»? HON A quel angle, sur la figure, correspond la latitude? EOZ Que vaut l angle HO ˆ Z? 90. Que vaut l angle EO ˆ N? 90. Que peut-on dire des arcs de méridien HZ et EN correspondant à ces angles? HZ = EN. Si l on retire aux deux arcs précédents la partie EZ qui leur est commune, qu en déduiton? EOZ = HON c est-à-dire latitude égale hauteur du pôle. Exercice : O est la position de l observateur, N est le pôle Nord. Z est le zénith. S est la position du Soleil à midi (sur le méridien), E est l intersection de l équateur avec le méridien sud. H est le point Sud de l horizon. Compléter la formule : h m = (90 θ) + δ. A Créteil, le 1 juin (δ = 3,5 ), le Soleil monte jusqu à 64,5 dans le ciel. Quelle est la latitude de Créteil? 64,5 = 90 θ + 3,5 d où 90 θ = 41 d où θ = 49. ACTIVITE MATHEMATIQUE : l équation du temps Les anneaux astronomiques, comme les cadrans solaires, fournissent «l heure solaire vraie», c est à dire définie localement par le Soleil. Ainsi, il est exactement midi, 1 heures HSV, lorsque le Soleil passe au méridien local. Or le temps ainsi défini est variable car il ne s écoule pas exactement la même durée, toute l année, entre deux passages successifs du Soleil au méridien. De façon à avoir une définition du temps régulière, on fait la moyenne sur l année et on obtient ainsi «l heure solaire moyenne». La différence entre heure solaire moyenne et heure solaire vraie se nomme «l équation du temps», notée E. On a la relation : HSM = HSV + E. L équation du temps est connue depuis l Antiquité. Elle l était d Hipparque et sans doute avant lui. On peut expérimenter cette équation du temps à l aide du calendrier de la Poste. Nous avons rentré sur un tableur les heures de lever et coucher du Soleil à Paris données par le calendrier de 004, en temps universel (heure solaire moyenne de Greenwich), pour chaque jour de l année. Puis, on a fait calculer par l ordinateur l heure du midi vrai, c est à dire le milieu (demi-somme) entre l heure du lever et l heure du coucher. Le représentation de ces midis vrais donne l allure de la courbe de l équation du temps. Pour comprendre cette courbe, notons d abord que pour obtenir le temps universel, TU, de Greenwich, on enlève environ 0,15 heures à l heure locale de Paris, en raison de l écart de longitude : TU = HSM 0,15 = HSV + E 0,15. La courbe obtenue est celle du temps universel lorsque l heure solaire vraie est HSV = 1. Elle correspond donc à 1 + E 0,15. A une translation verticale près, cette courbe est donc celle de la fonction E.

APMEP Ile-de-France 04/10/06 4 Midi solaire à Paris en temps universel 1, 1,1 1 11,9 11,8 11,7 11,6 11,5 0 50 100 150 00 50 300 350 On peut retrouver cette courbe en considérant les deux phénomènes physiques qui composent l équation du temps. Une première correction provient de la vitesse de la Terre. Le mouvement apparent du Soleil dans le ciel n est pas uniforme au cours de l année, car le mouvement de la Terre autour du Soleil n est pas uniforme. En hiver, la Terre est un peu plus près du Soleil et se déplace plus rapidement qu en été (d après la deuxième loi de Kepler). Cette correction a une période d un an. E 1 (x) = 0,177 sin(0,017 x) en heures, où x est le numéro du jour à compter du 3 janvier (c est le 3 janvier que la Terre est la plus près du Soleil). La seconde correction provient du fait que le mouvement de rotation de la Terre en 4 heures se fait sur l axe des pôles et se compte donc sur l équateur, alors que le mouvement apparent du Soleil au cours de l année se fait sur l écliptique. Cette correction dépend de la saison, elle a une période de 6 mois.

APMEP Ile-de-France 04/10/06 5 Le déplacement apparent du Soleil se comptant, en temps, par rapport à l équateur, un effet de projection sur l équateur de la vitesse apparente du Soleil (montré sur la figure) induit la seconde correction E. Soleil à l équinoxe Soleil au Solstice Ecliptique Equateur E (x) = 0,1643 sin(0,0344 x,7144) en heures. L équation du temps E est obtenue en additionnant les deux corrections précédentes : E(x) = E 1 (x) + E (x). Le graphique suivant est obtenu sur le tableur et permet la comparaison avec la courbe obtenue en faisant la demi-somme des heures de lever et coucher du Soleil donnés par le calendrier de la Poste. Calcul de l'équation du temps 0,3 0, E E 1 0,1 0-0,1 0 50 100 150 00 50 300 350 E -0, -0,3 Les temps, en ordonnées, sont comptés en heures. On constate que la correction E est au maximum de 16 minutes.

