SUITE I ) Rappels et dénition 1. N est l'ensemble des entiers naturels : 0,1,2... Une suite numérique est une fonction de N (ou une partie de N) dans R u : N R n u n Exemple : suite de Fibonnacci : 1, 1,2 ;3 ;5 ;8 ;13 ;21 ;34 ;55... On note u 0,u 1,u 2, ou u(0),u(1), u(2), les premiers termes de la suite (u n ). On dit que u n est le terme d'indice n ou le terme général de la suite (u n ). Il existe deux grands moyens de dénir une suite : calcul explicite : expression de type u(n) = f(n) par récurrence : Chaque terme est déni en fonction du (ou des ) précédents. Exercice : Soit la suite (u n ) dénie par son terme général : u n = n 2 3n Exercice :(v n ) dénie par v 0 = 3 et v n+1 = 2v n +1. Calculer les 4 premiers termes. 2. Représentation graphique,variation, suite majorée, minorée La représentation graphique d'une suite est une liste de points isolés de coordonnées (0; u 0 ),(1; u 1 ), (2; u 2 )... Une suite est dite strictement croissante si pour tout entier n on a u n < u n+1. Une suite est dite strictement décroissante si pour tout entier n on a u n > u n+1. Une suite est dite croissante si pour tout entier n on a u n u n+1. Une suite est dite décroissante si pour tout entier n on a u n u n+1. Exercice : donner le sens de variation des suites suivantes : (u n ) dénie par u n = 3n + 4. ( deux méthodes ) (u n ) dénie par u n = n 2 4n. ( deux méthodes ) (u n ) dénie par u n = 1, 3 n ( deux méthodes ) Méthodes. Pour étudier le sens de variation d'une suite (u n ) on pourra : étudier le signe de la diérence u n+1 u n ; lorsque pour tout entier n, u n est non-nul et de signe constant on peut comparer le rapport u n+1 u n à 1 ; si pour tout entier n on a u n = f(n) avec f une fonction dénie et monotone sur [0; + [ alors la suite u et la fonction f ont la même monotonie. : Dire d'une suite (u n ) qu'elle est majorée (respectivement minorée) signie qu'il existe un réel M (respectivement m) tel que pour tout entier n, u n M (respectivement u n m). Dire d'une suite (u n ) qu'elle est bornée signie qu'elle est minorée et majorée c'est-à-dire il existe un réel m et un réel M tels que pour tout entier n, m u n M.
Exemple Soit la suite (u n ) dénie sur N par u n = 2 (2n + 3) 2. La suite (u n ) est minorée en eet pour tout n N on a : (2n + 3) 2 0 (2n + 3) 2 0 2 (2n + 3) 2 2 u n 2 II ) Suite arithmétique Une suite est dite arithmétique de raison r ssi pour tout entier n on a u n+1 = u n + r. Si (u n ) est arithmétique u n = u 0 + nr u n = u 1 + (n 1)r u n = u p + (n p)r Exercice : Représenter les premier termes de la suite arithmétique de premier terme u 0 = 4 et de raison 0, 25. Bilan, caractérisation des suites arithmétiques : Variation absolue constante,croissance linéaire ou ane, points alignés... Somme des termes : 1 + 2 +... + n = n(n + 1) 2 Exercice : Calculer la somme des 48 premier termes de la suite arithmétique de premier terme u 0 = 4 et de raison 0, 25. III ) Suites géométriques Exercice : Un article coûtait u 0 = 12 000 euros en 2010 et baisse de 15 % par an. Donner le prix u 1 euros en 2011, u 2 euros en 2012... Quelle est la nature de la suite (u n )? Cette suite est-elle croissante ou décroissante? L'article peut-il coûter moins de 100 euros? Quand? Rappel : Augmenter de t % revient à multiplier par le coecient multiplicateur c = 1 + t 100. Rappel : Diminuer de t % revient à multiplier par le coecient multiplicateur c = 1 t 100. 1. s et propriétés Une suite est dite géométrique de raison q si et seulement si pour tout entier n, on a : u n+1 = u n q. Si (u n ) est une suite géométrique alors : u n = u 0 q n u n = u 1 q n 1 u n = u p q n p
2. Variation Soit (u n ) une suite est dite géométrique de raison q de premier terme positif. Cette suite est : strictement croissante si q > 1. strictement décroissante si 0 < q < 1. ni décroissante, ni décroissante si q < 0. Démonstation : Calculons u n+1 u n : u n = u 0 q n et u n+1 = u 0 q n+1 u n+1 u n = u 0 q n+1 u 0 q n u n+1 u n = u 0 (q n+1 q n ) u n+1 u n = u 0 (q n q q n ) u n+1 u n = u 0 q n (q 1) Si q > 1 alors (q 1) > 0 et q > 0 donc q n > 0 et comme u 0 > 0 alors u n+1 u n = u 0 q n (q 1) > 0 Si q > 0 et 0 < q < 1 alors q n > 0 et (q 1) < 0 comme u 0 > 0 alors u n+1 u n = u 0 q n (q 1) < 0 ( 1 terme négatif deux positifs ) 3. Somme des termes Exercice : 1. Développer (1 + q + q 2 + q 3 )(1 q) 2. Développer (1 + q + q 2 +... + q 64 )(1 q) 3. Que vaut la somme S = (1 + 2 + 2 2 +... + 2 64 ) (légende du jeu d'échec) Pour tout nombre q 1 on a : 1 + q + q 2 +... + q n = 1 qn+1 1 q Exercice :Soit (a n ) La suite de géométrique de premier terme a 0 = 10 et de raison 1,2.Calculer la somme des 30 premiers termes de cette suite. Soit (u n ) une suite est dite géométrique non nulle de raison q 1.La somme S des premiers termes est : de terme 1 qnombre S = premier terme 1 q IV ) Limite d'une suite 1) Limite innie : (u n ) a pour ite + si pour tout nombre A (aussi grand que l'on veut), il existe un rang n 0 tel que pour tout n supérieur à n 0 on ait u n > A. On écrit : u n = + Exercice : dénir u n = Exercice :Déterminer les ites des suite de référence : u n = n v n = n 2 w n = n