APMEP Ile-de-France 04/10/06 6 ACTIVITE MATHEMATIQUE 3 : distances inaccessibles Le «carré des ombres» Le «carré des ombres» figurant au dos d un astrolabe permet la mesure de distances inaccessibles. Son origine remonte à Al-Khwarizmi au IX e siècle. Angle de visée supérieur à 45 B O α A B α ombre droite gnomon (virtuel) A Cas d un angle de visée α supérieur à 45. Montrer que dans le cas de la figure ci-dessus, on peut se ramener à une configuration de Thales et en déduire que AB A OA ' =. ' B' OA On suppose que, sur le terrain, on a mesuré sur le carré des ombres OA ' = 1,5 A' B'. Que peut-on en déduire? On suppose que, sur le terrain, on a mesuré sur le carré des ombres OA ' = 4 A' B'. Que peut-on en déduire?

APMEP Ile-de-France 04/10/06 7 Angle de visée inférieur à 45 B A ombre verse B gnomon (virtuel) α O α A Cas d un angle de visée α inférieur à 45. Montrer que dans le cas de la figure ci-dessus, on peut se ramener à une configuration de Thales et en déduire une égalité de rapports de longueurs. On suppose que, sur le terrain, on a mesuré sur le carré des ombres OA ' = A' B'. Que peut-on en déduire? ACTIVITE MATHEMATIQUE 4 : projection stéréographique La projection stéréographique ne conserve pas les distances et la première chose à considérer est le calcul de la distance au centre O de l astrolabe du projeté A d un point A de la sphère céleste. La distance OA cherchée dépend de l angle δ de déclinaison entre le point A à représenter et l équateur. On supposera que A est sur l hémisphère nord céleste, c est à dire de déclinaison positive. Un raisonnement de géométrie élémentaire nous permettra d obtenir la distance OA en fonction de la déclinaison δ. On note S le pôle Sud céleste (pôle de projection) et R le rayon de la sphère céleste. C est aussi, entre autres, le rayon de l équateur céleste. Puisque l astrolabe est la projection de la sphère céleste sur le plan équatorial, l équateur n est pas déformé dans la projection et est représenté par un cercle de centre O et de rayon R sur l astrolabe. Considérons, sur la figure, le triangle OAS. Il est isocèle en O puisque OS = OA = R. On sait donc que les angles à la base du triangle OAS sont égaux. Chacun de ces angles vaut la moitié de ce qui reste lorsqu on enlève à 180 l angle en O qui mesure 90 + δ. En particulier, l angle ˆA 180 (90 + δ) O S ' vaut δ. = 45 Situons nous à présent dans le triangle OSA, qui a l avantage d être rectangle en O, permettant un calcul trigonométrique élémentaire. La tangente de l angle O S ˆA ' est égale au rapport du côté opposé sur le côté adjacent, c est à dire : tan( 45 δ ) = OA'. R

APMEP Ile-de-France 04/10/06 8 A O δ A S Projection stéréographique du point A de la sphère céleste, sur le plan de l équateur. On en déduit l expression de la distance OA entre le centre de l astrolabe et la représentation A sur ce dernier du point A de déclinaison δ de la sphère : OA ' = R tan(45 δ ). Lorsque le point A à représenter se situe dans l hémisphère céleste sud, un raisonnement analogue conduit à la même formule, à condition de compter négativement, selon l usage, les déclinaisons δ sud. La formule précédente, associée à deux propriétés essentielles de la projection stéréographique, suffit à calculer les tracés de l araignée et des tympans de l astrolabe. La première de ces propriétés est qu un cercle tracé sur la sphère céleste est représenté, après projection stéréographique, par un cercle, s il ne passait pas par le pôle Sud, ou par une droite, s il passait par le pôle Sud. Ainsi, les projections des tropiques, par exemple, sont des cercles, alors qu un méridien est représenté par une droite. La seconde propriété est la conservation des angles par la projection stéréographique. On utilisera cette propriété pour justifier, par exemple, que le cercle représentant l écliptique sur l araignée doit être tangent aux cercles représentant les tropiques, puisque cette tangence existe sur la sphère, ou encore, pour tracer les cercles d égal azimut sur le tympan, que l arc de cercle Nord-Ouest/Sud-Est doit être orthogonal à son intersection au zénith avec l arc Nord-Est/Sud-Ouest. Voyons quelques exemples de tracés, tout d abord pour construire l araignée. Bien qu ils soient généralement au moins partiellement effacés de l araignée par la suite, la construction de l équateur et des tropiques est utile au tracé de l écliptique, qui est tangent à ces derniers. Le choix du rayon R de l équateur sur l astrolabe dicte les dimensions de l instrument. Décidons par exemple de construire un astrolabe tel que R = 5 cm. Les tropiques seront représentés par des cercles concentriques à l équateur mais de rayons différents. Le tropique du Cancer céleste est situé dans l hémisphère