2) Limite nie : (u n ) a pour ite l si tout intervalle contenant l contient tous les termes u n à partir d'un certain rang n 0, il existe un rang n 0. On écrit : u n = l Remarque : si u n = l on dit que la suite (u n ) est convergente, ou que (u n ) converge vers l. Exercice :Déterminer les ites des suite de référence : u n = 1 n v n = 1 n 2 w n = 1 n 3) Limites et comparaison Soit (u n ), (v n ) deux suites dénies sur N. Si à partir d'un certain rang, u n v n et si v n = + alors u n = +. Si à partir d'un certain rang, u n v n et si v n = alors u n =. Démonstration ROC Soit I un intervalle de la forme ]A; + [, où A est un réel. On sait que v n = + donc d'après la dénition il existe un rang n 0 à partir duquel l'intervalle contient tous les v n c'est-à-dire pour tout n n 0 on a v n > A. Or on sait par hypothèse qu'à partir d'un certain rang n 1 on a u n v n. Posons N = max(n 0, n 1 ), pour n N on a u n v n > A, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite (u n ) à partir du rang N. On en déduit que u n = +. Théorème dit des gendarmes ] : Si les suites (u n ), (v n ) et (vn) sont telles que : à partir d'un certain rang v n u n w n (v n ) et (w n ) ont la même ite nie l, alors la suite (u n ) converge et a pour ite l. Démonstration Soit I un intervalle ouvert contenant l. Comme la suite (w n ) converge vers l l'intervalle I contient tous les termes v n à partir d'un certain rang n 0. De même pour la suite (v n ), à partir d'un certain rang n 1 tous les termes v n I. A partir d'un certain rang n 3 on a v n u n w n. Soit N le plus grand des trois nombres n 1, n 2, n 3.Pour tout nombre n N tous les termes v n et tous les w n sont dans l'intervalle I donc u n également. D'après la dénition la suite (u n ) converge et sa ite est l. 4) Opérations et ites On utilise les mêmes théorèmes que pour les fonctions. Exemple : (5 e n +12) (1000n en ) 5) Limites de suite géométriques si q > 1 si 1 < q < 1 qn = + qn = 0
Démonstration : ROC avec q > 1 q > 1 on peut dire que q = 1 + a avec a > 0 Montrons alors par récurrence que pour tout entier n on a q n 1 + na : Initialisation : au rang 0, 1 + 0 a = 1 et q 0 = 1 donc on a bien q 0 1 + 0 n Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n, c'est à dire que : q n 1 + na. Alors comparons a q n+1 et 1 + (n + 1)a. on a q n+1 = q n q q n+1 (1 + na) q ( hypothèse de récurrence ) q n+1 (1 + na) (1 + a) ( 1 + a = q) q n+1 1 + a + na + na 2 q n+1 1 + a + na car na 2 positif q n+1 1 + (n + 1)a or na = + donc (1 + na) = + et avec le théorème de comparaison sur les ites preuve 1 < q < 1 100 page 48 du livre qn = + V )Convergence de suite 1) ) suites et fonction continue Ce théo- Soit (u n ) une suite ayant pour ite vers l. Si f continue en l alors f(u n ) a pour ite f(l). En particulier si (u n ) est dénie par récurrence de type u n+1 = f(u n ) si (u n ) a pour ite vers l alors la ite l vérie f(l) = l. rème est admis. 2) ) suites monotones Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Toute suite croissante non majorée a pour ite +. Toute suite décroissante non minorée a pour ite. Si (u n ) est croissante et converge vers l alors pour tout n, u n l. Si (u n ) est décroissante et converge vers l alors pour tout n, u n l. les points 1 et 2 sont admis. Montrons que toute suite croissante non majorée a pour ite + Soit (u n ) une telle suite et I un intervalle de la forme ]A; + [, où A est un réel. Il existe un rang n 0 tel que u n0 > A. En eet supposons le contraire que ce rang n'existe pas, donc que pour tout entier n u n < A.A serait un majorant de (u n ), or on a dit que (u n ) était majorée. Comme (u n ) est croissante u n u n0 dés que n 0 > n. Au nal : Pour tout intervallei de la forme ]A; + [, u n I à partir d'un certain rang n 0 ce qui signie que (u n ) a pour ite +. Montrons que Si (u n ) est croissante et converge vers l alors pour tout n, u n l. Rappel : (u n ) converge vers l si tout intervalle contenant l contient tous les termes u n à partir d'un certain rang n 0, il existe un rang n 0.
Supposons (u n ) croissante et qu'il existe un rang n 0 tel que u n0 > l. Posons λ = u n0 l. Soit I l'intervalle ]l λ 2 ; l + λ 2[ Aucun terme de rang n > n 0 n'est dans l'intervalle I. On a montré qu'il existe un intervalle I contenant l ne contenait pas tous les termes u n à partir de n'importe quel rang n 0, ce qui contredit l'hypothèse : (u n ) converge vers l.