0 APMEP Ile-de-France 04/10/06 9 Nord, à une déclinaison δ = 3,5. Son rayon sur l astrolabe sera donné par le calcul 3,5 suivant : 5 tan( 45 ) 3,8 cm. Le tropique du Capricorne, marquant le bord de l araignée, est situé à une déclinaison δ = 3,5 dans l hémisphère céleste Sud. Le cercle le représentant sur 3,5 l astrolabe aura un rayon de 5 tan( 45 + ) 7,63 cm qui correspondra au rayon de l araignée. Pour représenter les étoiles sur l araignée, c est à dire les différents crochets qui y figurent, on utilise les coordonnées équatoriales des étoiles, données par les catalogues célestes. Ainsi, par exemple, les coordonnées d Altaïr, l étoile la plus brillante de la constellation de l Aigle, sont : ascension droite α = 97,7 et déclinaison δ = 8,9. La pointe du crochet représentant Altaïr sera donc située à une distance du centre de 8,9 l astrolabe valant : 5 tan( 45 ) 4,8 cm. L ascension droite nous indique où situer l étoile sur le cercle de centre O et de rayon 4,8 cm. On doit tourner de 97,7 dans le sens trigonométrique, inverse de celui de la montre, à partir d une origine fournie par la demi-droite [Oγ) où l on désigne par γ le «point vernal» c est à dire l intersection entre l équateur et l écliptique correspondant à l équinoxe de printemps. écembre 1 8 0 1 6 Alt Février Veg Den Arc 1 4 Octobre Spi αuma 1 1 0 4 Juin 6 J 8 Ald Rig Bét Sir Araignée contemporaine. Dessin de G. Delaforge. La construction d un tympan dépend de la latitude ϕ de son lieu d utilisation. Prenons comme exemple la latitude ϕ = 48,9 de Paris et décrivons le tracé de l horizon. Sur la figure suivante est représentée la sphère céleste, en coupe selon le méridien local. Le point de l horizon situé sur le méridien côté Nord est noté H 1 et le point situé à l horizon sur le méridien côté Sud est noté H. Ces deux points se projettent sur le plan de l équateur, le tympan de l astrolabe, en H 1 et H.

10 10 APMEP Ile-de-France 04/10/06 10 Méridien côté Nord H 1 Zénith 48,9 Méridien côté Sud H 1 O H H S Les distances entre les projetés et le centre O s obtiennent par les calculs suivants : 180 90 48,9 OH 1 = 5 tan( 45 ),7 cm et 90 48,9 OH = 5 tan( 45 + ) 11,00 cm. Le méridien local, passant par le pôle de projection S, est représenté sur le tympan par une droite. On peut placer sur cette droite l horizon Nord H 1 à,7 cm du centre du tympan. En revanche, le point H serait trop loin et tombe en dehors du tympan. Cependant, le cercle horizon est, sur la sphère, orthogonal au cercle méridien, ces cercles se situant dans des plans orthogonaux. On déduit des propriétés de la projection stéréographique que le cercle projeté de l horizon est orthogonal à la droite (H 1 H ) qui est la projection du cercle méridien. Ceci n est possible que si [H 1 H ] est le diamètre du cercle horizon sur le tympan. On ne peut pas placer le point H mais il suffit de 13,7 situer le centre du cercle représentant l horizon sur la demi droite [H 1 O) à cm du point H 1. SUD 180 SE 135 S O 5 0 30 40 50 60 70 70 60 50 40 30 0 EST 90 0 0 OUEST 70 N E 45 HOR TROPIQUE NORD 0 I ZON DU CANCER N O 315 EQUATEUR LATITUDE DE PARIS 48 50' TROPIQUE DU CAPRICORNE

APMEP Ile-de-France 04/10/06 11 ACTIVITE MATHEMATIQUE 5 : relation entre hauteur du Soleil, heure, latitude, déclinaison Nous «apprivoisons» ici la formule sur laquelle est fondée le cadran de Regiomontanus et qui donne la hauteur du Soleil en fonction de l angle horaire, de la latitude et de la déclinaison. sin h = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H h = angle de hauteur du Soleil au-dessus de l horizon, ϕ = latitude du lieu d observation, δ = déclinaison du Soleil, angle correspondant à sa «hauteur» par rapport à l équateur, entre 3 6 et + 3 6 et dépendant de la date de l observation, H = angle horaire valant 0 à midi solaire, 15 à 13 heures, 30 à 14 heures, etc. Expérimentation de la formule donnant la hauteur du Soleil sur tableur On peut facilement, sur un tableur, expérimenter la formule précédente en modifiant les valeurs de la latitude et de la déclinaison, pour observer la hauteur du Soleil au cours d une journée, selon la position que l on occupe sur le globe terrestre et selon la saison de l année. La hauteur du Soleil est donnée par : h = Arcsin [sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H ]. Pour constituer la feuille de calcul, on entre en B1 la latitude en degrés (ici 48,8 latitude de Paris) et la déclinaison en D1 (ici 3,4 le jour du solstice d hiver). Ces deux valeurs pourront être modifiées une fois la feuille de calcul terminée. Les valeurs précédentes ont été converties en radians en entrant en B la formule =B1*PI()/180 et en D la formule =D1*PI()/180.

APMEP Ile-de-France 04/10/06 1 Les cellules de A4 à A8 contiennent les heures de 1 (minuit) à + 1 (minuit le lendemain), avec la convention que 0 vaut pour midi solaire. La colonne B contient les angles horaires H correspondant, puis en colonne C leur conversion en radians. On entre en B4 la formule =15*A4 et en C4 la formule =B4*PI()/180 puis on recopie ces formules vers le bas. Il suffit d entrer en D4 la formule : =ASIN(SIN(B$)*SIN(D$)+COS(B$)*COS(D$)*COS(C4)) donnant la hauteur du Soleil en radians, de la convertir en degrés en E4 par la formule =D4*180/PI() et de recopier vers le bas. Lorsque la feuille de calcul est complète, on représente le contenu des colonnes A et E à partir de la ligne 4 sous forme d un graphique montrant la hauteur du Soleil au cours de la journée. Il suffit ensuite de modifier le contenu des cellules B1 et D1 pour vérifier le fonctionnement de la formule donnant la hauteur du Soleil. 90 70 50 30 10-1 -11-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-10 -30-50 Hauteur du Soleil à Paris le jour du solstice d hiver. 90 70 50 30 10-1 -11-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-10 -30-50 Hauteur du Soleil à Paris le jour du solstice d été.

APMEP Ile-de-France 04/10/06 13 Justification de la formule : sin h = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H Cette relation provient de l analyse de ce que l on nomme en navigation le «triangle de position». Ce triangle est constitué du pôle nord céleste P, du zénith Z et du Soleil S. Ce triangle de position est représenté sur la figure suivante où O est le centre de la sphère céleste et également la position de l observateur. On est l après-midi, puisque le Soleil a dépassé le méridien sud, au printemps ou en été, puisque le Soleil est au-dessus de l équateur. P Z méridien B est nord O S sud horizon A ouest équateur Les différents paramètres présents dans la formule se retrouvent dans le triangle de position. L angle PÔ Z vaut 90 ϕ, c est la colatitude. L angle PÔ S vaut 90 δ, c est la distance polaire du Soleil. L angle ZÔ S vaut 90 h, c est la distance zénithale du Soleil. Enfin, l angle horaire H est l angle entre les plans (POS) et (POZ). On retrouvera la formule en calculant le produit scalaire différentes. On peut tout d abord écrire : OS. OS. OZ de deux façons OZ = OS OZ cos ZÔ S, ce qui donne, en prenant 1 comme rayon de la sphère, OS. OZ = cos(90 h) = sin h. Une autre façon de calculer ce produit scalaire consiste à se rapporter à un repère cartésien orthonormal. Dans le repère (O ; déterminons les coordonnées des vecteurs Le triangle de position PSZ. P = pôle Nord céleste. S = Soleil. Z = zénith. OS et OA, OZ. OB ) de la figure suivante,

APMEP Ile-de-France 04/10/06 14 On a OZ cos 0 sin ϕ ϕ et OS cos cos δ δ sin H H. sincos δ P z Z ϕ S O B δ y H A Equateur Coordonnées cartésiennes des points Z et S. On a ainsi OS. OZ = cos ϕ cos δ cos H + sin ϕ sin δ. En égalant les deux expressions de ce produit scalaire, on obtient : sin h = cos ϕ cos δ cos H + sin ϕ sin δ qui est bien la relation attendue.